Tentamen i Matematisk statistik Ämneskod-linje S0001M Poäng totalt för del 1 5 (8 uppgifter) Poäng totalt för del 30 (3 uppgifter) Tentamensdatum 010-03-6 Erland Gadde Lärare: Adam Jonsson Lennart Karlberg Mikael Stenlund Kerstin Vännman Skrivtid 09.00-14.00 Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: ankn 1948, mobil 076-6317460 Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa Kursboken Vännman: Matematisk statistik Kursmaterialet Vännman: Regressionsanalys Kursmaterialet Några ofta förekommande fördelningar Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan rättas upp på grund av slarvfel. På del 1 ges inga delpoäng på uppgifterna. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng på del 1. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 5 möjliga för godkänt. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 3 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del genom att kryssa för uppgifterna 9, 10 eller 11. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL!
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 010-03-6 1
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 010-03-6 1. Lars skriver tre tentor på fyra dagar. Han räknar med att händelserna att klara de olika tentorna är oberoende av varandra och uppskattar sannolikheten att klara tentorna till 0.40, 0.60 respektive 0.85. a) Beräkna sannolikheten att Lars klarar åtminstone en av de tre tentorna. Ange ditt svar i procent med en decimal. (1p) b) Beräkna sannolikheten att Lars klarar exakt två av de tre tentorna. Ange ditt svar i procent med en decimal.. Skidskytten Björn träffar 95% av alla skott han skjuter. Anta, även om det kanske är orealistiskt, att händelserna för träff vid varje skott är oberoende av varandra. Vad är sannolikheten att Björn träffar med minst fyra skott i en skjutomgång på fem skott? Ange ditt svar i procent med två decimaler. 3. Antalet kunder som kommer till Lisas närbutik mellan klockan 14 och 15 på vardagseftermiddagar antas vara en Poissonfördelad stokastisk variabel ξ. Erfarenheten har visat att väntevärdet för ξ är 11.0. a) Vad är standardavvikelsen för ξ? Ange ditt svar med en decimal. (1p) b) Vad är sannolikheten för att det kommer minst sex kunder till Lisas närbutik nästa måndag mellan klockan 14 och 15? Ange ditt svar i procent med två decimaler. 4. I en paketeringsmaskin avdelas margarinpaket så att vikten kan beskrivas med en normalfördelning med väntevärdet 500 g och standardavvikelsen 3 g. a) Hur stor är sannolikheten att ett margarinpaket väger minst 495 g? Ange ditt svar i procent med en decimal. b) Bestäm d så att i det långa loppet 80 % av alla margarinpaket har en vikt mellan 500 d och 500 + d. Ange ditt svar med två decimaler. 5. Vissa tillverkade byggnadselement kan antas ha en längd, i cm, som är N(5, 0.65) -fördelad. Man lägger 0 slumpmässigt valda element intill varandra utan fogar. Hur stor är sannolikheten att den sammanlagda längden överstiger 505 cm? Ange ditt svar i procent med en decimal. 6. Familjen Bohnsack på Skurholmen i Luleå har mätt temperaturen kl 8.00 varje morgon och kommit fram till att februaris medeltemperatur i grader Celsius under de sex senaste åren 005-010 är enligt följande temperaturserie. 7.5, 9.9, 13.4, 4.7, 1.5, 15.4 Anta att medeltemperaturen är normalfördelad och att observationsvärdena är oberoende. Beräkna ett 90% konfidensintervall för den förväntade februaritemperaturen. Ange den övre gränsen med två decimaler. 1
