Produktionsplanering och vattenvärden - en studie av produktionsplanering för regleringsbar vattenkraft vid Skellefteå Kraft AB

Transkript

1 Umeå universitet 3 mars 21 Civilingenjör, Teknisk Fysik Examensarbete 3hp Produktionsplanering och vattenvärden - en studie av produktionsplanering för regleringsbar vattenkraft vid Skellefteå Kraft AB Student: Examinator: Handledare: Peter Olofsson Roland Häggkvist Jörgen Berglund Mia Westerlund

2

3 Produktionsplanering och vattenvärden Production scheduling and water values - a study of hydropower production scheduling at Skellefteå Kraft AB Abstract The purpose of this master's thesis was to study hydropower production scheduling on behalf of Skellefteå Kraft AB and to determine how water in a reservoir could be priced. Furthermore an application for calculating these water values was to be made. Hydropower production scheduling was found most often divided into three levels, into a long-, medium- and short-term scheduling part, where the degree of detail increases with decreasing time horizon. The reason for this breakdown into levels are that a high detail in the model descriptions is desired, while still maintaining a good long-term planning. The idea is thus to let the higher level give the lower one an insight for future events it would otherwise lack. Possible couplings between the levels was discussed, where a coupling through price and water values was argued to be the best. Subsequently methods for water value calculations and mathematical conditions for optimal production was studied, in which an own program in Matlab could be written. The program calculates water values at a single reservoir model by the help of forecasts of future inow and price, where the forecasts are allowed to be divided into any number of scenarios. Test runs of the program shows that water levels are reduced before the spring ood, thus to make room for the incoming water. It is also shown that the ISOcurves for the water values, which indicates where in time and reservoir level a certain water value is located, becomes atter at larger reservoirs and steeper at smaller reservoirs before the incoming spring ood. But also that the ISO-curves are aected by the production capacity. The test runs further shows that the water values are strongly linked to both the shape and level of the inow and price forecasts, since it is desired to avoid spill while directing the production to periods of high prices. Additional runs to compare the economic outcomes relative to current practice should be made before using the water values of the program in practice. Therefore this is also a proposal for further work, along with a possible extension of the program into a multi-reservoir model. Peter Olofsson i 3 mars 21

4 Produktionsplanering och vattenvärden Sammanfattning Syftet med detta examensarbete var att på uppdrag av Skellefteå Kraft AB studera produktionsplanering för regleringsbar vattenkraft och avgöra hur vatten i ett magasin kan värderas. Vidare skulle även en applikation skapas för att kunna beräkna dessa vattenvärden. Produktionsplanering för vattenkraft visade sig oftast delas upp i tre nivåer, i en lång-, säsong- och korttidsplaneringsdel, där detaljrikedomen i modellbeskrivningarna ökar med minskande tidshorisont. Anledningen till uppdelningen är en följd av att både noggrannhet och långsiktighet önskas, tanken är därmed att låta den högre nivån ge den lägre en långsiktighet den annars saknat. Möjliga kopplingar mellan nivåerna diskuterades, där en priskoppling genom vattenvärden argumenterades för att vara den bästa. Därefter studerades metoder för vattenvärdeberäkningar och matematiska villkor för optimal produktion, varvid ett eget program i Matlab kunde skrivas. Programmet beräknar vattenvärden vid en enmagasinmodell utifrån tillrinningsoch prisprognoser, där prognoserna tillåts att delas upp i ett valfritt antal scenarion. Testkörningar av programmet visar att vattenvärdena går ned inför en prognostiserad vårod, för att på så vis skapa plats åt det inkommande vattnet. Det visas även att vattenvärdenas ISO-kurvor, som markerar var i tid och magasinsnivå ett visst vattenvärde gäller, blir ackare vid större magasin och djupare vid mindre inför den kommande våroden. Men även att ISO-kurvorna påverkas av produktionskapaciteten. Vidare visar testkörningarna att vattenvärdena är starkt kopplade till både tillrinningarnas- och prisprognosernas form och nivå, eftersom att spill vill undvikas samtidigt som produktionen önskas styras till perioder av höga priser. Innan vattenvärdena från programmet används i praktiken bör ytterligare testkörningar göras för att jämföra ekonomiskt utfall i förhållande till nuvarande arbetssätt. Därför är detta också ett förslag på vidare arbete, tillsammans med en eventuell utvidgning av programmet till en ermagasinsmodell. Peter Olofsson ii 3 mars 21

5 Produktionsplanering och vattenvärden Förord Denna rapport redogör för mitt examensarbete på Skellefteå Kraft AB, ett arbete som fullbordar min civilingenjörsexamen i teknisk fysik vid Umeå universitet. Arbetet motsvarar 3 högskolepoäng och har utförts mellan november 29 och mars 21. Handledare på Skellefteå Kraft AB var Jörgen Berglund och Mia Westerlund, medan Roland Häggkvist var examinator vid Umeå universitet. Arbetet har syftat till att öka förståelsen för produktionsplanering av vattenkraft och främst hur vattnet i magasinen kan komma att prissättas. Det är min förhoppning att arbetet kan komma till nytta för framtida produktionsplanering, samt att en god insikt i problemet kan fås. Jag skulle även vilja ta tillfället i akt att tacka mina handledare och examinator, samt alla andra som bidragit och hjälpt mig under arbetets gång. Peter Olofsson 3 mars 21 Peter Olofsson iii 3 mars 21

6 Produktionsplanering och vattenvärden Innehållsförteckning Innehållsförteckning Abstract Sammanfattning Förord Figurförteckning Nomenklatur i ii iii vii viii 1 Introduktion Bakgrund Syfte och mål Avgränsningar Sekretess Metodik Rapportöversikt Vattenkraft Historik Miljöeekter och åtgärder Schematisk uppbyggnad av ett vattenkraftverk Vattenkraftens egenskaper Vattenregleringsföretag Producerad eekt och energi Elmarknaden och elhandel Elmarknadens uppbyggnad Balanstjänsten och balansansvar Avregleringen av den svenska elmarknaden Elhandel Nord Pool Prisbildning Frekvensreglering Jämvikt på elnätet Primärreglering Sekundärreglering Allmänt om produktionsplanering Målformulering före och efter avregleringen Värdet av sparat vatten Svårigheter vid produktionsplanering Deterministiska respektive stokastiska modeller Val av tidshorisont Uppdelning av produktionsplaneringsproblemet Mål för de olika planeringsnivåerna Långtidsplaneringens mål Säsongsplaneringens mål Korttidsplaneringens mål Möjliga kopplingar mellan planeringsnivåer Fixerad volym Tappningsfönster Mandat Pris Peter Olofsson iv 3 mars 21

