Didaktiska perspektiv på matematikundervisning 2

Transkript

1 Didaktiska perspektiv på matematikundervisning 2 Den här modulen är valbar för er som får statsbidrag för Matematiklyftet. Välkommen till denna andra modul om möjligheter och utmaningar i matematikundervisningen i grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild utbildning för vuxna. Precis som i den första modulen består innehållet av didaktiska perspektiv och utvalda matematikområden från det centrala innehållet i kurs- och ämnesplanerna. Såväl struktur som innehåll är en direkt följd av den förra modulen. 1. Aritmetik och eget undervisningsmaterial 2. Hantera procedurer 3. Geometri och statistik 4. Matematiska samband och elevers dokumentation 5. Problemlösning 6. Bedömning 7. Fördjupning 8. Sammanfattning Modulen avser att ge ett vidgat underlag för att granska och problematisera den egna undervisningen och att fördjupa den kollegiala diskussionen om hur matematikundervisningen kan utvecklas. Syftet är också att täcka in fler matematikområden. Grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna Precis som i Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 vänder sig modulen till lärare som undervisar matematik i grundsärskola, gymnasiesärskola och särskild undervisning för vuxna. Som tidigare finns det också material riktat till grundsärskolans inriktning träningsskola och gymnasiesärskolans individuella program. Ansvariga för modulen Nationellt centrum för matematikutbildning Revision: 3 Datum:

2 Del 3. Geometri och statistik Denna del handlar om att förhålla sig till, förstå och beskriva omvärlden. Grundläggande rumsuppfattning är nödvändig för att kunna tillägna sig geometriska begrepp och metoder. Eftersom det i vardagen blir allt vanligare att fakta och information presenteras i tabeller och diagram ökar behovet av förståelse för statistiska uttrycksformer. Lektionsaktiviteterna handlar om geometri och statistik. Geometriinnehållet behandlar främst position och form. Statistikinnehållet har fokus på att samla, hantera, tolka och presentera information. Syftet med Del 3 är att du ska få en inblick i den komplexa utvecklingen av förståelse för och möjlighet att tolka och beskriva vår fysiska omvärld samt hur undervisningen kan skapa förståelse för hur statistiska undersökningar kan genomföras, dokumenteras och tolkas. Revision: 3 Datum:

3 Del 3: Moment A individuell förberedelse Läs Texten Att hitta i och beskriva vår spatiala värld handlar om grunderna för det vi benämner rumsuppfattning och geometri. Position och form och deras grundläggande egenskaper är nödvändiga utgångspunkter för att vi ska kunna orientera oss i vår omvärld. Texten Statistik redogör för några grundläggande sätt att samla in, hantera och beskriva data. I en kort genomgång beskrivs stapel- och cirkeldiagram, linjediagram och Venn-diagram samt de vanligaste lägesmåtten. Gör som vanligt anteckningar under läsningen. Övriga dokument i delen: Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Geometri Träningsskola och individuellt program Lektionsaktivitet: En massa information Statistik Träningsskola och individuellt program Lektionsaktivitet Del 3 4 Ögna igenom dokument som berör dig så du är förbered på det val av lektionsaktivitet som ska göras i Moment B. Material Revision: 3 Datum:

4 Material Att hitta i och beskriva vår spatiala värld B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? B. Bergius och L. Trygg Geometri Träningsskola och individuellt program B. Bergius och L. Trygg Statistik B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet: En massa information B. Bergius och L. Trygg Statistik Träningsskola och individuellt program B. Bergius och L. Trygg Lektionsaktivitet Del 3 4 B. Bergius och L. Trygg Revision: 3 Datum:

5 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Berit Bergius & Lena Trygg, NCM I vårt dagliga liv rör vi oss i miljöer som hemmet, skolan, närsamhället och den omgivande naturen; några välkända andra mer obekanta. En del av det vi kallar verklighetsuppfattning handlar om att förstå sambanden mellan såväl fasta som rörliga objekt i dessa miljöer. För att kunna känna igen, hitta och orientera oss i en komplex omvärld behöver vi kunna urskilja särdrag samt strukturera och organisera våra intryck. Vi behöver även formulera språkliga uttryck som beskriver form, läge, riktning och avstånd, och som vi alla kan tolka lika. Detta brukar beskrivas som spatial förmåga eller rumsuppfattning i matematikdidaktisk litteratur. Texten sammanfattar väsentliga delar av den omfattande forskningen kring hur vi utvecklar denna förståelse. Rumsuppfattning kan kortfattat beskrivas som relationer inom och mellan objekt samt mellan objekt och omvärld. Det handlar om att med hjälp av avstånd, riktning, höjd, djup och position kunna förstå, använda och utbyta information om objekts positioner. Spatialt tänkande handlar om att föreställa sig rummet, var man själv och annat befinner sig och de språkliga uttryck som beskriver rummet. En annan aspekt är att veta hur rumsliga idéer kan representeras liksom hur och när man ska tillämpa dessa färdigheter. Spatial orientering, eller lokalisering, innebär att uppfatta och hantera den egna positionen i relation till annat i omgivningen men också att såväl egna som andras positioner kan ändras genom förflyttningar i någon riktning. Geometri i skolan Det matematikområde som bland annat behandlar rumsuppfattning är geometri. I Matematiktermer för skolan definieras geometri som gren av matematiken som behandlar avstånd, vinklar, ytor, kroppar och former. Den nederländske matematikern Hans Freudenthal konstaterade att geometri och spatialt tänkande är viktigt för att förstå rummet, det rum som vi alla måste lära känna, utforska och erövra för att leva och röra oss i. Han ställer en fråga i Mathematics as an educational task: Är vi så vana vid detta rum att vi inte kan föreställa oss hur viktigt det är för oss och för dem vi utbildar? I Kommentarmaterial till grundsärskolans kursplaner finns följande beskrivning: Kunskapsområdet Geometri handlar om hur man kan mäta och beskriva sin omgivning. Inom geometrin arbetar man med att känna igen, mäta, tolka och beskriva omvärlden utifrån rumsliga perspektiv med hjälp av olika uttrycksformer. (s 44) Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

6 I grundsärskolans matematikkursplan finns geometri som ett centralt innehåll. Åk 1 6: Lägesord och hur de används för att beskriva placering i rummet, till exempel över, under, framför och bakom. De geometriska objekten cirkel, kvadrat, rektangel och triangel. Hur de benämns och hur de ser ut. Geometriska begrepp, till exempel längd, bredd och höjd. Mätning av längd, volym och massa samt vanliga måttenheter. Geometriska mönster. Proportionella samband, däribland begreppen dubbelt och hälften. För årskurs 7 9 tillkommer fler geometriska begrepp, till exempel hörn, sida, sträcka och vinkel. Proportionella samband utökas med enkel förminskning och förstoring. Vid mätning läggs uppskattning till och geometriska mönster utvidgas till att även innefatta hur de konstrueras. Innehållet i geometri är enligt ämnesplanen för gymnasiesärskolans matematikkurs 1: Egenskaper hos och representationer av två- och tredimensionella geometriska objekt, till exempel rektangel, cirkel och klot. Geometriska begrepp som används i vardags- och yrkeslivet, till exempel omkrets, area och volym. Därtill kommer två punkter om mätning, matematiska storheter, enheter och enhetsbyten. Kurs 2 och 3 är identiska: Geometriska begrepp som används i vardags- och yrkeslivet, egenskaper hos och representationer av geometriska objekt, till exempel ritningar, konstruktioner och koordinatsystem. Även här tillkommer mätning och enheter. I delar i kurs- och ämnesplanerna som behandlar förhållande och livsvillkor i världen ingår geografiska förhållanden, som beskrivs i t ex kartor. För att tolka och förstå kartor är matematiska begrepp, lägen och riktningar nödvändiga. Beträffande särskild utbildning för vuxna är geometriinnehållet som ska behandlas antingen detsamma som inriktningen träningsskola, grundsärskola eller gymnasiesärskola, beroende på den studerandes förkunskaper och möjlighet att tillgodogöra sig undervisningen. Ett av skolans uppdrag är att förbereda eleverna för att leva och verka i samhället, att så långt det är möjligt bli självständiga individer. För att kunna orientera sig och ta sig fram, hitta, ta till sig information i t ex bilder, avbildningar och kartor är rumsuppfattning en viktig aspekt. Denna genomgång har en betoning på utveckling av just rumsuppfattning. Mätning togs upp i Del 5 i den förra modulen. Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

7 Position Utvecklingen av spatial orientering börjar tidigt i livet. Nyfödda lokaliserar exempelvis maten genom att vrida på huvudet. Genom beröring, ögonkontakt och att barnet hör röster i rummet, utvecklar barnet sin uppfattning om var den egna kroppen börjar och slutar. När vi lyfter och bär barnet ser det omgivningen från olika håll och i olika perspektiv. Erfarenheterna förstärks när den som lyfter och bär talar med barnet om det som händer och använder lägesord och ord som beskriver riktning. När barnet börjar förflytta sig själv fördjupas bilden. Erfarenheterna leder efterhand till förståelse för språkliga uttryck för relativa avstånd och lägen. Detta leder till att ett slags inre tredimensionellt system konstrueras och utvecklas. Forskarna John O Keefe, Britt Moser och Edvard Moser, som 2014 fick Nobelpriset i medicin, har i olika studier konstaterat att när vi rör oss i rummet aktiveras vissa nervceller i hjärnan och formar ett koordinatsystem som delar in omgivningen i longitud och latitud. All information integreras till en hjärnans GPS. De tidigaste språkliga uttrycken om rumsliga förhållanden: i, på, under, upp och ner är, enligt de amerikanska forskarna Christopher Cross, Taneisha Woods och Heide Schweingruber, gemensamma i olika språk. Något senare tillägnar sig barn uttryck om närhet: bredvid (vid sidan av) och mellan och så småningom ord som hänvisar till framför och bakom. Språkliga uttryck om form, lägen, riktningar och avstånd är nödvändiga när vi ska kommunicera om rummet. Små barn använder kroppsspråk för att visa var något är eller vart de vill ta sig, upp, ner, framåt, bakåt, åt sidan Vart ska vi? undrar farmor. Albin (10 mån) visar genom att luta sig och peka åt det håll han vill komma. Budskapet är tydligt och kan inte missförstås. Maja (15 mån) drar i farmors hand och pekar. Utan att använda ord visar hon både vad hon vill och vart hon vill gå. Erfarenheter förstärks genom att omgivningen ger språkligt stöd. Den språkliga förmågan stärks när barn tolkar uttryck: upp, lite till, hitåt, bakom, högt upp, överst och efterhand också själva uttrycker och beskriver lägen, avstånd och riktningar. Behovet av att kunna orientera sig rumsligt är generellt och universellt. Språkliga uttryck för att beskriva lägen och riktningar formas utifrån den egna kulturens förutsättningar och behov. Den australiske forskaren Alan Bishop beskriver en folkgrupp som bor isolerat bland bergen och har utvecklat många olika språkliga uttryck om lutningar på bergssidor, men saknar ord som beskriver horisontella lägen. Befolkningen i en tropisk ögrupp har många olika uttryck för hur strömmar går och hur vågor bryts för att kunna navigera säkert. Vi observerar omvärlden från olika perspektiv och förståelsen för rummet utvecklas genom utforskning. I möten med nya miljöer tillägnar vi oss inledningsvis övergripande bilder av karaktär, yttre avgränsningar och kanske några kännetecken. Efterhand som vi befinner oss i miljön lägger vi märke till allt fler detaljer om vad som finns nära och längre bort, vad vi kan se och vad vi kan nå från en fast position eller när vi flyttar oss. Handlingarna ger underlag för att en inre bild av rummet, en mental karta, formas. På motsvarande sätt utforskar också små barn sin närmaste omgivning. Bishop betonar att förståelsen för rummet utvecklas genom aktiviteter i omvärlden. Aktiviteterna kodas och symboliseras på olika sätt. De leder till att språket utvecklas för att besk- Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

8 riva rörelser och lägen samt förståelse för förminskning av omvärlden, som på kartor, ritningar och fotografier. Ett objekt man ser på nära håll ser större ut än om man ser samma objekt på avstånd. Erfarenheter utvecklar förståelse för att föremålets storlek är konstant. På nära håll är bussen på gatan stor jämfört med människorna vid busshållplatsen. På långt håll ser både buss och människor mindre ut, men relationen i storlek är densamma. Alla kulturer har sina specifika sätt att representera världen. Men de hänvisar alla till samma sol, måne eller jord och alla gör det med hjälp av samma grundläggande verktyg för att samla kunskap och förståelse, dvs genom att manipulera ting med händerna, genom att se på världen genom identiska ögon, genom att flytta runt likadana kroppar på samma sätt t ex gå framåt och bakåt, vända sig i ett horisontellt plan, och så vidare. (Mathematics enculturation, s 29, vår översättning) Redan ettåringar har lärt sig att upptäcka vad någon annan tittar eller pekar på. De följer en osynlig linje mellan ögat eller fingret på någon annan och aktuellt föremål. Erfarenheter leder också till insikt om att det som döljs av en dörr, ett lock, en filt, ett avstånd faktiskt finns fast det för tillfället inte är synligt. De lär sig att något kan hindra det som är bakom att synas, till exempel genom tittut-lekar. Genom upprepade erfarenheter utvecklas inre föreställningar. Dessa inre bilder är viktiga för att kunna söka efter sådant som inte finns framför ögonen, t ex de rena strumporna i byrålådan eller glasen i skåpet. Lekar som Kurragömma och Gömma nyckeln bygger på och utvecklar sådan förståelse. Lägesord Frågan var? är central för att lokalisera någon eller något. Svaren här eller där räcker inte. Snälla Malte, hämta min matlåda i kylskåpet. Här finns många lådor. Vilken är din? Den står på översta hyllan. Där står fyra lådor Oj då Den är grön. Tre är gröna Det man söker måste ses i relation till andra saker i omgivningen, bland annat med hjälp av lägesord: i, på, över, under, först, sist, före, efter, upp, ner, ovanpå, överst, underst, i början, i slutet, i mitten, mitt på, framför, bakom, bredvid, mellan, högst upp, längst ner, nära, närmast, utanför, innanför, ovanför, nedanför, uppåt, neråt, fram, bak, framåt, bakåt, till, från, vänster, höger För att dessa ska bli och förbli aktiva i elevers ordförråd måste de ständigt aktualiseras i undervisningen. Skillnader mellan innebörder i närbesläktade lägen som ovanför ovanpå eller under nedanför behöver diskuteras och exemplifieras. För att lokalisera objekt i rummet räcker det inte alltid med lägesord. Informationen kan behöva kompletteras med beskrivningar av form, storlek och färg. Verkligheten avbildas Rummet kan representeras av mer eller mindre naturtrogna bilder och modeller men även av schematiska kartor. Föremål kan representeras av ritade avbildningar eller symboler me- Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

9 dan överst i tredje lådan i hurtsen till höger om dörren är en position som uttrycks språkligt. Att överföra sådana representationer och språkliga uttryck till en kartbild eller ett koordinatsystem är en komplex process. När elever ritar en karta över sitt klassrum blir resultatet ofta en kombination av olika perspektiv. Golvet ses ovanifrån, dvs i fågelperspektiv, medan föremål ses ritade helt eller delvis från sidan. Möblers position är ofta godtycklig utmed väggar och mitt på golvet. Sådana erfarenheter bekräftar den komplexa processen. För att hela bilden ska ses ur samma perspektiv, t ex ovanifrån som på kartor, är det nödvändigt att eleverna får observera, diskutera och dokumentera hur olika föremål ser ut i fågelperspektiv, grodperspektiv och från olika håll i sidled. För att placeringen ska stämma med originalet krävs mätningar. Om föremålen i rummet ska behålla sin relativa storlek krävs ytterligare mätningar och förståelse för förminskning och skala. I kartor och koordinatsystem representeras objektens positioner av punkter. För att lokalisera en punkt i den tvådimensionella kartbilden måste angivna markeringar på båda axlarna sökas upp. För att finna skärningspunkten rör man sig vinkelrätt inåt i kartbilden. Skärningspunkten utgörs ofta av en ruta, inom vilken man kan hitta den sökta orten, floden eller berget. I matematiska koordinatsystem som används i ritningar över exempelvis byggnader, avloppsnät och elnät har axlarna metriska skalor. Eftersom relationerna mellan punkterna är lika kan systemet användas för att representera viktiga geometriska egenskaper och möjliggöra resonemang om avstånd mellan punkterna. För att hantera detta måste man kunna analysera avstånd mellan punkter och hur avstånden kan bestämmas med hjälp av koordinater. I matematiska koordinatsystem ska två vinkelräta och oberoende axlar hanteras. Den amerikanska forskaren Julie Sarama visar i en studie att när elever inledningsvis arbetar med koordinatsystem är de osäkra på vilken som är x- respektive y-axel. De tar inte heller vara på axlarnas metriska markeringar. För att finna punkten (8, 9) räknar många åtta linjer åt sidan och nio uppåt. Koordinaterna betraktas som rörelsesteg. Om axlarna då enbart är markerade i multiplar av tio blir uppgiften svår att hantera. Ett annat vanligt misstag är att när första koordinaten är noll, t ex (0, 7), blandar eleverna ihop x- och y-koordinater och rör sig först horisontellt. Studien visar också att elever inte inser att koordinater utgår från en särskild punkt, origo (0, 0). Jean Piaget, utvecklingspsykolog och pedagog, observerade olika nivåer av förståelse hos elever som skulle markera en punkt på ett papper, på samma ställe som på en förlaga. Aktuell forskning bekräftar processen. 1. Eleverna uppskattade punktens placering visuellt. De som använde mätverktyg gjorde det på ett felaktigt sätt. 2. Eleverna gjorde en mätning, t ex hur långt in från en sida på papperet som punkten fanns. 3. Eleverna insåg att de behövde två mätningar. De tog utgångspunkt i ett hörn och försökte visuellt bevara linjens lutning. Några gjorde två mätningar. Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

