Examensarbete 15 högskolepoäng, grundnivå

Lärarutbildningen Natur, miljö, samhälle Examensarbete 15 högskolepoäng, grundnivå Uppfattningen om likhetstecknets innebörd hos elever i skolår tre The conceptions of the meaning of the equal sign among students in grade three Ilona Eschricht Mona Abd El Rahman Sobhi Lärarexamen 210hp Matematik och lärande 2011-01-18 Examinator: Tine Wedege Handledare: Gerd Brandell

2

Sammanfattning I vår studie undersöker vi vilken uppfattning elever i årskurs tre har om likhetstecknet samt hur lärarens arbetssätt och arbetsmetoder kan påverka elevers förståelse av likhetstecknets innebörd. I studien använder vi oss av två insamlingsmetoder: en kvantitativ undersökning med en klass i årskurs tre och kvalitativa intervjuer med tio grundskollärare. I undersökningen utgår vi från en konstruktivistisk syn på förståelse och undervisning. Som bakgrund för studien använder vi tidigare internationell forskning vilken behandlar elevers förståelse för likhetstecknet samt lärarens undervisningsmetoder om likhet. Vår undersökning har påvisat att även om eleverna visat bra förståelse av likhetstecknet när de löser diagnosuppgifter av strukturell typ, har de problem med att skriftligt förklara likhetstecknets innebörd. Intervju undersökning har visat att läraren är medvetna om vikten att utveckla båda den dynamiska och statiska uppfattningen av likhetstecknet samt att en del elever inte har utvecklat den statiska uppfattningen. Från vår undersökning drar vi slutsatsen att den bristande förståelse för symbolens innebörd kan bero på olika faktorer: för snabbt övergång från konkret till abstrakt arbetssätt, läromedel där likhetstecknet ofta presenteras som symbol för svar på en räkneoperation och elevers språksvårigheter. Nyckelord: algebra, algebraiskt tänkande/aritmetiskt tänkande, aritmetik, dynamisk uppfattning, ekvivalens, likhet, likhetstecknet, pre- algebra, statisk uppfattning, öppna/slutna utsagor. 3

Förord Vi har haft mycket bra samarbete under studiens gång. Vi började arbetet med att var och kontaktade sin partnerskola samt andra skolor, berättade om vår undersökning och frågade om det finns intresse mellan läraren i arbetslagen. Under intervjuerna var vi närvarande båda två, vi tänkte att två personer ser och hör bättre än en. Var och en var intervjuare på fem av intervjuerna, medan den andra var observatör. Vid transkribering av intervjuerna lyssnade vi tillsammans och delade skrivandet mellan oss. Under valet av litteraturen var båda två aktiva, vi började med att leta efter böcker och forskningsartiklar var och en på egen hand, efteråt diskuterade vi tillsammans vilka av dem kan vara relevant för undersökningen och läste dem och skrev sammanfattning av det, vilket skickades till handledaren och var till stor hjälp under arbetsgång. Det insamlade material från båda undersökningar bearbetade och analyserade vi tillsammans. Gemensamma diskussioner och bra samarbete skapade en drivkraft där vi var beroende av varandras kunskaper stöttning. Vi vill tacka alla lärare och elever som deltog i vår undersökning vilket var till stort hjälp. Stort tack till får handledare Gerd Brandell för goda råd och engagemang. Till sist vill vi tacka våra familjer speciellt Patrik för stort intresse och engagemang. 4

Innehållsförteckning 1 INLEDNING... 7 1.1 BAKGRUND... 7 1.2 DEFINITIONER AV BEGREPP... 8 1.3 SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING... 9 1.4 LIKHETSTECKNET I STYRDOKUMENTEN... 10 2 TEORETISK UTGÅNGSPUNKT OCH TIDIGARE FORSKNING... 12 2.1 KONSTRUKTIVISM... 12 2.2 LÄRARENS ROLL I UNDERVISNINGEN UR KONSTRUKTIVISTISKT PERSPEKTIV... 13 2.3 MATEMATISKA SYMBOLER OCH LIKHETSTECKNET... 13 2.4 SKOLALGEBRA... 15 2.5 INTERNATIONELLA STUDIER... 17 2.5.1 Likhetstecknet... 17 2.5.2 Lärarens arbetssätt och arbetsmetoder... 18 3 METOD... 20 3.1 DATAINSAMLINGS METODER... 20 3.2 GENOMFÖRANDE... 21 3.3 URVAL OCH BORTFALL... 22 3.4 FORSKNINGSETIK... 23 3.5 TROVÄRDIGHET... 23 3.5.1 Kvalitativa intervjuer... 23 3.5.2 Kvantitativ undersökning... 24 4 RESULTAT OCH ANALYS... 25 4.1 ELEVERNAS UPPFATTNINGAR OM LIKHETSTECKNET... 25 4.1.1 Hur eleverna skriftligt beskriver symbolen.... 25 4.1.2 Elevernas tolkningar av likhetstecknet vid lösning av utsagor... 26 4.2 LÄRARENS ARBETSSÄTT... 33 4.2.1 arbetssätt som förstärker elevernas förståelse av likhetstecknet.... 33 4.2.2 Orsaken till elevers missuppfattningar om likhetstecknets innebörd.... 36 4.3 SAMMANFATTNING AV RESULTAT OCH ANALYS... 39 4.4 RESULTATETS TROVÄRDIGHET... 40 5 DISKUSSION OCH SLUTSATSER... 41 5.1 FÖRSLAG TILL VIDARE FORSKNING... 42 REFERENSLISTA... 43 BILAGA 1... 47 BILAGA 2... 49 BILAGA 3... 50 BILAGA 4... 52 5

6

1 INLEDNING 1.1 BAKGRUND I samband med kursen Algebra och lärande i vår utbildning fick vi i uppgift att undersöka elevers uppfattning om likhetstecknet. Resultatet visade att många elever har svårigheter att förstå likhetstecknets innebörd. De flesta elever i grundskolans tidigare år har befäst den dynamiska (operationella) uppfattningen av likhetstecknet, i vilken likhetstecknet ses som en symbol för uträkning. Det innebär att en räkneoperation står på vänster sida och svaret kommer alltid på höger sida av likhetstecknet, som uppfattas som det blir. Elever har ofta problem vid lösning av uppgifter som 8 4 5. Elevers svar blir ofta 12eller 17 istället för 7 (Falkner m.fl. 1999; Franke m.fl. 2008; Stephen, 2006) Det krävs en annan uppfattning för att kunna svara rätt på en sådan uppgift, det vill säga en statisk (relationell) uppfattning av likhetstecknet, vilken innebär att likhetstecknet förstås som lika mycket som/ lika med. Elever som har befäst den statiska uppfattningen av likhetstecknet kommer att lösa uppgiften korrekt genom att tänka på att det ska bli lika mycket på båda sidor om likhetstecknet. Elever kan även se sambandet mellan talen i uppgiften (5 är 1 mer än 4) (Franke m.fl. 2008; Stephen, 2006). Av tidigare erfarenheter under vår verksamhetsförlagda tid (VFT) och kurslitteraturen vi läst under algebrakursen, har vi fått en klar bild av att elevers förståelse av likhetstecknet är avgörande för att de ska kunna förstå och lösa ekvationer (Bergsten m.fl. 1997). Bland målen för matematik som elever ska uppnå i slutet av skolår nio, ingår det bland annat att elever ska kunna lösa enkla ekvationer, vilken kräver den statiska uppfattningen av likhetstecknet. Den senaste TIMSS- undersökningen (Trends in 7