7 Produktionsplanering och vattenvärden Innehållsförteckning 5 Linjära optimeringsmodeller Vanliga denitioner Segmentuppdelning av produktionen Vattenvägar Magasinsnivåer Gångtider Maximala tappningsförändringar Målformulering Koppling genom xerad volym Koppling genom tappningsfönster Koppling genom mandat Koppling genom pris Problemuppställning och lösning Optimal produktion Antaganden Villkor för optimal produktion Analys Vattenvärdemetoden i Vansimtap Bakgrund Förväntningar av vattenvärdet Vattenvärdet som beslutsunderlag Härledning och metodik Principiell algoritmbeskrivning Vattenvärdeberäkning Antaganden Beräkningslogik Algoritmbeskrivning Testkörningar Vattenvärden vid medeltillrinning och 28 års priser Varierad tillrinning Utspridda kontra centrerade tillrinningar Våt- och torrår Varierad magasinsstorlek Maximal magasinsnivå Minimal magasinsnivå Varierad tappning Maximal tappning Minimal tappning Varierad prisprognos Varierad medelenergiekvivalent Flera scenarion Diskussion Slutsats Vidare arbete 54 Appendix Peter Olofsson v 3 mars 21

8 Produktionsplanering och vattenvärden Innehållsförteckning A Linjärprogrammering 55 A.1 Primalt problem A.2 Dualt problem A.3 Tolkning av dualvärden A.4 Primal och dual lösning A.5 If-then-villkor B Lagrangemultiplikatorer 57 B.1 Allmänt om lagrangemultiplikatorer B.2 Motivering B.3 Exempel på tillämpning C Kuhn-Tucker-villkoren 6 C.1 Allmänt om Kuhn-Tucker-villkoren C.2 Tillräcklighet för optimalitet C.3 Exempel på tillämpning Referenser 63 Peter Olofsson vi 3 mars 21

9 Produktionsplanering och vattenvärden Figurförteckning Figurförteckning 2.1 Schematisk bild över ett vattenkraftverk Aggregerade köp- och säljbud Primär- och sekundärreglering Vanlig uppdelning av produktionsplanering Segmentuppdelning av elproduktionen Fast och priskänslig last i Vansimtap Strategi i Vansimtap Vattenvärdematriser i Vansimtap Vattenvärdeberäkning: vattenvärde = pris Vattenvärdeberäkning: vattenvärde > pris Vattenvärdeberäkning: vattenvärde < pris Vattenvärdeberäkning: vattenvärde = noll Exempel på tillrinningsserie år Historiska spotpriser år Testkörning vid medeltillrinning och 28 års spotpris Testkörning vid utspridd tillrinning och 28 års spotpris Testkörning vid våtår och 28 års spotpris Testkörning vid torrår och 28 års spotpris Testkörning vid minskad maximal magasinsnivå Testkörning vid ökad minimal magasinsnivå Testkörning vid ökad maximal tappning Testkörning vid ökad minimal tappning Testkörning vid medeltillrinning och 27 års spotpris Testkörning vid medeltillrinning och 29 års spotpris Historiska spotpriser år Testkörning vid ändrad medelenergiekvivalent Testkörning vid två scenarion Testkörning vid medelvärde av två scenarion Testkörning vid ökad magasinsindelning Peter Olofsson vii 3 mars 21

10 Produktionsplanering och vattenvärden Figurförteckning Nomenklatur Variabler och konstanter 1 α Dualvariabel β Dualvariabel γ Produktionsekvivalent δ Dualvariabel η Verkningsgrad λ Pris µ Marginell produktionsekvivalent ρ Vattnets densitet τ Gångtid υ Relativ verkningsgrad c Kostnad d Dygn g Gravitationskonstant h Fallhöjd, Timmar m Minuter, Slutmagasinsnivå p Diskonteringsränta y Dualvariabel H Producerad energi J Förväntad total framtida driftskostnad L Direkt driftskostnad M Magasinsnivå P Producerad eekt Q Tappning R Intäkt S Spill V Tillrinning W Kostnad för magasinsändring Index och mängder i k n s t I N T U Kraftverk och/eller magasin Kraftverk och/eller magasin Mängd segment för visst kraftverk Segment Tidsperiod Mängd kraftverk Mängd kraftverk direkt nedströms Slutet av viss tidsperiod Mängd kraftverk direkt uppströms 1 Vissa variabler och konstanter har mer än en betydelse, det ska dock alltid framgå av sammanhanget vilken som gäller. Peter Olofsson viii 3 mars 21