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 010-03-6 7. Utsläppet av koldioxid (CO ) per km från bilar är viktigt att ha kontroll på. a) En biltillverkare påstår att bilar av modell A släpper ut ett förväntat värde av 100 g CO per km. Man gör ett stickprov på 6 bilar av modell A och mäter CO per km med följande resultat (enhet: g) 98.0, 97.0, 99.0, 100.0, 101.0, 99.0. Anta att mätvärdena kommer från en normalfördelning N(, ), där både och är okända. För att undersöka om biltillverkaren kan ha fel vill man konstruera ett hypotestest med dubbelsidig mothypotes baserat på testvariabeln x 100 t s / 6 på 1% signifikansnivå. Bestäm de kritiska gränserna som denna testvariabel ska jämföras med för att man ska kunna besluta om nollhypotesen kan förkastas. Ange den nedre av de två gränserna i svaret. Ange ditt svar med tre decimaler. (1p) b) Biltillverkaren påstår även att bilmodell B släpper ut 100 g CO per km. Man misstänker dock att modell B släpper ut mer än denna mängd. För att undersöka om misstanken kan påvisas, konstruerar man ett test på 1% signifikansnivå, där testvariabeln är medelvärdet av CO -värden från 10 bilar. Mätvärdena för CO per km från bilmodell B antas vara N(,) - fördelad. Ange nollhypotesen H 0 och mothypotesen H 1 för testet. (1p) c) Vad är styrkan i testet i b) om det sanna väntevärdet är 10.5 g CO per km? Ange ditt svar i procent med en decimal. 8. Vid en undersökning studerades hur livslängden, Y, hos borrmaskiner kunde relateras till maskinens maxhastighet, X 1, och typ, X. Två olika maskintyper, A och B, förekommer där X 0 för maskintyp A och X 1 för maskintyp B. Man gjorde 0 observationer på livslängden, maxhastigheten samt maskintyp. Man gjorde sedan en multipel regressionsanalys med X 1 och X som förklarande variabler och fick följande resultat. Regression Analysis: Y versus X1; X The regression equation is Y = 19,3 -,66 X1 + 7,50 X Predictor Coef SE Coef T P Constant 19,63 1,755 10,97 0,000 X1 -,6607 0,450-5,89 0,000 X 7,501 0,6798 11,04 0,000 Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 354,51 177,5 76,75 0,000 Residual Error 17 39,6,31 Total 19 393,77
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 010-03-6 a) Beräkna residualspridningen för den skattade modellen. Ange ditt svar med tre decimaler. (1p) b) Beräkna ett dubbelsidigt 99 % konfidensintervall för den förväntade skillnaden mellan livslängden för en maskin av typ B och livslängden för en maskin av typ A. Ange den övre gränsen i intervallet med två decimaler. c) Man valde att utöka modellen ovan genom att föra in samspelstermen X3 X1 X. Analysen ges i MINITAB utskriften nedan. Ett hypotestest ska genomföras för att avgöra om man på 1% signifikansnivå kan påstå att maxhastighetens effekt på livslängden är olika för de två olika maskintyperna. Beräkna värdet på den testvariabel som ska användas för detta test. Ange ditt svar med två decimaler. Regression Analysis: Y versus X1; X; X3 Predictor Coef SE Coef Constant 17,157,317 X1 -,0970 0,6074 X 11,985 3,384 X3-1,1944 0,884 Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 3 358,53 119,51 54,5 0,000 Residual Error 16 35,4,0 Total 19 393,77 Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 3
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 010-03-6 4
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 010-03-6 Tabell för svar till del 1. Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen! Namn... Personnummer... Fråga Svar Poäng 1 a Sannolikhet 96,4 % 1 b Sannolikhet 47,8 % Sannolikhet 97,74 % 3 a Standardavvikelse 3,3 1 b Sannolikhet 96,5 4 a Sannolikhet 95, % b d 3,84 5 Sannolikhet 4,3 % 6 Övre gräns -7,9 7 a Nedre gräns -4,03 1 b Hypoteser H 0 : μ=100 H 1 : μ>100 1 Anm: (H 0 : μ 100 godtas.) c Styrka 94,8 8 a Residualspridning 1,50 1 b Övre gräns 9,47 c Testvariabel -1,35 Anm: 1,35 godtas. Totalt antal poäng 5 Lycka till! 5
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 1, 010-03-6 6