International Mathematics and Science Study är en internationell jämförande studie om skolår 4 och 8 i elevers kunskaper om matematik och naturkunskap) från 2007 påvisade att svenska elever i årskurs 8 har relativt sämre resultat framför allt i algebra än elever i EU/OECD länderna. I uppgiften: I Zedland anges den totala fraktkostnaden för ett föremål med formeln y = 4x + 30, där x är vikten i gram och y är kostnaden i zed. Om man har 150 zed, hur många gram kan man låta frakta? a. 630 b. 150 c. 120 d. 30 (Skolverket 2008 s.88 ) Mindre än en fjärdedel av eleverna (23,2 %) valde det rätta alternativet. Att en så liten andel av eleverna löste ekvationen enligt skolverket kan bero på att likhetstecknet endast förstås dynamiskt. Denna uppfattning gör att ekvationers lösningsprocedurer inte bara blir besvärliga utan också direkt omöjliga. (Skolverket 2008). Vi hoppas att resultatet i vår undersökning kan hjälpa oss som blivande lärare och andra lärarstudenter att lättare upptäcka och förebygga elevers misstolkningar av likhetstecknet. Vi hoppas även att undersökningen kan bidra till utveckling i lärarnas arbetssätt vid undervisningen om likhetstecknet. DEFINITIONER AV BEGREPP I detta avsnitt kommer vi att behandla följande definitioner: Likhetstecknet (=): Likhetstecknet används för att ange att två uttryck betecknar samma sak, eventuellt efter en uträkning. Det utläses är lika med eller bara är (Kiselman & Mouwiz 2008). Dynamisk uppfattning av likhetstecknet: Det betyder att likhetstecknet uppfattas som operationellt det blir. När elever löser en uppgift som 4+7= tänker de att det finns ett före (vänsterled 4+7) och ett efter (högerled), dvs. resultatet av operationen som blir 12 (Bergsten 1997). Statisk uppfattning av likhetstecknet: The understanding that the equal sign represents an equivalence relation between two quantities (Asquith m.fl. 2007 s. 253). 8

Till skillnad från den dynamiska uppfattningen av likhetstecknet innebär den statiska uppfattningen att likhetstecknet kan läsas både från vänster till höger och tvärtom. Det innebär då att båda leden finns samtidigt och är likvärdiga. Det kan utläsas som lika mycket som eller lika med. Ex. 5 9 6 8 (Bergsten 1997). Det innebär även att vid lösning av en uppgift som 78 34 34 att man har kunskap om att 34 34 0 och börjar där istället för att ställa upp och räkna 78 34 (Franke m.fl. 2008). Andra begrepp valde vi att lägga som bilaga (Bilaga 1). SYFTE OCH FRÅGESTÄLLNING Syftet med arbetet är att undersöka en grupps elever i årskurs tre uppfattningar om likhetstecknets innebörd samt hur en grupp grundskollärare arbetar för att förstärka elevers uppfattningar om symbolens statiska och dynamiska betydelse. Vi har valt att utgå från följande tre frågeställningar för att nå våra syften: 1. Vilka uppfattningar har en grupp elever (en klass 12 st.) i årskurs 3 om likhetstecknet? 2. Vilka arbetssätt använder tio grundskollärare i samband med undervisningen om likhetstecknet? 3. Hur kan tio grundskolläraren förstärka elevernas förståelse för likhetstecknet? Med den första frågan vill vi ta reda på vilka uppfattningar en grupp elever i årskurs tre har om likhetstecknets innebörd. Vi vill även undersöka om eleverna har båda den dynamiska och statiska uppfattningen av likhetstecknet. Med den andra frågan vill vi ta reda på om läraren använder varierande arbetssätt/metoder i samband med undervisning om likhetstecknet och med den sista fråga vill vi utreda hur läraren arbetar för att förstärka elevers förståelse av likhetstecknet. 9

LIKHETSTECKNET I STYRDOKUMENTEN Enligt flera forskare (Asquith m.fl. 2007; Falkner m.fl. 1999; Li m.fl. 2008; McNeil 2008; McNeil och Stephens 2007; Stephens 2006) är elevers förståelse av likhetstecknet spelar avgörande roll för deras möjligheter att lyckas med matematik, fram för allt algebra. I kursplanen i matematik under rubriken Ämnets syfte och roll i utbildningen står det bland annat att: Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för att fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer Utbildningen i matematik skall ge eleven möjlighet att utöva och kommunicera matematik i meningsfulla och relevanta situationer i ett aktivt och öppet sökande efter förståelse, nya insikter och lösningar på olika problem (Skolverket 2000). Det är viktigt att eleverna befäster rätt uppfattning av likhetstecknets innebörd, det vill säga att likhetstecknet ses både som dynamiskt: det blir och statiskt: lika mycket på båda sidor. Om eleverna inte har rätt förståelse för symbolen kommer de att utveckla ett begränsade matematiskt kunnande. Det påverkar i förlängningen deras roll som medborgare i ett demokratiskt samhälle, där det är viktigt att man kan påverka när beslut fattas (Skolverket 2009). Vidare står det att Utbildningen skall ge en god grund för / / fortsatt utbildning och ett livslångt lärande / / (Skolverket 2000). Som vi nämnde tidigare är rätt uppfattning av likhetstecknet viktigt för att elever ska kunna lyckas med mer avancerad matematik. Det i sin tur kan påverka valet av fortsatta studier och även framtida arbete. Utbildningen syftar till att utveckla elevens intresse för matematik och möjligheter att kommunicera med matematikens språk och uttrycksformer. Om svårigheter uppstår, tappar elever intresset för matematik och det kommer att försvaga deras självförtroende. Här presenterar vi mål i kursplanen i matematik som har anknytning till likhetstecknet. Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje skolåret beträffande tal och talens beteckningar: Kunna hantera matematiska likheter inom heltalsområdet 0 20, (Skolverket 2000) I kommentarer till kursplanen i matematik (Skolverket 2009) påpekas att målet handlar om förståelse av likhetstecknets betydelse. Den förståelsen är grundläggande för att senare utveckla kunskap om ekvationer. Att hantera matematiska likheter innebär att placera in tal och tecken för att få en likhet att stämma. Det kan vara att hantera 10