11 Produktionsplanering och vattenvärden 1 Introduktion 1 Introduktion 1.1 Bakgrund På Skellefteå Kraft AB görs prognoser för framtida elpris baserat på terminspriser och historiskt data från Nord Pool, den gemensamma elbörsen för Sverige, Norge, Danmark, Finland och norra Tyskland. Med hjälp av prisprognosen planeras därefter när och hur mycket vatten som ska tappas från magasinen till vattenkraftstationerna, för att därmed producera el. Tappningarna är önskvärda att göra när elpriserna är höga i och med att producerad el inte kan lagras och säljas vid ett senare tillfälle. Vattenkraften kan dock inte planeras och regleras helt fritt då det nns restriktioner i form av dämnings- och sänkningsgränser, men även fysikaliska begränsningar i hur mycket vatten som kan tillåtas att strömma igenom varje kraftstation per tidsenhet. Vidare är också den naturliga tillrinningen av vatten tvungen att tas med i beaktning eftersom även denna påverkar produktionsförutsättningarna. Men det kan även nnas andra typer av restriktioner som kan komma att behöva beaktas. Utifrån detta görs först en långtidstappningsplan med programmet KR95 för att, utifrån prisprognosen, planera optimala veckomedeltappningar vid varje magasin fram till nästa vårod. Anledningen till att långtidsplaneringen sträcker sig fram till nästa vårod är att vid våroden fylls magasinen. Efter långtidsplaneringen görs därefter en manuell korttidsplanering för innevarande samt nästkommande vecka på timbasis. Denna korttidsplanering görs manuellt med veckomedeltappningarna från KR95 som underlag. Slutligen styrs sedan vattenkraftverken via driftcentralen utifrån korttidsplaneringen, vilket enkelt sammanfattar Skellefteå Kraft AB:s nuvarande arbetssätt. Nu önskas dock den manuella korttidsplaneringen frångås till förmån för ett nyinköpt program för korttidsplanering vid namn Shop, som levereras av det norska företaget Powel. Tanken är att utifrån veckomedeltappningarna låta Shop fördela vattnet över de ingående timmarna på ett optimalt sätt, för att på så vis maximera den förväntade intäkten. Eftersom Shop innehåller detaljerade matematiska modeller av de ingående vattendragen, kraftstationerna och magasinen kommer detta förhoppningsvis att ge ett bättre ekonomiskt resultat än den manuella planeringen. Ett problem är dock att prisprognoserna är just prognoser, det vill säga skattningar av framtida elpriser vilka i själva verket är stokastiska. Något som leder till följande: Anta att en korttidstappningsplan från Shop nns att tillgå. Under de timmar som vattnet planerats att tappas kommer det alltid att nnas ett lägst förväntat elpris bland dessa, en sämst betald tappningstimme. Problem uppstår då om vid en sådan timme där inget vatten planerats att tappas (eftersom priset förväntades bli lågt), elpriset i själva verket blir högre än den sämst betalda tappningstimmen. Då borde tappning ske denna timme, en möjlighet som av naturliga skäl borde tas tillvara. Följdfrågan blir då varifrån detta vatten ska tas. Om veckomedeltappningen måste upprätthållas leder detta till att vattnet tas från någon annan driftstimme under innevarande vecka, vilket i praktiken inne- Peter Olofsson 1 3 mars 21

12 Produktionsplanering och vattenvärden 1 Introduktion bär den sämst förväntat betalda tappningstimmen. Bättre vore då istället att ta detta vatten från den förväntat sämst betalda tappningstimmen från samtliga veckor, såväl innevarande som framtida. Om denna nns utanför innevarande vecka borde i så fall veckomedeltappningen frångås och istället ökas 2. Med detta som bakgrund bör därför arbetssättet med veckomedeltappningar ses över och alternativa kopplingar mellan planeringsverktygen studeras. 1.2 Syfte och mål Syftet med detta arbete är att göra en studie kring produktionsplanering av vattenkraft, när vilka metoder och modeller används, samt varför. Traditionellt delas ofta produktionsplaneringen in i nivåer med avtagande tidshorisont, där någon typ av koppling måste nnas mellan varje nivå. Målet är även att studera vilka möjliga kopplingar mellan planeringsnivåerna som nns, samt för- och nackdelar med dessa. Enligt vad produktionsavdelningen tror är vattenvärde, som nns som möjlig indata till Shop, den bästa kopplingen. Ingen riktig klarhet nns dock för närvarande om vad vattenvärde egentligen är, något som önskas för att kunna avgöra framtida arbetssätt. Vattenvärden och beräkning av dessa är därför ett utav huvudmålen i detta arbete. 1.3 Avgränsningar Avgränsningar har gjorts under arbetets gång. Grundtanken var från början att skapa en applikation som översatte veckomedeltappningarna från KR95 till vattenvärden, för att sedan direkt kunna brukas i Shop. Detta har dock frångåtts eftersom en förundersökning visade att KR95 inte lämpar sig för detta och därmed beslöts också att ändra inriktningen på arbetet, se avsnitt 1.2. I övrigt har en extra tonvikt lagts vid vattenvärdemetoder och en enmagasinmodell för beräkning av vattenvärden har skapats. En GUI för denna ansågs i samrådan med handledarna för tillfället inte vara nödvändig och har därmed avgränsats, såväl som skapandet av egna tillrinnings- och prisprognoser. 1.4 Sekretess För att skydda anläggningsdata förekommer inga testkörningar av enmagasinmodellen som beräknar vattenvärden vid Skellefteå Kraft AB:s stationer i rapporten, utan samma metod har istället låtit användas på en ktiv kraftstation med tillhörande magasin. 1.5 Metodik För insamling av information har Umeå samt Luleå universitetsbibliotek stått för en betydande del. Där har ertalet artiklar kring ämnet produktionsplanering av vattenkraft hittats, vilka olika metoder och modeller som traditionellt kommit att användas, samt möjliga kopplingar mellan de olika planeringsnivåerna. 2 Motsvarande gäller givetvis om utfallet för elpriset blir lägre än det förväntade då veckomedeltappningen borde minskas. Peter Olofsson 2 3 mars 21

13 Produktionsplanering och vattenvärden 1 Introduktion Vidare har dokumentation och manualer studerats för ertalet planeringsverktyg, såväl som kursmaterial för schemaläggning av vattenkraft. Slutligen har två utbildningsdagar som hållits av en representant från Powel 3 stått som grund för detta arbete. Under projektets gång har dagliga aktiviteter dokumenterats och en preliminär projektplan kontinuerligt uppdaterats. Möten med handledare har skett regelbundet med ungefär en veckas mellanrum. 1.6 Rapportöversikt Utöver detta kapitel är rapporten uppdelat enligt följande: Kapitel 2 och 3 ger en introduktion till vattenkraft, elmarknaden, elhandel och frekvensreglering. Kapitel 4 behandlar produktionsplanering av vattenkraft i allmänhet, samt varför den brukar delas in i nivåer. Men även varför en priskoppling genom vattenvärde sägs vara den bästa kopplingen mellan nivåerna. Kapitel 5 tar upp linjära optimeringsmodeller, för att visa hur en matematisk optimeringsmodell av produktionsplanering kan gå till. Men också för att demonstrera hur kopplingar mellan planeringsnivåer kan praktiseras och ge en matematisk introduktion till vattenvärden. Kapitel 6 handlar om vilka villkor som måste vara uppfyllda för att en produktion vid en enmagasinmodell ska leda till maximal intäkt, samt vilka egenskaper ett vattenvärde har. Kapitel 7 beskriver den metod som används i Vansimtap för att beräkna vattenvärden. Kapitel 8 och 9 återger hur det egna programmet för beräkning av vattenvärden i Matlab fungerar, samt några testkörningar av ett ktivt magasin med tillhörande kraftverk för att demonstrera vattenvärdenas beteende. Kapitel 1, 11 och 12 innehåller diskussion, slutsats och föreslag på vidare arbete. 3 Powel är återförsäljare av Shop. Peter Olofsson 3 3 mars 21