10 4. Eleverna mätte uppifrån och nerifrån. Mätningarna var inte planerade utan kom till genom trial and error. 5. Eleverna insåg att båda dimensionerna måste beaktas och att mätningarna måste vara vinkelräta mot varandra. De konstruerade ett matematiskt koordinatsystem. Form Precis som när vi möter nya miljöer är det helheten som dominerar när vi inledningsvis tittar på ett objekt. Forskning visar att för att upptäcka objektets olika egenskaper behöver elever strukturerade handledda erfarenheter där allt fler detaljer uppmärksammas och uttrycks. Genom sådana erfarenheter utvecklar elever en intuitiv känsla för olika geometriska egenskaper och samband, eller som forskarna Taro Fujita och Keith Jones uttrycker det, det geometriska ögat utvecklas. Den brittiske matematikdidaktikern Peter Bryant menar att barn redan i mycket tidig ålder på många sätt är experter på former. De kan skilja mellan och komma ihåg abstrakta geometriska former som kvadrater, trianglar och cirklar. Under skoltiden genomgår kunnandet om former en serie radikala förändringar. Först utvecklas förmågan att skilja mellan och klassificera former genom sinnesintryck. Så småningom kan de också analysera och kommunicera formernas egenskaper. Undervisningen ska redan från början använda korrekta matematiska ord och uttryck och se till att förankra förståelsen i elevernas språk. Det är väl känt att det är lättare att lära sig korrekta uttryck från början än att lära om. Barns spontana uttryck för en rektangel är ofta fyrkant, som i någon mening beskriver en egenskap hos formen. Genom undervisningen ska eleven utveckla både språk och förståelse för bland annat olika slags fyrkanter. Enligt den rumänske forskaren Efraim Fischbein har geometribegrepp, till skillnad från andra begrepp, figurala egenskaper (figural concepts). Inre föreställningar kan inte frigöras från intryck som sinnena ger om figurers form. Utvecklingen av geometribegrepp sker successivt genom konkreta erfarenheter där flera sinnen involveras och undervisningen uppmärksammar eleven på allt fler detaljer. Tidigare förståelse utmanas och omprövas. Efterhand smälter inre föreställningar, avbildningar och definitioner samman till en helhet. Teori om geometrilärande van Hiele-nivåer Aktuell forskning kring geometrilärande relaterar ofta till den teori som togs fram av det nederländska forskarparet van Hiele på 1980-talet. Teorin beskriver hur lärandet sker i nivåer, med ökande abstrakt tänkande och där varje individ genomgår nivåerna i tur och ordning. Senare forskning har enligt den amerikanske matematikdidaktikern Michael Battista kompletterat denna teori och visat att nivåerna inte behöver vara strikt åtskilda, att elever kan arbeta på en nivå i ett sammanhang och på en annan i ett annat, och att det finns mellanliggande steg som också passeras. Van Hieles teori kan ändå fungera som ett stöd för planering av geometriundervisningen. Nivå 1. Igenkänning, visualisering. Eleven lär sig vissa termer och känner igen en geometrisk form som en helhet, men ser inte till dess delar. Eleven kan känna Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

11 igen en bild av en rektangel men är i allmänhet inte medveten om dess egenskaper, t ex att den har parallella sidor. Eleven liknar gärna former vid konkreta objekt, som att rektangeln ser ut som en dörr eller en fönsterruta. Nivå 2. Analys. Eleven kan analysera egenskaper hos figurer genom att exempelvis vika papper, mäta, rita på rutat papper eller använda ett geobräde. Eleven kan inse att motstående sidor hos en rektangel är parallella och lika långa men kan ännu inte se sambandet mellan rektanglar och rätvinkliga trianglar eller se kvadraten som en rektangel eller romb. Nivå 3. Abstraktion. Eleven kan ordna figurer logiskt och t ex inse att alla kvadrater är rektanglar men att alla rektanglar inte är kvadrater, förstå inbördes samband mellan figurer och inse vikten av korrekta definitioner. Eleven kan ännu inte härleda varför exempelvis diagonalerna i en rektangel är kongruenta (likformiga) eller dra logiska slutsatser av samband mellan egenskaper. Nivå 4. Deduktion. Eleven kan dra slutsatser utifrån geometriska påståenden och t ex bevisa vinkelsumman i trianglar eller att diagonalerna i en parallellogram skär varandra i två lika delar. Tänkandet är i allmänhet inte så precist att eleven förstår nödvändigheten av att utgå från allmänt erkända grundförutsättningar inom matematiken, så kallade axiom. Nivå 5. Stringens. Eleven förstår vikten av precision när man arbetar med geometrins grunder och kan utveckla ett resonemang utan att använda konkreta föremål. Eleven kan också analysera och jämföra euklidisk och icke-euklidisk geometri, t ex jämföra en triangel i planet med en triangel på en sfär. Kunnandet vidgas och fördjupas för varje nivå. Genom nivåerna utvecklas elevens förmåga att uttrycka sig allt mer matematiskt korrekt och van Hiele menar också att för att utvecklas och nå nästa nivå behöver elever stimulans. I lärandet samverkar biologisk mognad, kontakt och interaktion med omgivningen samt vägledda, utforskande inlärningsprocesser. Förutsättningen för en fördjupad förståelse är att undervisningen utgår från sammanhang som är välbekanta för eleven och har en tydlig kontinuitet och progression. För att hjälpa eleven att nå nästa nivå av tänkande menar van Hiele att undervisningen kan struktureras i olika faser: 1. Observation/information. Lärare och elever samtalar om området som ska undersökas. Eleverna observerar föremål och figurer och både lärare och elever ställer frågor. Läraren hjälper elever att utveckla relevant ordförråd för den aktuella nivån. 2. Vägledd undersökning. Genom en noggrant strukturerad följd av aktiviteter, blir eleverna bekanta med det som är karakteristiskt för den nivå de arbetar på. 3. Förklaring. Eleverna bygger på tidigare erfarenheter och berättar om sina upptäckter. System av sammanhang börjar bli tydliga. Läraren hjälper också i denna fas eleverna att utveckla ett ändamålsenligt och korrekt språk. Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

12 4. Fri undersökning. Eleverna får mer komplicerade uppgifter och flerstegsuppgifter som kan lösas på flera sätt, men också uppgifter som de inte kan lösa fullständigt. 5. Sammanfattning. Lärare och elever ser tillsammans tillbaka och sammanfattar det de arbetat med för att få överblick över begrepp och se sammanhang. Läraren sätter in den nya kunskapen i ett vidare sammanhang, men presenterar inte något nytt innehåll. Ett konkret sätt att sammanfatta undervisningen som i punkt 5 är att använda en mindmap. En sådan beskrivs och exemplifieras i Elevers dokumentation i Del 4, denna modul. Två och tre dimensioner Vi omges alltid av former i två och tre dimensioner. Små barn skiljer i första hand mellan former som avgränsas av räta eller krökta linjer och men de skiljer inte mellan olika former inom respektive grupp. Forskning visar att det är lättare att upptäcka skillnader än likheter och därför måste elever uppmärksammas på likheter och skillnader och hur dessa kan uttryckas språkligt. Matematikdidaktikern Douglas Clements talar om vikten av att urskilja och särskilja. Ett konkret förslag för undervisningen är att eleverna sorterar en mängd former, både konkreta och bilder, i kategorierna tillhör eller tillhör inte, och att de motiverar sina val. I motiveringen får läraren tillgång till hur eleven uppfattar likheter och skillnader, och hur de definierar och beskriver formers egenskaper. Konkreta förslag på hur elever kan dokumentera likheter och skillnader respektive vad som tillhör eller inte tillhör finns också i Elevers dokumentation. I illustrationer och digitala medier representeras verklighetens tredimensionella kroppar av tvådimensionella bilder. Kopplingen mellan dessa verkar vara oproblematisk för små barn. På frågan om var bollen/muggen/bananen är pekar Molly (14 mån) helt rätt i sin pekbok eller på surfplattan. För att utveckla förmågan att urskilja former i olika sammanhang kan det vara bra att fokusera på en form och gå på formjakt. Eleverna i en klass hittade först cirkelformade tallrikar, speglar, knappar, brunnslock och lampor, sedan rektangulära dörrar, fönster, bord, handdukar, dukar, mattor och tavelramar. Hur känner vi igen en cirkel? Den är alldeles, alldeles rund. Inga bucklor någonstans, förklarar ett barn i förskolan. En formell definition är kurva i planet som består av alla punkter som har ett givet avstånd (radien) till en fix punkt (medelpunkten). Cirkelformen ser alltid likadan ut oavsett position. Med tillräckliga erfarenheter uppfattar våra sinnen det, även när vi ser den i ett perspektiv snett ovanifrån. Hur är det med andra grundläggande former som kvadrat, rektangel, triangel? Vilka likheter och skillnader finns? Hur kan de beskrivas? Vilka egenskaper fokuserar eleverna på? Hur uttrycker de sig? Undervisningen måste ge erfarenheter av att se de geometriska formerna i olika positioner. Läroböcker presenterar ofta tvådimensionella former i samma position för eleverna och det är lätt hänt att läraren ritar eller visar former på samma sätt gång efter gång. När eleverna sedan möter formerna i andra situationer och andra lägen är det inte säkert att de känner igen formerna. Laborativa matematikmaterial Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

13 har fördelen att de inte har en fast placering utan enkelt kan vridas och vändas. Bara det att en elev ser en kamrats material från andra sidan bordet kan öppna upp för förståelsen för att en form är densamma hur den än orienteras. De olika geometriska grundformerna måste också varieras på fler sätt än bara hur de orienteras. Vikten av att elever tidigt får möta exempelvis olika typer av trianglar och inte enbart liksidiga kan inte nog understrykas. Dela upp och sätta samman Enligt van Hiele är en av de största förändringarna i elevers analys av former att de blir medvetna om att alla former, särskilt de komplexa, kan delas in i mindre former. Det är en förståelse som är väsentlig för att förstå areabegreppet. Insikten att en rektangel kan sättas samman av två identiska trianglar är viktig för att skapa förståelse för hur trianglars area kan beräknas. Vilka nya former kan bildas när en kvadrat delas längs mittlinjen eller diagonalen? Hur förhåller sig arean i de olika formerna till varandra? Varför? Strävornaaktiviteten Geometriskt bokmärke 3C beskriver hur ett konkret arbete med omkrets och area kan resultera i ett fint bokmärke. Idén med att tillverka ett bokmärke kan användas även när syftet är att eleven ska få erfarenhet av att dela kvadrater och rektanglar till trianglar. Att kunna föreställa sig och att beskriva effekterna av att sätta samman och dela upp geometriska former är viktigt. För att utveckla denna förmåga till inre föreställningar är undersökande aktiviteter en förutsättning. Förmågan att förutse och visualisera förändringar utvecklas efterhand och till en början kan elever enbart visualisera och operera med formers helhet. Efterhand hanterar de allt fler detaljer. Clements och Sarama identifierade fyra nivåer av förståelse: Pre-composer, eleven hanterar varje form för sig men kan inte pussla ihop till andra former eller till en likadan större form. I uppgifter som gör en figur, placeras ofta formerna en bit från varandra. Eleven klarar att lägga vanliga pussel om bitarna inte behöver vridas. Piece-assembler, eleven bildar figurer genom att lägga former intill varandra. I fria uppgifter är det vanligt att varje form utgör en specifik del av bilden, t ex ett ben. Eleven klarar att täcka enkla former med markerad kontur. Förmågan att vrida och vända är begränsad. Picture-maker, när elever fritt får sätta samman former för att skapa bilder, prövar de sig fram för att hitta lämpliga bitar, men kan inte förutse vilka bitar de ska välja. Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

14 Shape-composer, eleven kombinerar olika former för att skapa nya figurer med stigande avsikt och förutseende. Väljer former både utifrån vinklar och sidlängd. Slutligen överväger eleven olika alternativa lösningar. (De engelska rubrikerna används eftersom det inte finns vedertagna svenska benämningar.) Studiens resultat ger starkt stöd åt giltigheten för nivåerna. Från att sakna förmågan att sätta samman former utvecklar eleverna den gradvis. De gör det genom att ta vara på kännetecken och egenskaper, de skapar bilder med formerna och slutligen uppfattar de sammansättningar av former som helheter och nya former. Arbete med förstoring och förminskning kan ge intressant information om elevers geometriska förståelse. Vad menar vi när vi säger att en figur är dubbelt så stor som en annan? Är det sidornas längd som har dubblats eller är det arean eller volymen? Erfarenheter från såväl klassrum som forskning säger att elever tolkar det på olika sätt, några uppfattar en längdskala och andra en area- eller volymskala. Konsekvenserna blir tydliga när resultaten jämförs. För att säkerställa att alla elever tolkar uppgiften att göra en figur dubbelt eller hälften så stor på samma sätt måste förutsättningarna diskuteras. Det är nödvändigt att fastställa vilken skala som avses. Strävornaaktiviteten X-kuber kan användas av läraren för att ta fram material som kan åskådliggöra förhållandet mellan längd-, area- och volymskala. Vik och sätt samman en kub av A4-papper och minst två, men gärna fyra eller helst åtta kuber av papper i storleken A6 (ett kvarts A4-papper). Med dessa går det att åskådligt visa att om kantlängden på den stora kuben halveras får två av de mindre kubernas kanter plats längs kanten på den stora kuben, längdskala 1:2. Areaskalan förhåller sig som 1:4 då det går att ställa fyra små kuber på den stora. Volymskalan kan visas genom att åtta små kuber formade till en stor har samma storlek som den stora kuben, alltså 1:8. Clements och Sarama har identifierat ett antal kritiska punkter i lärandet om geometriska former och utifrån dessa formulerat en inlärningsgång för grundläggande förståelse i geometri. 1. Känna igen grundläggande former som kvadrater, rektanglar, trianglar och romber. I detta skede är det likheter som är i fokus. Exempel: Peka på en likadan. Måla alla trianglar. 2. Sätta ihop och dela upp former. 3. Kongruens. Identifiera par av former med samma form och storlek. 4. Konstruera former. Sätta samman former, t ex konstruera en triangel med hjälp av sugrör. 5. Vridning. Känna igen en vridning, t ex en form som har vridits Mätning. Längd, vilket av dessa snören är lika långt som fyra kuber? 7. Mönster. Kopiera och fortsätta, ett ABAB -mönster med former. Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

15 Forskarna framhöll att en viktig del i arbetet, förutom strukturerade aktiviteter, var samtal och diskussioner i klasserna. Vår omvärld domineras av tredimensionella kroppar. Hus kan se ut att vara sammansatta av ett eller flera rätblock, med olika höjder, bredder och djup. Ibland består hela eller delar av hus av cylindrar, prismor, pyramider eller koner i olika storlekar. I lek- och idrottssammanhang finner vi puckar (cylindrar), bollar i olika storlekar (klot) och rugbybollen som är en ellipsoid. I olika sammanhang används koner som avgränsning och markering. Föremål i våra hem som dricksglas, grytor, burkar, förpackningar, böcker och möbler kan ofta beskrivas som tredimensionella kroppar. När vi tittar närmare på många föremål ser vi att sidoytorna är cirklar, trianglar, rektanglar eller andra månghörningar. En traditionell fotboll är sammansatt av (svarta) liksidiga femhörningar och (vita) sexhörningar. Liksidiga trianglar eller femhörningar som sätts samman i tre dimensioner bildar de klotliknande formerna ikosaeder (20 liksidiga trianglar) och dodekaeder (12 liksidiga femhörningar). Sambanden mellan tvådimensionella former och tredimensionella objekt är många. En lärare ställde frågorna: Vilken form får du när många likadana cirklar (trianglar, rektanglar) läggs ovanpå varandra? Det blir en hög cirkel, menade Milan. Han och kamraterna hade ännu inte benämningarna cylinder, prisma och rätblock klara för sig. Eleverna kan upptäcka samband genom att undersöka utbredningar av tredimensionella kroppar. Klipp t ex upp hörnen på en skokartong och vik ut sidorna. Det syns hur sidoytorna är fästa vid bottenytan och vilka de enskilda formerna är. Erfarenheter som hjälper till att utveckla förståelsen för samband och för att själv kunna konstruera geometriska kroppar. Utbredningen på en cylinder är en rektangel, om cylindern är delad vertikalt. Vilken form har utbredningen om cylindern är en tom toarulle som istället skurits upp i den synliga skarven? Elever som undersökte vilken tredimensionell form som bildas av en del av en cirkel, upptäckte sambandet mellan cirkeln och konen. De upptäckte också att radiens längd och hur stor del av cirkeln som används avgör konens höjd och bottenarea. Några exempel från en utvärdering där elever skulle konstruera tredimensionella kroppar med bestämda mått. (Kropparna blev sedan utgångspunkt för en ny uppgift.) Rätblock, med måtten längd 15 cm, bredd 4 cm och höjd 7 cm: Först gjorde jag en 15 4 cm rektangel och utgick från den. Bredvid den gjorde jag sedan en annan rektangel 15 7 cm för att det skulle bli höjden. Sedan fortsatte jag att bygga på en rektangels utbredning. Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

16 Kon, basens omkrets 14 cm: Jag gjorde en halvcirkel med diametern 10 cm. Då är omkretsen på hela cirkeln ungefär 30 cm och halva cirkeln 15 cm. Man skulle ha 14 cm, då har jag en cm att klistra på. Prisma, för att få syn på utbredningen tog en elev hjälp av polydronbitar: Genom många och varierade erfarenheter hade dessa elever utvecklat förståelse för rumsliga begrepp och kunde använda dem för att lösa spatiala problem. För den som vill läsa mer finns det i boken Hur många prickar har en gepard? en mer omfattande text. Litteratur och referenser Battista, M. T. (2007). The development of geometric and spatial thinking. I F. Lester, (red). Second handbook of research on mathematics teaching and learning. Charlotte: Information Age Pub. Bergius, B. & Emanuelsson, L. (2008). Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. NCM, Göteborgs universitet. Bishop, A. (1997). Mathematical enculturation. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers. Bryant, P. (2008). Understanding space and its representation in mathematics. I T. Nunes, P. Bryant & A. Watson. Key understandings in mathematics. Nuffield Foundation. Clements, D. H. (1999). Geometric and spatial thinking in young children. I J. V. Copley (red). Mathematics in the early years. Reston, Va.: National Council of Teachers of Mathematics. Clements, D.H. & Sarama, J. (2007). Effects of a preschool mathematics curriculum: summative research on the Building Blocks Project. Journal for research in mathematics education. Cross, C. T., Woods, T. A. & Schweingruber, H. (red). Mathematics learning in early childhood. Paths towards excellence and equity. Washington, D.C.: The National Academies Press. Fischbein, E. (1993). The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics 24, s Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Dortrecht: Reidel. Hedrén, R. (1992). van Hiele-nivåer och deras betydelse för geometriundervisningen. I G. Emanuelsson, B. Johansson & R. Ryding. Geometri och statistik. Lund: Studentlitteratur. Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

17 Kieselman, C. & Mouwitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM, Göteborgs universitet. Piaget, J., Inhelder, B. & Szeminska. A. (1960) The child s conception of geometry, London: Routledge. Sarama, J., Clements, D. H., Swaminathan, S., McMillen, S. & González Gómez, R. M. (2003) Development of mathematical concepts of two-dimensional space in grid environments: An exploratory study. Cognition and Instruction, 21 (3), van Hiele, P. M. (1986). Thought and Insight. Orlando, FL: Academic Press Länk Strävorna, NCM, Göteborgs universitet ncm.gu.se/stravorna Att hitta i och beskriva vår spatiala värld Juli (13)