matematiska likheter som till exempel 4 7; 15 eller 3 5 4 (Skolverket 2009). Kunna jämföra, storleks ordna och dela upp tal inom heltalsområdet 0-1000 ( Skolverket 2000). Att dela upp tal handlar om att kunna tals helhet och delar till exempel att talet 12 kan delas upp på olika sätt, som 5 och 7, 6 och 6, 8 och 4 och så vidare. Det kräver förståelse av likhetstecknet (Skolverket 2009). Beträffande räkning med positiva heltal Kunna förklara vad de olika räknesätten står för och deras samband med varandra med hjälp av till exempel konkret material eller bilder (Skolverket 2000). Att förklara räknesättens samband kan elever göra genom att visa olika uttryck, där olika räknesätt finns representerade och som visar på samband, som 6 4 2; 6 4 2; 4 6 2 eller 3 2 6; 6 3 2 och 6 2 3 eller att med hjälp av klossar visa att 15 dividerat med 5 är 3 och 3 gånger 5 är 15 (Skolverket 2009). Under mål att sträva efter står det att skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda Grundläggande algebraiska begrepp, uttryck, formler, ekvationer och olikheter (Skolverket 2000). Även Skolverkets förslag till kursplan i matematik i grundskolan betonar vikten av att matematikundervisning ska ge eleverna möjlighet att använda och analysera matematiska begrepp (Skolverket 2010). I årskurserna 1-3 ska undervisningen i matematik behandla bland annat matematiska likheter och likhetstecknets betydelse och i årskurserna 4 6 ska undervisningen i matematik behandla obekanta tal och deras egenskaper, samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol övergripande (Skolverket 2010). 11

TEORETISK UTGÅNGSPUNKT OCH TIDIGARE FORSKNING KONSTRUKTIVISM Eftersom syftet med vårt examensarbete är att undersöka elevernas förståelse av likhetstecknet, samt lärarens arbetssätt i samband med undervisningen om likhetstecknet, anser vi att det är av stort vikt att definiera hur människor konstruerar sin kunskap och tillvaro. Därför kommer det konstruktivistiska synsättet att prägla vår studie. Ernest (1998) differentierar tre olika former av konstruktivism: svag konstruktivism, radikal konstruktivism och social konstruktivism. Gemensamt har alla formerna begreppet konstruktion som handlar om att förståelsen byggs upp och struktureras av erfarenheter och kunskaper som man redan har och inte bara genom mottagna kunskaper. Den sociala konstruktivismen kan ses enligt Ernest (1998) som en utveckling av den radikala konstruktivismen. Han menar att social konstruktivism har sin grund i att förståelsen byggs på interaktion och samspel mellan individen och omgivning, vilket åsidosättas i den radikala konstruktivismen. Både Piaget och Vygotskij anses som företrädare i den konstruktivistiska synen på inlärning och utveckling, vilken innebär att barnen skaffar sig kunskaper genom en aktiv process där det är barnen själva som konstruerar sin kunskap. Det som skiljer Piagets teori om hur människan lär sig något från Vygotskijs är att Piaget lägger fokus på den enskilde människan medan Vygotskij på en social miljö (Evenshaug & Hallen2001). 12

Vygotskij betonar språkets stora betydelse för lärandet. Han menar att språk och tanke utvecklas samtidigt. Han anser att socialt samspel och interaktionen mellan människor har väsentligt betydelse för begreppsutvecklingen (Bråten 1998). LÄRARENS ROLL I UNDERVISNINGEN UR KONSTRUKTIVISTISKT PERSPEKTIV Lärarens arbetssätt spelar en avgörande roll för elevernas utveckling och förståelse för olika moment i matematik (Skolverket 2000). Gustavsson (2008) anser att lärare som arbetar utifrån en konstruktivistisk teori aktivt bör lyssna på elevernas resonemang för att på detta sätt kunna förstå hur elever konstruerar sitt tänkande och eventuellt upptäcka missuppfattningar om ett visst begrepp. Författare menar att eleverna kommer till skolan med sina personliga uppfattningar och erfarenheter av matematik. Lärarens roll är att undersöka hur eleverna tänker och lär, och vad de har för tidigare erfarenheter om matematik. Det är viktigt att läraren utmanar sina elever med frågor, uppmuntrar dem att söka svar och bilda nya kunskaper. Det är även angeläget att knyta matematikundervisning till elevernas vardag för att kunna se värdet av matematiken. Lärarens roll i detta fall är att söka matematikaktiviteter utanför skolböcker och utnyttja det som händer utanför skolan. Engström (1998) också åskådliggör för konstruktivistisk matematikundervisning som bland annat: kännetecknas av laborativa aktiviteter som möjliggör för eleverna att konstruera sin egen matematik, stimulerar eleverna till att reflektera över sina matematiska aktiviteter, ger ett stort utrymme åt gruppdiskussioner samt ser matematiken som en kulturell och social yttring. MATEMATISKA SYMBOLER OCH LIKHETSTECKNET Hoppet från konkret matematik till abstrakt symbolspråket är stort och brukar orsaka stora bekymmer för många elever. De allra första och viktigaste symbolerna som eleverna kommer i kontakt med i skolans början är siffror, symboler för 13

räkneoperationer och likhetstecknet. Många elever använder symbolerna i samband med räkneoperationen men det är inte säkert att de riktigt förstår symbolens korrekta innebörd (Ahlberg 2000). Symboler är en abstrakt representation för något mer konkret, därför är det viktig att eleverna ska vara förtrogna med det konkreta innehållet innan symbolen införs. Elevernas förståelse för symbolerna är nödvändigt för att kunna tolka och kommunicera med andra i matematiska frågor (Kronqvist & Malmer 1993). Malmer (1999) kritiserar den tidiga introduceringen av symbolerna i undervisningen. Malmer hävdar att eleverna först måste skapa sig tillräcklig förståelse för symbolernas innebörd innan de börjar räkna uppgifter med tomma luckor. Vidare påpekar Gudrun på språkets betydelse för den matematiska begreppsbildningen: Barnen måste först ha begreppen i form av ord kopplade till erfarenhet innan de kan översätta dem till det kortfattade matematiska symbolspråket (Malmer 1999 s.108). Kronqvist & Malmer (1993) betonar också språkets betydelse för elevernas utveckling av de matematiska begreppsbildningarna. De anser att inlärningssituationer måste anknytas både till handlingsmatematik och muntlig matematik och på sådan sätt kommer ord och uttryck att ha större förutsättningar att förenas. Kronqvist och Malmer (1993) anser att barns första möte med likhetstecknet börjar långt innan skolstarten. När de frågar vuxna vad symbolen betyder, får de oftast svaret blir. De menar att det är en ganska naturligt förklaring, eftersom symbolen brukar presenteras i samband med exempel av dynamisk addition, det vill säga en händelse som innebär en förändring. Till exempel: Det sitter två fåglar på marken, så kommer en till flygande. Tillsammans blir det tre (Kronqvist & Malmer 1993 sid. 40). Ahlberg (2000) anser att likhetstecknet är den mest missförstådda matematiska symbolen. Likhetstecknet kan uppfattas som symbol som alltid följs av svaret på en beräkning. Denna uppfattning förstärks under skoltiden då de flesta elever löser mängder av aritmetiska uppgifter där svaret alltid står på höger sidan av likhetstecknet. Denna begränsade uppfattningen av likhetstecknets innebörd kan leda till svårigheter med ekvationslösning, vilken kräver en bredare uppfattning av symbolen. Därför anser Ahlberg att övergången från den konkreta till det abstrakta symbolspråket bör vara mjuk. Författaren anser vidare att likhetstecknet bör introduceras för elever på ett 14