14 Produktionsplanering och vattenvärden 2 Vattenkraft 2 Vattenkraft 2.1 Historik En av föregångarna till vattenkraften var vattenhjulet där vattnets lägesenergi omvandlades till kinetisk energi. Användningsområdet för vattenhjulen var lokal i den bemärkelsen att den producerade energin inte kunde transporteras vidare på något eektivt sätt. Verkningsgraden på vattenhjulen var också generellt väldigt låg. Det var egentligen först med uppnnandet av generatorn som vattenkraften kom till att bli till den vi känner idag. I slutet av 18-talet kunde således vattenkraftverk för elproduktion byggas upp i Sverige. De allra första användes främst som energikällor för att driva belysningar i städer och industrier. Senare, just innan 19-talet, började industriföretagen alltmer att använda el som energikälla vid sina anläggningar. Främst vid järnverk, massafabriker och pappersbruk [1]. I samband med detta kom de allra första kommersiella kraftbolagen att bildas. Den nya tekniken då nu el kunde transporteras över längre sträckor utan alltför stora eektförluster, samt de ökande kolpriserna, gjorde att efterfrågan på el ökade. Detta ledde till en kraftig utbyggnation av vattenkraften ända fram till 197-talet. Flera av de äldre vattenkraftsverken nns fortfarande kvar, men i jämförelse med moderna vattenkraftverk är de ofta väldigt små. Många av dem är dock fortfarande i bruk i och med att småskaliga vattenkraftverk berättigar till elcertikat [2]. På senare år har utbyggnationerna av vattenkraften i Sverige kommit att avta, vilket dels kan bero på att de bästa lägena redan är upptagna, men även för att vissa vattendrag skyddas enligt lag. Istället har ökade eektiviserings- och automatiseringskrav hos de bentliga vattenkraftverken kommit till att ställas. 2.2 Miljöeekter och åtgärder Trots att vattenkraften är en förnyelsebar energikälla har den även nackdelar ur miljösynpunkt, då främst för vattenlivet och den lokala vegetationen. Detta eftersom regleringen av vattnet rubbar den naturliga ödesvariationen i vattendraget, men även för att byggandet av dammar hindrar skarna från att vandra till sina ursprungliga lekområden. Näringsbeståndet i vattnet förändras också eftersom översvämningar av vattendrag förhindras i stor utsträckning, något som i vanliga fall spelar en viktig roll då näring från älven förs ut till de närliggande markområdena. Vid större magasin kan också vattentemperaturen komma att ändras, med högre temperaturer under vintern än normalt och lägre under sommaren. Detta kan i sin tur påverka ämnesomsättningen för organismer som lever i vattnet [3]. En fördel med vattenkraft är däremot att inga föroreningar släpps ut vid själva produktionstillfället. För att minimera miljöpåverkan från vattenkraften nns vissa regelverk, så kallade vattendomar. Dessa anger hur mycket vatten som måste upprätthållas i den naturliga älvfåran, så kallat skönhetsvatten, men även dämnings- och sänkningsgränser mellan vilka vattnet får regleras. För att skarna ska påverkas mindre av dammarna konstrueras även sktrappor och konstgjorda lekområden. Peter Olofsson 4 3 mars 21

15 Produktionsplanering och vattenvärden 2 Vattenkraft 2.3 Schematisk uppbyggnad av ett vattenkraftverk Ett typiskt vattenkraftverk ser ut likt gur 2.1. Figur 2.1: Schematisk bild över ett vattenkraftverk bestående av ett magasin med tilloppstunnel (1), turbin (2), generator (3), utloppstunnel (4) och transformator (5). Bilden är hämtad från [4]. Vid vattenkraftverk utnyttjas skillnaden av vattnets potentiella lägesenergi mellan den övre och nedre vattenytan. Då vattnet tappas genom tilloppstunneln omvandlar turbinen vattnets potentiella energi till kinetisk energi. Turbinen driver därefter en generator som omvandlar den kinetiska energin till elektrisk energi. Slutligen distribuerar transformatorn ut elen till kunderna via elnätet. Utöver att tappa vattnet genom aggregaten och producera elektricitet har kraftproducenten även en möjlighet att spilla vattnet förbi kraftverket genom luckor i kraftverksdammen. Det nns tre dominerande typer av turbiner som används; Kaplan-, Francis- och Peltonturbiner. De bygger alla tre på olika tekniker, vilket gör dem lämpliga att använda vid olika tillfällen. Generellt kan sägas att Kaplanturbiner används vid de lägsta fallhöjderna och Peltonturbinerna vid de högsta, vid fallhöjder däremellan används Francisturbiner. 2.4 Vattenkraftens egenskaper Vattenkraftverk kännetecknas av låga rörliga produktionskostnader, vilka i stort sett bara utgörs av utrustningsslitage, och att vattnet i magasinen är ett begränsat bränsle i den mening att mer bränsle inte kan köpas in. Vid sidan av detta tillåter även vattenkraften en exibel produktion, eftersom magasinen kan lagra vatten från en tidsperiod till en annan. Vattenkraften är även speciell med tanke på att de kraftverk och magasin som ligger i ett och samma vattensystem inte kan regleras oberoende av varandra. Detta eftersom vattnet som tappas från en station sedan kan rinna ned till en eller era underliggande stationer. 2.5 Vattenregleringsföretag I ett vattendrag är det vanligt att det nns era kraftverk med olika ägare och därför kan inte heller ägarna tappa vatten oberoende av varandra. Av denna anledning är tappning tvungen att samordnas enligt lag i så kallade vattenre- Peter Olofsson 5 3 mars 21

