Aktivitetsuppgifter i kurs 602 Ekonomisk statistik, del 2, våren 2006

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Aktivitetsuppgifter i kurs 602 Ekonomisk statistik, del 2, våren 2006"

Transkript

1 Handelshögskolan i Stockholm Anders Sjöqvist 2087@student.hhs.se Aktivitetsuppgifter i kurs 602 Ekonomisk statistik, del 2, våren 2006 Efter förra kursen hörde några av sig och ville gärna se mina aktivitetsuppgifter även från kurs 602. Jag fick frågan om jag lämnade in uppgifterna datorskrivna. Det är så här jag har lämnat in dem, med undantag för att jag på vissa ställen har gjort någon korrigering för att förtydliga. Den här gången lyckades jag få avdrag på några uppgifter. Det var inte på grund av räknefel utan att jag hade missuppfattat eller tänkt fel. Istället för att rätta har jag tagit med kommentarerna och förklarat vad som är fel. Jag tror att man kan lära sig mer av att se vad de inte godkänner. På de ställen jag har fått avdrag har jag gjort en notering i marginalen. Läs igenom kommentarerna innan ni sätter er in i hur jag har räknat. I PDF-filen finns länkar fram och tillbaka mellan uppgift och kommentarer. Liksom förra gången står frågorna med i kursiv stil, för att man ska slippa leta på två ställen. Hör gärna av er om det finns något fel.

2 Anders Sjöqvist, 2087, seminariegrupp Ekonomisk statistik, del 2 aktivitetsuppgift En biluthyrningsfirma är intresserad av att få reda på det genomsnittliga antalet dagar per år som en bil inte kan användas för uthyrning pga att den behöver sevice. Ett slumpmässigt urval om bilar gav följande resultat (antal dagar): 16, 12, 9, 21. Beräkna ett 98 % konfidensintervall för det genomsnittliga antalet dagar per år som en hyrbil inte kan användas för uthyrning pga service. Arbetsgången för konfidensintervall: 1. Frågeställning, definition av stokastisk variabel (en eller flera) och vad som är givet. Vi definierar en s.v. X som betecknar antalet dagar per år som en hyrbil inte kan användas på grund av service. Våra observationer av X är som sagt X 1 16, X 2 12, X 3 9 och X 21. Med ett 98 % konfidensintervall är (1 α) 0.98 α Den här uppgiften bör läsas kursivt. Jag följer inte mallen, och fick därför en hel del avdrag. 2. Nödvändiga modell-antaganden. Avdrag. Se kommentar 1. Uppgiften ger oss ingen uppfattning om vilken fördelning den stokastiska variabeln följer. Det är rimligt att tänka sig att oftast när en bil hamnar på service så är den där flera dagar. Om U är antalet gånger bilen är på service och V är antal dagar det tar att få bilen klar, så är X U i1 V i. Problemet är att undersöka vilka fördelningar U och V följer. Till exempel kan man tänka sig att varje bil är på service någon gång under året för besiktning, byte mellan sommar- och vinterdäck eller annat underhåll. Då är P (U 0) 0. På samma sätt kan det även finnas en begränsning åt andra hållet. En bil som är på service en stor del av året är förmodligen för dyrbar och kommer att skrotas. Då är P (U > n) 0 för något n. Inte ens om bilen kan stå på service varje dag under året så är det säkert att X kan bli upp till 365. Det beror på hur många dagar per år som uthyrningsfirman har öppet. När det gäller antal servicedagar per serviceomgång kan man också tänka sig olika modeller. Det kan ju vara så att det är vanligt att servicen antingen går snabbt, eller så måste bilen stå och vänta på en ovanlig reservdel. Då är sannolikheten för ett lågt eller högt V stor, men däremellan är sannolikheten liten. Det kan också vara så att bilen alltid måste lämnas en morgon och hämtas tidigast nästa eftermiddag. I så fall är P (V 1) 0 P (X 1) 0. Även om diskussionen ovan inte har fört oss närmare svaret, så har vi i alla fall sett att det finns många faktorer som vi bara kan gissa oss till. Vi måste göra en grov generalisering. Låt oss anta att biluthyrningsfirman har öppet varje dag under året, och att det för varje bil varje morgon bestäms om bilen ska på service eller stå klar att hyras ut. Om vi bara betraktar år med 365 dagar så kan X anta alla värden mellan 0 och 365 med någon okänd sannolikhet π. Vi räknar ut ett närmevärde, π ( )/( 365) 1.5/ Vi får alltså att X Bin(365, 0.00) Eftersom nπ(1 π) > 9 så har vi rätt att approximera X med en normalfördelning. 3. Estimator (en eller flera) och dess samplingsfördelning. Vi räknar ut medelvärdet av våra observationer X X i 1.5 i1 Siffrorna sätts in i uttrycket för samplingsvarians s 2 1 (X i 1 X) i

3 . Använd data och beräkna konfidensintervallet. Avdrag. Se Konfidensintervallet kan nu beräknas med en t-fördelning. Om vi har n observationer av en kommentar 1. normalfördelad s.v. så går det att räkna ut ett intervall för µ s X t n 1,α/2 < µ < X s + t n 1,α/2 n n Vi räknar ut gränserna s X ± t n 1,α/2 1.5 ± t 3, ± ± 11.8 n 2 Intervallet är alltså 2.7 < µ < Tolkning av resultatet i ord. Ett konfidensintervall är ett intervall som sannolikt innehåller en okänd stokastisk variabel. I vårt fall innebär det att väntevärdet för antal dagar en bil är på service med 98 % konfidens ligger mellan 2.7 och 26.3, alltså avviker högst 11.8 från genomsnittet av observationerna. 2