konkret sätt, exempelvis med jämförelse av olika mängder. Vågen är också ett konkret hjälpmedel vid elevernas laborerande. Om vågskålarna väger olika, måste något tas bort eller läggas till för att det ska väga jämnt detta gäller också när man använder likhetstecknet. Utsagor som 4+ _ = 6; 4 + 2 = _ och _ + 2 = 6 kan illustreras genom att föremål av samma typ läggs på en våg. Under laborationens gång kommer eleverna att diskutera med varandra samt läraren likhetstecknet innebörd och på sådan sätt erhålla den förståelse av symbolen som behövs (Ahlberg 2000). Berggren& Lindroth (2004) hävdar att lärare kan utveckla elevernas förståelse av likhetstecknet genom att göra uppgifterna mer öppna och utmanande t.ex. 12 + 5 = + 6; 12 + 6 = 2; 12 + 8 = 2. För att lösa sådana luckuppgifter korrekt, krävs att eleven har den statiska uppfattning, vilken innebär att likhetstecknet förstås som lika mycket som. Luckövningarna i exemplet kan då lösas korrekt genom att båda sidor om tecknet beräknas och resultaten är lika stora. Wernberg (2009) menar att de flesta elever förstår likhetstecknet som det blir istället för det är. Denna syn kunde även till viss del urskiljas i lärarnas sätt att hantera symbolen i undervisningen. Hon anser även att den matematiska relationen mellan likhetstecknet som blir och är och likhetstecknet som relationellt finns som ett syfte men uppfyllas inte i lektionerna. Hon menar även att variationen i undervisning hjälper elever att skaffa bättre förståelse av symbolen (Wernberg 2009). SKOLALGEBRA Algebra som undervisas vid högskolor och universitet skiljer sig från skolalgebra. Skolalgebra anknyts ofta med bokstavsräkning, man räknar med bokstäver istället för tal. Bokstavsymbolen kan stå för olika slags tal. Det algebraiska symbolspråket har en dubbel funktion, representativ och manipulativ. Tillsammans ger dessa tre faser av arbete med bokstavssymboler i algebra som ingår i den algebraiska cykeln. 15

Algebraiska cykeln (Bergsten, 1997 s. 15) 1. Översättning till ett uttryck med symboler 2. Omskrivning av symboluttryck 3. Tolkning av ett symboluttryck En konkretisering av den algebraiska cykels faser ger Bergsten m.fl. (1997) i följande exempel: Sven: Ge mig åtta kronor, så har vi sen lika mycket! Åsa: Om du istället ger mig åtta kronor, så kommer jag sen att ha dubbelt så mycket som du. Hur mycket hade egentligen Åsa och Sven? Fas 1: Översättning. I problemet översätts situationen till två ekvationer. Antag att Åsa har x kr och Sven y kr. Texten översätts till följande ekvationer: a) x -8 = y+ 8 b) x +8= 2 (y- 8) Fas 2: Omskrivning. Ekvationerna bearbetas med algebraisk omskrivning (manipulering). a) x- 8= y+ 8 ger x= y+ 16 b) x +8= 2 (y- 8) ger x+ 8= 2y -16 och x =2y -24 Alltså är y +16= 2y- 24. Detta ger att y + 40 = 2y och y= 40 Då är x =40+16 d.v.s. x = 56 Fas 3: Tolkning. Uttrycken x =56 och y= 40 tolkas tillbaka till vanligt språk som att Åsa hade femtiosex kronor och Sven fyrtio kronor. (Bergsten m.fl., 1997, s. 16) Mycket tid i skolan ägnas åt omskrivningar (aritmetikens räkneregler) och mindre åt översättning och tolkning. Denna fokusering kan leda till elevernas missförståelse för symbolhantering, exempelvis likhetstecknet (Bergsten, 1997). 16

INTERNATIONELLA STUDIER LIKHETSTECKNET Flera internationella studier har påvisat att den dynamiska uppfattningen av likhetstecknet är dominerande bland de flesta elever inom alla skolstadier (Asquith m.fl. 2007; Falkner m.fl. 1999; Li m.fl. 2008; McNeil 2008; McNeil och Stephens 2007; Stephens 2006 ). Med den dynamiska menas att likhetstecknet tolkas som svar på en räkneoperation, likhetstecknet utläsas som det blir. Kieran (2004) menar att när elever löser uppgifter, ser de likhetstecknet som en avgränsare mellan räkneoperationen och svaret och tolkar den som signal att skriva svaret på den operationen som anges till vänster av likhetstecknet. Elever behandlar likhetstecknet som en vänster till höger riktad signal De flesta elever saknar den statiska uppfattningen av likhetstecknet. Forskarna som deltog i dessa studier(asquith m.fl. 2007; Falkner m.fl. 1999; Li m.fl. 2008; McNeil 2008; McNeil och Stephens 2007; Stephens 2006) hävdar att eleverna måste skaffa sig den statiska förståelsen för likhetstecknet innan de börjar studiet av algebra. Vidare konstaterar forskarna att de elever som tidigare hade förstått likhetstecknets innebörd som statiskt, har varit mer framgångsrika på att lösa ekvationer vid slutet av årskurs åtta. Asquith m.fl. (2007) har genomfört en studie i USA med tjugo högstadielärare. Forskarna har testat lärarens kunskaper om elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd och variabel. Resultatet påvisade att lärarnas förutsägelse om elevernas statiska förståelse för likhetstecknet, inte stämmer överens med elevernas svar. Diagnosen påvisade att den dynamiska förståelsen verkade vara dominerande bland eleverna. Intervjuer med lärarna visade att alla var medvetna om att vissa elever hade bristande kunskaper om likhetstecknets innebörd dvs. att eleverna såg likhetstecknet som resultat på en operation. Resultatet av undersökningen påvisade även att det fanns betydligt fler elever med bristande kunskaper om likhetstecknet, än lärarna förutsåg. Uppgiften nedan används i studien för att undersöka elevers kunskaper om symbolens namn och betydelse: 17