16 Produktionsplanering och vattenvärden 2 Vattenkraft gleringsföretag i alla älvar som har mer än två ägare av kraftverk. I Skellefteälven innebär denna samordning att samtliga elproducenter önskar en tappningsmängd i en viss tappningspunkt i vattendraget. Därefter beräknar vattenregleringsföretaget ut en jämkad tappning efter samtliga önskemål, vilket i princip innebär ett viktat medelvärde efter kraftproducenternas storlek. Avvikelser mellan önskad och jämkad tappning ersätts därefter enligt särskilda villkor. Denna samordning kan dock komma att se annorlunda ut i andra älvar. 2.6 Producerad eekt och energi Den eekt som ett vattenkraftverk utvecklar är P = Q ρ g h(m) η(q, h(m)). (1) Som tidigare nämnts i avsnitt 2.3 kommer den elektriska energin som vattenkraftverket producerar från vattnets lägesenergi. Detta framgår också tydligt ur ekvation (1) i och med att eekt är energi per tidsenhet. Där motsvarar vattenödet gånger vattnets densitet, Q ρ, massan per tidsenhet, medan g är gravitationskonstanten och h(m) är fallhöjden som funktion av magasinsnivån M. Det enda som är gjort för att beräkna den utvecklade eekten är därför att ta denna lägesenergi per tidsenhet multiplicerat med verkningsgraden η(q, h(m)), för att kompensera med energiomvandlingsförluster i form av friktion et cetera. Notera att verkningsgraden både är en funktion av vattenödet och magasinsnivån. Eftersom eekt är energi per tidsenhet fås den producerade energin genom att integrera eekten (1) över tiden H = P dt. (2) Peter Olofsson 6 3 mars 21

17 Produktionsplanering och vattenvärden 3 Elmarknaden och elhandel 3 Elmarknaden och elhandel 3.1 Elmarknadens uppbyggnad På elmarknaden nns aktörer som innehar era olika roller. Förutom roller som elproducenter och elanvändare nns även roller som nätägare, systemansvariga, marknadsplatser och elhandelsföretag. De sistnämnda kan både innebära att vara elleverantör och/eller balansansvarig [5]. Notera att en och samma aktör kan ha era olika roller. Elproducentens roll är, likt namnet indikerar, att producera el och mata in den på elnätet. Antingen matas den in på stam- eller regionnätet. Elanvändarna däremot är de som tar ut elen från nätet, antingen från region- eller lokalnätet, och konsumerar den. För att elanvändarna ska kunna köpa el krävs ett avtal med ett elhandelsföretag, samt ett annat avtal med nätagaren i den punkt där elen ska tas ut. Nätägarens uppgift är att underhålla elnätet, ett ansvar som är till för att möjliggöra att elen ska kunna transporteras från elproducenterna till elanvändarna. Nätägaren har avtal med elproducenten om produktion vid olika situationer, för att försäkra sig om att nätet inte skadas och att säker drift råder. Att underhålla elnätet innebär naturligtvis kostnader för nätägaren, vilket åläggs elanvändaren genom särskilda nätavgifter. För att undvika missbruk av sin monopolställning får inte nätavgifterna bestämmas fritt av nätägaren [6]. De olika näten är stam-, region- och lokalnät. Som systemansvarig i Sverige står Svenska Kraftnät. Svenska Kraftnäts uppgifter är att driva stamnätet och att fysiskt se till att det svenska elsystemets anläggningar samverkar driftsäkert och att elbalans råder i Sverige, det vill säga att produktion och import motsvarar konsumtion och export. Elhandelsföretag är de företag som möter elanvändarna och säljer elen till dem. Men de kan även köpa in andra företags produktion, för att eventuellt sälja den vidare. Elhandelsföretag kan, som tidigare nämnts, inneha rollen som elleverantör och/eller balansansvarig. Som elleverantör har elhandelsföretaget ett leveransavtal med en eller era elanvändare, medan som balansansvarig nns det ett ekonomiskt ansvar för att all den el som säljs av elhandelsföretaget alltid är i balans med den el som köps in för att täcka konsumtionen [5]. För mer om balansansvar, se avsnitt Slutligen nns också marknadsplatser som elbörsen Nord Pool [5]. Marknadsplatsen erbjuder standardiserade elhandelsavtal för elmarknadens övriga aktörer. Nord Pool har vid sidan om spotmarknaden, som avser fysisk handel av el, även en nansiell marknad, se avsnitt All fysisk handel sker dock inte direkt på spotmarknaden, utan en liten del sker även genom bilaterala avtal direkt mellan aktörerna Balanstjänsten och balansansvar Svenska Kraftnät har ett fysiskt ansvar för momentan balans i Sverige. För att klara detta samarbetar Svenska Kraftnät aktivt med de övriga systemansvariga i Norden, samt att man byggt upp den så kallade balanstjänsten. Balanstjänsten Peter Olofsson 7 3 mars 21

18 Produktionsplanering och vattenvärden 3 Elmarknaden och elhandel kan utnyttja lediga reglerresurser vid uppkommen obalans, se avsnitt 3.4. Svenska Kraftnät har också balansavtal med några aktörer, varvid dessa benämns som balansansvariga. Genom att vara balansansvarig följer ett ansvar att på timnivå planera att aktörens egna inköp och produktion motsvarar konsumtion och försäljning. Uppkommen avvikelse görs därefter i efterhand upp ekonomiskt med Svenska Kraftnät, hur detta går till återges i referens [5]. Övriga aktörer som inte tecknat balansavtal med Svenska Kraftnät tecknar istället avtal om att en balansansvarig ska hantera balansen åt dem. 3.2 Avregleringen av den svenska elmarknaden Innan avregleringen bestämde staten vilka producenter som ck leverera el och till vilka områden, därför kunde inte heller konsumenterna själva välja elleverantör. Detta ändrades i och med avregleringen av den svenska elmarknaden 1996 [7]. Avregleringen syftade till att konkurrenssätta handeln och produktionen av el, något som ansågs vara gynnsamt ur ett samhällsekonomiskt perspektiv. Tanken var att genom konkurrens stimulera en eektivare drift av produktion och distribution, vilket i slutändan skulle minska produktionskostnaderna och resultera i ett lägre elpris för konsumenterna. Vid avregleringen övergick också den svenska elbörsen till en gemensam elbörs för Sverige och Norge. Dessutom frikopplades distributions- såväl som transmissionsfunktioner från produktionen [8]. Numera sköter Svenska Kraftnät transmissionen och verkar även som systemansvarig, medan de olika elnätsbolagen sköter distributionen. Transmissionen och distributionen är reglerade monopol, medan fri marknad råder vid produktionen. 3.3 Elhandel Nord Pool Nordens gemensamma elbörs heter Nord Pool och den består av en spot- och en justeringsmarknad för fysisk elhandel (Elspot respektive Elbas), samt en - nansiell terminsmarknad. Terminsmarknaden kan kortfattat erbjuda aktörerna en möjlighet att prissäkra och sprida risker genom olika standardkontrakt av varierande längd, allt från dagar och veckor upp till månader och år. Syftet med att ha en gemensam elmarknad är att elhandeln mellan länderna ska underlättas och på så sätt ska ett land vid behov lätt kunna importera elektricitet av andra länder, givet vissa överföringsbegränsningar. Detta tros leda till en samhällsekonomisk vinning eftersom elpriserna generellt vore högre om alla länder var tvungna att bygga ut sin produktion till den grad att de alltid skulle kunna vara självförsörjande [6]. Elspot fungerar så att fram till klockan 12. varje dag har aktörerna på marknaden en möjlighet att lämna in sina respektive köp- och säljbud för nästkommande dygns timmar, likt en auktionsmarknad. Ett köpbud anger det högsta priset som aktören är villig att betala för en viss mängd energi under en angiven timme, medan säljbudet på motsvarande sätt anger det lägsta pris som Peter Olofsson 8 3 mars 21