4 Anders Sjöqvist, 2087, seminariegrupp Ekonomisk statistik, del 2 aktivitetsuppgift En forskare i finansiell ekonomi studerar ett visst värdepapper och har fem slumpmässiga och oberoende observationer. Forskaren är intresserad av standardavvikelsen σ och vill beräkna ett konfidensintervall för σ. Observationerna är: 2, 6, 7, 9 och 10. Beräkna ett 99 % konfidensintervall för σ. Arbetet delas upp i punkter enligt arbetsgången för konfidensintervall: 1. Frågeställning, definition av stokastisk variabel (en eller flera) och vad som är givet. Eftersom vi söker ett 99 % konfidensintervall är α Låt X vara den stokastiska variabel som värdepapperet följer. Då är de fem observationerna 2. Nödvändiga modell-antaganden. X 1 2, X 2 6, X 3 7, X 9 och X 5 10 Vi känner inte till någonting om hur sannolikhetsfunktionen för X ser ut. Antag att den är normalfördelad, alltså X N(µ, σ 2 ) 3. Estimator (en eller flera) och dess samplingsfördelning. Vi beräknar stickprovsmedelvärdet X i1 X i och använder detta till att beräkna stickprovsvariansen s 2 1 n 1 5 i1 (X i X) Använd data och beräkna konfidensintervallet. Det vi söker är egentligen ett konfidensintervall för standardavvikelsen, men eftersom den har ett ett-till-ett-förhållande till variansen så kan vi börja med att beräkna variansen. Ett konfidensintervall för variansen hos en normalfördelad population beräknas med (n 1)s 2 χ 2 n 1,α/2 < σ 2 < (n 1)s2 χ 2 n 1,1 α/2 Avdrag på grund av missad motivering. Se kommentar 2. Detta ger alltså konfidensintervallet för standardavvikelsen (n 1)s 2 χ 2 n 1,α/2 < σ < (n 1)s 2 χ 2 n 1,1 α/2 9.7 χ 2, < σ < 1.62 < σ < χ 2, Tolkning av resultatet i ord. Med 99 % konfidens ligger den för oss okända (men konstanta) standardavvikelsen för värdepapperet mellan 1.62 och

5 Anders Sjöqvist, 2087, seminariegrupp Ekonomisk statistik, del 2 aktivitetsuppgift I ett slumpmässigt urval av 175 civilingenjörer och 150 civilekonomer inom IT-branschen frågade man hur många gånger de bytt jobb de senaste tre åren. Av civilingenjörerna hade 75 bytt jobb minst två gånger och av civilekonomerna var motsvarande antal 90. a) Beräkna ett 98 % konfidensintervall för skillnaden i populationsandelen civilingenjörer och populationsandelen civilekonomer som bytt jobb minst två gånger under de senaste tre åren. Arbetet delas upp i punkter enligt arbetsgången för konfidensintervall: 1. Frågeställning, definition av stokastisk variabel (en eller flera) och vad som är givet. Låt X vara antal civilekonomer som har bytt jobb minst två gånger de senaste tre åren, och Y vara antal civilingenjörer som har bytt jobb på samma sätt. Vi söker ett 99 % konfidensintervall för skillnaden mellan sannolikheterna för civilekonomer och civilingenjörer, det vill säga π X π Y. De data vi har är att av n x 150 civilekonomer har 90 bytt jobb minst två gånger de senaste tre åren, och av n y 175 civilingenjörer gäller på samma sätt Nödvändiga modell-antaganden. Vi gör inga ytterligare modellantaganden. 3. Estimator (en eller flera) och dess samplingsfördelning. En estimator för π X är p X X n x och en estimator för π Y är p Y Y n y. Eftersom n x > 0 och n y > 0 så kan vi modifiera centrala gränsvärdessatsen, och då gäller att Civilekonomer och civilingenjörer understruket med rödpenna. Se kommentar 3. Z (p X p Y ) (π X π Y ) σ px p Y approx N(0, 1) där en estimator för σ 2 p X p Y är s 2 p X p Y p X(1 p X ) n x + p Y (1 p Y ) n y. Använd data och beräkna konfidensintervallet. Ett (1 α) konfidensintervall för π X π Y ges nu av (p X p Y ) ± z α/2 s px p Y. π X π Y inringat, och Med hjälp av stickprovsdata beräknas att p X 90 π Y π X skrivet och p Y i rött. Se Tabellslagning ger att z α/2 z Vi får att kommentar z α/2 s px p Y Intervallet blir ( ) ± , alltså (0.02, 0.298) Tolkning av resultatet i ord. Skillnaden mellan benägenheten för civilekonomer och civilingenjörer att byta jobb minst två gånger under de senaste tre åren ligger med 98 % konfidens mellan 0.02 och b) Har civilekonomer inom IT-branschen en större benägenhet att byta jobb jämfört med civilingenjörer? Besvara frågan genom en lämplig hypotesprövning. Använd signifikansnivån 5 %. Arbetet delas upp i punkter enligt arbetsgången för hypotesprövning:

6 1. Frågeställning, definition av stokastisk variabel (en eller flera) och vad som är givet. Vi har samma data och stokastiska variabler som i förra uppgiften (det vill säga att X betecknar antal civilekonomer och Y antal civilingenjörer som har bytt jobb minst två gånger de senaste tre åren, samt data på hur observationerna ser ut). Det som söks är belägg för hypotesen att civilekonomer har en större benägenhet att byta jobb. 2. Nödvändiga modell-antaganden. Inga övriga modellantaganden. 3. Hypoteser och signifikansnivå. Vi kan definiera nollhypotesen att civilingenjörer har åtminstone lika hög benägenhet som civilekonomer att byta jobb H 0 : µ X µ Y 0 i motsats till hypotesen att civilekonomer har högre benägenhet att byta jobb Signifikansnivån är 5 %.. Testvariabel och dess fördelning under H 0. Från tidigare i uppgiften har vi att H 1 : µ X µ Y > 0 Z (p X p Y ) (π X π Y ) σ px p Y approx N(0, 1) där σ px p Y skattas med s px p Y p 0 (1 p 0 ) n x + p 0(1 p 0 ) n y där p 0 n xp x + n y p y n x + n y 5. Beslutsregel. Beslutsregeln blir: Förkasta H 0 om p X p Y s px p Y > z α. 6. Använd data, beräkna observerad storhet och dra slutsats. Stickprovsdata: p X , p Y , p Enligt tabell är z Detta sätts in i ovanstående olikhet: Därmed förkastas H 0 på nivån 5 % > Tolkning av resultatet i ord. De data vi har sett tyder på att antagandet att civilekonomer har en större benägenhet att byta jobb stämmer. c) Beräkna och tolka p-värdet på testet i b). p-värdet är 1 F Z (3.07) p-värdet är den lägsta signifikans då vi kan förkasta H 0. I detta fall behöver vi nästan gå ner till 0.1 % signifikans för att förkasta. 5

