Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent) Skriftlig tentamen i FINANSIELL STATISTIK, grundnivå, 15 hp, HT07. Fredagen 18 januari 2008 Skrivtid: 5 timmar (14-19) Hjälpmedel: Miniräknare, utdelad formelblad samt Tabeller över statistiska fördelningar Genomgång och tentamensåterlämning: Måndagen 28:e januari kl 15 i B705. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen. Tentamen består av sex uppgifter, som vardera kan ge maximalt 10 poäng. För erhållande av full poäng på en uppgift krävs att fullständiga och väl motiverade lösningar inlämnas. Betyg sättes enligt den 7-gradiga målrelaterade betygsskalan som nns i kursbeskrivningen som utdelats vid kursens start ( nns även på kursens hemsida). OBS! De studenter som beviljats rätt att tillgodoräkna sig del av kursen Finansiell statistik får välja mellan två alternativ. Valet skall meddelas skrivvakten innan tentamen påbörjas. Alternativen är följande: 1. Att göra hela tentamen. Skrivtiden är då 5 timmar. Märk kuvertet "5 timmar"! 2. Att göra uppgifterna 5 och 6. Skrivtiden är då 2 1 timmar. Märk 2 kuvertet "2 1 timmar"! 2 LYCKA TILL 1
1 HT07 (Tenta) 1.1 Sannolkhetsfördelning & väntevärde En aktie, med nominellt värde 1 krona, är värd 0,5 krona, 1 krona, 1,5 kronor eller 2 kronor om ett halvår. Antag också att dessa fyra scenarier är lika troliga. a) Vad är det förväntade värdet på aktien om ett halvår? b) Vad är sannolikheten att värdet på aktien är mindre än det förväntade värdet om ett halvår? (3p) c) Vad är sannolikheten att värdet på aktien är minst ett standardavvikelse större än det förväntade värdet om ett halvår? (3p) 1.2 Sannolikhetslära, kontinuerligt fördelning Ett företag tillverkar ett slags komponenter som har en genomsnittlig livslängd av 10 år med en varians på 4 år. Företaget byter ut (utan kostnad för kunden) de komponenter som går sönder under garantitiden. Livslängdens fördelning kan godtagbart approximeras med en normalfördelning. a) Beräkna sannolikheten att ett slumpmäsigt valt komponent har livslängd mellan 8 år och 12 år (3p) b) Beräkna hur stor andel av komponenterna som företaget i långa loppet behöver byta ut om garantitiden sätts till fem år. (3p) c) Om företaget är villigt att i långa loppet byta ut högst 1 % av de komponenter som man säljer, hur långt garantitid skall man då välja? 1.3 Anpassningstest Under 100 enminutersintervall anlände totalt 181 kunder till utgångskassorna i ett varuhus. Följande frekvenstabell redovisar antalet ankomster per minute: 2
Antal ankomster Antal enminutersintervall 0 13 1 27 2 32 3 22 4 6 Man vill testa hypotesen att antalet ankomster per minute är en Poissonfördelad stokastisk variabell. a) Formulera Null- och Alternativ hypoteserna b) Välj ett lämpligt teststatistika och motivera valet b) Genomför testet på 1%-signi kasnivån (6) 1.4 Hypotesprövning Tabellen nedan anger tiden (i timmar) som tio räknedosor fungerade innan batterierna måste laddas om: 3.8 4.8 4.3 4.2 4.0 5.5 5.6 6.3 4.6 5.3 Antag att stickprovet kommer från ett normalfördelad population. Man vill testa hypotesen att populationsmedelvärdet är 5 timmar mot alternativet att det är kortare än 5 timmar a) Gör en fullständig hypotesprövning på 1% signi kansnivå. (5p) b) Beräkna styrkan av testet i (a) vid punkterna = 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 och rita styrkefunktionen (5p) 1.5 Regression Ett företag lanserar ett ny produkt och satsar en miljön kronor i veckan, under fyra veckor, på reklam. Man vill studera hur andelen i befolkningen som har hört talas om produkten växer med tiden och låter därför ett opinionsinstitut ringa upp, varje dag, ett slumpmässigt urval om 50 personer vilka tillfrågas om de känner till produkten eller ej. 3