4+ 3 = 7 The arrow above points to a symbol ; What is the name of the symbol? ; What does the symbol mean? (Asquith m.fl. 2007 s. 255) I tabell 1 presenterar vi en jämförelse mellan lärarens förutsägelser och elevernas svar på uppgiften (Bilaga 2). Tabellen visar stor skillnad mellan lärarens förutsägelser och elevers svar. Det är betydligt fler elever som har den dynamiska uppfattningen och färre har den statiska uppfattningen än vad läraren förutsåg. Uppgifter som 8 4 5;7 eller 7 2 avviker sig från de utsagor eleverna var vana vid att arbeta med. I de senare kommer svaret alltid efter likhetstecknet som 4 3. Detta vållar en rad problem bland elever i grundskolan år. Till exempel, fann Falkner (1999) under sin undersökning att elevernas lösningar till utsagan 8 4 5 är 12 eller 17. Undersökningen tyder på att eleverna tolkade likhetstecknet så att resultatet av en aritmetisk operation står efter likhetstecknet. Uppgifter som 7 och 7 2 uppfattas av de flesta eleverna som fel konstruerat. Eleverna skriver om dem som 7 0 7 och 7 2 = 5 (Falkner m.fl. 1999; Mc Neil 2008). Med hjälp av utsagan 3 + 4 + 5 = 3 + undersökte Mc Neil (2005) (refererat i Mc Neil 2008) elevers förståelse av likhetstecknets innebörd. Resultatet visade att det är 82 % av elever i 7-11 åldern löste uppgiften inkorrekt. Mc Neil (2008) menar att utsagor där räkneoperationer står på båda sidor av likhetstecknet enligt de flesta forskare anses vara problematiska bland eleverna. Dessa utsagor kallar forskarna för Matematical equivalence problems. LÄRARENS ARBETSSÄTT OCH ARBETSMETODER Li m.fl. (2008) genomförde en studie där de jämförde bland annat kinesiska och amerikanska lärares undervisningsmetoder och hur det påverkar elevernas förståelse av likhetstecknet. De undersökte också hur läromedel och lärarhandledning i respektive länderna behandlar likhetstecknet. Med hjälp av utsagor som kräver den statiska förståelsen av likhetstecknet t.ex.6 9 4; 8 12 5 testades elevernas kunskaper om likhetstecknets innebörd. Resultatet av undersökningen påvisade att 98 % 18

av det kinesiska urvalet svarade rätt på föreställningar om ekvivalens. I USA svarade bara 28 % av urvalet rätt på motsvarande frågor. Undersökningen påvisade att läroböcker från USA oftast tolkar likhetstecknets innebörd som dynamisk och mer sällan som statiskt. I kinesiska läroböcker sätts likhetstecknet alltid först som statiskt och tolkas som balans eller likvärdighet och först därefter som dynamisk. Forskarna anser att lärarnas förberedelse, läroböckernas innehåll samt läromedels -metodik (handledning), kan spela en avgörande roll för elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd. Falkner m.fl. (1999) genomförde en studie, där femton lärare och tre universitetsforskare deltog. Målet med studien var att fastställa vilka undervisningsmetoder som kan utveckla algebraisk tänkande hos yngre elevers. Under en period på två år arbetade läraren med utsagor som uppmuntrar den statiska uppfattningen av likhetstecknet hos eleverna. Resultatet påvisar en stor förbättring i elevers uppfattning av likhetstecknet. Falkner m.fl. (1999) menar att lärarens roll är viktigt för utveckling av elevernas tänkande. Valet av uppgifterna, konkretarbete samt diskussioner kring elevers olika tankeformer verkar gynnar deras förståelse av likhetstecknet. Sáenz- Ludlow & Walgamuth (1998) genomförde en studie där de under ett år undervisade om likhetstecknet utifrån en sociokulturell syn. Eleverna som deltog i studie var vana vid att lösa olika uppgifter. Det var läraren som bestämde vilka svar som var rätta, därför hade eleverna inga erfarenheter av att presentera, argumentera och diskutera sina lösningar med läraren och klasskamrater. I början av året fick eleverna arbeta med uppgifter som hjälper dem att bygga upp strategier för de fyra räknesätten och jämföra olika utsagor exempelvis: är de lika eller olika: (5 3 och 12; 40 5 och 4 2), eller hitta tal eller tecken som gör utsagorna lika: (9 +? =? + 11). Eleverna fick dessutom arbeta med textuppgifter och även konstruera egna problem. Under studien började lektionerna med att eleverna fick uppgifter att arbeta med och efter en tid presenterade de sina lösningar. En dialog utvecklades mellan läraren och eleverna kring lösningarnas rimligheter. I slutet av studien lyckades eleverna generalisera strategier för addition, arbeta med symboler och lösa problem som (246 14 246). 19

METOD DATAINSAMLINGS METODER För att samla in data till undersökningen om lärarnas undervisningsmetoder och hur de förstärker elevernas förståelse för likhetstecknet, har vi valt att utföra kvalitativa intervjuer (Bilaga3) vilka genomförts med tio grundskollärare. För att undersöka elevernas uppfattningar av likhetstecknet har vi valt en kvantitativ undersökning (Bilaga 4) med 12 elever i årskurs tre. Anledning till valet av den kvalitativa metoden är att kunna få en mer djupgående och nyanserad beskrivning av ämnet (Jensen 1995). Intervjuerna består av åtta huvudfrågor till varje lärare, vilka inleds med en kort presentation av lärare och sedan en rad av individualiserade följd frågor. Vi speglar lärarnas svar för att kunna få så utförlig förklaring som möjligt (Johansson och Svedner 2006). Vi har även valt att spela in intervjuer på diktafon istället för att föra anteckningar för att inte missa viktig information eller intervjupersoners formuleringar. Samtidigt har vi som intervjuare fått mer tid att koncentrera oss på intervjuns förlopp samt möjligheter att lyssna om flera gångar (Kvale2009; Stukát 2005). Efter intervjuerna, transkriberade vi materialet. Vi är medvetna om att den tekniken är tidskrävande, men valde den istället för anteckning för att inte förlora de intervjuades egna formuleringar och svar. Den kvantitativa undersökningen bestod av sex diagnosuppgifter. Som inspirations källa för uppgifternas utformning använde vi Asquiths m.fl. (2007) och Falkners m.fl. (1999) studie. Innan vi delade ut uppgifterna till eleverna, bad vi 20

klassläraren att förutsäga hur många av eleverna kommer att svara rätt på varje uppgift. Lärarens förutsägelse och elevernas resultat på diagnosuppgifterna jämfördes. GENOMFÖRANDE Vi kontaktade lärare i olika skolor och informerade dem om vår undersökning, samt om deras intresse av att delta i vår undersökning. Nio lärare som arbetar i samma skola samt en av våra handledare tackade ja. Via e-mail bestämde vi tidpunkt samt plats för intervjuerna. Intervjuerna med de nio lärarna ägde rum på deras respektive arbetsplats och med den tionde på lärarhögskolan. Varje intervju tog ca 30-40 minuter. Innan vi började ställa våra frågor bad vi läraren om en kort presentation om sig själva. Intervjun bestod av åtta huvudfrågor samt några fördjupningsfrågor. Huvudfrågorna handlar om lärarnas arbetssätt/arbetsmetoder i samband med undervisning om likhetstecknet och elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd. Med fördjupningsfrågor ville vi få mer detaljerade och motiverad svar på intervjufrågorna. Intervjuerna spelades in på en diktafon samt transkriberades. Med samtycke från klassföreståndare deltog 12 elever i vår undersökning. Elevundersökningen består av sex diagnosuppgifter. Den första handlar om symbolens namn och betydelsen. De fem andra uppgifterna är utsagor som tester elevernas både dynamiska och statiska uppfattning av likhetstecknet. Uppgifterna innehåller ett till två obekanta tal. En av uppgifterna innehåller två olika räknesätt och i en av dem krävs ingen beräkning. Efter varje uppgift ska eleverna skriftligt förklara hur de tänker när de löser uppgifter. Innan vi delade ut uppgifterna till eleverna bad vi klassläraren att gissa hur många av eleverna skulle komma att svara rätt på varje fråga. På så sätt ville vi ta reda på i vilken grad lärarens förutsättningar om elevers förståelse av likhetstecknet stämmer med elevernas resultat. Inspiration för undersökning fick vi från Asquiths m.fl. (2007) tidigare studie. 21