19 Produktionsplanering och vattenvärden 3 Elmarknaden och elhandel Figur 3.1: Figuren visar köp- och säljbud. I säljkurvan illustreras ett exempel på de rörliga kostnaderna för de olika kraftslagen, dessa kan ej direktöversättas till säljbud men ger en ungefärlig bild av hur situationen kan se ut. Exempelvis kan buden vara sådana att vattnet i ett magasin värderas högre än den rörliga kostnaden vid kärnkraften et cetera. aktören är villig att sälja för 4. När detta är gjort sorteras säljbuden i stigande ordning och köpbuden i fallande ordning och därmed konstrueras en sälj- och en köpkurva för varje timme. Sedan bestäms systempriset där dessa två kurvor skär varandra, se gur 3.1. Alla bud i och till vänster om denna skärningspunkt antas och alla aktörer får handla till samma pris. Vilket innebär att alla bud till vänster om skärningspunkten får ett mer gynnsamt pris än vad vad de var villiga att sälja respektive köpa för. När sedan alla systempriser för nästkommande dygns timmar är identierade meddelas dessa till aktörerna, tillsammans med vilken elhandel de tilldelats. Denna information tillsammans med produktionsplaner och förbrukningsprognoser är också underlag då Svenska Kraftnäts balanstjänst planerar driften av elsystemet [5]. Elbas öppnar därefter klockan 14. sin handel för nästkommande dygn. Handeln här är även denna på timnivå, men skillnaden är att prisen sätts enligt bud och inte enligt priskryss som vid Elspot. Genom Elbas ges aktörerna en möjlighet att justera för eventuella oförutsedda händelser efter det att Elspot stängt, fram till en timme före avsedd leveranstimme [6] Prisbildning Det nns era faktorer som påverkar elpriserna, några av dessa presenteras nedan: Nederbörd: I Norden står vattenkraften för en stor och viktig del av energiförsörjningen 5. Därför leder en ökad nederbörd till en ökad produktionskapacitet och priserna kan därmed komma att sjunka. 4 På detta sätt kan budstegar lämnas in, dessa anger hur mycket energi aktören är villig att sälja eller köpa vid olika elprisnivåer under en viss timme. 5 Energiförsörjningen i Sverige, Norge, Danmark och Finland kommer till cirka 5 % från vattenkraft [9]. Peter Olofsson 9 3 mars 21

20 Produktionsplanering och vattenvärden 3 Elmarknaden och elhandel Handel utanför marknaden: Marknaden i Norden är inget isolerat system i och med att grannländernas transmissionsnät ofta är sammankopplade med varandra. Därför påverkas priserna på Nord Pool även av de rådande förhållandena i övriga elmarknader. Eftersom elproduktionen i Norden är unik gällande den stora andelen vattenkraft kan under våta år mycket av produktionen komma att exporteras, medan under torra år mycket av produktionen kan komma att importeras. Export respektive import beror dock också även på andra kraftslag. Temperatur: Elektricitet är en viktig energikälla vad gäller uppvärmning av industrier, hus och övriga lokaler. Därför påverkar temperaturen i allra högsta grad efterfrågan av el. Stiger temperaturen minskar behovet av uppvärmning och därmed kan elpriserna komma att sjunka. Det rådande ekonomiska läget: Eftersom en stor del av elkonsumenterna är industrier kommer det rådande ekonomiska läget i samhället att påverka elpriserna. Om till exempel en betydande del av industrierna stängs kommer det att ha en stor påverkan av efterfrågan på el och således också på elpriset. Vidare påverkas elpriset också av vad världspriserna av andra varor är, skulle exempelvis bränslekostnaderna för värmekraftverken ändras har också detta en inverkan på elpriset. Detta är bara en bråkdel av de faktorer som påverkar elpriset, något som gör prognostisering av framtida elpris till en svår uppgift. Därför blir det också tydligt att förenklingar och avgränsningar måste göras för att en elprisprognostisering ska vara praktiskt genomförbar. 3.4 Frekvensreglering Jämvikt på elnätet Eftersom jämvikt måste upprätthållas i ett elsystem krävs reglersystem, vilken brukar delas in i två delar, primär- och sekundärreglering. I Sverige är den nominella frekvensen 5 Hz, där en viss vingelmån tillåts runt det nominella värdet. Men inte en alltför stor avvikelse eftersom då riskerar vissa komponenter i elsystemet att ta skada [6] Primärreglering Vid primärregleringen används lämpligtvis vattenkraften, eftersom regleringen av vattenkraft är snabb i förhållande till andra kraftkällor. Om ett system är i balans men rubbas i och med att konsumtionen ökar i förhållande till produktionen, då minskar frekvensen. Att frekvensen sjunker är en följd av att rotationshastigheten i synkronmaskinerna minskat. I vissa kraftverk, så kallade reglerstyrda kraftverk, ökar därmed produktionen automatiskt eftersom de har en utrustning som känner av frekvensvariationen. Detta är primärreglering. På motsvarande sätt regleras om balansen rubbas åt andra hållet, det vill säga om konsumtionen minskar i förhållande till produktionen. Primärregleringen återställer med andra ord jämvikten på systemet, men då jämvikt åter råder är frekvensen på nätet inte densamma som den nominella. Därför behövs även sekundärreglering. Peter Olofsson 1 3 mars 21