Låt, Y = 1 om den uppringda personen hört talas om produkten och Y = 0 om den uppringda personen INTE hört talas om produkten. Vidare, låt p = P (Y = 1) och x = antalet dagar som gått sedan introduktionen. p En regressionsmodell med logit (p) = ln som beroende variabel och 1 p x som förklarande variabel, dvs ln = 0 + 1 x; gav b 0 = 3:13 och b 1 = 0:308: p 1 p a) Vad kallas den angivna regressionsmodellen? (3p) b) Skissa sannolikheten för att en slumpmässigt tillfrågad person skall känna till produkten, för 1 till 5 dagar (dvs för x = 1; 2; 3; 4; 5). (3p) c) Efter hur många dagar känner halva befolkningen till produkten? 1.6 Tidsserie (a) Ge en kort beskrivning av Enkel-, Holts-, och Holt-Winters Exponentiell Utjämning samt när respektiv utjämningsmetod är lämpligt att använda. (3p) (b) Följände tabell ger de antal bilar som ett bila är har sålt under perioden 1990-1999: År 19-90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Antal bilar 82 80 76 73 76 73 72 73 77 74 Beräkna utjämnade värden för tidsserien med enkel exponentiell utjämning. Använd = 0:3 och startnivån S 0 = 79:33: (3p) c) Efter en enkel exponentiell utjämning av tidsserien i (b) med startvärdet S 0 = 77:75 erhölls den utjämnade serien: År 19-90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 Antal bilar 78.6 78.9 78.3 77.2 77.0 76.2 75.4 74.9 75.3 75.0 Beräkna utjämningskonstanten som man har använt. 4
Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent) Skriftlig tentamen i FINANSIELL STATISTIK, grundnivå, 15 hp, HT07. Onsdagen 13 februari 2008 Skrivtid: 5 timmar (9-14) Hjälpmedel: Miniräknare, utdelad formelblad samt Tabeller över statistiska fördelningar Genomgång och tentamensåterlämning: Torsdagen 21 februari kl 15 i B705. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen. Tentamen består av sex uppgifter, som vardera kan ge maximalt 10 poäng. För erhållande av full poäng på en uppgift krävs att fullständiga och väl motiverade lösningar inlämnas. Betyg sättes enligt den 7-gradiga målrelaterade betygsskalan som nns i kursbeskrivningen som utdelats vid kursens start ( nns även på kursens hemsida). OBS! De studenter som beviljats rätt att tillgodoräkna sig del av kursen Finansiell statistik får välja mellan två alternativ. Valet skall meddelas skrivvakten innan tentamen påbörjas. Alternativen är följande: 1. Att göra hela tentamen. Skrivtiden är då 5 timmar. Märk kuvertet "5 timmar"! 2. Att göra uppgifterna 5 och 6. Skrivtiden är då 2 1 2 kuvertet "2 1 timmar"! 2 timmar. Märk LYCKA TILL 5
2 HT07 (Omtenta) 2.1 Sannolkhetslära Vid tillverkningen av en viss typ byggelement kan två slags fel, A och B, uppkomma hos de tillverkade enheterna. Man vet att P (A) = 0.1, P (B) = 0.2 och P (A \ B) = 0.05. Beräkna sannolikheten att en tillverkad enhet har a) åtminstone något av felen b) felet A men inte B c) felet B men inte A d) exakt ett av felen e) felet B givet att den redan har felet A 2.2 Sannolikhetsfördelning En aktie, med nominellt värde, kan gå ner, gå upp, eller bli oförändrad nästa dag. Antag också att dessa tre scenarier är lika troliga samt att man följer aktiensförändring under fyra på varandar oberoende dagar. Låt Y vara de antal dagar där aktien har gått upp. a) Speci cera sannolikhetsfördelningsfuktionen av Y (tabellen som vissar möjliga värde av Y med deras sannolikheter) b) Beräkna och tolka medelvärdet av Y (3p) c) Beräkna och tolka standardavvikelsen av Y (3p) 6
2.3 Diskreta stokastiska variabler & anpassningstest Antal bilar sålda per dag undersöktes i ett viss företag och resultatet frängår av tabellen nedan: Antal bilar Frekvens (# dagar) 0 27 1 55 2 84 3 51 4 21 5 8 6 3 7 1 a) Beräkna den genomsnittliga antal bilar sålda per dag b) Testa hypotesen att antalet bilar sålda per dag är Poisson fördelad med standardavvikelse = 1:4142 (6p) 2.4 Hypotesprövning Tiden (i timmar) som räknedosor fungerar innan batterierna måste laddas om anses vara normalfördelad. Ett stickprov på 40 räknedosor gav medeltid på 12.5 timmar och standardavvikelse på 7 timmar. Man vill testa hypotesen att populationsmedelvärdet är 10 timmar mot alternativet att det är längre än 10 timmar. a) Gör en fullständig hypotesprövning på 1% signi kansnivå b) Beräkna styrkan av testet i (a) vid punkterna = 10; = 13; och = 16 c) Behövs det mer än 40 eller mindre än 40 observationer (räknedosar) i stickprovet om man vill testa hypotesen på 5% signi kansnivå, istället 7