Vi var medvetna om att tidsåtgången kunde påverka resultat av undersökningen. Därför diskuterade vi med läraren en lämplig tid för genomförande av undersökning. Undersökningen skedde i elevernas klassrum och tog ca 40 minuter. Undersökningen började med en kort presentation av oss själva, syftet med undersökningen samt elevernas samtycke för deltagandet. Vi försäkrade eleverna att deras namn och resultat kommer att hanteras konfidentiell i undersökningen. Med Asquiths m.fl. (2007) samt Lis m.fl. (2008) studier som utgångspunkt analyserade vi lärarens svar. Vi har valt att resultatet från intervjuerna och elevundersökningen under två rubriker för överskådlighetens skull. Dessa är: Elevernas uppfattningar om likhetstecknet Vilka arbetssätt använder tio grundskollärare i samband med undervisningen om likhetstecknet URVAL OCH BORTFALL I intervjuundersökning genomfördes med tio grundskollärare där nio kom från en skola och en från en annan. En av skolorna ligger i Malmö och den andra i Landskrona. Anledning till att vi valde just dessa två skolorna är att vi sedan tidigare via egna barn eller verksamhetsförlagd tid (VFT) hade viss anknytning till de utvalda skolorna, vilket gjorde det lättare att få kontakt med lärarna. Åtta av de intervjuade lärarna är kvinnor och två är män. Fyra av lärarna har förskollärarutbildning i grunden samt har vidareutbildningar. Tre av lärarna har den gamla lärarutbildningen (och har arbetet i skolan mer än 30 år) och har gått olika matematikkurser för fortbildning. De sista tre har matematik och naturvetenskap som huvudämne och har arbetat i skolan i cirka tio år. Vi anser att det är positivt att lärare har olika bakgrund när det gäller både utbildning och erfarenhet. Dessa skillnader ger oss större möjligheter att få variation i lärares kunskapssyn, arbetssätt och metoder i samband med undervisningen om likhetstecknet. Lärarnas namn i undersökningen är fingerade. Eleverna som deltog i undersökningen går i samma skola som nio av våra intervjuade lärare. Eleverna som deltog i vår undersökning var okända för oss. Vi valde en klass i 22

årskurs tre genom diskussion med arbetslagsledaren. Vi fick möjlighet att genomföra undersökningen med elever från årskurs ett, två eller tre. Vi valde elever från årskurs tre eftersom de har fått mer undervisningstid och att de kommit längre fram i sin utveckling. Alla elever är tvåspråkiga och har utländsk bakgrund. Klassen har sexton elever, fyra av dem var hemma dagen vi genomförde undersökningen. FORSKNINGSETIK Inför varje intervju informerade vi läraren att deras deltagande var frivilligt samt att deras namn kommer att hanteras anonym i undersökningen. Vi fick lärarnas tillåtelse att spela in samtalet på diktafon och försäkrade att all information kommer behandlas konfidentiellt och förstöras efter bearbetning (Johansson och Svedner 2006). Lärarnas namn som framgår i vår studie är fingerade. Elevernas deltagande i vår undersökning var frivilligt (a.a.). Skolornas och elevernas namn används inte i vår undersökning. TROVÄRDIGHET KVALITATIVA INTERVJUER Patel och Davidson (2003) menar att trovärdighet/tillförlitligheten av en studie handlar om vilken eller vilka olika instrument som används för datainsamlingen och om dessa instrument kan stå emot inflytandet av olika slag, dvs. om resultatet från undersökningen skulle bli liknande med upprepning av studien. På grund av detta valde vi att använda oss av både en kvantitativ och en kvalitativ undersökning. Antalet intervjupersoner har begränsas till tio för att vi skulle kunna ägna tillräckligt med tid till förberedelse av frågorna samt för analysen av svaren (Kvala 2009). För att skapa god kontakt med de intervjuade och på detta sätt få mer utvecklade svar från dem, 23

lyssnade vi uppmärksamt, visade intresse, förståelse och respekt för vad de sa (Kvale 2009). För att våra intervjuer skulle bli så trovärdiga som möjligt, valde vi att arbeta i par då intervjuerna genomfördes. Två personer kan upptäcka mer än vad en person gör och dessutom kan de ha olika fokus under intervjun (Stukát 2005). Svagheten som kan påverka kvalitativa intervjuns trovärdighet är att intervjuaren kan uttrycka sina förväntningar och värderingar och på sådan sätt påverka den intervjuades svar (Johansson & Svedner 2006). För att undvika den felkälla byggde vi våra intervjufrågor på tidigare forskning exempelvis: Li m.fl. 2008; Asquith 2007; Falkner m.fl. 1999; Stephens 2006. Vid dessa studier undersöktes lärarnas arbetssätt och arbetsmetoder i samband med undervisningen av likhetstecknet, vilka är relevanta med vår undersökning. Vi valde även att komplettera våra intervjuer med ett diagnostiskt prov, vilket enligt Johansson och Svedner (2006) ger allsidigare och djupare förståelse av det man undersöker. KVANTITATIV UNDERSÖKNING Trovärdighet med vår undersökning byggs på relevanta uppgifter, vilka vilar på den tidigare forskningen som Alibali m.fl.2007; Falkner m.fl. 1999; Li m.fl. 2008; McNeil 2008; McNeil& Stephens m.fl. 2007 och Stephens 2006. Givetvis skulle tillförlitligheten varit högre om undersökningen upprepats med andra elever och vi då skulle komma fram till samma resultat (Kvale 2009). Tyvärr var det inte möjligt, då detta är en begränsadstudie. 24

RESULTAT OCH ANALYS Syftet med undersökning är att ta reda på lärarens arbetsmetoder och arbetssätt i samband med undervisningen om likhetstecknet. Vi vill även undersöka hur läraren arbetar för att förstärka elevers förståelse av likhetstecknet. Syftet är även att ta reda på vilka uppfattningar elever har i årskurs 3 om likhetstecknet. Vi har delat upp redovisningen av detta kapitel i två huvudkategorier: Elevernas uppfattningar om likhetstecknet och vilka arbetssätt använder tio grundskollärare i samband med undervisningen om likhetstecknet. Under den andra kategorin kommer vi även att redogöra lärarnas åsikter kring elevers missuppfattning om symbolen. ELEVERNAS UPPFATTNINGAR OM LIKHETSTECKNET Resultat och analys av elevundersökning kommer att redovisas under två rubriker: Hur eleverna skriftligt beskriver symbolen och Elevernas tolkningar av likhetstecknet vid lösning av utsagor. HUR ELEVERNA SKRIFTLIGT BESKRIVER SYMBOLEN. Alla elever svarade att symbolens namn är lika med. På frågan om symbolens betydelse svarade nio av tolv elever det blir och tre elever svarade att den betyder summa. Ingen av elever svarade att symbolen betyder lika med eller lika mycket på både sidor av likhetstecknet. Tabell 2 Jämförelse mellan lärarens förutsägelse och elevernas svar på uppgift 1. Andel av eleverna som svarar på visst sätt. 25

