VIRKESMÄTNINGSRÅDET ( VMR ) DEL VII. Något om statistik och stickprovsmätning samt felteori

Transkript

1 VIRKESMÄTNINGSRÅDET ( VMR ) KOMPENDIUM I VIRKESMÄTNING DEL VII Något om statistik och stickprovsmätning samt felteori

2 VMR NÅGOT OM STATISTIK OCH STICKPROVSMÄTNING SAMT FELTEORI Innehållsförteckning 1. Vissa grundläggande begrepp i statistiken Sid Kollektiv och stickprov Medelvärde Variationsmått Medelfel Tolkning av medelfel Urvalsmetoder 6 2. Stickprovsmätning 2.1 Mätning genom stickprov (stickprovsmätning) Mätmetoder Precisionskrav Bestämning av stickprovsstorlek Mätningens utförande Exempel på beräkning av fastvolymen i TS-kollektiv Ordningsregler vid stickprovsmätning Övriga mätningstillämpningar med stickprov Felteori - avvikelser och fel vid mätning 4.1 Allmänt Grovt fel Systematiskt fel Tillfälliga fel Noggrannhet och precision Mätmetoder noggrannhet Stockmätning Travmätning Relativt fel vid mätning 19

3 VMR NÅGOT OM STATISTIK OCH STICKPROVSMÄTNING SAMT FELTEORI 1. VISSA GRUNDLÄGGANDE BEGREPP I STATISTIKEN 1.1 Kollektiv och stickprov Population Kollektiv Stickprov Skatta Systematiska fel Medelvärde En population är en klart avgränsad och väl beskriven grupp av individer, föremål, händelser m m som man önskar studera med avseende på en eller flera egenskaper. Inom virkesmätningen används vanligen ordet kollektiv i stället för population. Ett kollektiv kan bestå av lass, travar, stockar etc. Ett stickprov utgör en del av ett kollektiv. Avsikten med stickprovet är att i ett eller annat avseende studera kollektivet. Det kan t ex gälla medelvolymen per stock eller förhållandet mellan travmätt volym och fastvolym. Genom att mäta de enskilda enheterna i stickprovet med avseende på någon särskild egenskap, t ex volymen per stock, och låta den representera medelvolymen per stock i kollektivet, är det möjligt att göra vissa beräkningar som gäller kollektivet i dess helhet. Känner man antalet stockar i kollektivet och deras medelvolym är det alltså möjligt att beräkna kollektivets totala volym. Det kallas för att man "skattar" volymen i kollektivet. För att denna skattning skall vara korrekt gäller emellertid vissa villlkor. Bl a skall urvalet av stickprovsenheter ha skett på sådant sätt att enbart slumpen avgjort vilka enheter som ingår i stickprovet. Urvalsförfarandet skall vidare ha varit sådant att eventuella, jämnt återkommande variationer (periodicitet) i stockvolymerna ej kan ha påverkat skattningsresultatet. I annat fall är risken för systematiska fel överhängande. 1.2 Medelvärde Ett vanligt sätt att beskriva en serie mätvärden är att beräkna och ange deras medelvärde (egentligen aritmetiskt medelvärde). Detta kan med ord beskrivas som summan av mätvärdenas talvärden dividerad med antalet mätvärden. Den i föregående stycke nämnda "medelvolymen" beräknas alltså som summan av de enskilda stockarnas volymer dividerad med antalet stockar.