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del (för överbetyg), 010-03-6 Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden. 9. Ledningsgruppen på ett mobiltelefonföretag överväger att öppna en butik i ett samhälle med 10 000 personer. Av stor betydelse för deras beslut är det totala antalet mobiltelefoner om tre månader, vilket är den tid det skulle dröja innan butiken öppnar. Som beslutsunderlag används b.la. det värde, säg T, för vilket gäller att det totala antalet mobiltelefoner överstiger T med 90% sannolikhet. Vid beräkningarna kan man utgå ifrån att antalet mobiltelefoner i hushållen är oberoende av varandra samt följande sannolikhetsfördelning för antalet mobiltelefoner om tre månader i ett godtyckligt valt hushåll:. Antal mobiltelefoner 0 1 3 Sannolikhet 0.1 0.3 0.5 0.1 Hjälp mobiltelefonföretaget att bestämma T. (8p) Anm. Det skulle ha stått i ett samhälle med 10 000 hushåll. Lösning: Låt ξ vara det totala antalet mobiltelefoner i samhället om tre månader. T är det tal som uppfyller P( T ) 0. 9. För att kunna beräkna T behöver vi veta fördelningen för ξ. Fördelningen kan approximeras med hjälp av centrala gränsvärdessatsen (CGS): låt ξ 1,, ξ n vara antalet mobiltelefoner i de olika hushållen om tre månader, där n=10000. Vi tolkar den givna informationen som att ξ 1,, ξ n är oberoende och var för sig har den diskreta fördelning som ges i tabellen, vars väntevärde och varians beräknas till μ=1,6 och σ n =0,64. Enligt gäller att i N( n, n ) N(16000,80) i 1 eftersom vi summerar ett stort antal oberoende slumpvariabler med samma fördelning. Der betyder att skall uppfylla 16000 T 16000 T 16000 0.9 P( T ) P( ) P( ), där 80 T 16000 N(0,1). Vi måste alltså ha 80 =-1.8. Då vi 80 löser ekvationen ovan får vi T =15897,6. Svar: T =15897. 80 10. En grupp trafiksäkerhetsexperter studerar förbipasserande bilars hastigheter vid ett farligt ställe på en viss väg. Av särskild betydelse för arbetet med trafiksäkerhet är den hastighet som 75% av bilarna förväntas understiga, d v s den tredje kvartilen, q 3, i hastighetsfördelningen. Man vill uppskatta den tredje kvartilen q 3 genom att bilda ett lämpligt konfidensintervall för q 3. Experterna anser sig inte kunna göra några andra antaganden om hastighetsfördelningen än att den är kontinuerlig. Man beslutar sig därför för att använda ett teckenintervall, som är baserat på ordningsvärden, och resonerar på följande sätt för att bestämma intervallet. Man kommer att observera hastigheten hos 0 slumpmässigt utvalda bilar. Eftersom det är den tredje kvartilen man är intresserad av så tänker man använda intervall vars gränser består av någon av de 10 största observationsvärdena. Man bestämmer sig för att använda något av de tre inter- 7
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del (för överbetyg), 010-03-6 vallen Ik [ x(11 k), x(0 k)], k 0,1,, där x(1) x()... x(0) är det ordnade observerade stickprovet. a) Beräkna konfidensgraden för intervallet I 0. b) Experterna enas om att en konfidensgrad på 90 % är lämplig. Vilket av konfidensintervallen I0, I1 och I bör de använda, d v s vilket intervall har konfidensgrad närmast 90 %? (9p) (3p) Lösning: Låt η vara antalet mätningar som ger en lägre hastighet än q 3. Enligt avsnitt 3..3 har vi Bin(0,0.75). (Ett lyckat försök är händelsen att hastigheten understiger q 3.) a) Konfidensgraden för I 0 är sannolikheten att intervallet täcker q 3. Vi behöver lista ut för vilka värden på η som I 0 täcker q 3. Vi resonerar enligt följande: Den undre gränsen för intervallet I 0, dvs. x(11), kommer att ligga till vänster om q 3 om och endast om η 11. Den övre gränsen för intervallet I 0, dvs. x(0), kommer att ligga till höger om q 3 om och endast om η 19. Således täcker intervallet q 3 precis då 11 η 19. För att beräkna P(11 η 19) så kan vi använda att ξ= 0-η är Bin(0,0,5)-fördelad. (Se sidan 30 i kursboken.) Konfidensgraden för I 0 blir P(11 η 19)=P(1 ξ 9)=0,9861-0,003=0,989. Anmärkning: Metoden togs upp på Lektion 11 för teckenintervall för medianen. b) Samma resonemang som ovan ger att intervallet I k täcker q 3 precis då 11+k η 19-k. Konfidensgraden C k för I k är därför P( 11 k 19 k) = P(1+k ξ 9-k). Binomialfördelningstabellen på sid. 306 ger C 1 =0,9348, C =0,8069. Det intervall som är mest lämpligt, dvs. vars konfidensgrad ligger närmast 90 %, är därför I 1. 8