18 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Lektionsaktiviteten består av ett antal mindre aktiviteter vilka sammantaget syftar till att vidga och fördjupa elevernas rumsuppfattning, och hur den kan uttryckas språkligt och med symboler. Material Det finns många laborativa matematikmaterial som är avsedda för geometriundervisning. Några exempel är pedagogiska material som tangram, geobräden och logiska block liksom kopieringsunderlag i form av koordinatsystem, rutark och prickpapper. Beskrivning inklusive variation och progression Strukturen i hela lektionsaktiviteten bygger på position och form samt en kombination av dem. Som i övriga lektionsaktiviteter är det möjligt att både starta och sluta på olika nivåer, men eleverna bör ges möjlighet att arbeta med både position och form. Här behandlas i huvudsak former i två dimensioner. I lektionsaktiviteten En massa information finns förslag även med tre dimensioner. Position För att kunna orientera sig själv och annat i omvärlden är det nödvändigt att kunna relatera till lägen och riktningar. Frågor om var och vart är uttalade eller underförstådda i det dagliga livet. Som ett led i att utveckla elevers självständighet ska undervisningen ge beredskap att möta och hantera frågor om position. Arbeta med hela gruppen och rikta uppmaningar till eleverna: vänd ryggen åt dörren, vänd ansiktet åt Zerah, lägg höger hand på vänster knä, lägg pennan under stolen, boken på stolen Fortsätt tillsammans, men rikta uppmaningarna till enskilda elever: sätt dig mellan Jasmine och bänken, sätt dig till vänster om Mario. Var sitter Pelle i förhållande till dig? Till mig? Lena? Arman? Låt en elev vara ledare och rikta uppmaningar till sina kamrater. Sitt i ring runt en elev. Låt eleven mitt i ringen berätta, från sin position, var några av kamraterna befinner sig. Placera ett objekt med tydlig fram- och baksida (en docka, ett djur, en bil, en bok) mitt i ringen. Var sitter Johan, Kari, Lisa, i förhållande till dockan? Använd begrepp som bakom och framför, vänster och höger. Sätt ett papper med stora rutor på tavlan. Diskutera hur många rutor det finns i varje rad och antal rader räknat nerifrån. Placera en bild av ett föremål i en Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Juli (5)

19 Form ruta. Beskriv positionen: stjärnan är i tredje rutan på första raden (nerifrån). Sätt upp fler bilder och låt eleverna beskriva positionerna. Lägg senare till ordet kolumn. Diskutera likheter och skillnader mellan rad och kolumn. Ge raderna sifferbeteckningar och kolumnerna bokstavsbeteckningar: stjärnan är i A3. Detta är ett pararbete. Använd fyra rutpapper, två per elev, som spelplaner, t ex tio gånger tio rutor, där raderna är märkta med siffror och kolumnerna med bokstäver. Båda eleverna placerar fyra bilder (t ex stjärna, bil, hus, penna) i valfria rutor på sitt ena papper, utan att visa kamraten. Sätt upp en skärm av något slag mellan eleverna. Eleverna turas sedan om att leta efter var kamratens bilder finns, genom att uttrycka positioner. Jag gissar att det finns något på D7. Antingen är rutan tom, då svarar kamraten bom eller så är det en träff och kamraten berättar vad som har träffats. Eleven som frågar markerar bommar och träffar på sitt tomma rutpapper. Gå vidare med att eleverna skriver in sitt namn i rutorna, en ruta för varje bokstav, istället för bilder. Inled med att de skriver namnet vågrätt men när de blir vana kan de också skriva lodrätt eller diagonalt. (Ta upp orden vågrät, lodrät, diagonal.) Det blir en utmaning för kamraten att utifrån en träff lokalisera var resten av bokstäverna i namnet finns och att planera strategiskt för att undvika bommar. När vi ser oss omkring är form en framträdande egenskap. För att kunna tolka och beskriva omvärlden behövs begrepp och språkliga uttryck om form, med gemensam och liktydig tolkning. Elever behöver erfarenheter som utvecklar deras uppmärksamhet på och möjlighet att benämna och beskriva form, på ett efterhand allt mer detaljerat sätt. Vad är lika och vad skiljer? Hur vet vi det? Lägg en samling logiska block framför eleverna. Håll upp ett block. Hitta en likadan. Uppmärksamma om formen är lika, men där storlek, tjocklek eller färg är olika. Diskutera innebörden i likadan. Upprepa med fler block. Låt eleverna beskriva blockets egenskaper, färg, tjocklek och storlek (area). Kan alla enas om att för att vara likadan, måste alla egenskaper vara lika? Uppmuntra eleverna att vara uppmärksamma på alla egenskaper när aktiviteten fortsätter. Vid ett annat tillfälle kan uppgiften bli att leta reda på ett block där en egenskap skiljer sig från förebilden. Eleverna berättar kort om blocket de valt och vilken egenskap som skiljer sig från förebilden. Genom aktiviteterna riktas elevernas uppmärksamhet på likheter och skillnader mellan olika former men också mellan block med samma form som skiljer sig åt i färg, tjocklek och area. Gemensamma samtal stärker förmågan att uttrycka olika egenskaper. Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Juli (5)

20 Vilket block tänker jag på? Lägg en uppsättning av logiska block framför eleverna. Ge ledtrådar, som efterhand avgränsar tänkbara block. Det är litet (hälften av blocken kvar). Det är tunt (halverar återstoden). Det är blått (en tredjedel av blocken är kvar). Det är en kvadrat (ger avgörande information). Lägg en geometrisk form, t ex ett logiskt block, i en tygpåse. Låt en elev stoppa ner handen, känna efter och ge ledtrådar. Låt sedan kamraterna ställa kompletterade frågor om egenskaper. Upprepa många gånger och försök vässa frågorna så det behövs allt färre ledtrådar och frågor för att ringa in en form. Vilken form gömmer sig? Lägg en geometrisk form under ett papper så att bara en liten del av den syns. Dra sakta fram den medan eleverna beskriver vilka former det skulle kunna vara och vilka det inte kan vara. Ställ frågor som Kan det vara en? Varför? Varför inte? Låt eleverna motivera genom att ange egenskaper som styrker eller bestrider förslagen. Se även sidorna 4 5 det norska häftet Skap formen. Lag reglene. Se hva som skjer! som kan laddas ner från Skiss till en serie aktiviteter med geobräde. Dokumentera på prickpapper, se ncm.gu.se/matematikpapper. o o o o o Gör olika stora kvadrater och rektanglar på brädet. Jämför sidlängder och vinklar. Gör rektanglar med bestämd omkrets eller area. Gör olika trianglar. Gör olika rätvinkliga trianglar. Fler aktiviteter med geobräde finns på ncm.gu.se/media/stravorna/2/c/2c_iopersson.pdf Skiss till en serie aktiviteter med tangram. Tangram att klippa ut ur papper, se ncm.gu.se/matematikpapper. o o o o o Varje elev pusslar alla delar till en valfri bild och berättar om den. Dokumentera på lämpligt sätt. Använd dokumentationerna som förlaga för att lägga en likadan bild eller låt en kamrat beskriva den muntligt så att någon kan lägga en likadan. Studera och ange tillsammans tangramdelarnas form och egenskaper. Vad är lika? Vad skiljer? Undersök vilka bitar som kan sättas samman till en lika stor kvadrat, triangel eller parallellogram som en av pusselbitarna. Jämför bitarnas storlek. Vilka är lika stora (har samma area)? Vilka har samma omkrets? Hur går det att ta reda på? Sätt samman alla delar till en kvadrat, en rektangel, en triangel eller en parallellogram. Dokumentera. Jämför area och omkrets. Hur stor del av helheten är varje del? Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Juli (5)

21 o o o Undersök med tangram 2C6C är en Strävornaaktivitet som handlar om konstruktion av geometriska objekt, att sätta samman och dela upp månghörningar. Det är insidan som räknas 2C är en Strävornaaktivitet som handlar om vinklar i ett tangram. Korta aktiviteter: Tangram, se ncm.gu.se/media/mvboken/korta_aktiviteter/katangram2.pdf. Aktiviteten handlar om area uttryckt i bråkform. Form och position I vardagen måste vi hantera sinnesintryck av, uppgifter om och kunna uttrycka sådant som handlar om både form och position, t ex på det ovala bordet i rummet står Elever behöver erfarenheter av att samtidigt uttrycka båda aspekterna. Följande förslag ger stöd i det arbetet. Kopiera min bild. Sätt samman logiska block (starta med två och utöka sedan) till ett enkelt motiv. Placera blocken så att de vidrör varandra. Låt eleverna göra en likadan bild med block och beskriva den med hjälp av form, färg, storlek och position. Bygg en egen bild. Låt eleverna använda ett bestämt antal logiska block, t ex sju. Blocken placeras tätt ihop och vidrör varandra. Observera hur eleverna hanterar antalet och förutsättningarna med placeringen. Dokumentera lösningarna i bild och text. Använd senare dokumentationerna som förlagor i pararbete där eleverna sitter rygg mot rygg. En elev beskriver bildens former, färger, storlekar och positioner. Kamraten lägger blocken utifrån beskrivningen. Jämför original och kopia. Vad är lika? Varför är de lika? Vad skiljer? Varför? Belys språkets roll genom att låta eleverna beskriva vad som var lätt eller svårt att uttrycka eller tolka. Placera eleverna runt ett bord. Bygg ett enkelt motiv av några logiska block framför eleverna. Låt eleverna rita av det så som de ser motivet från sin plats. Sätt upp bilderna på väggen och resonera om varför bilderna ser olika ut. Placera en elev på varje sida om ett bord och lägg fram några geometriska former. Hur ser den stora triangeln ut från elevernas olika håll? Rektangeln? Kvadraten? Låt eleverna sätta upp en likadan triangel på väggen i den position som de själva ser den på bordet. Diskutera och jämför. Varför ser det olika ut? Vilka former ser lika ut från alla håll? Varför ser inte alla former lika ut från alla håll? Uppmärksamma vilka begrepp eleverna använder för att uttrycka sina iakttagelser. Finns det begrepp och uttryck som de saknar eller är osäkra på och som behöver tas upp i undervisningen? Använd A3-papper med stora rutor som spelplan. Markera en tydlig mittlinje, så det blir en halva till varje elev, och placera en elev vid varje kortsida av papperet. Eleverna turas om att lägga en geometrisk form, t ex logiska block, Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Juli (5)

22 på sin sida av papperet. I varje drag ska kamraten lägga ett likadant block på motsvarande plats på sin sida av pappret. Eleverna tolkar form, formens läge, färg, storlek och positionen på papperet. När aktiviteten är slut kan spegelsymmetrin eventuellt diskuteras. (Papper med olika stora rutor finns på ncm.gu.se/matematikpapper. Kopiera A4 till A3.) Placera geometriska former på tavlan, t ex som på fotot. Låt eleverna föreställa sig och beskriva hur det ser ut när o o o o o rektangeln vrids ett halvt varv kvadraten finns mitt i rektangeln triangeln vrids ett halvt varv cirkeln flyttas diagonalt så långt det går när hela bilden vrids ett halvt varv. Låt eleverna beskriva det nya läget med ord och sedan visa konkret. Varje drag utgår från utgångsläget. (Behöver helt, halvt och kvarts varv förklaras?) Introduktion Varje delaktivitet behöver sin särskilda introduktion med instruktion och något som skapar förväntan. Använd generella frågeställningar för att hitta underlag för introduktionen: Är det några ord som behöver förklaras? Går det att göra aktiviteten tillsammans en eller ett par gånger utan att den bärande idén avslöjas? Hur kan elevernas nyfikenhet väckas? Vilka anpassningar av material och instruktioner behöver göras för enskilda elever? Hur kan elevernas utmanas till att diskutera vad de tror kommer att hända? Elevers dokumentation Vilka aktiviteter behöver dokumenteras fortlöpande under tiden de pågår? Vilka aktiviteter är lämpligare att eleverna dokumenterar när de är genomförda? Är det någon aktivitet som inte alls behöver dokumentation? För övrigt hänvisas till texten Elevers dokumentation som finns under Moment A i denna del, bland annat är Likheter och skillnader återkommande i många av aktiviteterna. Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Juli (5)

23 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Geometri Träningsskola och individuellt program Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Om verkligheten ska bli begriplig behövs erfarenheter och kunnande om hur olika företeelser hör samman. För att kunna känna igen och beskriva såväl sin närmaste vardagsmiljö som omvärlden i stort behöver var och en kunna använda olika uttryck för form, position och riktning. Detta beskrivs i träningsskolans ämnesområde Verklighetsuppfattning bland annat genom formuleringar om att använda lägesord för att beskriva placering i rummet och att använda avstånd, riktning och kännemärken vid förflyttning. Rent matematiskt benämns detta innehåll som geometri och i kursplanen anges att eleverna ska få möta och benämna geometriska figurer som exempelvis cirkel, kvadrat och triangel. Individuella programmets ämnesområde Natur och miljö skriver fram att undervisningen ska bidra till att eleverna utvecklar sin förmåga att orientera sig i tid och rum, och rumsuppfattning preciseras sedan bland annat med hjälp av begreppen avstånd, riktning och läge. Här exemplifieras de geometriska formerna och begreppen med cirkel, kvadrat och rektangel. Lektionsaktivitet: Känna igen, hitta och beskriva Syfte Aktiviteten syftar till att vidga och fördjupa elevens rumsuppfattning samt stärka förmågan att själv beskriva omvärlden och att förstå andras beskrivningar av den. Material Använd riktiga grejer, dvs inte bilder på föremål, i princip vad som helst som finns till hands, i arbetet med position. Välj material som passar elevernas motoriska förutsättningar samt deras ålder och intressen. För arbetet med form är laborativa material med de geometriska grundformerna cirkel, triangel, rektangel och kvadrat lämpliga. Ett sådant exempel är logiska block. Använd med fördel olika storlekar på formerna och efterhand olika slags trianglar. Beskrivning Strukturen i hela lektionsaktiviteten bygger på position och form samt en kombination av dem. Som i övriga lektionsaktiviteter är det möjligt att både starta och sluta på olika nivåer, men eleverna bör ges möjlighet att arbeta med både position och form. Geometri Träningsskola och individuellt program Juli (6)

24 Kontext Ada har hittat en anteckningsbok i matsalen. När hon tog upp den ramlade det ut en lapp. Överst på lappen stod det: HEMLIGT HEMLIGT HEMLIGT. Det gjorde Ada väldigt nyfiken. Hon läste vidare. Bakom skåpet vid ingången till gymnastiksalen ligger ett kuvert. I det finns en hemlig karta. Den som först hittar till platsen som är markerat med X vinner en Någon hade dragit tjocka streck över vinsten. Det gjorde Ada ännu mer nyfiken. Hon måste leta upp kartan. Hon kanske hade chans att vinna den hemliga vinsten. Hur skulle hon hitta kuvertet? Samtala om hur det gick för Ada. Hittade hon kuvertet med kartbilden? I så fall, vad visade kartan? Hittade hon till platsen som var utmärkt på kartan? Var fanns den? Hann hon först? I så fall kanske hon vann den hemliga skatten, en Xbox 360 Slimline Console, en spelkonsol för datorspel. Vad vet eleverna om datorspel? Låt dem berätta om sina erfarenheter. Gör, om så är möjligt, tillsammans en enkel skattkarta över klassrummet eller en liten del av det. Position För att orientera sig själv och annat i omvärlden behöver vi relatera till lägen och riktningar. I det dagliga livet möter vi frågor om var och vart. Frågorna kan vara är uttalade eller underförstådda. Som ett led i att utveckla elevers självständighet ska undervisningen ge beredskap att möta och hantera frågor om position. Be en eller ett par elever placera var sitt personliga föremål, eller på annat sätt ange var det ska placeras, enligt positionsangivelser som är rimliga, t ex på bänken; bakom ryggen; mellan fötterna; under duken; i burken. Låt eleven beskriva på sitt sätt var föremålet finns. Ge eleven/eleverna ett föremål i taget: penna, krita, gem, limstift, servett, Eleven/eleverna placerar ett föremål i taget på en position som läraren anger: framför, bakom, i, under en burk. Samtala när alla föremål är placerade om var vart och ett av dem finns. Var är...? Låt slutligen eleven, på sitt sätt, beskriva detta. Arbeta med flera elever samtidigt, men rikta varje uppmaning till enstaka elever: lägg dig på mattan, lägg kritorna på bordet, ställ dig bakom stolen, lägg handen på huvudet, sätt dig under bordet, ställ pallen under bordet, Se gemensamt till att resultatet av uppmaningen stämmer. Ställ frågor som Var finns kritorna? Var uppmärksam på vilka lägesord eleverna använder för att beskriva olika positioner. Använd begreppen höger och vänster om de är begripliga för eleven. Geometri Träningsskola och individuellt program Juli (6)

25 Form Vilka positioner använder eleven redan i sin vardag? Vilka är lämpliga att fortsätta utmana eleven med? Varför? Låt eleverna beskriva var föremål i klassrummet finns i förhållande till sina sittplatser. Låt eleverna beskriva hur man ska hitta i skolmiljön, t ex vägen från klassrummet till matsalen eller gymnastiksalen; från entrén till klassrummet; var toaletten, målarpenslarna, ljusknappen, den egna arbetsplatsen, skrivtavlan, finns. Vilka lägesord och uttryck för riktning använder de? Vilka ord och uttryck behöver ni arbeta med för att beskrivningarna ska bli lättare att tolka för andra? När vi ser oss omkring är form en framträdande egenskap. För att känna igen och beskriva omvärlden behövs begrepp och språkliga uttryck med gemensam och liktydig tolkning. Elever behöver erfarenheter som utvecklar deras uppmärksamhet på och möjlighet att benämna och beskriva form, på ett efterhand allt mer detaljerat sätt. De behöver också få syn på vad som är lika och vad som skiljer olika former åt. Låt eleverna lägga klossar med olika form i en plocklåda. Hålet i lådan är tvådimensionellt och klossarna tredimensionella. Hur ska klossen placeras för att komma ner i hålet? Om ni inte har tillgång till en plocklåda kan ni relativt enkelt göra en genom att skära ut former i locket på en skolåda. Använd de former ni vill träna som mall. Det kan vara lämpligt att ha flera lock till lådan, med olika hål och kanske olika många hål. Vilket kunnande ges eleven förutsättningar att utveckla med denna övning? Vad av detta är särskilt viktigt för att eleven ska kunna hantera sin vardag? Vilka andra situationer i elevens skolvardag kan stärka detta kunnande? Lägg några olika geometriska former framför eleverna. Håll upp en likadan form som en av dessa. Hitta en likadan form. Vilken är formen? Lyssna in vad eleverna kallar den. Ge dem det korrekta matematiska namnet. Leta efter formen i närmiljön. Upprepa med fler former. Vid ett annat tillfälle kan uppgiften vara att visa på en form som inte är likadan. Låt eleven beskriva vad som är olika. Genom aktiviteterna riktas elevernas uppmärksamhet på likheter och skillnader mellan olika former. Gemensamma samtal stärker förmågan att uttrycka olika egenskaper. Geometri Träningsskola och individuellt program Juli (6)