4 Variationsmått Varians Dimension Variationsmått Standardavvikelse Kännetecknande för all mätning av dimensioner - diameter, längd, bredd och höjd - är att erhållna mätvärden nästan undantagslöst varierar. Orsakerna kan vara flera. Dels kan variationen bero på att det är olika stockar eller travar som man faktiskt mäter. Dels kan den, såsom t ex vid upprepad mätning av en enskild stocks diameter, bero på att måttstället inte är exakt detsamma vid varje mätning, att klaven är bristfällig eller att avläsningarna görs slarvigt. Ett kollektiv kan beskrivas mer eller mindre fullständigt. Man kan exempelvis upprätta en tabell innehållande alla enskilda mätvärden för en viss egenskap (ex.vis stockvolym), man kan åskådliggöra samma sak med ett stolpdiagram eller nöja sig med att ange medelvärde och variation mellan mätvärden. Variationen mellan mätvärden för en och samma egenskap är en i statistiska sammanhang mycket viktig egenskap. För att beskriva denna variation har ett flertal olika variations- eller spridningsmått utvecklats. Ett sätt att beskriva variationen är att ange den i förhållande till talvärdenas medelvärde. Ett sådant spridningsmått är variansen som beräknas som summan av kvadraterna på avvikelserna mellan de enskilda talvärdena och deras medelvärde dividerad med antalet talvärden. Vanligare och mer användbar än variansen är standardavvikelsen som utgör kvadratroten ur variansen. Med kvadraten på ett tal menas detta tal multiplicerat med sig självt. Kvadratroten ur ett tal är det tal som multiplicerat med sig självt ger det ursprungliga talet. Exempelvis är kvadraten på talet 4 lika med 16 medan kvadratroten ur talet 16 är lika med 4. Beräkningen av varians och standardavvikelse kan belysas av följande enkla exempel. Antag att vi har fyra stockar med toppdiameter respektive 15, 14, 18 och 17 cm Medelvärdet för diametern blir cm = 16 cm. 4 Variansen för diametern = 1/4 [ (15-16)² + (14-16)² + (18 16)² + (17-16)² ] = 1/4 [ (-1)² + (2)² + 2² + 1² ] = 1/4 ( ) = 2,5 Standardavvikelsen för diametern = 2, 5 = 1,58 Den beskrivna principen för beräkning av varians och standardavvikelse gäller generellt oberoende av antalet mätvärden och storleken av dessa. Ju fler och större talen är, desto mer arbetsdryga blir givetvis beräkningarna.

5 Medelfel Medelfel Under avsnittet 1.2 har beskrivits innebörden av begreppet medelvärde, som alltså i stickprovssammanhang är en skattning av en viss storhet, t ex medeldiameter, medelvolym eller medelvikt hos en grupp av mätenheter. Det kännetecknande för en skattning är att även dess värde varierar beroende på vilka enheter som ingår i stickprovet. En upprepad bestämning av ett antal medelvärden resulterar alltså i en serie olika värden, som sannolikt ligger nära varandra, men de har ändå en variation som kan uttryckas i en standardavvikelse. Denna medelvärdets standardavvikelse kallas medelfel och beräknas enligt formeln: s N n s x = n N 1 Med tillämpning inom virkesmätningen gäller följande förklaringar på beteckningarna i formeln. s = standardavvikelsen för kvoten per stickprovsenhet mellan dess noggranna och enkla mätning, N = det totala antalet enheter i kollektivet, n = antalet enheter i stickprovet. Med noggrann mätning avses den ommätning som sker av stickprovsenheterna och då med en "noggrannare" metod, i regel en stockmätning. Med enkel mätning avses den första mätningen med en metod som omfattar alla mätenheter i kollektivet. Mycket vanligt är att den utgörs av travmätning med vedvolymbedömning. N n I formeln för medelfelet kallas faktorn för ändlighetskorrektion. N 1 Den har praktisk betydelse endast i de fall då antalet stickprovsenheten utgör en betydande andel av kollektivets samtliga enheter, t ex mer än 20 procent. En så stor andel torde dock höra till undantagen och därför saknar korrektionsfaktorn i praktiken betydelse. Formeln får därför följande enkla utseende: s s x = n De stora talens lag Vi ser av formeln att medelfelet för skattningen av en viss egenskap hos kollektivet blir mindre ju större stickprovet är. Skattningen blir med andra ord "säkrare" när antalet ökar. Detta samband gäller generellt och brukar kallas de stora talens lag.