2.5 Regression a) Redogör för skillnaden mellan Linjar Regression och Logistisk Regression. När är Logistisk Regression lämpligt att använda? (3p) b) I tabellen nedan visas information om reklamutgifter och försäljning (i tusen kronor) för sex företag: reklamutgifter försäljning 47 3040 49 3100 51 3500 53 3420 54 3870 55 3710 Använd minstakvadratmetoden för att anpassa ett linjär regression till datamaterialet och tolka resultatet c) Hur stor andel av variationen i försäljning är INTE relaterad till variationen i reklamutgifter? (3p) 2.6 Index & Tidsserie Tabellen nedan ger pris/styck och antal (konsumption) på fem varor under år 2005 och 2006: Vara Pris per styck Antal (konsumption) 2005 2006 2005 2006 Bröd 1:00 1:25 5 5 Mjölk 2:25 2:50 1 1 Smör 2:50 3:00 10 12 Läsk 0:25 0:30 7 7 Kläder 5:00 7:00 4 2 a) Beräkna prisindex för 2005 enligt Laspeyres resp. Paasches metod med 2006 som basår (referensår) och tolka resultaten (3p) 8
b) Använd ett annat (alternativ) metod för att beräkna prisindex för 2005 med 2006 som basår (referensår) och jämför resultatet med Laspeyres och Paasches index (1p) Följände tabell ger försäljning av handdukar över 10 månadersperiod: Månad (t) Försäljning (Y t ) 1 15000 2 14406 3 14938 4 16037 5 15632 6 14397 7 13895 8 14076 9 16375 10 16534 (c) Använd ett lämpligt metod för att utjämnina datamaterialet. (Använd = 0:3; = 0:1; S 0 = Y 1 ; och T 0 = 0 när de behövs) (d) Gör en prognos av försäljningen i månad 11 9
Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent) Skriftlig tentamen i FINANSIELL STATISTIK, grundnivå, 15 hp, VT08. Tisdagen 3 juni 2008 Skrivtid: 5 timmar (14-19) Hjälpmedel: Miniräknare, utdelad formelblad samt Tabeller över statistiska fördelningar Genomgång och tentamensåterlämning: Fredagen 13 juni kl 15 i B705. Därefter kan skrivningarna hämtas på studentexpeditionen. Omtetamen: Måndagen 18 augusti kl 10-15 i Ugglevikssalen. Tentamen består av sex uppgifter, som vardera kan ge maximalt 10 poäng. För erhållande av full poäng på en uppgift krävs att fullständiga och väl motiverade lösningar inlämnas. Betyg sättes enligt den 7-gradiga målrelaterade betygsskalan som nns i kursbeskrivningen som utdelats vid kursens start ( nns även på kursens hemsida). OBS! De studenter som beviljats rätt att tillgodoräkna sig del av kursen Finansiell statistik får välja mellan två alternativ. Valet skall meddelas skrivvakten innan tentamen påbörjas. Alternativen är följande: 1. Att göra hela tentamen. Skrivtiden är då 5 timmar. Märk kuvertet "5 timmar"! 2. Att göra uppgifterna 5 och 6. Skrivtiden är då 2 1 2 kuvertet "2 1 timmar"! 2 timmar. Märk 10
3 VT08 (Tenta) 3.1 Sannolkhetslära Vid tillverkningen av en viss typ byggelement kan två slags fel, A och B, uppkomma hos de tillverkade enheterna. Man vet att P (A) = 0.2, P (B) = 0.4 och P (A \ B) = 0.08. a) Beräkna sannolikheten att en tillverkad enhet har åtminstone något av felen b) Beräkna sannolikheten att en tillverkad enhet har felet B men inte A c) Beräkna sannolikheten att en tillverkad enhet har exakt ett av felen d) Kan A och B anses vara oberoende? Motivera! 3.2 Sannolikhetsfördelning Ett företag tillverkar ett slags komponenter som har en genomsnittlig livslängd av 15 år med en varians på 9 år. Företaget byter ut (utan kostnad för kunden) de komponenter som går sönder under garantitiden. Livslängdens fördelning kan godtagbart approximeras med en normalfördelning. a) Beräkna sannolikheten att ett slumpmäsigt valt komponent har livslängd mellan 9 år och 21 år (3p) b) Beräkna hur stor andel av komponenterna som företaget i långa loppet behöver byta ut om garantitiden sätts till tre år. (3p) c) Om företaget är villigt att i långa loppet byta ut högst 5 % av de komponenter som man säljer, hur långt garantitid skall man då välja? 11