26 Följande aktivitet är en förenklad variant av Brasses Lattjolajbanlåda. Inled gärna med att titta på något klipp från TV-serien Fem myror är fler än fyra elefanter som finns tillgänglig på Öppet arkiv och som Youtubeklipp. Lägg fyra former, tre som är lika till form, storlek eller färg och en som skiljer sig från den valda egenskapen, i en Lattjolajban-låda, antingen direkt på ett papper med rutor om det är 2D-former eller på en liten hylla eller tomkartonger fastsatta på och bredvid varandra om det är saker. Några exempel: Berätta att en av formerna ska bort, för att den är olik de andra tre. Vilken är det? Låt eleverna visa på och om möjligt motivera varför de valt just den. Lägg en geometrisk form, t ex ett logiskt block, i en tygpåse. Lägg också några former (block) framför eleverna. Låt en elev i taget stoppa ner handen i påsen och känna på formen. När alla känt på formen, visar de vilken form på bordet som är likadan. Är alla överens? Om inte, låt eleverna känna på formen i påsen igen. Vilken är det? Ta upp formen ur påsen och jämför stämmer det? Vad heter formen? Alternativt kan var elev direkt peka ut eller plocka till sig den form de tror eller vet att de har känt på i påsen. Form och position I vardagen måste vi hantera sinnesintryck av och uppgifter om sådant som handlar om både form och position. Vi behöver också kunna uttrycka oss så att andra kan tolka t ex vår beskrivning av var något finns, t ex under det runda bordet i rummet står Elever behöver erfarenheter av att tolka andras beskrivningar men också själva uttrycka flera aspekter samtidigt. Några förslag: Kopiera min bild. Placera några geometriska former, t ex logiska block, så att de vidrör varandra. Starta med två delar och utöka sedan. Till exempel: Geometri Träningsskola och individuellt program Juli (6)

27 Låt eleverna göra en likadan bild med block. Samtala om de olika formernas läge. Lyssna in hur eleverna spontant uttrycker lägen. Aktivera lägesord som överst, högst upp, nederst, längst ner, ovanför, nedanför, under, över, i mitten och möjligen vänster, höger. Låt, om det är möjligt, eleverna beskriva bilden muntligt med hjälp av form, storlek, färg och position. Dokumentera elevernas bilder. Var finns den? Sätt upp några dokumentationer från föregående delaktivitet på väggen. Samtala om bilderna och ställ frågor som Var finns en gul kvadrat ovanför en röd kvadrat? En röd kvadrat ovanför en blå rektangel? En röd cirkel ovanför en röd triangel? Låt eleverna visa. Samtalen stärker den språkliga förmågan men också tolkningen av former och deras positioner. Bygg en egen bild. Låt eleverna bygga en egen bild av några former. En kamrat gör sedan en likadan bild genom att med sina sinnen tolka former och lägen. Kanske kan någon elev beskriva sin bild så att kamraten kan göra en likadan bara genom att lyssna. Geometri Träningsskola och individuellt program Juli (6)

28 Introduktion Varje delaktivitet behöver sin särskilda introduktion med instruktion och något som skapar förväntan. Använd generella frågeställningar för att hitta underlag för introduktionen: Är det några ord som behöver förklaras? Hur kan elevernas nyfikenhet väckas? Vilka anpassningar av material och instruktioner behöver göras för enskilda elever? Elevers dokumentation Dokumentera arbetet fortlöpande på lämpligt sätt. Spela om möjligt in elevernas muntliga beskrivningar av form och läge, så att utvecklingen kan följas. Välj vilka andra aktiviteter som kan vara lämpligt att dokumentera fortlöpande under tiden de pågår och vilka aktiviteter som är lämpligare att eleverna dokumenterar när de är genomförda. Någon aktivitet är kanske helt onödig att dokumentera. Geometri Träningsskola och individuellt program Juli (6)

29 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Statistik Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Bakåt i tiden förmedlades information muntligt, från man till man. När tidningar och senare radio och tv blev allmän egendom förändrades bilden och information kunde snabbt nå ut till stora grupper i samhället. Med dagens informationsteknik har möjligheter till snabb spridning ökat ytterligare. I det moderna samhället översköljs vi av information i olika medier. Det kan handla om allt ifrån enkla undersökningar av den mest populära glassen i kamratgänget till mycket avancerade vetenskapliga undersökningar. Information kan vara upplysande och det finns mycket som vi i någon mening kan bevisa med hjälp av statistik, men statistik kan också vara vilseledande. I styrdokumenten finns statistik framskrivet som ett centralt innehåll. Några exempel: Årskurs 1 6 i grundsärskolan: Undersökningar i för eleven bekanta situationer, till exempel prisjämförelser och temperaturskillnader. Årskurs 7 9 i grundsärskolan: Undersökningar i för eleven bekanta situationer. Hur information kan föras in i och avläsas ur tabeller och diagram, till exempel busstidtabeller samt stapel- och cirkeldiagram. Särskild utbildning för vuxna, grundläggande nivå: Undersökningar i för eleven bekanta situationer, till exempel prisjämförelser och temperaturskillnader. Hur information kan presenteras i och avläsas ur tabeller och diagram. Gymnasiesärskolans ämnesplan: Matematik 1: Beskrivande statistik med hjälp av tabeller och diagram. Hur statistiska resultat används i samhället och i yrkeslivet. Matematik 2: Beskrivande statistik med hjälp av tabeller och diagram. Granskning av hur statistiska resultat används i samhället och i yrkeslivet. Matematik 3: Kalkylprogram och hur de används för att beskriva och illustrera statistik. Vad styrdokumenten tar upp om statistik för inriktning mot träningsskola och individuellt program behandlas i dokumentet med förslaget om lektionsaktivitet för dessa skolformer. En av förutsättningarna för att kunna fungera som en självständig individ är att kunna tolka, analysera och kritiskt granska informationsflödet. Tabeller och diagram är vanliga uttrycksformer för att kortfattat förmedla data och för att kunna hantera sådan information behöver elever många erfarenheter där de själva samlar och presenterar data. Ser vi i sammanställningen ovan så nämns kalkylprogram explicit först i Matematik 3 för gymnasiesärskolan. Som det ser ut idag med elevers vana vid datoranvändning kan kalkylprogram (vanligtvis Excel) användas långt tidigare då information ska föras in i, presenteras och avläsas ur tabeller och diagram. Det är ofta enklare att mata in värden i datorn och få ut tydliga och överskådliga tabeller och diagram än att göra motsvarande arbete för hand. Statistik Juli (6)

30 Insamling av data För att få fram uppgifter om fakta, omständigheter och uppfattningar om olika frågor måste data samlas in. Utgångspunkten är att den som vill göra en undersökning formulerar frågor som ska besvaras. En del frågor besvaras bäst genom observationer, andra genom intervjuer, där följdfrågor kan ställas, eller i enkäter där uppfattningar om något kan ringas in genom flera frågor. I enkäter markeras svaren vanligen direkt i ett protokoll, allt oftare med en glidande skala från t ex instämmer helt, instämmer delvis, instämmer inte alls. I statistiska undersökningar ingår kvalitetskontroll av att insamlingen av data är tillförlitlig och korrekt genomförd och mäter det som avses, det vi kallar reliabilitet och validitet. Dessa funktioner går vi inte in på här, inte heller tar vi upp processen med att analysera och sammanställa data som kommer fram i intervjuer. Det är ofta ett komplext arbete med många variabler att ta hänsyn till. Dokumentation och analys Data som samlas in dokumenteras i protokoll. Observationsprotokoll kan föras som tabeller där varje observation motsvarar ett streck. Strecken visar vilken frekvens, dvs antal observationer, de olika kategorierna har. De kategorier som undersöks i följande exempel är fordonsslagen buss, lastbil och personbil. För att lättare få en överblick markeras strecken fem och fem. (Detta sätt att bokföra beskrivs i lektionsaktiviteten Positionssystemet i Del 3, denna modul.) För att få en bild av situationen Hur ser trafiken ut på vägen förbi skolan mellan klockan 7.30 och 8.00? gjordes många observationer. Valet av tidpunkt har med skoldagens början att göra. Många elever är på väg till skolan. Ett exempel från en observation vid ett specifikt tillfälle vid den aktuella skolan: Bussar llll llll llll ll Lastbilar llll llll llll Personbilar llll llll llll llll lll Stapel- och cirkeldiagram Tabeller ger viss överblick, men för att ge en tydligare visuell bild av resultat redovisas de många gånger i något slags diagram, t ex stapel- eller cirkeldiagram. I stapeldiagram är rektanglarnas baser alltid lika, medan höjderna motsvarar frekvensen i undersökningen. I tolkningen av stapeldiagrammet kan antalet bussar, lastbilar och personbilar utläsas med hjälp av den metriska skalan och de numeriska värdena kan jämföras, t ex att det var 17 bussar, tre fler än lastbilar. Det var flest personbilar som passerade förbi skolan vid mättillfället, 23 stycken. Statistik Juli (6)

31 När samma data presenteras som cirkeldiagram är det storleksrelationen mellan värdena som fokuseras. De precisa antalen kan inte avgöras. Diagrammet visar att något fler personbilar än bussar passerade skolan vid den aktuella tidpunkten. Skillnaden är inte så stor. Vi kan också se att det vid den aktuella tidpunkten passerade nästan dubbelt så många personbilar som lastbilar. Linje-diagram I vissa undersökningar följer man vad som händer med en bestämd företeelse över tid. Ett sådant exempel är temperaturen timme för timme under ett dygn. Sådana data sammanställs vanligen i linjediagram. Venn-diagram Venn-diagram är uppkallade efter engelsmannen John Venn som introducerade denna typ av mängddiagram omkring år Ett Venn-diagram består i regel av två eller tre överlappande cirklar. Det kan ses som en grafisk modell där såväl fysiska föremål som tankemönster av olika slag kan sorteras in. Ett Venn-diagram är med andra ord lämpligt då man önskar sortera en mängd fakta i ett relativt begränsat antal grupper och där vissa faktauppgifter kan sorteras efter två till tre kriterier. Det allra enklaste diagrammet består bara av en cirkel och används i regel bara som en introduktion i undervisningssammanhang. Med en cirkel kan en mängd fakta sorteras efter en enda egenskap, några exempel: Statistik Juli (6)

32 Alla födda under första halvåret ställer sig i cirkeln, övriga ställer sig utanför. Alla som har sandaler på sig ställer sig i cirkeln, övriga ställer sig utanför. Alla böcker med foton läggs i cirkeln, övriga läggs utanför. Alla lappar med udda tal sätts fast i cirkeln, övriga sätts fast utanför. Med två överlappande cirklar är det möjligt att sortera efter två egenskaper, vilket medför fyra utfall. Om vi ska undersöka hur många som har en vit (egenskapen färg) t-shirt (egenskapen viss typ av plagg) på sig kan utfallen bli: vit t-shirt, t-shirt i en annan färg, något plagg som är vitt men som inte är en t-shirt, varken något vitt plagg eller en t-shirt. Ritar vi upp det blir det tydligare: Lisa m fl har ett vitt plagg på sig som inte är en t-shirt. Susanne m fl har en t-shirt som inte är vit på sig. Arat m fl har en vit t-shirt på sig. Mia m fl har varken ett vitt plagg eller en t- shirt på sig. Detta sätt att sortera en mängd fakta kan användas som en samarbetsövning i vilket ämne som helst och det kan också vara lämpligt som en sammanfattning av ett arbetsområde. Exempel: Eleverna ska avsluta ett arbetsområde om fritidsaktiviteter och de kommer att prata om vilka aktiviteter de kan göra på egen hand och vilka de gör tillsammans med andra. Varje elev skriver först tre notislappar med aktiviteter de brukar göra på egen hand och sedan tre som de brukar göra tillsammans med andra. Statistik Juli (6)

33 Den ena cirkeln märks På egen hand och den andra märks Tillsammans med andra. Var och en sätter upp sina lappar. Därefter samtalar eleverna om vilka lappar som är möjliga att flytta in i delen där aktiviteter som både kan göras på egen hand och tillsammans med andra samlas. När tre cirklar överlappar varandra blir det åtta olika utfall. Fler cirklar används normalt inte, det blir för många olika utfall och därmed inte särskilt överskådligt längre. I exemplen ovan har vi utgått ifrån ett socialt sammanhang, men det går lika bra att använda Venndiagrammen med ett mer matematiskt innehåll. Exempelvis kan det vara lämpligt då tal av olika slag ska sorteras och klassificeras. Sätt t ex de tre rubrikerna Udda tal, Tal delbart med 5 och Primtal. Låt eleverna bestämma var sitt tal (favorittal, skostorlek, antal syskon/husdjur, etc) och samtala om var vart och ett av talen hör hemma. Något man behöver uppmärksamma är hur egenskaperna till rubrikerna väljs. När elever får i uppgift att bestämma två egenskaper att sortera efter väljer de ofta motsatsord som lång kort, varm kall, blank skrovlig. Det blir då i regel omöjligt att sortera på mer än ett sätt eftersom det sällan finns något som kan vara både långt och kort, varmt och kallt eller blankt och skrovligt samtidigt. Istället bör exempelvis lång och kall eller kort och blank väljas. Lägesmått Elever behöver tolka vad andra har sammanställt i tabeller och diagram. Förutom förmåga att avläsa och tolka tabeller och diagram är det också viktigt med grundläggande förståelse för de vanligast förekommande lägesmåtten typvärde, median och medelvärde: Statistik Juli (6)

34 typvärde: det vanligast förekommande värdet median: det mittersta värdet när all data har sorterats i storleksordning (vid jämnt antal observationer adderas de båda mittersta värdena och delas med två) medelvärde: det genomsnittliga värdet då all data adderas och divideras med antalet observationer. I lektionsaktiviteten ligger fokus på stapel- och cirkeldiagram och samband mellan dem. Under Variation och progression finns bland annat en aktivitet som lägger grunden till förståelse för att tolka linjediagram. Litteratur och referenser Landtblom, K. (2015). En typisk medianmorot. Nämnaren 2015:2. Statistik Juli (6)

35 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Lektionsaktivitet: En massa information Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte Lektionsaktivitetens syfte är att elever ska samla och uttrycka information i ett diagram. De tolkar och beskriver, också språkligt, innehåll i diagram som de själva, tillsammans med sina kamrater, har sammanställt. De ges också möjlighet att få syn på samband mellan stapeloch cirkeldiagram. Material Två- eller tredimensionella geometriska former, multilinkkuber i två färger, pärlor i samma färger som multilinkkuberna och piprensare. Beskrivning Lägg fram olika former, några av varje. Eleverna ska sortera dem i två grupper, tillhör och tillhör inte. Det kan gälla form, färg eller storlek av något slag. Bestäm i förväg vilka sorteringskriterier som ska gälla eller gör det gemensamt när ni inleder aktiviteten. I exemplet har det bestämts att fyrhörningar tillhör medan alla andra former inte tillhör. o Avgränsa grupperna tydligt från varandra, t ex i sorteringsringar. Lektionsaktivitet: En massa information Juli (7)

36 o Parbilda form och multilinkkub i tillhör-ringen och parbilda sedan på samma sätt den andra mängden. o o Sätt samman multilinkkuberna i två staplar, var färg för sig. Ställ staplarna intill varandra. Samtala om relationen mellan staplarna, vilken som är högst och varför. Undvik att uttrycka i antal. Lägg ner staplarna och placera en pärla, i samma färg, på varje multilinkkloss. o Trä alla pärlor på en lång piprensare, fyll först på den ena färgen, sedan den andra. Lektionsaktivitet: En massa information Juli (7)

37 o Böj ihop piprensaren till en cirkel. Pärlorna utgör cirkelns rand, periferin. o o Klistra cirkeln på papper. Sök medelpunkten och dela tillsammans in i sektorer (jfr med att dela en rund tårta i bitar). Färglägg sektorerna utifrån pärlornas färger i cirkelns rand. I cirkeldiagrammet är det sektorernas relativa storlek som fokuseras. Jämför med stapeldiagram som ofta tolkas utifrån antal. Samtala om sektorernas (delarnas) relativa storlek. Jämför med staplarna. Använd där det är möjligt ord som större/mindre, mer/mindre, många/få, hälften/dubbelt, halv, tredjedel, kvart, 100 %, 50 %, 25 %. Gör fler undersökningar. Öka antalet former och sortera i fler kategorier. Vilka sorteringskriterier har använts här? Vilken bild får du, som lärare, av hur ett cirkeldiagram som åskådliggör fotots innehåll ser ut? Det mest grundläggande för att förstå statistiska data är att själv vara med i hela processen, från att ta fram alla uppgifter genom olika undersökningar till att uttrycka resultat i t ex olika diagram. Nästa steg i utvecklingen kan vara att åskådliggöra redan insamlade data. Lektionsaktivitet: En massa information Juli (7)

38 I Söderskolan röstade eleverna om vilken färg som en av väggarna i matsalen skulle målas i. Elevrådet sammanställde rösterna i en tabell: Röd Orange Grön Blå IIII IIII IIII IIII IIII IIII II IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII IIII III IIII IIII IIII IIII II IIII IIII IIII IIII IIII III Samtala om vad tabellen beskriver och låt eleverna göra ett stapel- och ett cirkeldiagram, gärna med hjälp av ett kalkylprogram, som visar hur Söderskolans elever röstade. Använd sedan de färdiga diagrammen för att samtala om största minsta värde (antal röster) och eventuellt lägesmått. Vid skolstarten skulle eleverna ha fest. Vad skulle de dricka till tårtan? Liam gjorde i ordning en lista. När alla kamraterna fyllt i den såg den ut så här: Fanta llll ll Coca Cola llll llll ll Juice Saft Vatten lll llll ll Låt eleverna beskriva det insamlade materialet i stapel- och cirkeldiagram. Några kan göra stapel- andra cirkeldiagram. Låt dem om möjligt använda ett kalkylprogram. Utgå sedan från de olika diagrammen i samtalen om faktiska och relativa värden. Vilka lägesmått kan vara lämpliga att samtala om? Lektionsaktivitet: En massa information Juli (7)