7 Anders Sjöqvist, 2087, seminariegrupp Ekonomisk statistik, del 2 aktivitetsuppgift Vid marknadsföring av konsumentprodukter studeras ofta skillnader (avseende inkomst, ålder, familjestorlek etc.) mellan dem som köper produkten i fråga och dem som inte köper produkten. En producent av en tandkräm var intresserad av en eventuell skillnad i ålder mellan köpare av tandkrämen och icke köpare. Ett slumpmässigt stickprov om fyra observationer från gruppen som köper tandkrämen och ett slumpmässigt stickprov om fyra observationer från gruppen som inte köper tandkrämen gav följande resultat för respondenternas ålder: Observation nr Köpare Icke köpare a) Testa hypotesen att variansen i gruppen köpare och variansen i gruppen icke köpare är lika mot ett dubbelsidigt alternativ. Ange tydligt den signifikansnivå du använder. 1. Frågeställning, definition av stokastisk variabel (en eller flera) och vad som är givet. Låt X vara en stokastisk variabel för ålder hos en person som köper tandkrämen, och Y vara en s.v. för ålder hos en person som inte köper tandkrämen. Vi har fyra observationer vardera (n x n y ) av de stokastiska variablerna. Dessa är x 1 56, x 2 0, x 3 7, x 9, y 1 33, y 2 31, y 3 37, y 35. Uppgiften är att ta reda på om dessa varianser är lika (σ X σ Y ). 2. Nödvändiga modell-antaganden. Vi får ingen information om fördelningarna, men det är rimligt att tro att observationerna är oberoende. Antag normalfördelning, så att 3. Hypoteser och signifikansnivå. Vi testar mot ett dubbelsidigt alternativ X N(µ X, σ 2 X) och Y N(µ Y, σ 2 Y ) H 0 : σ 2 X σ 2 Y H 1 : σ 2 X σ 2 Y Signifikansnivån är 10 %, det vill säga α Testvariabel och dess fördelning under H 0. Under H 0 gäller att SX 2 SY 2 F nx 1,n Y 1 det vill säga, att kvoten av stickprovsvarianserna kommer att följa en F -fördelning. 5. Beslutsregel. Beslutsregeln blir: Förkasta H 0 om F obs s 2 x/s 2 y > F nx 1,n y 1,α/2 F 3,3, Använd data, beräkna observerad storhet och dra slutsats. Stickprovsmedelvärden: x ȳ 3 6

8 Stickprovsvarianser: n s 2 i1 x (x i x) 2 n x 1 n s 2 i1 y (y i ȳ) 2 n y 1 F obs s2 x s 2 y /3 20/ Eftersom F obs så kan H 0 inte förkastas på signifikansnivån 10 %. 7. Tolkning av resultatet i ord. Med den signifikansnivå vi använder kan vi inte förkasta hypotesen att varianserna är lika. b) Testa på signifikansnivån 5 % hypotesen att genomsnittlig ålder i gruppen köpare och genomsnittlig ålder i gruppen icke köpare är lika mot alternativet att genomsnittlig ålder i gruppen köpare är högre. 1. Frågeställning, definition av stokastisk variabel (en eller flera) och vad som är givet. Som ovan är X ålder hos köpare och Y ålder hos icke-köpare, och observationerna är x 1 56, x 2 0, x 3 7, x 9, y 1 33, y 2 31, y 3 37, y 35. Uppgiften är att avgöra om genomsnittet är lika för de båda stokastiska variablerna. 2. Nödvändiga modell-antaganden. Antag normalfördelning X N(µ X, σ 2 X) och Y N(µ Y, σ 2 Y ) 3. Hypoteser och signifikansnivå. Uppgiften är att pröva nollhypotesen att medelvärdena är lika, mot hypotesen att åldern hos köpare är högre. H 0 : µ X µ Y 0 Mothypotesen blir då H 1 : µ X µ Y > 0 Signifikansnivån är 5 %, det vill säga α Testvariabel och dess fördelning under H 0. Vi inför en sammanslagen variansestimator s 2 p (n x 1)s 2 x + (n y 1)s 2 y (n x + n y 2) Då följer en t-fördelning. s 2 p t ( x ȳ) (µ x µ y ) 5. Beslutsregel. H 0 förkastas om t > t nx+n y 2,α t 6, n x + s2 p n y Avdrag på grund av saknad motivering. Se kommentar. 7

