Den välkända dikten av Sten Selander

Transkript

1 BERNT HERNELL Kul kulkombinatorik Med utgångspunkt i kulspel på 0-talet undersöker författaren sambandet mellan, pyramider, målade golfbollar och Pascals triangel. Den välkända dikten av Sten Selander borde kunna användas som utgångspunkt i många ämnen i skolan. Vi spelade kula i Torget en dag, en liten folkskolegrabb och jag. Jag hade väl femti, han hade fem. Vi spelte. Och han förlorade dem. Han snorade till och gav mig en blick, då jag visslade överlägset och gick. Men jag ångrade mig när jag kom till vår port, och tyckte det var något fult jag gjort. Jag gnodde tillbaka. Men ingenstans kunde någon säga, var grabben fanns. Och visste jag det, förslog det ej stort. Man kan aldrig ändra det fula man gjort. Man kan inte lämna kulor igen och trösta pojkar, som stelnat till män. Den första av matematikfrågorna är så komplicerad att jag överlåter den till läsaren att besvara. De andra däremot borde kunna tas som utgångspunkt till matematiskt knep och knåp från förskolan upp till diskret matematik på gymnasiet. Det är kanske sant att, man ger inte kulor igen till pojkar som stelnat till män. Men män som mjuknat till pojkar funderar gärna på hur många kulor det finns i en pyramid om kanten t ex är kulor lång. När vi spelade kula på 0-talet använde vi oss mest av fyror, femmor och tior. Någon enstaka gång satte någon rik kulägare upp en tjuga, men då fick kastarna stå så långt ifrån, att det sällan blev någon träff. Historia: Vad är en folkskolegrabb, och vad är berättaren? Hur länge har man spelat kula? Samhällskunskap: Varför har berättaren femtio kulor och folkskolegrabben bara fem? Matematik: Vinner alltid en som har femtio kulor över den som har fem? Hur stora pyramider kunde folkskolegrabben bygga och hur stora kunde berättaren bygga? Hur många kulor kan olika pyramider innehålla? Jag försökte vid ett tillfälle bygga en större pyramid än tjuga för att se hur många kulor som krävdes, men den rasade. Om jag känt till Pascals triangel hade jag vetat utan att bygga. NÄMNAREN NR 00

2 Pascals triangel Man kan gå in i Pascals triangel och direkt se hur många kulor som krävs för en viss storlek på pyramiden. Om vi bortser från femman som är av annat slag än de andra tre, så är antalet kulor i kultetraedrarna del i en serie:,, 0, 0,,,,... I Pascals triangel är detta snedrad i triangeln: Snedrad består av talföljden,,,0,, osv. 0 Av bilden ovan framgår att vi borde kunna se detta som en tvådimensionell variant av pyramiden. Snedrad i Pascals triangel består av talföljden:,,, osv. Detta är den endimensionella varianten av pyramiden: Om nu en snedrad har pyramiden som grafisk representation, kan man ju fråga sig om även de andra raderna kan ges någon liknande geometrisk tolkning. Snedrad 0 består enbart av en kula. Om man kan tala om en nolldimensionell tetraeder, så saknar den utsträckning i rummet, varför det känns naturligt att betrakta denna rad som en sådan. Storlek 0 Dimension kula kulor kulor kulor NÄMNAREN NR 00

3 Fyra dimensioner Om de första fyra raderna är de fyra lägsta dimensionerna av en pyramid (bild ) så kan man kanske våga gissa att nästa rad visar antalet kulor i olika storlekar av en fyrdimensionell pyramid. Rad visar femdimensionella pyramider osv. Enligt bild består i så fall en sexdimensionell pyramid med fem kulor i kanten av 0 kulor. Dimensioner eller antal golfbollar 0 Storlek eller antal färger med fyra färger? + ( ) ( ) 0 Men dessa resultat är samma, som antal kulor i en tredimensionell pyramid med,, och kulor i kanten. Antalet kulor i en tredimensionell pyramid med k kulor i kanten och antalet sätt att måla tre golfbollar med k färger är lika stort och föjer samma rad i Pascals triangel (bild ). Flera olika kombinationer kan alltså utläsas på olika sätt i Pascals triangel, vilket också historien nedan illustrerar (se bild nästa sida). Finns det något annat sätt att räkna som stöder generaliseringen av den tredimensionella pyramiden? Jag har hittat två sätt som tyder på att denna generalisering har en viss betydelse. I. Kombinatorik och pyramider. med,, eller färger? Detta problem kan lösas med en teknik med avgränsare (se t ex Björk & Brolin, ; Grimaldi, 000). Resultatet blir enligt följande: med en färg? + ( ) ( 0 ) med två färger? + ( ) ( ) med tre färger? + ( ) ( ) 0 Historien om trillingarna Erik Jonsson (de hette så alla tre) från Jönköping på skolresa i Gränna den 0 oktober 00. När de kom in i en butik och skulle köpa polkagrisar placerade polkagriskokare Fransson alla sju sorterna på disken, en av varje sort, och sa att det bara var att välja. Trillingarna blev dock misstänksamma, de där var nog inte från dagens kok. Dessutom kunde ju inte alla tre välja saltlakrits om de nu skulle vilja det. Erik tog också fram Pascals triangel, följde den raka raden sju, fyra steg åt höger och fann att det enligt Franssons förslag endast gavs olika möjligheter att välja. Sen följde han snedrad tre och lät den möta snedrad sju från höger och fann att om de valde fritt i butiken så hade de olika möjligheter Helt ovidkommande tänkte han också att om de varit vanliga bröder så hade de haft 0 sätt att välja enligt Franssons förslag, och sätt om de valde fritt i butiken. När de lämnade butiken sa Erik: - Det är tur att man känner till kombinatorik utan återläggning när man ska köpa polkagrisar. - Ja och kombinatorik med återläggning svarade Erik. - Ja, men eftersom vi är identiska trillingar och inte vanliga trillingar så behöver vi inte lära oss permutationer med och utan återläggning, sa Erik. NÄMNAREN NR 00