39 Badvakten i Stamsjön mätte vattentemperaturen kl 12 varannan dag i juli. Detta är hans anteckningar: Juli Vattentemperatur Låt eleverna använda badvaktens anteckningar och, gärna i ett kalkylprogram, göra ett linjediagram som beskriver växlingarna vattentemperatur. Tolka diagrammet tillsammans. När var det varmast? Kallast? Hur syns det i diagrammet? Samtala om vad som kan ligga bakom förändringarna och hur stora de är. Vilka lägesmått kan vara lämpliga att använda? Introduktion Samtala med eleverna om statistik. Vad det är, vad det är bra för, vad det används till, var man hittar statistik, att man måste se upp så man inte blir lurad, Elevers dokumentation Statistik dokumenteras företrädelsevis genom bildmässig representation där eleverna åskådliggör genom att rita diagram av skilda slag. Detta kan göras både för hand och med hjälp av datorprogram som Excel. I möjligaste mån bör båda sätten användas. Även om en illustration kan säga mycket i sig självt bör den ändå kompletteras med förklarande information, dvs text av något slag. Variation och progression Vad berättar grafen? Ett linjediagram och en graf har nära kopplingar. Båda kan bildmässigt åskådliggöra en händelse eller utveckling över tid. Det är inte helt enkelt, och kanske inte ens nödvändigt, att avgöra vad som är vad. Ett sätt att närma sig såväl linjediagram som grafer (och på sikt Lektionsaktivitet: En massa information Juli (7)

40 även enkla funktioner) är att arbeta med okända grafer. Börja mycket enkelt och öka efter hand komplexiteten i små steg. 1. Ge eleverna en illustration med en graf. Fler exempel finns att hämta från Strävornaaktiviteten En okänd graf. Något ökar med jämn hastighet Något ökar först med jämn hastighet, sedan står det still Något ökar först snabbt sedan avtar hastigheten 2. Vad grafen beskriver är ännu helt okänt. Fantisera tillsammans om vad den kan berätta och fyll grafen med en historia. 3. Bestäm vad de båda axlarna representerar. - Den horisontella axeln (x-axeln) handlar vanligtvis om tid i linjediagram, allt ifrån delar av sekunder till timmar, dagar, veckor, år eller ännu längre tidsperioder. - Den vertikala axeln (y-axeln) kan exempelvis handla om avstånd, höjd, antal, grader eller valuta. 4. Diskutera vad som kan vara orsak till förändringar på kurvan. Till exempel kan en vågrät linje i en graf med tids- och avståndsaxel visa att man tar en rast under promenaden, tiden går medan man är kvar på samma plats. En svag lutning visar att man går sakta och ju brantare lutning på grafen desto snabbare promenad. Det som kan bli komplicerat tankemässigt är att ju brantare berg man går uppför desto mindre blir lutningen på grafen. 5. Låt eleverna rita egna grafer som de hittar på en berättelse till, alternativt hittar på en berättelse som de sedan illustrerar med en graf. Lektionsaktivitet: En massa information Juli (7)

41 6. Nedan finns ett påhittat linjediagram. Vad visar det? Använd det till exempel för att skapa början på en gemensam berättelse som eleverna sedan, utifrån sina förutsättningar, fantiserar vidare om och berättar för någon eller skriver ner. Ett större linjediagram för utskrift finns också att hämta från Strävornaaktiviteten En okänd graf. Fler idéer till aktiviteter om grafer och linjediagram eller egen fördjupning: Strävorna, ncm.gu.se/stravorna: En okänd graf, Berg-och-dalbanan, Vasgrafer, Biografer. NämnarenTEMA Uppslagsboken: Växande växter. Nämnaren 1997:2, Funktioner i berg- och dalbana, Liv Sissel Grønmo & Bo Rosén. Lektionsaktivitet: En massa information Juli (7)

42 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Statistik Träningsskola och individuellt program Berit Bergius & Lena Trygg, NCM För att kunna fungera som så självständiga individer som möjligt och få tilltro till den egna förmågan att agera behöver elever ges möjlighet att tolka och värdera information. Tabeller och diagram är vanliga uttrycksformer för att kortfattat förmedla information om insamlad data. Elever behöver många erfarenheter där de dels själva samlar och presenterar data, dels tolkar vad andra har sammanställt i tabeller och diagram. I träningsskolans ämnesområden nämns inte orden statistik, tabell eller diagram. Däremot finns information framskrivet på några olika sätt, bland annat ska eleverna söka information. I omvärldskunnande ingår att ta del av aktuella frågor och debatter i samhället samt reklam och information i olika medier. Eftersom samhällsinformation ofta presenteras i tabeller och diagram bör eleverna ges möjlighet att möta några olika statistiska uttrycksformer. I det individuella programmets ämnesområde Natur och miljö skrivs statistik fram mer explicit: Tabeller och diagram och hur de kan utläsas och tolkas. Dessutom finns det fler centrala innehåll som förutsätter någon form av statistisk medvetenhet, bland annat för att förstå väderprognoser och ekonomiska beräkningar. Lektionsaktivitet: Samla och hantera information Syfte Lektionsaktivitetens syfte är att ge elever erfarenhet av att samla information och uttrycka den i stapeldiagram, men också tolka vad olika diagram beskriver. Material Kulor, pärlor eller bollar med samma storlek i två färger, multilinkkuber i två färger, (pärlor i samma färger som multilinkkuberna och piprensare), två genomskinliga plaströr. Beskrivning Utifrån en kontext förs samtal. Även om eleverna inte kan räkna särskilt långt kan de ges möjlighet att avgöra vad det är mest eller flest av. Antalet observationer konkretiseras genom ett fysiskt stapeldiagram. Statistik Träningsskola och individuellt program September (5)

43 Kontext Nära Freds och Loves skola finns en stor väg där det kör många bussar och lastbilar. Jag tror att det är flest bussar, säger Love. Här kommer en lång rad med lastbilar, säger Fred. Jag tror att det är flest lastbilar. Vi räknar, säger Love. Jag räknar bussar och du lastbilar. Här kommer en, två, Här kommer en lastbil, säger Fred, då är det tre. Va?, nej en, säger Love. En buss och hm hur många lastbilar var det? Det har jag glömt. Hur ska vi komma ihåg? säger de till varandra. Jag vet, säger Love, vi kollar med fröken. Hon kanske vet hur vi ska göra. Samtala med eleverna om Freds och Loves problem. Hur ska man kunna hålla isär och komma ihåg? Kanske har någon en idé. Freds och Loves lärare föreslog att de skulle låtsas att röda multilinkkuber/kulor/bollar var bussar och gröna var lastbilar. Pojkarna tyckte det var ett bra förslag och gick senare tillbaka till vägen och tog med sig röda och gröna multilinkkuber/kulor/bollar. Efter en stund gick de tillbaka till skolan och visade de andra vad de sett. Detta hade Fred och Love med sig tillbaka till skolan. (Lägg fram ett litet lämpligt antal, men olika många kuber, kulor eller bollar i två färger.) Låt eleverna sätta samman kuberna till staplar eller lägga kulor/bollar med samma färg i ett genomskinligt plaströr. Samtala om vilken stapel som är högst och vad det betyder. Återkoppla till det ursprungliga problemet om bussar och lastbilar. Vad såg Love och Fred flest av? Gå vidare på lämpligt ställe i aktiviteten. Gör olika undersökningar tillsammans, överför informationen till stapeldiagram och tolka dem tillsammans i relation till den ursprungliga frågan. Hur är det i vår klass idag? jag har/har inte jeans på mig jag har/har inte dragkedja på min tröja idag Statistik Träningsskola och individuellt program September (5)

44 jag har/har inte ficka på min tröja jag har/har inte luva på min tröja jag har/har inte keps med mig jag har/har inte har bokstaven A i mitt namn jag gillar/gillar inte att spela spel (gärna något specifikt spel) jag tycker om/tycker inte om morötter jag gillar hundar mer än katter jag gillar banan mer än äpple jag tycker mer om vaniljglass än chokladglass Bestäm tillsammans vilken färg på kulan/bollen eller klossen som betyder jag har/jag har inte; jag gillar/jag gillar inte. Låt varje elev ta en kula/boll eller kloss i rätt färg. De som har samma färg lägger sedan kulorna/bollarna i samma genomskinliga rör eller sätter samman klossarna till staplar. Jämför staplarnas höjd. Vilken är högst? Återkoppla till den ursprungliga frågan. Tolka tillsammans med hjälp av stapeldiagrammet. Låt eleverna dokumentera, på sitt sätt, vad de undersökt, hur de gått tillväga och vilket svaret blev på frågan. Ställ samma fråga vid ett senare tillfälle. Återkoppla till första tillfället och jämför resultaten. Samtala om varför resultaten kan vara olika. Från stapeldiagram till cirkeldiagram Visa eleverna olika stapeldiagram, t ex Samtala om vad de skulle kunna handla om och vilket resultat (mer/fler, mindre/färre, lika) som diagrammet beskriver. eller Statistik Träningsskola och individuellt program September (5)

45 Arras hade födelsedagskalas. Han delade en pizza med sina kompisar så här. (Visa bild på en pizza med markerade bitar. Två olika sorter finns på ncm.gu.se/matematikpapper.) Samtala om ifall bitarna är lika stora. Vilken bit är störst? Minst? Samtala om bitarna på en annan pizza. Jämför och beskriv. Visa, gärna i stort format, stapeldiagrammet på hur en (fiktiv) klass i Skojlundaskolan svarade på frågan om de gillar hundar mer än katter. Samtala om vad diagrammet visar. Låt eleverna lägga en pärla i varje ruta. Pärlorna ska vara lika stora och ha samma färg som rutan. Använd med fördel stora pärlor som är lätta att greppa. Kontrollera tillsammans att Statistik Träningsskola och individuellt program September (5)

46 det ligger en pärla i varje ruta och låt sedan eleverna sätta över dem på en lång piprensare. Trä först på alla med den ena färgen och fyll sedan på med nästa färg. Böj ihop piprensaren till en cirkel. Pärlorna utgör cirkelns rand, periferin. Klistra cirkeln på papper. Sök medelpunkten och dela tillsammans in i sektorer (jfr med att dela en rund tårta i bitar). Färglägg sektorerna utifrån pärlornas färger i cirkelns rand. Vilken bit är störst? Minst? Vad berättar den röda biten (sektorn)? Vad berättar den lila? Fotot till vänster är ett exempel på resultat från en annan undersökning. Vad kan den ha handlat om? Vad är möjligt att utläsa från cirkeldiagrammet? Introduktion Försök hitta tydliga stapel- och cirkeldiagram i media och använd dem som inspiration för det kommande arbetet eller gör på annat sätt eleverna medvetna om att statistik är vanligt förekommande i tidningar, på tv, etc. Elevers dokumentation I de flesta delaktiviteterna blir resultatet synligt i form av ordnade föremål. Fotografera och skriv tillsammans vad diagrammen visar. Statistik Träningsskola och individuellt program September (5)

47 Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 2 Del 3: Geometri och statistik Lektionsaktivitet Del 3 4 Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Diskussionsfrågor Moment 3B Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Geometri Träningsskola och individuellt program Starta med att bestämma om ni ska arbeta med position eller form, eller med en kombination av dem. Om ni väljer en aktivitet där elever ska delta fysiskt, med kroppen eller placera sig finns det någon annan aktivitet som ni brukar göra och som liknar den planerade? Hur kan elevernas förtrogenhet med den tidigare aktiviteten tas tillvara och utvecklas? Vid val av formaktivitet: vilka geometriska former är eleverna vana vid? På vilket sätt? Hur kan undervisningen ta tillvara det eleverna redan kan eller känner till då de förbereds för den kommande aktiviteten? Lektionsaktivitet: En massa information Statistik Träningsskola och individuellt program Vilka statistiska uttrycksformer är eleverna bekanta med? Har eleverna erfarenhet av att samla in data? På vilket sätt kan dessa erfarenheter förbereda eleverna för den kommande aktiviteten? Har eleverna erfarenhet av att presentera data? I vilken utsträckning har de använt datorn för detta? Är det repetition av kalkylprogram som är den förberedelse som behövs? Lektionsaktivitet Del 3 4 September (2)

48 Diskussionsfrågor Moment 4B Lektionsaktivitet: Var är den? Hur ser den ut? Geometri Träningsskola och individuellt program Ifall ni gjorde en begreppstavla om position och/eller form i Del 3, ta fram den! Vad har ni skrivit under rubriken Relationer till andra begrepp? På vilket sätt kan det relateras till matematiska samband? I annat fall, diskutera vilka samband som finns dels mellan position och form, dels till andra begrepp. I begreppstavlan finns rubriken Hur begreppet kan representeras. På vilka sätt kan ni påvisa matematiska samband mellan det aktuella innehållet och vardagliga situationer? Jämför de olika sätt som ni planerar att eleverna ska genomföra sin dokumentation på. Vilka (nya) möjligheter visar de på? Lektionsaktivitet: En massa information Statistik Träningsskola och individuellt program I vilken mån var sambanden (frekvens)tabell stapeldiagram cirkeldiagram bekanta för er? Vilka samband mellan statistiska uttrycksformer och vardagliga situationer brukar ni uppmärksamma i undervisningen? Vad skulle kunna utvecklas? Jämför de olika sätt som ni planerar att eleverna ska genomföra sin dokumentation på. Vilka (nya) möjligheter visar de på? Lektionsaktivitet Del 3 4 September (2)

49 Del 3: Moment B kollegialt arbete Diskutera de lästa texterna, välj matematikinnehåll och börja förbereda en lektionsaktivitet. Diskutera I texten Att hitta i och beskriva vår spatiala värld beskrivs några forskares perspektiv på hur elevers utveckling av geometrilärande oftast ser ut. I vilken utsträckning känner ni igen er? På ett personligt plan? Ur ett elevperspektiv? Vilka konsekvenser kan det få för undervisningen? Begreppen position och form är viktiga i grundläggande geometrilärande. Hur uppfattar ni begreppen? Hur brukar ni arbeta med dem i undervisningen? Ge exempel! Använd gärna begreppstavlan (Del 7 8 i Modul 1) som stöd om ni vill fördjupa er egen begreppsförståelse. Texten Statistik tar upp det mest grundläggande inom området. Vad är nästa steg? Vad skulle ni vilja komplettera med? Varför? Utifrån diskussionerna, vilket matematikinnehåll är mest angeläget att välja? Förbered en aktivitet Förbered den valda lektionsaktiviteten utifrån de erfarenheter ni nu har av att förbereda eleverna. Vilka slags förberedelser gör ni nu som ni troligen inte hade gjort innan modularbetet? Mer specifika innehållsfrågor finns i Lektionsaktivitet Del 3 4. Notera Under lektionen ligger fokus på förberedelser inför kommande aktivitet. Försök fånga något i förberedelsen som ni kunde ha missat om ni genomfört aktiviteten direkt. Alternativt bestämmer ni något annat som är angeläget att uppmärksamma. Material Revision: 3 Datum:

50 Del 3: Moment C aktivitet Genomför förberedelsen och notera enligt diskussioner i Moment B. Material Revision: 3 Datum:

51 Del 3: Moment D gemensam uppföljning Diskutera Utgå från era noteringar och diskutera det som är mest framträdande eller angeläget. Vilka reaktioner visade eleverna under förberedelsearbetet? Vad kan det vara tecken på? Visade förberedelserna att ni troligen har valt rätt nivå på den kommande aktiviteten? Vilka konsekvenser får det i den fortsatta planeringen? Upptäckte ni något med de material som ni eventuellt använde och som ni inte har tänkt på tidigare? Vad? Hur? Fastnade eleverna på något ord eller begrepp? Vad? Berätta hur ni hanterade det. Sammanfatta Vad har arbetet med denna del gett? Vad har varit mest intressant? Har det väckt frågor som ni vill fortsätta undersöka? Vad är viktigt att ta med till det fortsatta planeringsarbetet i nästa del? Material Revision: 3 Datum:

52 Fördjupning särskola Del 3. Fördjupning Elevers kunskaper i mätning och geometri är en artikel som beskriver svenska grundskoleelevers kunskaper, eller kanske snarare brister på kunskaper. Även om det görs hänvisningar till tidigare kursplaner är ämnesinnehållet lika aktuellt idag. Med tanke på att grundsärskolans och gymnasiesärskolans matematik sammantaget omfattar ungefär innehållet i grundskolan är artikeln relevant för denna modul. Geometri på golvet har direkt koppling till artikeln ovan. En lärare beskriver sina inledande våndor om att undervisa i geometri och hur hon sedan gjorde för att känna sig mer bekväm med sin egen geometriundervisning. En leksak för att träna två- och tredimensionellt tänkande är en artikel som handlar om rumsuppfattning och förmågan att visualisera två- och tredimensionella figurer. En småbarnsleksak som tränar form- och perspektivuppfattning kan utvecklas till en tonårsleksak som tränar tredimensionellt rumsperspektiv. Elevers möte med diagram är ett avsnitt i Matematik ett grundämne. Författaren riktar in sig på yngre elevers möte med stapel-, cirkel- och linjediagram. I slutet av artikeln finns några frågor och reflektioner om att använda Excel i undervisningen. Material Revision: 3 Datum:

53 Material Elevers kunskaper i mätning och geometri M. Löwing och W. Kilborn Elevers möte med diagram L. Åberg Bengtsson Geometri på golvet T. Paulsson En leksak för att träna två- och tredimensionellt tänkande J. Parera-Lopez och O. Hellblom Revision: 3 Datum:

54 Madeleine Löwing & Wiggo Kilborn Elevers kunskaper i mätning och geometri I Nämnaren nr 4, 2009, finns en artikel som beskriver svenska elevers kunskaper i aritmetik. Den beskriver första delen av ett projekt som kallas Att våga se och kunna ta ansvar. I den här artikeln beskrivs motsvarande kartläggning av elevers kunskaper i mätning och geometri. Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets diagnoser Diamant, som vi för högstadiets del kompletterat med vårt eget uppföljningsmaterial Briljant. Med dessa instrument har vi diagnos tiserat ca elever från förskoleklass till årskurs 8. Det finns två skäl till att den andra delen av kartläggningen omfattar mätning och geo metri. Det ena skälet är att dessa är områden där svenska elever lyckas mindre bra på internationella undersökningar som TIMSS (2007). Det andra skälet är att ämnesstrukturen inom områdena mätning och geometri ser annorlunda ut än inom aritmetiken. Tillsammans ger dessa två kartläggningar en bra bild av grundskoleelevers kunskaper i matematik. Redan i samband med utprövningen av Diamant i mätning och geometri upptäckte vi allvarliga brister när det gäller elevers kunskapsutveckling. Ännu på högstadiet hade många elever svårigheter med att hantera grundläggande geometriska begrepp och de saknade även ett funktionellt språk för att kommunicera geometri. Termer som romb, rätblock, cylinder och kon var okända för många elever och sannolikt också motsvarande begrepp. Frågan är varför det ser ut så här. När vi diskuterar detta med lärare som deltagit i utvärderingen, av vilka många nu deltar i kompetensutveckling i mätning och geometri, kan vi se orsaker till detta. Det visar sig att lärare ofta saknar didaktiska kunskaper i geometri, något som i sin tur leder till bristande kontinuitet ur elevernas perspektiv. Detta är kanske inte så konstigt. På 1960-talet förkastade man inom skolan den alltför formella syn på geometri som bygger på Euklides Elementa och man försökte istället införa en avbildningsgeometri i svensk skola. Trots en landsomfattande kompetensutveckling gav inte detta något resultat. Man borde då ha sett till att bygga upp något hållbart alternativ för att undervisa om den grundläggande geometrin, t ex utgående från van Hieles taxonomi. Det gjordes inte och detta förbiseende har lett till att de flesta av dagens lärare vare sig mött någon intressant geometriundervisning under sin skoltid eller någon hållbar geometrididaktisk teori under sin lärarutbildning. 10 Nämnaren nr