9 6. Använd data, beräkna observerad storhet och dra slutsats. Vi vet sedan förra uppgiften att n x n y, s 2 x 130/3 och s 2 y 20/3. Detta används för att räkna ut s 2 p: s 2 p (n x 1)s 2 x + (n y 1)s 2 y (n x + n y 2) Eftersom vi ska testa om µ x µ y 0: s 2 p t ( x ȳ) (µ x µ y ) n x + s2 p n y Eftersom t > 1.93 så förkastas H 0. ( x ȳ) 0 2s 2 p / Tolkning av resultatet i ord. Det är inte rimligt att anta att medelvärdet för grupperna köpare och icke-köpare är detsamma. c) Vad kan sägas om p-värdet för testet i b)? p-värdet ligger under 0.005, eftersom t 6, < Det räcker alltså med en lägre signifikans än 0.5 % för att förkasta. d) Antag att stickprovstorlekarna var 200 resp. 200 (i stället för resp. ) men att stickprovsmedelvärde/-varians har samma numeriska värde som tidigare. Genomför hypotesprövningen i b) med denna förutsättning. 1. Frågeställning, definition av stokastisk variabel (en eller flera) och vad som är givet. Som uppgift b). 2. Nödvändiga modell-antaganden. Som uppgift b). 3. Hypoteser och signifikansnivå. Som uppgift b).. Testvariabel och dess fördelning under H 0. Som uppgift b). 5. Beslutsregel. H 0 förkastas om t > t nx+n y 2,α t 398,0.05. t 398,0.05 är inte explicit given, men t, < t 398,0.05 < t 60,0.05. Vi kan inte förkasta H 0 om t 398,0.05 faller inom detta intervall. 6. Använd data, beräkna observerad storhet och dra slutsats. s 2 x 130/3, s 2 y 20/3 och n x n y 200 sätts in i s 2 p: s 2 p (n x 1)s 2 x + (n y 1)s 2 y (n x + n y 2) 25870/ / Avdrag för att jag inte använde CGS. Se kommentar. Felaktiga beräkningar enligt ovan. t ( x ȳ) 0 2s 2 p H 0 förkastas, eftersom t > / Tolkning av resultatet i ord. Hypotesen att det inte finns någon åldersskillnad mellan grupperna förkastas även här, och med ännu större marginal än i uppgift b). (Med många observationer stabiliserar sig siffrorna, så att de blir mer tillförlitliga.) 8

10 Anders Sjöqvist, 2087, seminariegrupp Ekonomisk statistik, del 2 aktivitetsuppgift En stokastisk variabel är normalfördelad med väntevärde µ och standardavvikelse σ 3. Nollhypotesen µ 10 ska testas med hjälp av ett slumpmässigt stickprov om 16 observationer. Om stickprovsmedelvärdet är större än eller mindre än 8.77 så förkastas nollhypotesen. a) Ange nollhypotes och mothypotes. b) Ange lämplig testvariabel och dess fördelning. H 0 : µ 10 H 1 : µ 10 Benämn den stokastiska variabeln X. Då är X N(µ, σ) N(µ, 3). Låt µ 0 vara det gissade väntevärdet och n antal observationer. Inför nu en ny s.v. Z, beroende av X, så att Z X µ 0 σ/ n X 10 N(0, 1) c) Bestäm sannolikheten att begå fel av Typ I. Ett typ I-fel definieras som att man förkastar H 0 trots att den är sann. Eftersom sannolikheten att acceptera H 0 om den är sann är (1 α), så är sannolikheten att förkasta α. Vi måste räkna ut α, eftersom vi bara känner till gränserna för belutsregeln: α P ( X < 8.77) + P ( X > 11.23) F X (8.77) + (1 F X (11.23)) Φ + 1 Φ Φ + 1 Φ 2 2Φ(1.6) tabell Sannolikheten för ett typ I-fel är d) Bestäm sannolikheten att begå ett fel av Typ II om µ 11; µ 12; µ 13; µ 1. Ett typ II-fel innebär att vi felaktigt accepterar H 0, och benämns β. För µ 11 behåller vi gränserna, men byter ut µ 0 : β µ11 P ( X < µ 11) P ( X < 8.77 µ 11) F X (11.23 µ 11) F X (8.77 µ 11) Φ Φ Φ + Φ Φ + Φ 1 Φ(0.307) + Φ(2.973) Sannolikheten för ett typ II-fel om µ 11 är

11 På samma sätt: β µ12 Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ(.307) Φ(1.027) β µ13 Φ Φ Φ Φ Φ(5.6) Φ(2.36) β µ1 Φ Φ Φ Φ Φ(6.973) Φ(3.693) Sammantaget blir detta µ β µ e) Bestäm sannolikheten att begå ett fel av Typ II om µ 9; µ 8; µ 7; µ 6. På fråga e) är det tillräckligt att motivera svaret (beräkningar krävs ej). Eftersom normalfördelningen avtar likformigt runt väntevärdet så spelar det ingen roll om vi går uppåt eller neråt. Sannolikheten för ett typ II-fel är lika på samma avstånd från µ 0. Annorlunda uttryckt: β µµ0+x β µµ0 x Detta medför µ β µ f) Vad är testets styrka om µ 6; µ 7; µ 8; µ 9; µ 11; µ 12; µ 13; µ 1? Testets styrka är sannolikheten att H 0 förkastas, det vill säga (1-β): µ (1 β µ ) g) Rita styrkefunktionens graf för 6 µ < 10 och för 10 < µ 1. Se nedan. Stickprovets storlek ökas nu till 6. h) Bestäm beslutsregeln så att signifikansnivån är 10 %. 10

12 Med n 6 omdefinierar vi beslutsregeln: Förkasta om X 10 X < 3Z X < < Z α/2 eller X 10 > Z a/2 3Z eller X > eller X > 8 X < 9.38 eller X > i) Bestäm testets styrka om µ 7; µ 8; µ 9; µ 9.5; µ 10.5; µ 11; µ 12; µ 13? Övriga speglas : (1 β µ7 ) 1 P ( X < µ 7) + P ( X < 9.38 µ 7) 1 F X (10.62 µ 7) + F X (9.38 µ 7) Φ + Φ Φ + Φ 1 Φ(9.653) + Φ(6.37) (1 β µ8 ) 1 Φ + Φ Φ + Φ 1 Φ(6.987) + Φ(3.68) (1 β µ9 ) 1 Φ + Φ Φ + Φ 1 Φ(.32) + Φ(1.013) (1 β µ9.5 ) 1 Φ + Φ Φ Φ Φ Φ 2 Φ(2.987) Φ(0.32) µ (1 β µ ) j) Rita styrkefunktionens graf för 6 µ < 10 och för 10 < µ 1 i samma diagram som grafen i uppgift g). Markera tydligt i diagrammet vilken graf som är svar på uppgift g) och vilken graf som är svar på uppgift j). 11