4 Antal polkagrisar 0 Antal sorter Det vore intressant om sambanden ovan också gällde generellt. Dvs. om en n-dimensionell pyramid med k kulor i kanten, alltid består av lika många kulor som antalet sätt det går att måla n golfbollar med k färger. I Pascals triangel kan vi hitta att en sexdimensionell pyramid med kantkulor borde ha 0 kulor totalt.med samma metod som tidigare kan vi beräkna att golfbollar går att måla på 0 sätt med färger. + 0 ( ) ( ) 0 I detta fall tycks det fungera, vilket kan tyda på att Pascals triangel verkligen kan betraktas som en beskrivning av flerdimensionella pyramider. I nästa stycke börjar jag från ett helt annat håll för att visa detta. II Diskret Volymberäkning Jag behandlar endast fallet med kantlängden, men samma resonemang bör stämma för de andra storlekarna. När man ska beräkna antal kulor i en tvådimensionell pyramid, kan man använda A b h, men med h menas inte höjden i traditionell mening. h är istället antal rader på höjden ökat med en enhet. Att man måste räkna på detta sätt ses i figuren nedan. b h A När V A h ska användas för att räkna ut den tredimensionella pyramiden måste h adderas med en enhet ytterligare, eftersom vi nu har ytterligare en dimension vilket ger att volymen av en tredimensionell pyramid med kantlängd är 0, dvs den består av 0 kulor. V 0 När vi nu ska räkna ut antal kulor i den fyrdimensionella pyramiden kan vi inte se hur beräkningen ska göras, men rimligen bör samma mönster upprepas. I formeln V V h ökas h alltså med ytterligare en enhet. V 0 V V V Fyrdimensionell pyramid storlek Femdimensionell pyramid storlek Sexdimensionell pyramid storlek Sjudimensionell pyramid storlek Generellt blir antalet kulor i en n-dimensionell pyramid med k kulor i kanten V n V (k+n ) n n Denna regel kan också ses som en rekursionsformel för hela Pascals triangel. För några olika värden på n gäller: V 0 (snedrad 0) (k+ ) V k (snedrad ) k(k+ ) k(k+) k(k+) V! (snedrad ) k(k+) (k+ ) k(k+)(k+) V k(k+)(k+) (snedrad )! 0 NÄMNAREN NR 00

5 k(k+)(k+) (k+ ) V k(k+)(k+)(k+) k(k+)(k+)(k+)! ( k + ) (Snedrad ) Varje snedrad kan på detta sätt få sin egen formel. Avslutningsvis några frågor som kanske kan stimulera till ytterligare undersökningar: Den kulpyramid som vi kallade femma är av helt annat slag än de pyramider som behandlats i texten. Finns det något som liknar Pascals triangel för dem? Har hexagonalt tätpackade kristaller, kubiskt ytcentrerade gitter eller kubiskt rymdcentrerade gitter något med pyramider att göra? Är det sant att det är svårare att träffa en pyramid, så att den rasar, om den är vänd med spetsen framåt? Hur ska man t ex i förskolan kunna bygga stora pyramider utan att de rasar? Någon form av ram borde kunna konstrueras med hjälp av några linjaler. Vilken förskola bygger den största pyramiden? Hur bevisar man att en n-dimensionell pyramid med kantlängden k består av lika många kulor som det antal sätt det går att plocka k objekt ur n objekt, oberoende av ordningen och med återläggning? REFERENSER. Björk, L-E., & Brolin, H. (). Matematik 000F. Stockholm: Natur och kultur. Grimaldi, R. (000). Discrete and combinatorial mathematics. Boston: Addison- Wesley. Coneway, J. H.(000). Boken om tal. Lund: Studentlitteratur. Bernt Hernell är lärare på vuxen gymnasiet i Jönköping. Nämnarens redaktion önskar alla läsare en fin och avkopplande sommar NÄMNAREN NR 00