55 När vi studerar lärares undervisning och läromedlens uppläggning blir bristen på geometrididaktiska idéer och kontinuitet i undervisningen ännu mer uppenbar. Undervisningens innehåll ser i själva verket ungefär likadant ut i årskurs 5 som i årskurs 8. En förklaring till detta kan vara att kursplanens uppnåendemål för just geometri har sett nästan likadana ut i årskurs 9 som i årskurs 5. De lärare vi intervjuat kan inte se någon tolkbar skillnad. Ett exempel på detta är följande mål att uppnå: Kunna avbilda och beskriva viktiga egenskaper hos vanliga geometriska objekt samt kunna tolka och använda ritningar och kartor (mål i årskurs 9), ha en grundläggande rumsuppfattning och kunna känna igen och beskriva några viktiga egenskaper hos geometriska figurer och mönster samt kunna använda ritningar och kartor (gäller årskurs 5). Vi ger nu ett antal exempel som belyser våra resultat när det gäller elevers geometrikunskaper. Detta följer vi upp genom att ge exempel på hur läraren, genom att utgå från enkla laborationer, kan ge eleverna alternativa vägar att närma sig geometrin. Plana figurer och begreppet symmetri Symmetri är ett av de mest grundläggande begreppen inom geometrin. Vi gav därför samma diagnos om symmetri (GSy) i årskurserna 1 4. På flera håll möttes vi till en början av protester från lärarna eftersom de inte hade undervisat om symmetri. Det visade sig emellertid att nästan alla elever kunde avgöra att följande figurer är symmetriska. Däremot kunde bara 12 % av eleverna i årskurs 4 rita ut symmetrilinjerna i en liksidig triangel och bara 38 % symmetrilinjerna i en kvadrat. Elevernas förmåga att redan i unga år uppfatta begreppet symmetri verkar inte ha utnyttjats i undervisningen. Vår analys av konsekvenserna av detta ser ut på följande sätt. Redan i förskoleklassen lär sig eleverna att känna igen en cirkel, en liksidig triangel och en kvadrat, även om många av dem (ännu i årskurs 4) kallar kvadrat en för fyrkant och cirkeln för en rund grej. Vad vi däremot kan konstatera är att eleverna inte vet vad som faktiskt menas med en triangel eller en kvadrat eller vilka egenskaper dessa figurer har. De inser t ex inte att kvadraten samtidigt är en parallellogram, en romb och en rektangel, eftersom kvadraten har alla dessa figurers egenskaper samtidigt. Ett annat exempel är att bara 28 % av eleverna i årskurs 5 kan avgöra vilka två sidor i en parallelltrapets som är parallella. För elever som inte behärskar grundläggande geometriska begrepp är det givetvis omöjligt att analysera egenskaperna hos enkla figurer och kroppar och de går därmed miste om väsentliga delar av geometriundervisningen. Nämnaren nr

56 En alternativ start av geometriundervisningen Vi presenterar nu idéer om hur den grundläggande geometriundervisningen kan läggs upp på ett annat sätt. Redan vid skolstarten bör man hjälpa eleverna att successivt bygga upp grundläggande begrepp, genom att gå från det enkla till det mer komplexa. Undervisningen om fyrhörningar kan t ex börja med att bygga figurer av fyra olika långa blomsterpinnar. Man kan då fokusera på begreppen sida och hörn liksom på diagonal och vinkel. Detta kan genomföras redan i årskurs 1. I nästa steg inför man ett nytt begrepp genom att göra två sidor parallella (parallelltrapetsen). Om man därefter använder fyra blomsterpinnar som parvis är lika stora får man en parallellogram, vars motstående vinklar är lika stora och som av diagonalen kan delas upp i två kongruenta trianglar. Först när eleverna behärskar dessa grundläggande begrepp är det meningsfullt att introducera de symmetriska figurerna rektangel och romb, med vinkelräta symmetrilinjer m.m. Vid det här laget har eleverna tillägnat sig en grundläggande terminologi som gör det möjligt att upptäcka och diskutera de egenskaper som romben och rektangeln har gemensamma med parallellogrammen samt att kvadraten har alla dessa egenskaper samtidigt. Om man börjar med kvadraten blir det emellertid svårare för eleverna att se alla intressanta egenskaper på grund av brist på variation. I nästa steg kan man upprepa den här proceduren med figurer som klippts ut i papper och eleverna kan därmed, via figurernas symmetriegenskaper, tränga ännu djupare in i geometrins grunder. För att ta romben som exempel kan man genom olika vikningar kring diagonalerna konstatera att motstående vinklar är lika stora, att symmetrilinjerna är diagonaler som skär varandra med räta vinklar och, med en ny vikning, att motstående sidor är parallella. Man får samtidigt en idé om hur man kan bestämma arean av romben med hjälp av de trianglar som bildas av diagonalerna. På motsvarande sätt kan man bygga upp begrepp kring triangeln och cirkeln. Det visar sig att en hel del av de uppgifter eleverna misslyckades med på högstadiet kan lösas relativt enkelt genom att de använder enkla grundläggande begrepp. Men så ser i allmänhet varken undervisning eller läromedel ut. Många av de laborationer vi studerat leder visserligen till aktivitet bland eleverna, men hjälper dem knappast att bygga upp grundläggande begrepp eller tillägna sig termer för att diskutera dessa begrepp. 12 Nämnaren nr

57 Om area Area är ett område där många elever saknar känsla och begrepp. Medan eleverna inte har några större svårigheter att använda enkla förutsägbara formler, så får de problem när de ställs inför nya situationer, där de inte direkt kan använda någon formel. I följande figur skall eleverna bestämma arean av det skuggade området. De givna rutorna har storleken 1 cm 2. I årskurserna 5, 6 och 7 är lösningsfrekvenserna 34 %, 45 % respektive 48 %. Redan i årskurs 5 borde många elever kunna inse att om man från en rektangel med arean 35 cm 2 tar bort två trianglar med den sammanlagda arean 10 cm 2 så blir det 25 cm 2 kvar. Ett mål att uppnå i årskurs 5 är ju att eleven skall kunna jämföra, uppskatta och mäta... areor.... Det allra enklaste är för övrigt att slå ihop de två vita trianglarna till en rektangel som består av 10 rutor och man behöver då inte ens använda någon formel. I följande uppgift skall eleverna rita en rektangel med dubbelt så stor area som den givna, skuggade rektangeln. Det finns många enkla lösningar för den som vet vad som menas med area. Det är ju bara att räkna rutor. Här följer två förslag till lösning. Det visade sig emellertid att varannan elev i 5:an och nästan lika många elever i 6:an och 7:an ritade en rektangel, likformig med den givna rektangeln, i skala 2 : 1 (se figur till höger). Den rektangeln har som bekant fyra gånger så stor area som den givna rektangeln. De här exemplen visar att många elever saknar känsla för geometri. Nämnaren nr

58 Om volym När det gäller volym hade de flesta elever mycket ytliga kunskaper ännu i årskurserna 7 och 8. Deras lärare förklarade detta med att de, enligt uppnåendemålen, arbetar med volym först i årskurs 9. Detta tyder på två missuppfattningar. Att ett mål är uppnåendemål i årskurs 9 innebär inte att det är då man skall undervisa om detta. Det skall man ha gjort så långt tidigare att alla elever skall kunna uppnå det målet i nian. Till detta kommer att mätning av volym i själva verket är ett uppnåendemål redan i årskurs 5. Alla elever skall då kunna jämföra, uppskatta och mäta... volymer.... Det visar sig emellertid att bara 29 % av eleverna i årskurs 8 kan bestämma höjden av en avbildad parallellepiped med basytan 7 cm 2 och volymen 28 cm 3, alltså att lösa ekvationen 7x = 28. En förklaring till elevernas bristande kunskaper om volym kan vara att det av kursplanen inte framgår vilken typ av volym som avses. Gäller det vätskors volym i liter eller geometriska kroppars volym i cm 3? Bara 8 % av eleverna i årskurs 8 kan bestämma volymen av en låda som byggs upp genom att man viker en kartong med måtten 21 dm x 15 dm där man i varje hörn klippt bort en kvadrat med sidan 3 dm. Detta ger en låda med måtten 15 dm x 9 dm x 3 dm. Kan elevernas tillkortakommande bero på att de är så ovana vid att laborera och resonera att de inte kan se lådan framför sig? Om vinklar, skala och likformighet Bristande förståelse av grundläggande geometriska begrepp i kombination med bristande laborativ erfarenhet leder som redan nämnts till att eleverna inte förmår se enkla lösningar på geometriska problem. Till sin hjälp att lösa följande uppgifter hade eleverna en graderad linjal. En av uppgifterna handlar om att ange i vilken skala den högra figuren har avbildats. Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1:1) Svar: Bild i skala :1 Var tredje elev gör fel på den uppgiften, såväl i årskurs 4, 5 som 6. Det sker alltså ingen kunskapsutveckling under tre år. (Att behärska skala är ett mål att uppnå i årskurs 5.) 14 Nämnaren nr

59 Ännu intressantare är nästa uppgift på diagnosen där eleverna ska ange skalan mellan cirkeln till vänster och dess bild till höger. Bild av föremål i naturlig storlek (skala 1 : 1) Svar: Bild i skala 1: Bara varannan elev i årskurs 6 lyckades lösa uppgiften. Ett skäl till detta verkar vara att de inte kan definiera en cirkel och därför inte har något att referera till. Om de hade förstått att cirkeln definieras av dess radie så hade de haft något att referera till och skulle då ha kunnat lösa uppgiften genom att jämföra radierna eller diametrarna. Följande uppgift är också intressant. Eleverna vet att vinkel A i den här likbenta triangeln är 30 och skall bestämma övriga vinklar. Var fjärde elev i 7:an och 8:an kan inte bestämma vinkel B och varannan elev kan inte bestämma vinkel C. C A 30 B Genom symmetri (vikning längs mittpunktsnormalen till AB) kan man enkelt konstatera att vinkel B = vinkel A. Alla elever borde långt tidigare, genom en enkel laboration, ha lärt sig att vinkelsumman i en triangel är 180. Den mest intressanta uppgiften inom det här området är emellertid följande, där eleverna skall bestämma sträckorna AD och CD i följande figuren då de vet att AC är 9 cm. Bara 30 % av eleverna i årskurs 8 lyckades lösa uppgiften. När vi diskuterade detta resultat med lärarna menade de att topptriangelsatsen inte tas upp i deras läromedel förrän i årskurs 9 och därmed inte tas upp i undervisningen förrän i nian. Flera av dessa lärare verkade se geometrin som ett antal formler, inte som en konstruktion av enkla begrepp som man kan laborera sig fram till redan under de första skolåren. C D 2 cm E A 6 cm B Nämnaren nr

60 Laborationer för begreppsbildning Genom att laborera med olika geometriska figurer redan i årskurserna 1-3 kan eleverna få en grundläggande förståelse av geometri, vilket i sin tur hjälper dem att förstå innebörden i geometriska problem. Enkla laborationer av det slag som vi här presenterar kan dessutom leda till en rad intressanta och utvecklande samtal om matematik. För att bygga upp begreppet skala kan man låta eleverna utforska olika trianglar. I följande triangel har läraren i förväg ritat sträckor parallellt med sidorna och som går genom höjdernas mittpunkt. Den delas då upp i fyra kongruenta (likadana) trianglar som är likformiga med den ursprungliga figuren. Vid laborationen använder man sig av flera kopior av figuren och klipper ut och jämför den hela figuren med dess delar. Man finner då att sidorna i den stora triangeln är dubbelt så långa som motsvarande sidor i de små trianglarna. Detta illustrerar poängen med begreppet skala. Begreppen skala och likformighet är intimt kopplade till varandra. För att ge elever en uppfattning om vad likformighet handlar om, kan man låta dem laborera med figurer av följande slag. Läraren förbereder laborationen genom att konstruera likformiga trianglar på följande sätt. Först ritar man två transversaler, parallella med basen och på lika avstånd från varandra. Detta kan även göras genom att man viker figuren. Därefter vrider man figuren på följande sätt och upprepar proceduren två gånger H E G C D A B 16 Nämnaren nr

61 Man utgår nu från den högra figuren som jämförs med utklippta trianglar av olika storlek. Genom att jämföra delarna med hela figuren och studera och diskutera olika samband kan eleverna upptäcka ett antal egenskaper som gäller för skala och likformighet: CD är dubbelt så lång som EG och AB är tre gånger så lång som EG. CH är dubbelt så lång som EH och AH är tre gånger så lång som EH. DH är dubbelt så lång som GH och BH är tre gånger så lång som GH. De kan, genom att jämföra stora och små trianglar, konstatera att vinklarna HEG, HCD och HAB m.fl. är lika stora och att på samma sätt vinklarna HGE, HDC och HBA m fl är lika stora etc. De kan också se att EH CH = EG CD = GH DH = 1 EH och att 2 AH = EG AB = GH BH = 1 3 vilket till en början bör uttryckas informellt. Elever som fått laborera på det här sättet kan bygga upp en på konkretisering byggd förståelse för skala och likformighet och kan mot denna bakgrund finna enkla strategier för att lösa uppgifter som den med topptriangeln. Sammanfattning Våra erfarenheter efter en omfattande kartläggning och elevintervjuer är att de flesta elever på högstadiet verkar sakna känsla för geometri. En orsak till detta kan vara att eleverna under de tidigare årskurserna inte getts tillräckliga möjligheter att bygga upp grundläggande geometriska begrepp och termer med hjälp av laborationer. Detta leder i sin tur till att eleverna under senare årskurser saknar såväl språk som begrepp för att föra enkla resonemang om geometriska figurer och dess egenskaper. En förklaring till detta är att det under flera år saknats en aktuell terminologibok, vilket leder till att många lärare saknar en terminologi för den grundläggande geometrin. När vi tillsammans med lärare har diskuterat resultaten på våra kartläggningar av elevers kunskaper i mätning och geometri väcks frågan om hur det kunnat bli så här. I Sverige har vi i flera decennier haft nationellt konstruerade prov i matematik. Varför har man med hjälp av dessa nationella prov inte kunnat se de brister som såväl TIMSS som Diamant beskriver? En sannolik orsak kan härledas från gällande kursplan: Eftersom kursplanen saknar klart uttalade mål, så har man inget att utvärdera kunskaperna mot. Man kan därför inte veta om ett visst mål är uppnått eller inte. Förhoppningsvis kommer de nya kursplanemålen att ge lärarna bättre stöd i deras arbete med geometri. Litteratur Kiselman, C. & Mowitz, L. (2008). Matematiktermer för skolan. NCM, Göteborgs universitet. Nämnaren nr

62 Elevers möte med diagram Lisbeth Åberg-Bengtsson Diagram ska tas upp redan i skolans första årskurser enligt kursplanen i matematik. Vad kan vi lära från forskning om barns förståelse av detta ämnesinnehåll? Statistik i form av diagram är ett område inom matematiken som vi mycket ofta möter i vårt dagliga liv. Att förstå information presenterad i diagramform är en synnerligen viktig medborgarkunskap. Såväl i tidigare som i ny kursplan betonas helt följdriktigt under rubriken statistik, att elever från grundskolans tidiga årskurser och uppåt ska kunna hantera information i tabeller och diagram. Statistiska diagram är historiskt sett ett mycket sent påfund (Beniger & Robyn, 1978). Avbildningar av konkreta föremål och djur från människans direkta omgivning återfinns redan i form av grottmålningar, som kan vara år gamla, och enkla kartor har funnits i minst 8000 år. Att använda en plan yta till att illustrera något annat än den synliga verkligheten fick vi dock vänta på ända tills tidig medeltid. Det var först i och med 1600-talets lärde och uppfinningen av koordinatsystemet som man fick redskap för att skapa rätvinkliga diagram. Ett av de första bevarade diagrammen som bygger på koordinatsystem konstruerades av Sir Edmund Halley, som plottade barometertryck mot höjd över havet och fick fram en prydlig hyperbolisk kurva. (Det är förresten Halley som fått en komet uppkallad efter sig.) Det var emellertid först på 1700-talet som de moderna statistiska diagrammen skapades och det dröjde faktiskt ända tills mitten av 1800-talet innan denna nya framställningsform godkändes i statistikerkretsar, där man i det längsta höll fast vid tabellformen som enda representationsform. (För en mera detaljerad historisk översikt se Åberg-Bengtsson, 1998.) När nu diagram för att presentera numeriska data är av så sent datum, kan man kanske misstänka att de som kognitiva redskap betraktat inte är särdeles lätta att hantera. Och ändå ska undervisningen för våra yngsta elever behandla enkla tabeller och diagram och hur de kan användas för att sortera data och beskriva resultat från enkla undersökningar (Skolverket, 2011). Man frågar sig då givetvis: Hur går det? Med 20 års erfarenhet av egen och andras forskning inom området kan jag ge ett enkelt svar: Det går alldeles utmärkt, men inte utan vissa förbehåll. Diagramhantering i yngre åldrar fordrar förstås stöttning och tillgång till pedagogisk expertis, som annat lärande i skolan. Denna text är ett försök att som forskare med rötter och intresse djupt nere i klassrumsmyllan bidra till lärares reflektioner runt statistik- och diagramundervisningen. Forskning om diagramförståelse hos barn Forskning runt förståelse av statistiska diagram har oftast varit riktad mot äldre elever eller studenter vid högre utbildningar. Ofta har tillkortakomman- Nationellt Centrum för Matematikutbildning Se även Nämnaren för tidigare presentationer utöver litteraturlistan. Åberg-Bengtsson, L. (1992). Förstår barn diagram? Nämnaren 19(4), Åberg-Bengtsson, L. (1999). Att bygga, rita och tolka stapeldiagram. Nämnaren 26(2), Åberg-Bengtsson, L. (2000). Att bygga, rita och tolka cirkeldiagram. Nämnaren 27(3),