13 Styrkefunktion uppgift j) Styrkefunktion uppgift g) µ k) Jämför de båda styrkekurvorna. Vilken är att föredra? Varför? Kurvan från uppgift j) är att föredra. En högre styrka innebär, ceteris paribus, en bättre effektivitet i att förkasta H 0 om hypotesen är felaktig. 12

14 Anders Sjöqvist, 2087, seminariegrupp Ekonomisk statistik, del 2 aktivitetsuppgift I en forskningsrapport undersöktes sambandet mellan ett företags marknadsandel och den sålda produktens kvalitet mätt på en skala (100 är bästa värde.) Följande fem observationer föreligger: Företag nr Marknadsandel, % Produktens kvalitet a) Formulera en regressionsmodell Y i β 0 + β 1 x i + ε i, där produktens kvalitet förklarar marknadsandelen. Skatta modellen. x: produktens kvalitet enligt skala Y : marknadsandel i procent Söks: Skattning av regressionen av marknadsandelarna. För modellen Y i β 0 + β 1 x i + ε i gäller att a) x i är fixa tal. b) E(ε i ) 0 (i 1, 2,..., n) c) V (ε i ) E(ε 2 i ) σ2 (i 1, 2,..., n) d) Cov(ε i, ε j ) E(ε i ε j ) 0 (i j) x ȳ i x y (x i x) (y i ȳ) (x i x)(y i ȳ) (x i x) 2 (y i ȳ) Σ (xi x)(y i ȳ) b 1 (x i x) Den skattade regressionsmodellen är b 0 ȳ b 1 x ŷ i x i b) Ge en ekonomisk tolkning av det skattade värdet av β 1. b 1 är marginaleffekten av produktens kvalitet på marknadsandelen i procent. c) Beräkna determinationskoefficienten. SSR b 2 1 (xi x) 2 SST (y i ȳ) 2 6 ( ) r 2 SSR SST

15 d) Testa på 1 % signifikansnivå hypotesen β 1 0 mot alternativet att β 1 är positiv. Inför kravet att ε i N(0, σ 2 ). Hypoteser: Signifikansnivån är α H 0 : β 1 0 H 1 : β 1 > 0 B 1 är estimator för β 1, och S B1 är variansestimator för B 1. Under H 0 gäller: t B 1 β 1 S B1 Beräkningar för att kunna formulera beslutsregeln: t n 2 SSE SST SSR s 2 e SSE n s 2 s 2 e b 1 (xi x) Beslutsregeln kan nu formuleras. Förkasta H 0 om t obs b 1 β 1 s b1 > t 3, b 1 β s b Eftersom t obs > 5.81 så förkastas H 0. e) Beräkna ett 90 % prediktionsintervall för marknadsandelen för ett företag vars produkt har kvalitet 5 enligt mätskalan. Vi har ett nytt x: x n+1 5 ŷ n+1 b 0 + b 1 x n Om S 2 ŷ n+1 är en estimator för σ 2 ŷ n+1 och α 100 % 90 % 0.10 så ges prediktionsintervallet av ŷ n+1 ± t n 2,a/2 sŷn+1 där s 2 ŷ n+1 s 2 e ( n + (x ) ( n+1 x) (xi x) ) ŷ n+1 ± t 3,0.050 sŷn ± ± Ett 90 % prediktionsintervall är (3.8521, ). f) Beräkna ett 95 % intervall för den förväntade marknadsandelen för företag vars produkt har kvalitet 5 enligt mätskalan. Om S 2 är en estimator för Ê(ŷ σ2, α 100 % 95 % 0.05 och allt annat n+1 x n+1) Ê(ŷ n+1 x n+1) lika, så ges prediktionsintervallet av där s 2 Ê(ŷ n+1) s2 e ŷ n+1 ± t n 2,a/2 sê(ŷn+1) ( 1 n + (x ) ( ) n+1 x) (xi x) ŷ n+1 ± t 3,0.025 sê(ŷn+1).5286 ± ± Ett 95 % prediktionsintervall för den förväntade marknadsandelen är (.178,.909). 1

16 Kommentarer till aktivitetsuppgifterna 1. Den här uppgiften analyserade jag sönder. Jag fick nästan hälften (fyra poäng) avdragna. Efter att ha talat med Håkan Lyckeborg fick jag tillbaka tre av dessa. Det lät inte som om han tyckte att jag väsentligen hade gjort rätt, men han motiverade de extra poängen med att det var kul att jag hade tänkt till. Note that X is a continuous variable (time) and thus you could not use a discrete dist. to characterize it (such as the binomial dist.) Here you should assume X N(µ, σ 2 ) Här var jag och Lyckeborg helt oense. I uppgiften står det klart och tydligt att det rör sig om antalet dagar frågan är alltså hur detta ska tolkas. Enligt Lyckeborg kan antal vara kontinuerligt, något som jag tyckte kändes fel. I efterhand kollade jag i Nationencyklopedins Internettjänst, och där står att antal är i heltal angiven mängd av ngt som kan räknas. Jag drev inte denna fråga vidare, men detta var hur som helst anledningen till att jag utgick ifrån en binomialfördelning. In 2 you reason that X Bin and here you calculate sample moments of a normal dist. and follow as if you were dealing with such. Jag förutsätter att den engelskspråkige rättaren inte förstod min textbaserade förklaring till hur jag övergick till normalfördelning. Hur som helst, det Lyckeborg hade emot det var att han inte med säkerhet kunde avgöra om det var korrekt att approximera i den här situationen. Mina beräkningar var desamma som andras, vilka jag jämförde med. Det som skiljde var alltså min ansats, och på grund av detta fick jag poängavdrag. En viktig men tyvärr sorglig slutsats kan dras av det här: Om man är det minsta osäker så är det bättre att bara säga jag vet inte vad det här är för fördelning, så därför gissar jag att det är en normalfördelning än att åtminstone göra ett försök att ge en bra motivering till varför man gör som man gör. (8/9, efter Lyckeborgs korrigering) (n 1)s2 2. Because σ 2 χ 2 n 1 & X N(µ, σ 2 ) Dåligt motiverat, helt enkelt. Ett poängs avdrag. (8/9) 3. På den här uppgiften är jag inte helt säker på vad som är fel. Orden civilekonomer och civilingenjörer är understrukna, antagligen för att jag har bytt ordning på dem i förhållande till vad som var givet i uppgiften. Jag trodde att man sökte beloppet av differensen, och därför ordnade jag det så att jag skulle slippa teckenbyten. Längre ner är π X π Y inringat, och en pil är ritad till kommentaren π Y π X. Kommentarerna tyder på att man var ute efter ett negativt intervall, men å andra sidan är inte resultatet korrigerat, utan bara ett par detaljer längs vägen, vilket gör mig tveksam. Ett poängs avdrag i alla fall. I övrigt kommenterades uppgiften med Very good!!! (17/18). You should comment that you can use this because you are considering σ 2 x σ 2 y. Inte mycket att tillägga. Motiveringen borde ha varit bättre. Två poängs avdrag. Should use CLT here. Jag borde som sagt ha använt centrala gränsvärdessatsen. Två poängs avdrag, och två poäng på beräkningarna som därmed också blev fel. (1/20) 5. Inga avdrag. Enda kommentaren är Excellent!! (22/22) 6. Inga avdrag eller kommentarer över huvud taget. (22/22) 15