6 Tolkning av medelfel. Med kännedom om medelfelets storlek är det möjligt att uttala sig om den säkerhet (precision) med vilken en skattning gjorts. Förutsatt att stickprovet uttagits slumpmässigt (se nedan pkt 1.6 Urvalsmetoder) ur ett någorlunda stort kollektiv så gäller nämligen att stickprovets medelvärde är s k normalfördelat med standardavvikelsen (medelfelet) s/ n. Normalfördelningen innebär att om man tänker sig ett mycket stort antal stickprovsmedelvärden, hämtade ur ett visst kollektiv och grupperade längs en tallinje, så bildar de tillsammans en fördelning vars form påminner om en gammaldags klocka. Man talar också om "klockkurva". Denna typ av fördelning framgår även av följande bild som visar exempel på en normalfördelning. Bild 1. Exempel på normalfördelning. Fördelning Konfidensintervall Med kännedom om fördelningens utseende (matematiska form) och medelfelets storlek är det möjligt att förutsäga storleken på det intervall kring stickprovets medelvärde inom vilket det "sanna" medelvärdet i kollektivet sannolikt ligger. Intervallet benämns konfidensintervall. Normalfördelningen enligt bilden ovan förutsätts ha standardavvikelsen lika med 1 enhet. Hela fördelningen omfattar sannolikheten 100 procent vilket motsvarar ett intervall kring dess medelvärde av c:a ± tre gånger medelvärdets standardavvikelse (medelfel). Med ökande avstånd på talaxeln från medelvärdet ökar sannolikheten för att intervallet skall innehålla det skattade värdet. Eftersom normalfördelningen är matematiskt definierad är det möjligt att exakt beräkna sannolikheten vid varje enskild punkt på talaxeln, egentligen ytan av den del av fördelningen som ligger på ömse sidor av punkten ifråga. Avståndet från denna punkt till fördelningens medelvärde betecknas λ. I tabellen på nästa sida redovisas några λ -värden med tillhörande sannolikheter. Observera att λ-värdena egentligen skall förses med plus- och minustecken eftersom de motsvarar en sträcka på båda sidor om medelvärdet på talaxeln.

7 - 5 - λ - värde 1,64 1,96 2,58 3,29 3,89 Sannolikhet 0,90 0,95 0,99 0, Följande bild visar exempel på en normalfördelning med standardavvikelsen = 1 i vilken konfidensintervallet för λ - värdena 1,64 och 3,29 har lagts in. Denna typ av konfidensintervall kallas dubbelsidigt. Figur 2. Normalfördelning med konfidensintervall. Konfidensnivå Hittills har standardavvikelsen förutsatts vara lika med 1 men i princip kan konfidensintervall beräknas för varje annan storlek på standardavvikelsen. Den enda åtgärd som behövs är att man multiplicerar λ-värdet för aktuell sannolikhet (konfidensnivå) med den erhållna standardavvikelsen för medelvärdet (medelfelet). Exempel. Beräkna det 95 %-iga konfidensintervallet för ett medelvärde med medelfelet 2 %. Lösning: I tabellen ovan ser vi att λ-värdet för 95 % är lika med 1,96. Intervallet kan därmed tecknas: medelvärdet ± 2 1,96 % = ± 3,92 % Ett 99 %-igt konfidensintervall tecknas på motsvarande sätt: medelvärdet ± 2 2,58 % = ± 5,16 %