21 Produktionsplanering och vattenvärden 3 Elmarknaden och elhandel Sekundärreglering Sekundärregleringens uppgift är att återställa frekvensen till det nominella värdet, samt att ersätta den primärreserv som blivit utnyttjad. Detta görs genom att de kraftverk som ingår i sekundärregleringen ökar eller minskar sin produktion för att ersätta motsvarande ändring i primärregleringens produktion. Ett konkret exempel: Då konsumtionen ökar i förhållande till produktionen sjunker frekvensen. Primärregleringens kraftverk ökar då sin produktion tills jämvikt åter råder. Då blir det uppreglering och sekundärregleringens kraftverk ökar sin produktion så att det råder underskott på konsumtion, vilket leder till att frekvensen ökar. För att stabilisera frekvensen minskar därmed primärregleringens kraftverk sin produktion och på detta sätt har frekvensen återställts till den nominella värdet, samt den utnyttjade primärreserven ersatts, se gur 3.2. På motsvarande sätt justeras produktionen vid nedreglering, då sekundärregleringens kraftverk minskar sin produktion. Figur 3.2: En schematisk bild över primär- och sekundärregleringen och dess eekter på nätfrekvensen [1]. I Sverige aktiverar Svenska Kraftnät sekundärregleringen enligt bud som lämnats in av de balansansvariga marknadsaktörerna. Vid nedreglering får alla som deltagit ersättning i form av det billigaste priset som Svenska Kraftnät avropat, medan vid uppreglering gäller det dyraste priset. Peter Olofsson 11 3 mars 21

22 Produktionsplanering och vattenvärden 4 Allmänt om produktionsplanering 4 Allmänt om produktionsplanering 4.1 Målformulering före och efter avregleringen Före avregleringen av den svenska elmarknaden syftade produktionsplaneringen till att minimera kostnaderna för produktionen givet en viss last. Lasten var en mängd energi som elproducenten var förpliktigad att producera gentemot konsumenterna. Långtidsplaneringens mål blev då i huvudsak att undvika spill och tomma magasin. Efter avregleringen ändrades syftet för produktionsplaneringen till att maximera intäkterna av produktionen givet en prisprognos. Långtidsplaneringens mål blev nu istället att schemalägga drift i de perioder där elpriserna förväntades vara som högst. Trots att dessa två mål före och efter avregleringen är väldigt olika har era av de metoder som utvecklats före avregleringen även kommit att kunna användas efter avregleringen, inte minst vattenvärdemetoden [11] och [12]. 4.2 Värdet av sparat vatten En viktig aspekt vid produktionsplanering av vattenkraft är att vattnet som ligger lagrat i magasinen inte bör ses som en kostnadslös resurs. Detta eftersom om en viss mängd vatten tappas nu förloras möjligheten till att tappa den mängden vatten senare, där elpriset skulle kunna komma att vara högre. Å andra sidan är det inte lönsamt att hålla sitt vatten alltför länge i väntan på mer fördelaktiga priser eftersom det, i takt med det vatten som naturligt tillströmmar till magasinen, nns en ökad risk för att vatten måste spillas. Därför talas det ofta om en förväntad resurskostnad i och med att framtida vattentillgång och elpris är okänt. Detta är också den allra största svårigheten vid produktionsplanering, att uppskatta förväntat värde av sparat vatten. 4.3 Svårigheter vid produktionsplanering Förutom den uppenbara svårigheten att värdera vattnet som ligger i magasinen nns det ytterligare ertalet aspekter som bör beaktas vid produktionsplaneringen: Ett älvsystem med dess kraftverk och magasin kan ha era olika ägare, därför påverkas de alla av de beslut som de andra aktörerna i älven tar. Vattendragens utformning och topologi, däribland gångtiden, som är den tid det tar för vattnet att rinna mellan de olika stationerna, måste tas i beaktning. Ett älvsystem kan innehålla ertalet kraftverk och magasin, vilket gör att produktionsplaneringen av dessa måste ske med hänsyn till varandra på grund av de fysikaliska kopplingarna dem emellan. Idealiskt vore att kunna utföra en detaljerad produktionsplanering över en lång tidshorisont och med korta tidssteg. I praktiken måste dock förenklingar göras för att erhålla vettiga lösningstider. Hur osäkerheten i pris- och tillrinningsprognosen ska hanteras. Då planeringsproblemet ofta delas upp i delnivåer, se avsnitt 4.6, krävs konsistens mellan nivåerna för att undvika systematiska fel. Peter Olofsson 12 3 mars 21

23 Produktionsplanering och vattenvärden 4 Allmänt om produktionsplanering Om produktionen inte ögonblickligen kan gå från minimal till maximal bör den tid en produktionsändring tar tas i beaktning. Tillrinning och efterfrågan över året är negativt korrelerade med varandra, under vinterhalvåret är efterfrågan som störst medan tillrinningarna är som lägst och vice versa under sommarhalvåret. Ska eventuella start- och stoppkostnader vid de olika kraftverken beaktas. Vattenmagasinen har en dämnings- och sänkningsgräns som magasinsnivån måste ligga mellan. Kraftstationerna har alla sina individuella egenskaper, som verkningsgradskurvor, antal aggregat, samt minimal och maximal tappning. Alla dessa faktorer indikerar på vikten av ranerade metoder som beslutsunderlag för att kunna planera sin produktion optimalt. Det nns era matematiska tekniker som utvecklats för detta, alla med sina respektive för- och nackdelar. 4.4 Deterministiska respektive stokastiska modeller Vid deterministiska modeller är samtliga ingående parametrar välkända, som start- och slutvillkor. Uppgiften är vanligtvis att minimera kostnaderna eller maximera förtjänsten under en period givet vissa bivillkor. I praktiken är dock antagandet att de ingående parametrarna är välkända orealistiskt eftersom framtida tillrinning och elpris inte låter sig predikteras med full säkerhet. En nackdel med deterministiska modeller är att lösningarna ofta blir sådan att magasinen är helt fulla under vissa perioder, vilket innebär att ett litet tillslag av mer vatten än vad som räknats med direkt leder till spill. Något som inte är önskvärt. Anledningen till att lösningarna ofta föreslår helt fulla magasin är att tillrinningen i modellen är deterministisk, därför kan producenten vänta in i sista stund med att producera under perioder av låga priser. Fördelarna med deterministiska modeller är däremot att man slipper skatta osäkerheterna i prognoserna av pris och tillrinning, en skattning som är extra svår eftersom tillrinning och pris är korrelerade med varandra. En annan fördel är även att resultaten kan tyckas vara lättare att tolka än vid stokastiska modeller [11]. Så fort tidshorisonten är så lång att det är betydande osäkerheter i prognoserna bör deterministiska modeller frångås och istället stokastiska motsvarigheter användas. I nivåer däremellan är också ofta prognoserna relativt osäkra, men istället för att använda stokastiska modeller används här vanligen en annan metod. Nämligen att dela upp i ett antal händelsescenarion, där ett scenario får representera ett möjligt utfall av tillrinning och pris. Varje scenario löses därefter som om det vore ett deterministiskt problem. En stokastisk utgångspunkt är egentligen mer realistisk än en deterministisk, eftersom de beslut som tas idag är beroende av förväntningar av framtida händelser, som i sig är stokastiska. Att inte räkna med denna osäkerhet kan leda till lösningar som är dåliga om utfallen av pris och tillrinning inte är nära de förväntade. Stokastiska modeller tillåter att räkna med extrema utfall som inträar med låg sannolikhet, men som har allvarliga konsekvenser för systemet. Detta skulle exempelvis kunna vara en tillrinning som är betydligt lägre än det normala. En nackdel med stokastiska modeller är däremot att de fort blir väldigt stora och att fördelningsfunktioner ofta inte är kända, dessutom kan resultaten tyckas svårare att tolka [11]. Peter Olofsson 13 3 mars 21