F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva

F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H

Läs mer

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b

, s a. , s b. personer från Alingsås och n b Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen

Läs mer

F3 Introduktion Stickprov

F3 Introduktion Stickprov Utrotningshotad tandnoting i arktiska vatten Inferens om väntevärde baserat på medelvärde och standardavvikelse Matematik och statistik för biologer, 10 hp Tandnoting är en torskliknande fisk som lever

Läs mer

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 2. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 2 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Normalfördelning Samplingfördelningar och CGS Fördelning för en stickprovsstatistika (t.ex. medelvärde) kallas samplingfördelning. I teorin är

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Hypotesprövning Innehåll Hypotesprövning 1 Hypotesprövning Inledande exempel Hypotesprövning Exempel. Vi är intresserade av en variabel X om vilken vi kan anta att den är (approximativt) normalfördelad

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 26 april 2004, klockan 08.15-13.15 Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 6 april 004, klockan 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad

Läs mer

Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten i dessa.

Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten i dessa. Betrakta kopparutbytet från malm från en viss gruva. Anta att budgeten för utbytet är beräknad på att kopparhalten ligger på 70 %. För att kontrollera detta tar man ut n =16 prover och mäter kopparhalten

Läs mer

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning

8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8 Inferens om väntevärdet (och variansen) av en fördelning 8. Skattning av µ och Students T-fördelning Om σ är känd, kan man använda statistikan X µ σ/ n för att hitta konfidensintervall för µ. Om σ inte

Läs mer

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population

Föreläsning 5. Kapitel 6, sid Inferens om en population Föreläsning 5 Kapitel 6, sid 153-185 Inferens om en population 2 Agenda Statistisk inferens om populationsmedelvärde Statistisk inferens om populationsandel Punktskattning Konfidensintervall Hypotesprövning

Läs mer

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2

TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson HT2012 TENTAMEN I STATISTIKENS GRUNDER 2 2012-11-20 Skrivtid: kl 9.00-14.00 Godkända hjälpmedel: Miniräknare, språklexikon Bifogade hjälpmedel:

Läs mer

π = proportionen plustecken i populationen. Det numeriska värdet på π är okänt.

π = proportionen plustecken i populationen. Det numeriska värdet på π är okänt. Stat. teori gk, vt 006, JW F0 ICKE-PARAMETRISKA TEST (NCT 13.1, 13.3-13.4) Or dlista till NCT Nonparametric Sign test Rank Teckentest Icke-parametrisk Teckentest Rang Teckentestet är formellt ingenting

Läs mer

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

2. Test av hypotes rörande medianen i en population.

2. Test av hypotes rörande medianen i en population. Stat. teori gk, ht 006, JW F0 ICKE-PARAMETRISKA TEST (NCT 15.1, 15.3-15.4) Ordlista till NCT Nonparametric Sign test Rank Icke-parametrisk Teckentest Rang Teckentest Teckentestet är formellt ingenting

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska

Läs mer

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2011-10-28 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade

Läs mer

TMS136. Föreläsning 11

TMS136. Föreläsning 11 TMS136 Föreläsning 11 Andra intervallskattningar Vi har sett att vi givet ett stickprov och under vissa antaganden kan göra intervallskattningar för väntevärden Man kan även gör intervallskattningar för

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta

Läs mer

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University

Hypotesprövning. Andrew Hooker. Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning Liksom konfidensintervall ett hjälpmedel för att

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen 6.5 hp AT1MS1 DTEIN16h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 1 juni 2017 Tid: 14-18 Hjälpmedel: Miniräknare Totalt antal

Läs mer

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder.

Tentamen i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tentamen 2014-12-05 i statistik (delkurs C) på kursen MAR103: Marina Undersökningar - redskap och metoder. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare och utdelad formelsamling med tabeller. C1. (6 poäng) Ange för

Läs mer

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK 2007-08-29 UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Statistik för Teknologer, 5 poäng (TNK, ET, BTG) Peter Anton, Per Arnqvist Anton Grafström TENTAMEN 7-8-9 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN

Läs mer

Föreläsning 5: Hypotesprövningar

Föreläsning 5: Hypotesprövningar Föreläsning 5: Hypotesprövningar Johan Thim (johan.thim@liu.se) 24 november 2018 Vi har nu studerat metoder för hur man hittar lämpliga skattningar av okända parametrar och även stängt in dessa skattningar

Läs mer

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion

Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration

Läs mer

Föreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2

Föreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2 Föreläsningsanteckningar till kapitel 9, del 2 Kasper K. S. Andersen 17 oktober 2018 1 Hur väljar man hypotes och mothypotes? Allmänt finns två möjliga resultat av en statistik test: Nollhypotesen H 0

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-01-18 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Mykola

Läs mer

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.) Föreläsning 4: Konfidensintervall forts. Johan Thim johan.thim@liu.se 3 september 8 Skillnad mellan parametrar Vi kommer nu fortsätta med att konstruera konfidensintervall och vi kommer betrakta lite olika

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor

Analytisk statistik. Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Tony Pansell, optiker Universitetslektor Analytisk statistik Att dra slutsatser från det insamlade materialet. Två metoder: 1. att generalisera från en mindre grupp mot en större grupp

Läs mer

F22, Icke-parametriska metoder.