8 - 6 - Uttryckt i ord innebär alltså det 95 %-iga konfidensintervallet i exemplet att det "sanna" medelvärdet med en sannolikhet om 95 % finns inom ett intervall som utgörs av medelvärdet ± 3,92 %. På motsvarande sätt gäller för det 99 %-iga konfidensintervallet att samma medelvärde med en sannolikhet om 99 % finns inom ett intervall som utgörs av medelvärdet ± 5,16 %. I det sistnämnda fallet kan man sålunda vara praktiskt taget "säker" på att med det beräknade intervallet ha täckt in det "sanna" värdet. Vi ser också av exemplet att konfidensintervallets utsträckning blir mindre ("snävare") ju mer vi kan begränsa storleken på medelfelet. 1.6 Urvalsmetoder. Obundet slumpmässigt urval I föregående avsnitt har framhållits att urvalsförfarandet har den största betydelse för möjligheten att dra riktiga slutsatser om stickprovet (representativitet). En vanligt förekommande urvalsmetod inom virkesmätningen bygger på s k obundet slumpmässigt urval, förkortat OSU. Denna metod innebär att varje tänkbar kombination av ett visst antal (n) enheter ur ett kollektiv skall ha samma chans som varje annan kombination av n enheter att utgöra stickprovet. Endast om denna förutsättning är uppfylld kan man garantera att ett stickprovs medelvärde är en korrekt skattning av kollektivets medelvärde. Obundet slumpmässigt urval är i virkesmätningssammanhang som regel lätt att omsätta i en praktisk och ekonomisk tillämpning. Hjälpmedel i urvalet kan vara slumptalsväljare inbyggd i persondator eller handdator, lotteri, slumptabell eller liknande. Systematiskt urval Systematiskt urval innebär att var n:te (t ex var 10-nde) enhet i kollektivet skall ingå i stickprovet. Talet n symboliserar kvoten mellan det totala antalet enheter i kollektivet och antalet enheter i stickprovet. Ett systematiskt urval är ofta lättare att genomföra praktiskt än obundet slumpmässigt urval. Hjälpmedel för urvalet krävs egentligen bara för uttag av den första enheten. En begränsning hos metoden är emellertid att stickprovsresultatet kan påverkas av periodiska variationer hos den egenskap som skall studeras om dessa variationer sammanfaller med det intervall som används i urvalet. Man kan som exempel tänka sig att i fordonstravar med sågtimmer de grövsta stockarna genomgående lastas i botten på traven. När stockarna sedan lastas av på transportör blir resultatet en viss storlekssortering. Om urvalet därefter sker systematiskt och enligt en kvot, som sammanfaller med det genomsnittliga antalet stockar i travarna, får vi automatiskt en överrepresentation av en viss typ av stockar och därmed en snedvridning av resultatet som följd. Innan man väljer systematiskt urval måste man därför noga undersöka om sådana variationer förekommer hos enheterna i kollektivet.

9 STICKPROVSMÄTNING. 2.1 Mätning genom stickprov (stickprovsmätning). Mätning genom stickprov (stickprovsmätning). Stickprovsmätning utförs i två eller flera faser. Den sista fasen skall utföras genom stockmätning, travmätning, stycketalsräkning eller vägning. Stickprovsmätning är tillåten för mätkollektiv sammansatta av väl avgränsade enheter såsom enskilda stockar, grupper av stockar, travar, buntar eller lass. Stickprovsmätning innebär att alla enheter i ett kollektiv bestäms till antal, volym eller vikt samt att fastvolym, råvikt eller torrvikt samt kvalitet bestäms på ett stickprov av dessa enheter. För mätkollektiv avsett att stickprovsmätas skall finnas uppgifter om urvalsförfarande, stickprovsintensitet, mätmetoder och skattningsförfarande, s k kollektivbeskrivning. Uppgifterna skall förvaras på ett betryggande sätt och hållas tillgängliga för virkessäljaren, virkesköparen och Skogsstyrelsen i minst två år efter det att kollektivbeskrivningen upprättats. Stickprov uttas genom obundet slumpmässigt urval eller rättsyftande systematiskt urval. Alla kollektiv som består av lämpliga enheter kan i princip mätas genom stickprov. Med lämplig enhet menas i detta sammanhang enheter av typen stock, trave eller lass. I praktisk mätning finns dock vissa begränsningar, som gör att stickprovsmätning inte alltid är det lämpligaste alternativet. Stickprovsmätning belastas nämligen till skillnad från totalmätning med kostnader för bl a kollektivplanering, uttag, mätning och redovisning av stickprov, vilket gör att kollektivet måste ha en viss minsta storlek för att stickprovsmätningen skall vara praktiskt och ekonomiskt motiverad. Som tumregel gäller att stickprovsvolymen ej bör uppgå till mer än 20 procent av kollektivets volym. Provtravelista Slumptalsväljare Tekniska hjälpmedel vid urvalet kan vara lotterier, provtravelistor eller elektroniska s k slumptalsväljare. Lotterier och provtravelistor kräver visst förberedelsearbete men har bl a den fördelen att de medger uttag av exakt det antal stickprovsenheter som planerats. Slumptalsväljarna, i synnerhet om de är kopplade till registreringsutrustningen, ger full garanti för slumpmässigt urval och omöjliggör därmed för operatören eller andra personer att påverka urvalet. En nackdel med detta system är att det slutligt erhållna antalet stickprovsenheter kan avvika något från det planerade. För att möjliggöra en kontrollerad, jämn fördelning av antalet stickprovsenheter över kollektivet är det därför brukligt att indela kollektivet i mindre delar för att inom var och en slumpa ut ett visst bestämt antal enheter. Urvalet blir på detta sätt styrt men principen med obundet slumpmässigt urval rubbas inte.