24 Produktionsplanering och vattenvärden 4 Allmänt om produktionsplanering 4.5 Val av tidshorisont Tidshorisonten för långtidsplaneringen är beroende av magasinsvolym och tillrinning, om exempelvis ett magasin klarar av att lagra två års medeltillrinningar bör tidshorisonten åtminstone vara två år. Detta eftersom de beslut som tas idag påverkar förhållandena i två år framöver. Det är alltså förhållandet mellan tillrinning och lagringskapacitet som bör avgöra planeringsperiodens längd 6. Av naturliga skäl kan då inte långtidsplaneringen innehålla samma detaljrikedom som de kortare planeringsnivåerna på grund av den längre tidshorisonten. 4.6 Uppdelning av produktionsplaneringsproblemet Den mest förekommande uppdelningen av produktionsplaneringen är att dela in den i en lång-, säsong- och korttidsplaneringsdel. Detaljrikedomen och noggrannheten i modellbeskrivningen av kraftstationer och magasin ökar successivt från lång- till korttidsplaneringen, se gur 4.1. Figur 4.1: Figuren visar en vanlig uppdelning av produktionsplanering för vattenkraft. Ofta förekommer det också en detaljerad simulering efter korttidsplaneringsnivån. Denna verierar att resultaten från korttidsplaneringen är rimliga, med andra ord kontrollerar simuleringen att den föreslagna tappningsplanen är praktiskt genomförbar [11]. 4.7 Mål för de olika planeringsnivåerna Målen för planeringsnivåerna i gur 4.1 presenteras i avsnitt 4.7.1, och Långtidsplaneringens mål Målet med långtidsplaneringen är att nna en optimal användning av vattnet över en lång tid, ofta upp till tre år framöver beroende på systemets karaktäristik, se avsnitt 4.5. Optimal användning är i detta fall den användning av 6 Kvoten mellan magasinsvolym och årlig medeltillrinning benämns ofta som regleringsgrad. Peter Olofsson 14 3 mars 21

25 Produktionsplanering och vattenvärden 4 Allmänt om produktionsplanering vattnet som leder till maximal förväntad intäkt. På denna planeringsnivå brukar historiskt data användas för att beskriva temperatur, nederbörd och eventuellt övriga väderförhållanden, för att sedan med hjälp av dessa göra nya prognoser av framtida tillrinningar. För prognostiseringen av elpriser kan två olika tillvägagångssätt användas, ett lokalt eller globalt tillvägagångssätt. I den lokala görs prisprognosen externt från modellen baserad på statistiska modeller, som utifrån terminer och historiska elpriser predikterar framtida priser. Prisprognosen är då resultatet av en tidserieanalys. I en global motsvarighet görs istället en ingående modell av en större del av elmarknaden med producenter respektive konsumenter. Prisprognosen är då ett resultat av en simulering av denna elmarknadsmodell, där tillrinningsprognosen är indata. Anledningen till att tillrinningen bestäms först är att priset beror av tillrinning men inte vice versa. Ett problem vid långtidsplaneringen är att ett stort och komplext fysiskt system måste modelleras över en lång tidshorisont, samt att den långa tidshorisonten medför betänkliga osäkerheter i prognoserna. Det blir därmed uppenbart att någon typ av förenkling måste göras för att modellen ska vara lösbar. En möjlig och itigt använd förenkling är därför ktiva sammanslagningar av kraftstationer och magasin till så kallade enmagasinmodeller [12] Säsongsplaneringens mål Perioden som säsongsplaneringen täcker innefattas också av långtidsplaneringen, men som tidigare nämnts brukar långtidsplaneringen en enmagasinmodell som är en kraftig förenkling av det verkliga systemet. Korttidsplaneringen å andra sidan använder en noggrann och detaljerad beskrivning av varje enskilt magasin och kraftstation för att kunna avgöra optimal hantering av vattnet. Problemet är att enmagasinmodellen och korttidsplaneringens detaljerade modell inte är kompatibla med varandra, därför krävs ett mellansteg som översätter resultaten från enmagasinmodellen till det fysiska systemet. Detta görs av modellen i säsongsplaneringen 7, enligt [11] och [12]. Säsongsplaneringen sker vanligtvis 3-12 månader framöver, men i vissa fall upp till 18 månader framåt i tiden beroende på regleringsgrad. Även på denna nivå är pris- och tillrinningsprognoser relativt osäkra, därför brukar stokastiska eller scenariobaserade deterministiska modeller användas, precis som gur 4.1 visar Korttidsplaneringens mål Korttidsplaneringen, med input från säsongsplaneringen som beslutsunderlag, bestämmer en optimal tappningsplan för de kommande 1-2 veckorna på timnivå. På denna nivå brukar traditionellt deterministiska modeller används, eftersom på denna korta tidsperiod brukar relativt säkra pris- och tillrinningsprognoser nnas att tillgå. Säsongsmodellen använder dock en mindre detaljerad beskrivning av systemet och längre tidssteg än vid korttidsplaneringen 8. Detta kan få som konsekvens 7 Har inte en enmagasinmodell används brukar ändå planeringsproblemet delas in i tre nivåer. 8 Vanligtvis är tidsstegen i säsongsmodellen angiven i hela veckor eller dagar. Peter Olofsson 15 3 mars 21