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del (för överbetyg), 010-03-6 11. I en artikel i Electronic Packaging and Production (00) undersöktes effekten av röntgeninspektion av IC-kretsar. Stråldosen (i enheten 10 mgy) studerades som en funktion av ström (i enheten milliampere) och exponeringstid (i enheten sekunder). Datamaterialet presenteras i tabell 1. a) Det ansågs att exponeringstiden borde ha stor påverkan på stråldosen så först gjordes en enkel regressionsanalys med enbart exponeringstiden som förklarande variabel. Resultatet framgår av tabell. Ange det modellantagande som ligger till grund för analysen i tabell. Uppskatta effekten av exponeringstiden på stråldosen genom att beräkna ett lämpligt 95% konfidensintervall och också tolka resultatet i ord. (4p) b) Sedan infördes även strömmen som förklarande variabel genom en multipel regressionsanalys. Resultatet framgår av tabell 3. Var det värt att ta med även strömmen i modellen? Besvara frågan genom att jämföra två lämpliga storheter och även göra ett lämpligt test på 1% signifikansnivå. I testet ska hypoteser, testvariabel, beslutsregel samt slutsats tydligt framgå. (4p) c) Ange modellantagandet som gäller för analysen i uppgift b). Residualanalys är ett viktigt instrument för att undersöka giltigheten i de antaganden som gjorts om modellen. I figur 1 ges en plot över de studentiserade residualerna mot variabeln ström från analysen i b). Vilken del av modellantagandena kan undersökas med denna plott? Finns det något problem med plotten som tyder på ett felaktigt modellantagande? I så fall, vad är det som kan misstänkas vara fel? Tabell 1. Stråldos (10 mgy), ström (milliampere) och exponeringstid (sekunder) för studien. stråldos ström exp tid stråldos ström exp tid 7.4 10 0.5 177.6 0 3.00 14.8 10 0.50 59.0 0 10.00 9.6 10 1.00 888.0 0 15.00 59. 10.00 1184.0 0 0.00 88.8 10 3.00. 30 0.5 96.0 10 10.00 44.4 30 0.50 444.0 10 15.00 88.8 30 1.00 59.0 10 0.00 177.6 30.00 11.1 15 0.5 66.4 30 3.00. 15 0.50 888.0 30 10.00 44.4 15 1.00 133.0 30 15.00 88.8 15.00 1776.0 30 0.00 133. 15 3.00 9.6 40 0.5 444.0 15 10.00 59. 40 0.50 666.0 15 15.00 118.4 40 1.00 888.0 15 0.00 36.8 40.00 14.8 0 0.5 355. 40 3.00 9.6 0 0.50 1184.0 40 10.00 59. 0 1.00 1776.0 40 15.00 118.4 0.00 368.0 40 0.00 9
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del (för överbetyg), 010-03-6 Tabell Regression Analysis: stråldos versus exp tid The regression equation is stråldos = 0.0 + 68.1 exp tid Predictor Coef SE Coef T P Constant 0.00 67.1 0.00 1.000 exp tid 68.080 6.991 9.74 0.000 S = 314.433 R-Sq = 71.4% R-Sq(adj) = 70.6% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 937535 937535 94.83 0.000 Residual Error 38 3756985 98868 Total 39 1313310 Tabell 3 Regression Analysis: stråldos versus exp tid; ström The regression equation is stråldos = - 440 + 68.1 exp tid + 19.1 ström Predictor Coef SE Coef T P Constant -440.39 94.0-4.68 0.000 exp tid 68.080 5.41 1.99 0.000 ström 19.147 3.460 5.53 0.000 S = 35.718 R-Sq = 84.3% R-Sq(adj) = 83.5% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 11076473 553837 99.67 0.000 Residual Error 37 055837 55563 Total 39 1313310 Residuals Versus ström (response is stråldos) 3 Standardized Residual 1 0-1 - -3 10 15 0 5 ström 30 35 40 Figur 1. Residualerna från den skattade modellen i tabell plottade mot den förklarande variabeln ström. 10
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del (för överbetyg), 010-03-6 Lösning: Lösning till uppgift 11 kommer inom kort. 11