10 Mätmetoder Mätmetoder Stickprovsmätning utförs t ex enligt någon av följande metoder: RS-mätning Räkning (R) av ett kollektivs samtliga enheter samt bestämning av kvantitet och kvalitet per enhet genom stockmätning (S) av stickprovet. TS-mätning Travmätning (T) av ett kollektivs samtliga travar samt bestämning av kvantitet och kvalitet per m³t genom stockmätning (S) av stickprovet. VS-mätning Vägning (V) av ett kollektivs samtliga enheter samt bestämning av kvantitet och kvalitet per ton genom stockmätning (S) av stickprovet. RTBF-mätning Räkning (R) av ett kollektivs samtliga enheter samt bestämning av kvantitet per trave genom travmätning (T) med bedömning (B) av fastvolymprocent (F) av travarna i stickprovet. TBFS-mätning Travmätning (T) med bedömning (B) av fastvolymprocent (F) av ett kollektivs samtliga travar samt bestämning av kvantitet och kvalitet per m³f genom stockmätning (S) av stickprovet. Dessutom får stickprovsmetoder grundade på andra kombinationer av två eller flera mätmetoder tillämpas om stickprovet i det sista urvalssteget mäts enligt de instruktioner som gäller för respektive sortiment. För samtliga stickprovsmetoder skall nedanstående precisionskrav för enskilt kollektiv vara uppfyllt. I förkortningarna för de ovan uppräknade metoderna står: - B för bedömning av fastvolymprocent - S för stockmätning - T för travmätning (i förekommande fall skäppmätning) - R för räkning - V för vägning Enfasurval Tvåfasurval De metoder som här räknats upp bygger på s k enfasurval, d v s dragning av stickprovsenheter sker enbart en gång. Exempel på s k tvåfasurval är metoden TTS- mätning, som vid nuvarande tillämpning innebär att travvolymen hos ett kollektivs samtliga fordonslaster bedöms, varefter ett stickprov ur dessa skattade laster travmäts på vanligt sätt med bedömning av vedvolymprocent. Ur de travmätta lasterna dras på nytt ett stickprov av travar som stockmäts. Ett annat exempel på tvåfasurval är metoden RTS-mätning i vilket R står för räkning av antal laster. I övrigt är metoden identisk med TTS-mätning.