F22, Icke-parametriska metoder. Icke-parametriska metoder F22, Icke-parametriska metoder. Christian Tallberg Statistiska institutionen Stockholms universitet Tidigare när vi utfört inferens, dvs utifrån stickprov gjort konfidensintervall

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 2004, kl 14.00-19.00 Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 4 juni 004, kl 14.00-19.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approimationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik A1, 15 hp Antal uppgifter: 6 Krav för G: 13 Lärare:

Läs mer

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12 LINKÖPINGS UNIVERSITET MAI Johan Thim Tentamen i matematisk statistik (9MA21/9MA31, STN2) 212-8-2 kl 8-12 Hjälpmedel är: miniräknare med tömda minnen och formelbladet bifogat. Varje uppgift är värd 6 poäng.

Läs mer

TMS136. Föreläsning 13

TMS136. Föreläsning 13 TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra

Läs mer

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab

Introduktion. Konfidensintervall. Parade observationer Sammanfattning Minitab. Oberoende stickprov. Konfidensintervall. Minitab Uppfödning av kyckling och fiskleveroljor Statistiska jämförelser: parvisa observationer och oberoende stickprov Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson vt 2012 Fiskleverolja tillsätts

Läs mer

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet

Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) Statistiska institutionen, Uppsala universitet Preliminära lösningar för Tentamen Tillämpad statistik A5 (15hp) 2016-01-13 Statistiska institutionen, Uppsala universitet Uppgift 1 (20 poäng) A) (4p) Om kommunens befolkning i den lokala arbetsmarknaden

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp. Fredagen den 13 e mars 2015

Lösningsförslag till tentamen på. Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp. Fredagen den 13 e mars 2015 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för ekonomi, samhälle och teknik Statistik Lösningsförslag till tentamen på Statistik och kvantitativa undersökningar STA100, 15 hp Fredagen den 13 e mars 015 1 a 13 och 14

Läs mer

Hur man tolkar statistiska resultat

Hur man tolkar statistiska resultat Hur man tolkar statistiska resultat Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Varför använder vi oss av statistiska tester?

Läs mer

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen

Kap 6: Normalfördelningen. Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen Kap 6: Normalfördelningen Normalfördelningen Normalfördelningen som approximation till binomialfördelningen σ μ 1 Sats 6 A Om vi ändrar läge och/eller skala på en normalfördelning så har vi fortfarande

Läs mer

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng

Uppgift a b c d e Vet inte Poäng TENTAMEN: Dataanalys och statistik för I2, TMS135 Fredagen den 12 mars kl. 8:45-11:45 på V. Jour: Jenny Andersson, ankn 8294 (mobil:070 3597858) Hjälpmedel: Utdelad formelsamling med tabeller, BETA, på

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning p-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/36

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl Karlstads universitet Avdelningen för nationalekonomi och statistik Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Måndag 14 maj 2007, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 5. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 5 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Andelar (kap 24) o Binomialfördelning (kap 24.1) o Test och konfidensintervall för en andel (kap 24.5, 24.6, 24.8) o Test

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) Fredag 8 december 2006, Kl 08.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen

Läs mer

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1902 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare och examinator : Björn-Olof Skytt, tel 790 8649. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT

F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F18 MULTIPEL LINJÄR REGRESSION, FORTS. (NCT 1.1, 13.1-13.6, 13.8-13.9) Modell för multipel linjär regression Modellantaganden: 1) x-värdena är fixa. ) Varje y i (i = 1,, n) är

Läs mer

Samplingfördelningar 1

Samplingfördelningar 1 Samplingfördelningar 1 Parametrar och statistikor En parameter är en konstant som karakteriserar en population eller en modell. Exempel: Populationsmedelvärdet Parametern p i binomialfördelningen 2 Vi

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för Statistik Tentamen i Statistik, STA A0 och STA A3 (9 poäng) 6 januari 004, kl. 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogade formel-

Läs mer

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning

TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33

Läs mer

Kapitel 10 Hypotesprövning

Kapitel 10 Hypotesprövning Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 10 Hypotesprövning 1 Vad innebär hypotesprövning? Statistisk inferens kan utföras genom att ställa upp hypoteser angående en eller flera av populationens parametrar.

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-08-22 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Jourhavande lärare: Mykola

Läs mer

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1

Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 16 augusti, 2017 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman. Jour:

Läs mer

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14

Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 Industriell matematik och statistik, LMA136 2013/14 7 Mars 2014 Disposition r Kondensintervall och hypotestest Kondensintervall Statistika Z (eller T) har fördelning F (Z en funktion av ˆθ och θ) q 1 α/2

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-05-29 Tid:

Läs mer

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 3. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 3 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Inferens om två populationer (kap 8.1 8.) o Parvisa observationer (kap 9.1 9.) o p-värde (kap 6.3) o Feltyper, styrka, stickprovsstorlek

Läs mer

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller:

Rättningstiden är i normalfall 15 arbetsdagar, till detta tillkommer upp till 5 arbetsdagar för administration, annars är det detta datum som gäller: Matematisk Statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Tentamen TT091A TGMAS15h 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 30 Maj Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare (nollställd) samt allmänspråklig

Läs mer

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204)

EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204) ÖREBRO UNIVERSITET Hälsoakademin Idrott B Vetenskaplig metod EXAMINATION KVANTITATIV METOD vt-11 (110204) Examinationen består av 11 frågor, flera med tillhörande följdfrågor. Besvara alla frågor i direkt