Elev Lärare Dynamiskt 0,75 (9/12) 0,17 (2/12) Statiskt 0 0,83 (10/12) Annat 0,25 (3/12) 0 Av tabell 2 kan vi se att läraren har högre förväntningar på eleverna än vad elevernas resultat motiverar. Läraren förväntade sig att 83 % (10/12) av eleverna har den statiska uppfattningen av likhetstecknet, medan inget av elevernas svar tyder på det. När det gäller den dynamiska uppfattningen visar resultatet att 75 % (9/12) av eleverna har den dynamiska uppfattningen, medan läraren förväntat sig att bara 17 % (2/12) av eleverna har den dynamiska innebörden av likhetstecknet. Vårt resultat överensstämmer med Asquith m.fl.(2007) när det gäller lärarens förväntningar på sina elevers förståelse av likhetstecknets betydelse (se bilaga 2 tabell 1). Både lärare från Asquiths m.fl. (2007) studie och vår studie ar medvetna om att vissa av deras elever har fortfarande den dynamiska uppfattning av likhetstecknet, men inte i så stor grad som undersökningarna visar. Även resultat från Wernbergs undersökning (2009) har visat att lärarna var övertygade om att deras elever har likhetstecknets betydelse klart för sig, men detta stämmer inte överens med elevernas förkunskaper då eleverna behandlade likhetstecknet som ett operationstecken (Wernberg 2009). Resultatet från vår kvantitativa undersökning visar att även om en del elever svarat rätt på uppgifter som kräver den statiska förståelsen av likhetstecknet, kunde ingen av dem förklara likhetstecknets innebörd (statiskt) skriftligt. Detta kan förklaras med att eleverna har fått en instrumental förståelse som enligt Skemp (1976) betyder att eleverna har lärt sig reglerna vilka hjälper dem att lösa liknande uppgifter. Eleverna saknar en relationell förståelse vilken innebär att de förstår reglernas innebörd samt kan tillämpa dem i relevanta situationer (Skemp 1976). ELEVERNAS TOLKNINGAR AV LIKHETSTECKNET VID LÖSNING AV UTSAGOR 26

Elevernas svar presenteras i form av tabell till varje utsaga. Utsagan 8 4 5 Den uppgiften kommer vi att jämföra med Falkner m.fl. (1999) studie Tabell 3 Elevernas svarsalternativ på utsagan 8 4 5 Svarsalternativ Det blir Summa av alla tal Lika mycket på både sidor 8 + 4 = 12 + 5 (*) 8 + 4 = 12 + 5 = 17 8 + 4 = 17 + 5 8 + 4 = 18 + 5 8 + 4 = 7 + 5 (**) (*) 4 elever angav samma svar, (**) 5 elever angav samma svar. Fem av tolv elever svarade rätt på utsagan, vilket tyder på att de har den statiska uppfattningen av likhetstecknet. Detta stämmer inte överens med deras svar på frågan om symbolens betydelse, där eleverna svarade: summa eller det blir. De eleverna har utvecklat en instrumental förståelse det vill säga ett redskap för att lösa liknande uppgifter men saknar fortfarande den relationella förståelsen (Skemp 1976). Eleverna som svarade tolv på utsagan menade att svaret alltid brukar komma efter likhetstecknet. Eleverna förklarade att de tänkt så här: De som svarade 17, adderade alla tal som fanns i utsagan. Även den elev som svarade arton, tänkte på liknande sätt, fast gjorde fel vid beräkningen. 27

Tabell 4 Jämförelse mellan Falkner m.fl. (1999) och vår studie av elevernas svar på utsagan (8 + 4 = + 5) Studie Svarsalternativ Antal elever 7 12 17 12 och 17 Annat Falkner m.fl. 1999 10 60 20 5 5 100 Vår studie 5 4 1 1 1 12 Av tabellen kan vi utläsa att endast 10 % (10/100)av elever som har deltagit i Falkners studie svarat rätt på utsagan, medan i vår studie ca 42 % (5/12) av eleverna har svarat rätt. Resultatet visar att eleverna i vår studie har utvecklat mer förståelse för likhetstecknets innebörd än Falkners. Skillnaden mellan resultatet i Falkners och vår studie kan bero på fler orsaker som exempelvis antal elever, kunskapsnivå och elva års skillnaden mellan genomförda studier. Kieran (2004) menar att när elever löser uppgifter, ser de likhetstecknet som en avgränsare mellan räkneoperationen och svaret och tolkar den som signal att skriva svaret på den operationen som anges till vänster av likhetstecknet. Elever behandlar likhetstecknet som en vänster till höger riktad signal. Stephens (2006) och Li m.fl. (2008) studier har bekräftat Falkners m.fl. (1999) undersökning vilken påvisat att de flesta elever vid lösning av uppgifter som 8 4 5 gav svar 12, 17 eller 17 och 12, vilken enligt forskarna tyder på att de tolkar likhetstecknet som resultat av en operation. Resultatet från forskningen har bekräftat vår studie. Utsagan 3 4 Elevernas svar på utsagan kategoriseras efter följande rubriker: det blir, lika mycket och summan av alla tal. Tabell 5 Elevers svarsalternativ på utsagan + 3 = + 4 28

Svarsalternativ Det blir Summan av alla tal Lika på båda sidor 5 + 3= 8 + 4(*) 5 + 3 = 12 + 4 11 + 3 = 7 + 4 4 + 3 = 7 + 4 3 + 3 = 6 + 4 3 + 3 = 10 + 4 3 + 3 = 6 + 4 = 10 2 + 3 = 1 + 4 3 + 3 = 2 + 4(**) (*) 3 elever angav samma svar, (**) 2 elever angav samma svar. Det är bara fyra elever (en tredjedel) som svarat rätt på utsagan. Deras förklarningar tyder på att de har förstått den statiska innebörden av likhetstecknet. Svarsalternativ (11 + 3 = 7 + 4) har vi bedömt som rätt, eftersom elevens förklarning visar att han/hon gjorde fel vid beräkning men förstått den rätt. Två elever valde själva ett tal vilket placerade i den tomma rutan på vänster sidan av likhetstecknet. Sedan adderades alla tal som finns i utsagan och svaret skrev eleverna i en tom ruta på höger sidan av likhetstecknet. De sex elever som vi klassificerade som det blir, valde ett tal i den tomma rutan på vänster sidan av likhetstecknet, adderade de två tal på vänster sida och skrev svaret i den tomma rutan på höger sidan av likhetstecknet. Eleverna verkade inte bry sig om att det finns en operation på den högra sidan av likhetstecknet. Enligt forskarna (Alibali 1999; Mc Neil 2005; Perry, 1991; Perry, Church & Goldin- Meadow 1988) som Mc Neil (2008) hänvisar till i sin studie, är det mest förekommande problem uppstår när eleverna löser uppgifter där det finns två räkneoperationer på både sidor av likhetstecknet. Resultat av vår studie stämmer väl överens med forskningen. Uppgifter av strukturell form ( 8 2 ) har visat högsta antalet felaktiga svar. 29