63 Statistik och sannolikhet den och brister då varit i fokus. Själv har jag i flera forskningsprojekt ägnat mig åt att studera hur även yngre elever ritar och resonerar kring vanliga diagram. Dessa studier bygger antingen på samtal med elever om redan färdigställda diagram (Åberg- Bengtsson 1991, 1994; Ottosson & Åberg-Bengtsson, 1995) eller mera undervisningsliknande situationer, där elever själva fått samla in enkel statistik i sin klass, skola eller närmaste omgivning för att sedan rita diagram över dessa data och resonera om sina framställningar (Åberg-Bengtsson 1998, 2006). Mina utgångspunkter har då främst inte varit att peka ut problem utan att istället försöka ta reda på hur eleverna hanterade och talade om olika komponenter i diagrammen och vilka reflektioner pedagoger och lärare kan göra utifrån den kunskapen. Utifrån mina studier av barn från 6-årsåldern till elever i gymnasiet har jag kunnat se att vissa diagram i regel är tämligen oproblematiska även för sexåringar. Att en högre stapel eller en större sektor betecknar mer av något än en lägre stapel eller en mindre sektor, är ett sätt att tänka och resonera som barnen har mött tidigt i livet. När de kommer till förskoleklass eller sitt första skolår förefaller sådana analogier ha blivit så inlemmade i deras erfarenhetsvärld, att vi kan tycka att de flesta använder dem nästan intuitivt. Utöver denna basala förståelse finns det givetvis ytterligare ett antal aspekter som krävs för att man på ett adekvat sätt skall kunna tolka och konstruera även enkla diagram. I det följande tar jag upp vad jag kommit fram till beträffande yngre elevers förståelse av några vanliga typer av statistiska diagram. Stapeldiagram Stapeldiagram är troligen den diagramtyp vi börjar med, när vi först ska introducera grafiska representationer av numeriska data. Ibland har vi i andra undervisningssammanhang redan bäddat för sådana framställningar genom att, till exempel, märka ut barnens längd på en måttskala eller genom att de fått avläsa och rita termometrar. I sådana situationer har ingått både en slags stapel och framför allt den mätskala som normalt utgör ena axeln i ett stapeldiagram. I senare studier (Åberg-Bengtsson, 1998, 2006) har jag låtit barn i åk 1-5 själva samla in enkla data som underlag för diagrammen. Det har utöver antal elever i klassen/skolan uppdelat på olika grupper kunnat handla om husdjur som kamraterna har, favorit lunch, favoritfärger eller hur man har tagit sig till skolan. Detta för att innehållet skulle vara elevnära och därmed inte bara så begripligt som möjligt utan förhoppningsvis även intressant för barnen. Eleverna fick inför sina första konstruktioner först bygga staplar av plastkuber som ställdes på bordet. Sedan fick de rita samma sak på papper för att elever på en annan skola, som jag arbetade parallellt med, skulle kunna ta del av deras bilder. Att deras diagram faktiskt skulle komma till användning visade sig vara ett lyckodrag för att väcka engagemang. Att en kub representerade något annat, till exempel en flicka, en pojke, en kamrat som cyklade till skolan eller en som föredrog köttbullar till lunch var inget konstigt ens för de yngsta eleverna. Eleverna ritade företrädesvis staplar utifrån principen enheter att räkna medan jag har färre exempel på principen helheter att mäta. I det första fallet konstruerade eleverna staplarna genom att till exempel rita ut varje enskild kub (oftast representerande ett barn). De räknade sedan varje enskild enhet för att få fram frekvenserna. Några grupper placerade staplar bestående av olika stora enheter tämligen oorganiserat på papperet (figur 1). Om eleverna fått en fingervisning om (a) att de avbildade kuberna kunde ha gjorts lika stora och (b) staplarna kunde ha placerats längs en gemen sam referenslinje (som i figur 2) hade 212 Nationellt Centrum för Matematikutbildning

64 Elevers möte med diagram de varit två steg närmare det traditionella stapeldiagrammet i det att staplarnas höjd (de avbildade frekvenserna) lätt hade gått att jämföra. Det traditionella stående stapeldiagrammet innehåller vanligen en skala längs y-axeln och staplar som inte är indelade i enheter, och det gängse sättet att avläsa värden är att anta strategin helheter att mäta. Ett sätt att försöka erbjuda eleverna en sådan mätstrategi kan vara att så småningom beröva dem de mest näraliggande redskapen för räknestrategin. Vi kan till exempel se till att de inte har manipulativ materiel till hands och/eller låta det som ska illustreras innehålla ett så stort antal enheter att rutorna på papperet inte räcker till för en avbildning i förhållandet ett-till-ett. I mina tidigaste studier (Åberg-Bengtsson, 1991, 1994) fick eleverna samtala med mig runt ett antal i förväg färdigställda diagram, som de inte själva varit med om att rita. Efter en inledande förklaring om diagrammet Antal personer som Lotta mötte när hon var ute och joggade kunde eleverna i årskurs 2 utan problem, och även vissa sexåringar, läsa ut på vilken veckodag som Lotta mötte det största respektive minsta antalet personer, och även hur många hon då mötte. Det hände emellertid också att sexåringar kunde tro att hon mötte en person varje dag men att de var olika långa (beroende på staplarnas höjd) eller att hon mötte en mer för varje dag (d v s en på måndagen, två på tisdagen, o s v) därför att de utsatta värdena på den lodräta skalan var 1, 2, 3, osv. Wainer (1980) har pekat på att elever kan ha relativt lätt att läsa av enskilda värden i stapeldiagram men att det är svårare att göra jämförelser och se trender. Resultat från mina studier pekar i samma riktning. Förmåga att hantera information varierar dock inte enbart (eller kanske inte främst) med individen utan snarare med situationen. Som framgått kunde vissa sexåringar faktiskt klara enkla jämförelser i diagrammet om Lotta. Det hävdas ibland att diagram med liggande staplar är lättare att läsa av än sådana med stående staplar. Det finns inte utrymme att diskutera detta här. Jag har oftast använt mig av stående stapeldiagram eftersom det är en vanlig diagramtyp utan att för den skull ta avstånd från den andra varianten. Barnen ritade så gott som undantagslöst stående staplar, troligen på grund av att den laborativa materiel vi använde inbjöd till detta. Cirkeldiagram De cirkeldiagram som jag arbetat med i mina studier har varit av typen tårtbitsdiagram. De är ju speciella i så motto att de enbart visar relativa värden, det vill säga cirkelsektorerna utgör proportionella delar av en helhet, som vi ibland känner till storleken av, ibland inte. I studier där elever själva tillverkade diagram (Åberg-Bengtsson, 1998, 2006) fick de i sina första konstruktioner på papper rita av cirklar uppbyggda av kuber på liknande sätt som när det gällde stapeldiagram. I de fall eleverna redan från början gjorde enheterna (avbildade kuber) lika Figur 1. Klipp ur diagrammet Antal elever vid vår skola. (Det rör sig om en liten skola på landet.) Figur 2. I diagrammet Eleverna i sjuans klasser har dessa barnen gjort enheterna lika stora och ordnat sina staplar längs en referenslinje. Nationellt Centrum för Matematikutbildning 213

65 Statistik och sannolikhet Figur 3. I diagrammet Hur vi kom till skolan idag har elevernas första konstruktion av avritade kuber vidareutvecklats till ett tårtbitsdiagram. Figur 4. Diagrammet handlar om eleverna vid närmaste högstadieskola. Barnen har här inte relaterat delarna till helheten. stora var det sedan lätt att rita ut sektorer med rätt proportioner (figur 3). Att i nästa skede tolka inte bara egna utan även andras diagram i termer av vilken grupp som var den största, vilken som kom tvåa o s v var helt oproblematiskt för samtliga. Även deltagande sexåringar (Åberg-Bengtsson, 1991) rangordnade sektorer i andra diagram, de skulle tolka. Några gjorde jämförelser av typen 2A tyckte näst bäst om päron men 2B tyckte näst bäst om choklad från bilden med två tårtbitsdiagram om glasspreferenser i klasserna 2A och 2B. De klarade både att relatera till ett innehåll och att jämföra sektorer i två diagram. När det gäller jämförelser mellan sektorer i olika tårtbitsdiagram måste vi emellertid iaktta en viss försiktighet, vilket jag återkommer till. Tårtbitsdiagram har emellertid, som jag antytt ovan, egenskaper som kanske inte är helt lätta att hantera, till exempel del/helhetsförhållande. För att försöka få en bild av om eleverna hade tillägnat sig ett mera fullständigt sätt att hantera diagramtypen än vad de haft chans att visa i de övningar som jag hittills beskrivit, ingick en annan typ av uppgift i två av studierna (Åberg-Bengtsson, 1998, 2006). Eleverna fick en tom cirkel att utgå från. I denna skulle de sedan rita in delar i en helhet, till exempel grupperna pojkar och flickor vid närmaste högstadieskola. Data var anpassade så att det inte skulle vara lätt att försöka tänka i termer av kuber eller annan laborativ materiel. Några elever försökte då rita in sektorer av sinsemellan ungefär korrekta proportioner men fick en bit av cirkeln över som de sedan exempelvis antingen färgade svart eller klippte bort. De kunde således hantera proportionalitet men inte att delarna i diagrammet också skulle utgöra en helhet. Detta kan väl även sägas om vissa av de elever som fyllde cirkeln men inte bara tog med de grupper som var tänkta att ingå utan även det totala antalet eller tillsammans som de själva uttryckte det (figur 4). Vissa elever som kom fram till en sådan lösning gjorde det förvisso främst därför att tillsammans fanns som en post i den tabell de hade framför sig. Andra diskuterade dock verkligen för och emot innan de bestämde sig. En pojke i åk 1 ville till exempel att de skulle rita ett traditionellt diagram med två sektorer som fyllde cirkeln och uttryckte att tillsammans då ändå skulle finnas med på något sätt. Hans jämnårige kamrat, som till slut vann ordväxlingen, hävdade envist att detta visserligen kunde stämma, men att det blev tydligare om de ritade som i figur 4. En svårighet som kan ställa till problem till och med för många gymnasieelever, är att tårtbitsdiagrammen enbart visar delar av helheter. I glassexemplet ovan vet vi inte om det faktiskt var fler elever, som tyckte bäst om vaniljglass, i den ena klassen utifrån att sektorn i fråga var större än för den andra klassen. I en stor klass kan en mindre andel av eleverna förstås ändå innebära fler individer, än en större andel i den lilla klassen. Denna problematik behöver vi kanske inte göra alltför stort väsen av, när vi arbetar med våra yngsta elever. Det är emellertid viktigt att vi själva håller tungan rätt i mun, så att vi inte i onödan bäddar för framtida missförstånd. Så småningom kanske vi med laborativ materiel ändå kan visa att en större klass får en vidare cirkel än en mindre om enheterna vi bygger med är lika stora, för att därefter komma fram till och visa att vi trots detta till slut kan göra cirklarna av samma storlek. 214 Nationellt Centrum för Matematikutbildning

66 Elevers möte med diagram Linjediagram Linjediagram liksom stapeldiagram bygger på rätvinkliga koordinatsystem. Linjediagram har mätskalor längs båda axlarna och det krävs en viss förståelse av koordinater för att komma längre än till de mest basala tolkningarna, som vad en stigande eller sjunkande kurva indikerar. Det har rått en viss oenighet om i vilken ålder barn kan hantera koordinater. Vissa forskare har kommit fram till att redan vissa 4-, 5-åringar och de flesta 6-åringar klarar av detta (t ex Somerville & Bryant, 1985; Blades & Spencer, 1989) medan andra hävdat att det är först uppåt 9- eller 10-årsålder som barn har nått tillräcklig mognad för att förstå koordinater (Carlson, 1976; Piaget, Inhelder & Szeminska, 1960). Dessa skillnader torde emellertid främst ha att göra med att man haft olika syn på vad koordinatförståelse handlar om. Forskare som argumenterat för att barn tidigt kan hantera koordinater har bland annat använt sig av uppgiften att utifrån referenspunkter på axlarna hitta skärningspunkten för dessa koordinater på liknande sätt som när man anger läget av rutor på ett schackbräde. Barnen har då fått koordinatsystem med antingen bokstäver på den ena och siffror på den andra ledden, alternativt med färger och figurer för de icke läskunniga. Uppgiften har varit att till exempel peka ut rutan för E7 eller gul bil (Blades & Spencer, 1989; Åberg-Bengtsson, 1991). Piagets och Carlsons uppgifter handlade om att på ett mer avancerat sätt mäta vinkelräta avstånd. Forskning pekar tämligen entydigt på att linjediagram är svårare för barn att hantera än både stapel- och cirkeldiagram (Wainer, 1980; Åberg- Bengtsson. 1991, 1994, 1998). Jag har noterat att en av svårigheterna för yngre elever förefaller vara att hålla reda på siffror i två hänseenden, till exempel att det var 4 kamrater som hade 2 husdjur hemma eller att klockan 10 var det 12 grader varmt. Andra problem som blivit tydliga när barn själva fått i uppgift att konstruera diagram kan, som jag ser det, ha att göra med att de behandlar koordinater på det enklare sätt som beskrivits ovan utifrån Blades och Spencers studie (1989). Många yngre elever verkar betrakta till exempel de hela timmar vid vilka de under en dag läst av temperaturen såsom en serie enskilda händelser, istället för att se dem som värden längs en kontinuerlig skala. Detta i sin tur kan leda till att de enbart sätter ut (med jämna intervall) de aktuella klockslagen längs baslinjen (dvs x-axeln) och utelämnar klockslag då de inte läst av temperaturen. Elever som konstruerat sin baslinjeskala på detta sätt råkade i svårigheter då de fick till uppgift att rita in temperaturkurvan för ytterligare en dag i sin bild. De hade nämligen under den andra dagen inte läst av temperaturen vid samma klockslag. De kunde då ta till tämligen påhittiga lösningar som att rita två x-axlar den andra under den första (figur 5) eller den andra högst upp i diagrammet. Jag har å andra sidan mött elever redan i åk 1 som efter diskussion i gruppen ritat en skala med samtliga hela klockslag under dagen, även sådana då de inte läst av termometern. Även om barnen inte kunnat ge en mera utvecklad förklaring än att det blir liksom bättre, så har de ändå här förutsättning för att kunna betrakta koordinaterna som mätbara avstånd. Eleverna i denna senare Figur 5. Del av diagrammet Temperaturen under två dagar med två x-axlar. Pilar visar vilken kurva som respektive axel är tänkt att höra ihop med. Nationellt Centrum för Matematikutbildning 215

67 Statistik och sannolikhet grupp kunde dessutom efter det att de ritat in kurvan även läsa av värden mellan de utsatta, till exempel temperaturen klockan halv tolv. Jag har flera exempel på sådana interpoleringar från mina studier där yngre elever ingått (Åberg-Bengtsson, 1991, 1998), vilket är intressant med tanke på att Kerslake (1981) tidigare funnit att många engelska elever år gamla hade svårigheter med att hantera kurvan som kontinuerlig. Det vill säga, de hade problem med att kurvan hade fler punkter än vad som använts för att konstruera den. Barn i mina studier har dock redan från sjuårsåldern klarat att läsa av koordinater för linje diagram där inte konstruktionspunkterna syntes på kurvan, vilket återigen visar att diagramförståelsen (liksom annat kunnande) är situationsbundet. Samtidigt som linjediagram är svårare både att åstadkomma och läsa av för unga elever, är det relativt sett lättare att se övergripande tendenser i bilden än det är för andra diagramtyper. Att i ett diagram över hur två barn ökar i längd under sina första 13 år läsa ut när den ena växer om den andra klarade redan vissa sexåringar. Även förskolebarn kan inse att den stigande kurvan i ett diagram om Lottas baby betyder att babyn växer. Å andra sidan måste man i sådana här fall givetvis iaktta stor försiktighet då man tolkar barns utsagor. En sexåring sa alldeles riktigt att babyn blev större å större tungare å tungare, vilket han förstås kunde ha gissat utan att förstå diagrammet. Men när jag frågade varför, pekade han på åldern i månader på x-axeln och sa: Det blir mer å mer siffror. Vad gäller linjediagram vill jag föreslå att vi varsamt guidar barn mot adekvata sätt att konstruera axlarna, till exempel genom att inledningsvis låta dem använda ett i förväg iordningställt koordinatsystem (om de ritar för hand) och att vi diskuterar följderna av olika lösningar. Vidare bör vi välja innehåll med noggrannhet. Det finns för linjediagram en mängd angreppssätt som är riktigt svåra i yngre åldrar. Tid eller hastighet plottat mot avstånd har även äldre elever ofta svårigheter med, vilket dock inte ligger inom ramen för denna text att diskutera (se Åberg-Bengtsson, 1994, 1996, 1998 för forskningsexempel). Diagram på datorn? Eleverna i min avhandlingsstudie (Åberg-Bengtsson, 1998) tolkade inte enbart diagram utan ritade framför allt själva ca 12 diagrammatiska illustrationer per grupp. Eleverna var angelägna om att göra sina bilder så fina de kunde men det arbetet var ofta tidsödande. Det hände att de började tröttna innan de var helt färdiga. Bland annat ledde detta till att jag i mitt nästa projekt (delrapporterat i Åberg-Bengtsson, 2006) lät elever 7 12 år konstruera diagram på dator. Det jag främst ville undersöka var hur datorn jämfört med egenhändigt ritade diagram på papper fungerade som redskap för att stödja lärandet och öka elevernas förståelse. Eftersom jag vid tiden för studien inte fann några speciella undervisningsprogram om diagram, använde jag mig av Microsoft Excel som ju är vanligt förekommande. För att uppnå viss jämförbarhet med avhandlingsstudien var upplägget av de båda projekten i stort sett identiska, med den stora skillnaden att eleverna i det senare fallet efter att ha fått bygga stapel- och cirkeldiagram med plastkuber direkt övergick till att konstruera diagrammen i Excel. Inledningsvis lät jag eleverna arbeta med i förväg iordningställda tabeller och diagram, som dock byggde på godtyckliga sifferuppgifter istället för de riktiga som eleverna själva samlat in. När eleverna sedan ändrade siffrorna i tabellen till de värden som gällde, kunde de samtidigt kontrollera att staplar eller sektorer i diagrammet ändrats på rätt sätt (figur 6). Efterhand blev de vana vid programmets olika funktioner och möjligheter, till exem- 216 Nationellt Centrum för Matematikutbildning