3.3 Test av oberoende Vid en enkät undersökning angående trängselskattens införande har Stockhoms stadshus erhållit följande tabell: Kön Åsikt Man Kvinna Total Mycket bra 113 117 230 Ganska bra 158 188 346 Ganska dåligt 120 172 292 Mycket dåligt 308 234 542 Total 699 711 1410 a) Använd ett lämpligt metod för att testa om åsikt är oberoende av kön på = 5%: b) Använd ett lämpligt test (på = 5%) för att testa om andelen män i populationen som är för trängselskatt (med åsikt "Mycket bra" eller "Ganska bra") är lika stor som andelen kvinnor i populationen som har samma åsikt (är för trängselskatt) c) Leder resultaterna i (a) och (b) till samma slutsats? 3.4 Hypotesprövning & Intervallskattning En ekonom vill undersöka om oljepriset påverkar ökningen i konsumentprisindex (KPI) i någon betydande grad. Därför samlar hon/han på sig två historiska datamängder med följande resultat: Stickprov Oljepris # undersökta hushåll Ökning i KPI Standardavvikelse 1 $ 27.50 per fat 9 X 1 = 0:32 % 0:12 % 2 $ 20.00 per fat 16 X 2 = 0:21 % 0:11 % Ekonomen antar sedan att dessa två stickprov kommer från två normalfördelade variabler med samma varians som är okänt. 12
a) Testa, på 5% signi kansnivå, hypotesen att ökning i oljepris leder till storre ökning i konsumentprisindex. (6p) b) Beräkna ett 99%-igt kon densinterval för den sanna skillnaden i ökningen, 1 2. 3.5 Regression Ett företag lanserar ett ny produkt och satsar på reklam. Man vill studera hur andelen i befolkningen som har hört talas om produkten växer med tiden och låter därför ett opinionsinstitut ringa upp, varje dag, ett slumpmässigt valda personer vilka tillfrågas om de känner till produkten eller ej. Låt, Y = 1 om den uppringda personen hört talas om produkten och Y = 0 om den uppringda personen INTE hört talas om produkten. Vidare, låt p = P (Y = 1) och x = antalet dagar som gått sedan introduktionen. p En regressionsmodell med logit (p) = ln som beroende variabel och 1 p x som förklarande variabel, dvs ln = 0 + 1 x; gav b 0 = 3:13 och b 1 = 0:308: p 1 p a) Vad kallas den angivna regressionsmodellen? b) Efter hur många dagar känner halva befolkningen till produkten? (3p) Med hjälp av 10 observationer skall man skatta parametrarna 0 och 1 i den enkla linjära regressionsmodellen Y i = 0 + 1 X i + i där 1,..., 10 är oberoende normalfördelade variabler med väntevärde 0 och standardavvikelse : En datakörning gav samt variansanalystabellen Parameter Estimate t-value 0 15.32 4.17 1 4.470 3.88 13
Källa df SS MS F Regression? 2128?? Fel??? Total? 2384? c) Ange den fullständinga variansanalystabellen (3p) d) Hur stor andel av den totala variationen förklaras av regressionsmodellen 3.6 Beslutsteori a) Redogöra för de fyra elementer som behövs för att analysera ett beslut problem b) Följande tabell visar status av ekonomin ("State of the Economy") och "payo " (i kronor) för olika produkter: "State of Economy" (och mostvarande sannolikhet) Produkt Recession (0:2) Flat (0:5) Boom (0:3) 1-20 0 15 2-5 2 5 3-10 1 25 4-1 5 0 5-2 6 0 Vilken produkt skall man välja enligt Expected Monetary Value (EMV) criterion (6p) 14