Läs mer

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar

Läs mer

Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning

Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning Stas Volkov 2017-11-14 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F12: Hypotestest 1/1 Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt

Läs mer

Medicinsk statistik II

Medicinsk statistik II Medicinsk statistik II Läkarprogrammet termin 5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Dagens föreläsning Fördjupning

Läs mer

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl

Tentamen i Statistik, STG A01 och STG A06 (13,5 hp) Torsdag 5 juni 2008, Kl Karlstads Universitet Avdelningen för Nationalekonomi och Statistik Tentamen i Statistik, STG A0 och STG A06 (3,5 hp) Torsdag 5 juni 008, Kl 4.00-9.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 6 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Kort om projektet o Hypotesprövning Populationsandel Populationsmedelvärde p-värdet 2 Kort om projektet Syftet med projektet i denna kurs är att

Läs mer

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen, 5p 1 januari 006, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT

F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT Stat. teori gk, ht 006, JW F9 SAMPLINGFÖRDELNINGAR (NCT 7.1-7.4) Ordlista till NCT Sample Population Simple random sampling Sampling distribution Sample mean Standard error The central limit theorem Proportion

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski

SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST. Jan Grandell & Timo Koski SF1901: SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12. MER HYPOTESPRÖVNING. χ 2 -TEST Jan Grandell & Timo Koski 25.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 25.02.2016 1 / 46 INNEHÅLL Hypotesprövning

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2018-10-30 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson och

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2016-06-03 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande

Läs mer

Föreläsning G60 Statistiska metoder

Föreläsning G60 Statistiska metoder Föreläsning 7 Statistiska metoder 1 Dagens föreläsning o Hypotesprövning för två populationer Populationsandelar Populationsmedelvärden Parvisa observationer Relation mellan hypotesprövning och konfidensintervall

Läs mer

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng Matematisk statistik Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti 7,5 högskolepoäng Namn: (Ifylles av student) Personnummer: (Ifylles av student) Tentamensdatum: 2012-08-31 Tid:

Läs mer

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen Matematisk statistik TMS64/TMS63 Tentamen 29-8-2 Tid: 4:-8: Tentamensplats: SB Hjälpmedel: Bifogad formelsamling och tabell samt Chalmersgodkänd räknare. Kursansvarig: Olof Elias Telefonvakt/jour: Olof

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-03-28 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Mykola

Läs mer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Exempel, del II G. Gripenberg Aalto-universitetet 13 februari 2015 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och

Läs mer

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:... Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för

Läs mer

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II

Bild 1. Bild 2 Sammanfattning Statistik I. Bild 3 Hypotesprövning. Medicinsk statistik II Bild 1 Medicinsk statistik II Läkarprogrammet T5 HT 2014 Anna Jöud Arbets- och miljömedicin, Lunds universitet ERC Syd, Skånes Universitetssjukhus anna.joud@med.lu.se Bild 2 Sammanfattning Statistik I

Läs mer

Föreläsning 12: Repetition

Föreläsning 12: Repetition Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse

Läs mer

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling

Läs mer

FÖRELÄSNING 8:

FÖRELÄSNING 8: FÖRELÄSNING 8: 016-05-17 LÄRANDEMÅL Konfidensintervall för väntevärdet då variansen är okänd T-fördelningen Goodness of fit-test χ -fördelningen Hypotestest Signifikansgrad Samla in data Sammanställ data

Läs mer

Obligatorisk uppgift, del 1

Obligatorisk uppgift, del 1 Obligatorisk uppgift, del 1 Uppgiften består av tre sannolikhetsproblem, som skall lösas med hjälp av miniräknare och tabellsamling. 1. Vid tillverkning av en produkt är felfrekvensen 0,02, dvs sannolikheten

Läs mer

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9.

7.1 Hypotesprövning. Nollhypotes: H 0 : µ = 3.9, Alternativ hypotes: H 1 : µ < 3.9. Betrakta motstånden märkta 3.9 kohm med tolerans 1%. Anta att vi innan mätningarna gjordes misstänkte att motståndens förväntade värde µ är mindre än det utlovade 3.9 kohm. Med observationernas hjälp vill

Läs mer

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2

P(ξ > 1) = 1 P( 1) = 1 (P(ξ = 0)+P(ξ = 1)) = 1 0.34. ξ = 2ξ 1 3ξ 2 Lösningsförslag TMSB18 Matematisk statistik IL 101015 Tid: 12.00-17.00 Telefon: 101620, Examinator: F Abrahamsson 1. Varje dag levereras en last med 100 maskindetaljer till ett företag. Man tar då ett

Läs mer

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD.

Analytisk statistik. Mattias Nilsson Benfatto, PhD. Analytisk statistik Mattias Nilsson Benfatto, PhD Mattias.nilsson@ki.se Beskrivande statistik kort repetition Centralmått Spridningsmått Normalfördelning Konfidensintervall Korrelation Analytisk statistik

Läs mer

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =

Läs mer

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp

LÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5

Läs mer

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2. Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2013-03-28 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A10 samt STA A13 9p 24 augusti 2005, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 samt STA A13 9p 24 augusti 2005, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A0 samt STA A3 9p 4 augusti 005, kl. 08.5-3.5 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Övrigt:

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar

Läs mer

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p) Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90, SF905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E AUGSTI 204 KL 08.00 3.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och

Läs mer

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie

Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie Stockholms Universitet Statistiska institutionen Termeh Shafie TENTAMEN I GRUNDLÄGGANDE STATISTIK FÖR EKONOMER 2012-03-16 Skrivtid: 9.00-14.00 Hjälpmedel: Miniräknare utan lagrade formler eller text, bifogade

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2014-06-05 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Jesper

Läs mer

Korrelation och autokorrelation

Korrelation och autokorrelation Korrelation och autokorrelation Låt oss begrunda uttrycket r = i=1 (x i x) (y i y) n i=1 (x i x) 2 n. i=1 (y i y) 2 De kvadratsummor kring de aritmetiska medelvärdena som står i nämnaren är alltid positiva.

Läs mer