68 Elevers möte med diagram pel att välja diagramtyp, ändra skalans utseende, välja färg på staplar och sektorer, infoga etiketter och rubriker mm. De fick dock även fortsättningsvis hjälp med en i Excel-bladet förberedd tabell med kolumner och rader på plats samt guidning i programmet om de så behövde. När eleverna som dittills tillverkat samtliga diagram på datorn avslutningsvis även de fick rita diagram för hand på papper, var resultaten förvånansvärt lika de diagram som eleverna i min tidigare studie åstadkommit. Många elever ritade diagram med alla eller de flesta av de komponenter som vi traditionellt väntar oss ska ingå. Andra elever använde sig av en eller flera väsentliga aspekter, som att hantera proportionaliteten mellan sektorerna, men lät inte delarna utgöra helheten. Framställningar som den i figur 4 förekom även bland datorelever. Det finns i deras manuellt ritade diagram ibland direkta spår av Excel-miljön. I figur 7 är det med stor sannolikhet programmets hjälplinjer för avläsning som föranlett eleverna att sätta in de vågräta linjerna i bilden även om deras funktion inte riktigt överensstämmer med den i programmet. Min slutsats är att eleverna mycket väl kan få eller kanske till och med bör få använda datorn för att konstruera sina diagram. Glädjen över programmets möjligheter att snabbt få till stånd vad de uppfattar som riktigt fina diagram (figur 8), samtidigt som de på ett, som jag ser det, effektivt sätt övar sina diagramfärdigheter är givetvis något som vi bör tillvarata. Vi får på detta stadium låta passera att diagrammen ibland, sett med expertisens ögon, kan bli väl pråliga. Att rita för hand och framför allt att sedan färglägga diagrammen så att det blir fint är tidsödande. Detta kan vi kanske gömma till ett fåtal tillfällen och för speciella ändamål, exempelvis då vi vill försöka fånga upp delar av elevernas förståelse, som vi kanske inte kommer åt på annat sätt. Figur 6. Exempel på ett första diagram i Excel. Det handlar även här om en liten skola på landet. Avslutande reflektioner Forskning och undervisning är förvisso inte samma sak. I forskning ställer vi ibland eleverna inför uppgifter som inte direkt skulle lämpa sig i under visningssituationer. Men jag har oftast försökt att arbeta på ett så undervisningsliknande sätt som möjligt och med ett elevnära innehåll. Med erfarenheter från drygt 20 år på klassrumsgolvet som verksam lågoch mellan stadielärare tror jag mig ha lyckats ganska väl med det. Jag hoppas att det jag har delat med mig av en och annan konkret idé och bidrar till lärares kunnande om yngre elevers diagramförståelse. Även om det finns aspekter av diagram som kan hanteras tämligen intuitivt, finns det som vi sett i genomgången andra aspekter där elever är i stort behov av lärarens handledning. Om vi tidigt kan ge våra elever lämplig stöttning, fånga deras intresse och på ett genomtänkt sätt introducera diagram, kanske vi kan slippa höra (i andra sammanhang framgångsrika) gymnasieelever säga: Diagram jag är liksom inte den rätta att fråga om det. Figur 7. Del av diagrammet Skolor i rektorsområdet. De vågräta linjerna, som pekar mot antalet elever har troligen influerats av datorprogrammets stödlinjer för avläsning. Nationellt Centrum för Matematikutbildning 217

69 Statistik och sannolikhet Figur 8. Ett diagram över kamraternas favoritfärger där dekorationsglädjen verkligen blomstrat. Kommentar till illustrationerna Figurerna 1-5 samt figur 7 utgörs av rekonstruktioner av elevernas arbeten framställda i Adobe Illustrator. Figurerna 6 och 8 är skärmdumpar från Microsoft Excel. (Engelsk version i svart-vitt av figur 2 är tidigare publicerad i Åberg-Bengtsson, 2006, s. 123). Fav orit färge r Litteratur Beniger, J. R., & Robyn, D. L. (1978). Quantitative graphics in statistics: A brief history. The American Statistician, 32, Blades, M., & Spencer, C. (1989). Young children s ability to use coordinate references. The Journal of Genetic Psychology, 150(1), Carlson, G. R. (1976). Location of a point in Euclidian space by children in grades one through six. Journal of Research in Science Teaching, 13, Kerslake, D. (1981). Graphs. I K. Hart (Ed.), Children s understanding of mathematics: (pp ). London: John Murray. Ottosson, T., & Åberg-Bengtsson, L. (1995, aug). Children s understanding of graphically represented quantitative information. Paper pres at the 6th EARLI Conference, Nijmegen, Nederländerna. l i l a b l å g r ö n s va r t r o s a o r a n g e r ö d Piaget, J., Inhelder, B., & Szeminska, A. (1960). The child s conception of geometry. London: Routledge & Kegan Paul. Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, Lgr Somerville, S. C., & Bryant, P. E. (1985). Young children s use of spatial coordinates. Child Development, 56, Wainer, H. (1980). A test of graphicacy in children. Applied Psychological Measurement, 4, Åberg-Bengtsson, L. (1991). Barns förståelse av diagram (Examensarbete). Göteborgs universitet, Institutionen för pedagogik. Åberg-Bengtsson, L. (1994). Elevers svårigheter att tolka data i diagram och kartogram. Nämnaren 21(3), Åberg-Bengtsson, L. (1996). Elevers förståelse av diagram. I G. Emanuelsson, mfl (Red.), Matematik ett kommunikationsämne (s ). Göteborg: NCM. Åberg-Bengtsson, L. (1998). Entering a graphicate society: Young children learning graphs and charts (Göteborg Studies in Educational Sciences, 127). Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Åberg-Bengtsson, L. (2006). Then you can take half... almost : Elementary students learning bar graphs and pie charts in a computer-based context. International Journal of Mathematical Behavior, 25, Nationellt Centrum för Matematikutbildning

70 Torun Paulsson Geometri på golvet Deltagande i projekten i Uppsala har påverkat undervisningen genom bland annat nya klassrumsaktiviteter. Här berättar en lärare om ett konkret resultat av kompetensutvecklingen. Jag har alltid känt osäkerhet och ett vagt obehag inför mina geometrilektioner. Jag har inte heller riktigt förstått varför mina elever också varit så osäkra. Vår handledare Madeleine Löwing lät oss inom projektets givna ramar själva välja vilket område vi ville arbeta med. Efter diskussion med kollegorna och egen eftertanke beslutade jag tillsammans med min kollega att vi skulle ta oss an det vi tyckte var svårast geometri. För att komma fram till vad eleverna, som jag undervisar, skulle lära sig, började jag med att notera olika begrepp. Plötsligt kändes det ganska osäkert igen. När ord som symmetrilinjer och diagonaler togs ur sitt sammanhang var det inte solklart för mig vad de innebar. Mina något diffusa förklaringsmodeller skulle aldrig hålla inför eleverna. Min räddare, som sedan blev min naturliga följeslagare, var Matematikterminologi i skolan. I den finns alla begrepp förklarat med både ord och bilder och när man börjar läsa i den går det nästan inte att sluta. Senare beställde vi den nyare boken Matematiktermer för skolan till alla matematiklärare på skolan. Det blir så mycket enklare när allt får en korrekt förklaring. Mycket av geometrin handlar om att bygga upp ett språk för att kunna kommunicera begreppen. Precis som i all språkundervisning för yngre elever är det ypperligt att göra så mycket som möjligt praktiskt. Jag har därför försökt att hitta spännande och enkla rörelse- och ordlekar. Eleverna har också fått klippa och vika geometriska former. Vi har tidigare utgått från några vanliga former i undervisningen. Många barn fick bekanta sig med cirkel, rektangel, triangel och kvadrat och sedan fortsätta att repetera dem under många år. Det jag nu ville börja med istället var att hitta orden som definierar dessa geometriska former. Jag valde att lyfta fram orden sida, vinkel, hörn, symmetrilinje, diagonal samt rät, spetsig och trubbig vinkel. Med dessa ord kan många geometriska former beskrivas. För att få med rörelse utgick jag från leken Simon says. Jag tejpade upp flera stora figurer på golvet: en romb, ett parallelltrapets, en rätvinklig triangel, en likbent triangel, en sjuhörning och en rektangel. Simon säger Deltagarna måste göra vad Simon säger när han börjar meningen med Simon säger. När Simon säger Simon säger hoppa måste alla deltagare hoppa de som inte gör det är ute ur leken. Om Simon bara skulle säga Hoppa utan att först säga Simon säger ska deltagarna inte hoppa de som då hoppar är ute ur leken. 24 Nämnaren nr

71 Några exempel på vad Simon kan säga: ställ dig i ett hörn balansera på en sida ställ dig i en fyrhörning skaka hand med dina diagonalkompisar ställ dig i din figurs minsta/största vinkel ställ dig på en tänkt symmetrilinje ställ dig inuti den figur som har störst/minst area sitt i en vinkel. Eleverna gjorde många nya erfarenheter. Det gick exempelvis snabbt upp för dem vilken vinkel det var bekvämast att sitta i då de egna benen skulle följa de upptejpade vinkelbenen och vilka som var obekväma. Jag utvecklade aktiviteten bland annat genom att rita ut eventuella symmetrilinjer. Det som är bra med att hålla till på golvet, eller på en plan utomhus, är att det inte finns något upp eller ner på formerna, eftersom de kan ses från olika håll och ur olika vinklar. Om exempelvis en triangel ritas med en spetsig vinkel neråt och basen uppåt i bild, eller vriden på något annat sätt, uppfattas den av förvånansvärt många elever som en helt annan form. Nästa steg var att vi ritade figurerna på tavlan och tränade på att beskriva dem så utförligt som möjligt. När jag beskrev en figur skulle eleverna försöka peka ut vilken det var. Efter det ritade eleverna olika figurer på papper och de tränade parvis på att beskriva för varandra. Både jag och eleverna har byggt upp en säkerhet som tagit oss längre än jag trodde var möjligt. Det har varit både roligt och spännande med nya ord som utmanat. Vi fortsatte att arbeta med tredimensionella kroppar som kub, rätblock, sfär, cylinder, pyramid och kon. Jag resonerar som så, att om inte alla ord eller begrepp sitter med en gång så gör det inget. Några elever är inte helt säkra på vad diagonal eller parallelltrapets är men de känner igen dem när vi jobbar med dem. Jag tycker det är bättre att återkomma till alla grundläggande ord än att bara repetera benämningarna på de regelbundna formerna. Nämnaren nr

72 juan parera-lopez & oskar hellblom En leksak för att träna två- och tredimensionellt tänkande Kunskap i matematik kan ses som en samling av förmågor, som diskuterats i flera artiklar i de senaste numren av Nämnaren. Rumsuppfattning och förmågan att visualisera två-och tredimensionella figurer kan tränas med en till synes enkel leksak. Här får vi en presentation av hur man kan använda och utveckla denna leksak för klassrummet. Rumsuppfattning är förmågan att behandla sinnesintryck av former och formernas inbördes lägen i relation till den omgivning de finns i. Utveckling av rumsuppfattning hos barn är relaterad till barns agerande i sin omgivning och bestäms av kulturella faktorer (Piaget, 1971; Luria, 1982). Skolan spelar en viktig roll i det här sammanhanget, särskilt matematik- och i synnerhet geometriundervisningen (Romberg m fl, 1989). Skolan bör ge elever möjligheter att träna upp förmågan att kunna föreställa sig föremål från olika lägen och rita bilder som ger tredimensionellt intryck, med anledning av att det behövs i olika skolämnen. T ex behövs dessa färdigheter i teckning, kemi (molekylstruktur) och fysik (magnetkraft). För de som vill läsa naturvetenskap eller teknik på högskolan är dessa förmågor viktiga t ex vid integrering i tredimensionella områden. Eftergymnasiala matematikstudier kräver ännu bättre spatiala färdigheter som att kunna handskas med fyrdimensionella eller högre dimensionella figurer (Collins, 2004). Svenska gymnasie elever har brister i perspektivuppfattning och ritning av kroppar som ger tredimensionellt intryck (Parera-Lopez, 1997). På Thorildplans gymnasium har vi utvecklat uppgifter för att träna spatiala förmågor. Nedan berättar vi om en följd av sådana uppgifter och klassrumserfarenheter vid lösning av dessa. Småbarnsleksak som tränar form- och perspektivuppfattning Leksaken visas i figur 1. Leken handlar om att para ihop ett hål i en platta med en kropp så att kroppen när man ställer den på rätt profil passerar genom hålet. Leksaken är väldig bra för små barn. Den tränar små barns förståelse för former samt synkroniseringen av syn och manuella rörelser. Faktum är att leksaken också är lämplig för gymnasieelever om man finner variationer på leksaken som utvecklar förmågan att handskas med två och tre dimensioner. Nämnaren nr

73 Figur 1. Leksaken. Uppgiften är att stoppa in den kropp som har rätt tvärsnitt i rätt hål. Ett exempel på en sådan uppgift är att få försökspersonen att designa kroppar med andra former som likväl som de som visas i figur 1 passerar genom hålen. I figur 2 visas två olika kroppar, en cylinder och ett klot, som båda passar det cirkelformade hålet i plattan. Figur 2. Två olika kroppslösningar till det cirkelformade hålet i plattan på figur 1. Letandet efter alternativa kroppslösningar till leksaken leder till förståelse för kroppars olika tvärsnitt, d v s olika perspektiv på kroppar. Nedan berättar vi om utvecklingar av leksaken och uppgifter som är lämpliga för att träna färdigheter av detta slag. Tonåringsleksak som tränar tredimensionellt rumsperspektiv Vi utgår från leksaken ovan och ändrar lite på den. Den nya leksaken består av tre plattor med två hål i, se figur3. Uppgiften är att designa en kropp som passar båda hålen i en platta. Vi har i några år testat uppgifterna med blivande NV-gymnasieelever, tre klasser per år. Försökspersoner får uppgiften att rita bilder av de kroppslösningar de hade kommit på. Uppgiften verkade vara svår. Mindre än 10 % av eleverna lyckades under de första 10 minuterna med att komma på en lösning till en platta. De som lyckades hade brister i förståelse för den kropp som de hade utvecklat. De hade svårigheter med att beskriva och rita kroppslösningar. Några enstaka elever Figur 3. En utveckling av leksaken. Problemlösaren ska designa en kropp som passar båda hålen i respektive platta. kunde rita bilden av en kroppslösning, men dessa bilder brukade ge ett svårtolkat intryck. Här överlappar två svårigheter: formgivningen av kropparna och förmågan att rita bilder av kropparna. Eleverna hade svårt att handskas med olika rumsperspektiv. Det var också svårt att rita bilder som gav ett tredimensionellt intryck. När läraren hjälpte till och kommenterade att vägen till att utveckla en lösning är att formge ett föremål som för platta A är triangelformad när det betraktas från en sida och kvadratformat när det betraktas från en annan sida, kom några elever till på en lösning. Figur 4 visar möjliga lösningar. Figur 4. Kropplösningar till plattorna i figur 3. Ett prisma är lösning till A-plattan, en cylinder är lösning till B-plattan och en kon är lösning till C-plattan. Efter lärarens förklaringar av kroppslösningar i figur 4, fanns det elever som hade svårigheter att se varför dessa kroppar var lösningar. De flesta eleverna hängde med, när läraren hade förklarat hur man kan betrakta tvärsnitten och hur de passar hålens former, se figur 5 på nästa sida. 46 Nämnaren nr

74 Det går att utveckla uppgifter med högre svårighetsgrad: Formge andra kroppar än de som visas i figur 4 som också är lösningar. Utvecklingen av alternativa lösningar har med förändring av kroppens utseende i den tredje dimensionen att göra. Nu kan vi utveckla leksaken ännu mera för att träna förmågan att handskas med formerna i dessas tredje dimension. figur 5 Leksak för utformning av kroppar vars tre profiler är givna Leksaken består av en platta som har tre olikformade hål, ett exempel på en sådan visas i figur 6. Uppgiften är att formge en kropp som när den ställs åt rätt håll passerar genom alla tre hål som finns i plattan. För att systematisera formgivningen av kroppslösningar, kan man följa nedanstående metod: Steg 1. Utgå från plattans hål och konstruera de 2-dimensionella figurer som har samma form som hålen. T ex för A- plattan i figur 3 blir det en kvadrat och en triangel. Figur 6. Uppgiften är att formge en kropp som kan passera genom alla tre hålen. Figur 7 Steg 2. Ta en av de 2-dimensionella figurer som referensfigur och placera den på ett plan. Sätt den andra 2-dimensionella figuren på den första så att de står vinkelrätt mot varandra. Flytta den andra figuren längs den första och konstruera den tredimensionella kropp som denna förflyttning ger upphov till. Vi har testat hur olika personer, ungdomar och vuxna, löser uppgiften. Uppgiften verkar vara så svår att nästan ingen klarar av den under de första 20 minuterna. Även om man muntligt berättar för försökspersonen hur man kan formge en kropp hänger de flesta inte med. Det är svårt att i tanken visualisera den figur som beskrivs. Att använda modell-lera för att under handledning omforma den kropp som handledaren beskriver gör det lättare. I figur 7 visar vi en lösning till plattan i figur 6. För att systematisera lösningarna kan man följa nedanstående metod: Nämnaren nr

75 Steg 1: Formge en kropp som är lösning till två håll i fig 6-plattan, t ex en kropp som passar kvadraten och triangeln i plattan. Ett prisma passar dessa. Prova själv Nu har du blivit duktigare på att formge tredimensionella kroppar med bestämda tvärsnittsformer. Träna dina spatiala förmågor och formge kroppar som passar de leksaksplattor som visas nedan. Steg 2. Ändra kroppen du utvecklade i steg 1 genom att ändra på den tredje sidan omforma den till den form som det tredje hålet har. Diskussion Att formge kroppar vars olika tvärsnitt är givna är en svår uppgift. Man måste samtidigt kunna hålla olika perspektiv av kroppen och utveckla en tredimensionell bild av den. För att kontrollera om det handlade om svårigheter att samtidigt arbeta med olika former fick försökspersonerna modell-lera. Vi testade hur det gick att lösa uppgifterna genom att omforma modell-leran till de kroppar som löser uppgiften. Erfarenheten i klassrummet visade att det inte hjälpte försökspersonen, men det förenklade förståelsen för en lösning när läraren omformade modell-leran och visade denna lösning. Att använda de metoder som beskrivs ovan förenklar lösningen av de undersökta uppgifterna. Metoderna ger rutiner där informationen kan delas upp i enklare bitar (figurer av färre dimensioner). Lösningen på en uppgift uppkommer genom en sammansättning av dessa enklare figurer och en i förhållande till varandra relativ rörelse av dessa enklare figurer. Litteratur Collins, G.P. (2004). The shapes of Space. Sc.American, 291(1). Luria, A.R. (1982). Cognitive development. It s cultural and social foundations. Harvard Univ. Press. Parera-Lopez, J. (1997). Tonåringars perspektivteckningar av geometriska landskap. Examensarbete, Lärarhögskolan i Stockholm. Piaget, J. (1971). Intelligensens psykologi. Natur & Kultur. Romberg, T. mfl (1989). Curriculum and evaluation standards for school mathematics. National Council of Teacher of Mathematics. 48 Nämnaren nr