Utsagan 8 Tabell 6 Elevers svarsalternativ på utsagan 8 Svarsalternativ Lika på båda sidor Hitta på ett räknesätt Inget svar 8 = 8 (*) 1 8 = 8 8 =? (**) 3 8 = 24 8 = 4 + 4 8 = 1 + 9 (*) 3 elever angav samma svar, (**) 5 elever angav samma svar Vårt resultat påvisar att de flesta elever blev förvirrade när de kom fram till utsagan. De har inte riktigt förstått vad de ska göra. Det är bara tre av tolv elever som svarade rätt på uppgiften. En av dem kunde inte ge någon förklarning, det kan möjligtvis beror på att han/hon inte har räknat utsagan själv utan fått hjälp av sin kompis. Exempel på ett rätt svar: Fyra elever har skrivit en räkneoperation efter eller före likhetstecknet. Fem av eleverna gav inget svar. Två av dem skrev först rätt svar i rutan, men suddade sedan bort det. Elevernas resultat bekräftas av tidigare forskning (Carpenter m.fl. 2003; Falkner m.fl. 1999) vilka har påvisat att uppgifter som 8 där likhetstecknet står utan någon operation uppfattas av de flesta av elever som felaktiga och därför avvisas eller skrivs om. 30

Utsagan 9 5 I studien har alla elever förutom en svarat rätt på utsagan. I förklaringen vände tio av elva elever på uppgiften så att den blir 9 5 14. Den eleven som gav inkorrekt svar skrev en räkneoperation på vänster sidan av likhetstecknet vilken gav svaret 9, vidare fortsätter han/hon addera 9 med 5 och skriver svaret 14( 5 + 4 = 9 + 5 = 14). Den eleven har räknat alla uppgifter på liknande sätt (adderat alla tal och skrivit svaret direkt efter likhetstecknet). Det resultat vi har kommit fram till i samband med uppgiften liknar det resultat från Mc Neil (2008)studie vilken påvisat att de flesta elever markerade uppgiften som fel konstruerat och bytte den till 9 5 14 eller 5 9 14. Elevens svar avviker från Mc Neils (2008) tidigare forskning, vilken inte har visat den typen av svar på uppgiften. Utsagan 8 2 Tabell 7 Elevers svarsalternativ på utsagan: 8 2 + Svarsalternativ Svaret kommer efter likhetstecknet Lika mycket på båda sidor av likhetstecknet Annat 10-8 = 2 + 8 10 8 = 2 + 0 2 8 = 2 + 8 6 8 = 2 + 2 3 8 = 2 + 3 1 8 = 2+ 5 6 = 2 8 = 2 + 6 6 8 = 2 + 6 (*) 6 8 = 2 + 4 = 6 7 8 = 2 + 1 (*) 3 elever angav samma svar Utsagan har givit det högsta antalet inkorrekta och varierande svarsalternativ. Utifrån tabellen syns det tydligt att det är bara en elev som har svaret rätt på uppgiften. De två eleverna med svarsalternativen (3 8 = 2 + 3) och (1 8 = 2+ 5) har visat förståelse i 31

sina förklaringar att (8 3 = 2 + 3) eller (8 1= 2+ 5) men verkade inte bry sig om att de skrev (3 8) och (1 8) Svar alternativet (6 8 = 2 + 6) som vi fått av tre elever analyseras utifrån deras förklaringar vilka tyder på att de uppfattar likhetstecknet som symbol vilken följs av svaret. Först räknade de (8 6) blir 2. Sedan tänkte de på vilket tal ska de addera med 2 för att det blir 8. (7 8 = 2 + 1) i detta fall tänkte eleven att (8 7) blir 1 viket han/hon skrev i den andra tomma rutan som svar. Eleven som gav svarsalternativet (6 8 = 2 + 2) tänkte på liknande sätt: 8 6 blir 2 som går in i rutan. Eleven som svarade (2 8 = 2 + 8) har endast upprepat talet som fanns på samma sida av det obekanta talet. Eleven som gav svaret (6 8 = 2 + 4 = 6) förklarade att 8 6 är 2. Sedan adderade han/hon 2 med 4 och skrev 6 som svar efter likhetstecknet. Den elev som gav svaret (6 = 2 8 = 2 + 6) tänkte att 2 + 6 är lika med 8 och 8 2 är lika med 6. Även här kan vi koppla elevernas svar på utsagan till tidigare nämnd forskning (Alibali 1999; Mc Neil 2005; Perry, 1991; Perry, Church & Goldin-Meadow 1988) som menar att det mest förekommande problem uppstår när eleverna löser uppgifter där det finns två räkneoperationer på både sidor av likhetstecknet. Resultat av vår studie stämmer väl överens med forskningen. Uppgifter av strukturell form ( 8 2 ) har visat högsta antalet felaktiga svar. Vi kommer att jämföra elevernas rätta svar med lärarens förutsägelse på diagnosen i tabell 8 Tabell 8 Jämförelse mellan lärarens förutsägelse och rätta svar från eleverna på diagnosuppgifterna. 32

Utsaga Elev Lärare 8 + 4 = + 5 5/12 8/12 + 3 = + 4 4/12 2/12 8 = 3/12 2/12 = 9 + 5 11/12 10/12 8 2 1/12 0/12 Av tabellen ser man att lärarens förutsägelse och antal rätt svar från eleverna på diagnos uppgifterna ligger ganska nära varandra. Utifrån det kan vi dra slutsatsen att läraren är medveten om elevernas uppfattningar om likhetstecknets innebörd. Den mest förekommande svårigheten bland eleverna förknippas med utsagor där det finns obekanta tal på båda sidor av likhetstecknet eller ingen operation alls exempelvis 8 2 och 8 =. Resultatet av vår studie stämmer väl överens med Mc Neil (2008) forskning. Uppgifter av strukturell form där både vänster och höger ledet bestod av två obekanta tal t.ex.( 8 2 + ) visade det högsta antalet felaktiga svar på utsagorna. LÄRARENS ARBETSSÄTT ARBETSSÄTT SOM FÖRSTÄRKER ELEVERNAS FÖRSTÅELSE AV LIKHETSTECKNET. Resultat från intervjuerna visade att de lärare som har matematik som huvudämne har fler idéer samt arbetssätt vid presentation av likhetstecknet, medan de som har förskollärarutbildning eller annat huvudämne än matematik ser läromedel som utgångs punkt i undervisningen. Konsekvensen blir att den dynamiska uppfattningen förstärks på bekostnad av den statiska. 33