Statistiska Institutionen Gebrenegus Ghilagaber (docent) Skriftlig tentamen i FINANSIELL STATISTIK, grundnivå, 15 hp, VT08. Måndagen 18 augusti 2008 Skrivtid: 5 timmar (10-15) Hjälpmedel: Miniräknare, utdelad formelblad samt Tabeller över statistiska fördelningar Tentamen består av sex uppgifter, som vardera kan ge maximalt 10 poäng. För erhållande av full poäng på en uppgift krävs att fullständiga och väl motiverade lösningar inlämnas. Betyg sättes enligt den 7-gradiga målrelaterade betygsskalan som nns i kursbeskrivningen som utdelats vid kursens start ( nns även på kursens hemsida). OBS! De studenter som beviljats rätt att tillgodoräkna sig del av kursen Finansiell statistik får välja mellan två alternativ. Valet skall meddelas skrivvakten innan tentamen påbörjas. Alternativen är följande: 1. Att göra hela tentamen. Skrivtiden är då 5 timmar. Märk kuvertet "5 timmar"! 2. Att göra uppgifterna 5 och 6. Skrivtiden är då 2 1 2 kuvertet "2 1 timmar"! 2 timmar. Märk 15
4 VT08 (Omtenta) 4.1 Beskrivande statistik Ett företag säljer mobiltelefoner. Försäljningen ökade med 20 procent år 2006 (jämfört med försäljningen 2005) och med 80 procent år 2007 (jämfört med försäljningen 2006). a) Använd ett lämpligt lägesmått för att beräkna den genomsnittlig årlig ökning i försäljningen. Glöm inte att motivera svaret (6p) b) Om företaget sålde 2000 mobiltelefoner år 2005, beräkna försäljningen (antal telefoner som företaget sålde) år 2007. 4.2 Sannolkhetslära En fabrik har två maskiner (en gammal och en ny) som tillverkar enheter. Den nya maskin producerar 70 procent av den totala produkten. Fem procent av enheterna som produceras av den gammal maskin är defekta medan tre procent av enheterna som produceras av den nya maskin är defekta. Enheterna blandas och sänds till kunderna. a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald enhet är defekt? b) Givet att en slumpmässigt vald enhet är defekt, beräkna sannolikheten att den tillverkats av den nya maskin. (3) c) Givet att en slumpmässigt vald enhet är INTE defekt, beräkna sannolikheten att den tillverkats av den gamla maskin (3) 4.3 Test av oberoende & jämförelse av två andelar En undersökning om resevanor visade att 74 av 150 män bokade biljeten genom resebyrå medan resten använde internetbokning. Bland 363 kvinnor använde 107 internetbokning medan resten bokade biljeten genom resebyrå. a) Använd ett lämpligt metod för att testa om bokningsmetod är oberoende av kön på = 5%: 16
b) Använd ett lämpligt metod (på = 5%) för att testa om andelen män i populationen (av män) som använder internet-bokning är lika stor som andelen kvinnor i populationen (av kvinnor) som använder internet-bokning c) Leder resultaterna i (a) och (b) till samma slutsats? 4.4 Hypotesprövning & testsstyrka Livslängden (i timmar) av ett slags batteri anses vara normal fordelat med standardavvikelse 3 timmar. Ett stickprov på nio batterier gav ett genomsnitt livslängd 48.2 timmar men tillverkaren påstår att den genomsnittliga livslängden är minst 50 timmar. a) Testa tillverkarens påstående på 10% signi kansnivå (5p) b) Beräkna styrkan av testet i (a) när den sanna genomsnittliga livslängden är 49 timmar (5p) 4.5 Regression Följände tabell ger de antal bilar (Y t ) som ett bila är har sålt under 10 på varandra följande månader (t): Månad (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antal bilar (Y t ) 26 28 29 34 33 37 36 38 38 40 a) Skatta en linjär regressionsmodell med t som förklarande variabel och Y t som beroende variabel b) Hur stor andel av variationen i bilförsäljning förklaras av tiden (månader)? (3p) c) Hur många bilar förväntas bila ären sälja vid månad 12? (3p) 17
4.6 Tidsserie Efter en enkel exponentiell utjämning (SES) respektiv Dubbel exponentiell utjämning (DES) av tidsserien i Uppgift 5 ovan erhölls den utjämnade serien, S t ; nedan: Månad (t) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 S t enligt SES 25:20 25:76 26:41 27:93 28:94 30:55 31:64 32:91 33:93 35:15 S t enligt DES 26:84 28:26 29:58 31:61 33:14 35:15 36:63 38:20 39:44 40:77 a) Beräkna utjämningsparametern, ; som använts vid SES b) Använd resultaten i (a) för att beräkna startvärden, S 0 ; som använts vid SES (3p) c) Vilken utjämningsmetod (SES eller DES) anser du är bäst för tidsserien? Varför? (3p) 18