11 - 9 - Metoderna grundade på tvåfasurval har utvecklats under de senaste åren och har hittills endast tillämpats lokalt. De förutsätter kollektiv med förhållandevis stor volym. På grund av den osäkerhet i volymbestämningen av enskilda laster som kännetecknar den inledande skattningen av travvolym är metoden inte lämplig för mätning av kollektiv sammansatta av virke från flera leverantörer. Den volymmässigt viktigaste metoden är TBFS-mätning som tillämpas av de två norra virkesmätningsföreningarna i landet. 2.3 Precisionskrav Precisionskrav Precisionen i bestämningen av ett kollektivs kvantitet eller virkesvärde uttrycks i form av det enkla medelfelet för bestämningen. Medelfelet beräknas enligt formeln: s N n s x = n N 1 där s = standardavvikelsen för kvoten per stickprovsenhet mellan noggrann och enkel mätning, N = det totala antalet enheter i kollektivet och n = antalet enheter i stickprovet. Med noggrann mätning avses den mätning som sker i den andra fasen i mätningen av en stickprovsenhet, i regel en stockmätning. Den enkla mätningen motsvarar den första fasen i mätningen av en enhet, i regel en trave, som ingår i ett kollektiv. Vid beräkning av stickprovsstorleken beaktas såväl kollektivets totala kvantitet och värde som kostnaden för mätning av den enskilda stickprovsenheten. Som allmän regel vid bestämningen av stickprovets storlek kan lämpligen gälla att marginaleffekten i form av ökad precision i bestämningen av virkesvärdet genom uttag av ytterligare en stickprovsenhet bör motsvara minst dubbla kostnaden för mätningen av enheten. Parter skall också ha möjlighet att träffa särskilt avtal om precisionskravet vid stickprovsmätning. Om dessutom en virkesaffär mellan två parter omfattar mer än ett kollektiv samtidigt, kan det finnas anledning för parterna att beakta denna omständighet vid bestämningen av stickprovens sammanlagda storlek. Den nuvarande mätningsinstruktionen innehåller som synes inget direkt uttalat krav beträffande precisionen vid stickprovsmätning. Som övergripande krav gäller i detta fall Skogsstyrelsens föreskrifter till virkesmätningslagen där noggrannhetskrav vid virkesmätning finns intagna. Vid bestämningen i det enskilda fallet av storleken av ett stickprov tillämpas i praktiken de anvisningar som fanns intagna i tidigare mätningsbestämmelser. De innebar att stickprovet skulle omfatta minst 30 enheter men kunde begränsas till 15 enheter om kollektivet var mindre än m³f. Dessutom skulle antalet stickprovsenheter vara minst så stort att det beräknade enkla medelfelet för den skattade volymen understeg 1 procent för kollektiv större än m³f och 2 procent för kollektiv med mindre volym. Vid beräkningen av det nödvändiga antalet enheter i stickprovet utgår man vanligen från erfarenhetsmässiga spridningstal, d v s spridningstal som erhållits under tidigare säsonger för kollektiv av liknande slag. Dessa spridningstal är tämligen konstanta och i den mån förändringar kan ha inträffat vad gäller tillredning eller aptering av virket, finns möjligheten att subjektivt korrigera spridningstalen för detta.

12 Bestämning av stickprovsstorlek Av stycket 1.4, Medelfel, framgår att medelfelet kan beräknas ur formeln s x = s n där s är lika med kollektivets standardavvikelse och n antalet enheter i stickprovet. Genom att utveckla formeln erhåller vi följande uttryck: n = s s 2 2 x Med kännedom om storheterna i bråkets täljare och nämnare kan vi enkelt beräkna n. Som framgått av stycket 2.3 är den ungefärliga storleken hos standardavvikelsen i ett visst kollektiv normalt erfarenhetsmässigt känd. Storleken på kollektivet är därtill avgörande för den storlek på skattningens medelfel som kan godtas. Exempel: Spridningen för kvoten m³tr/m³t vid TBFS-mätning är erfarenhetsmässigt c:a 7 %. Kollektivets fastvolym överstiger m³f varför medelfelet för skattningen får uppgå till högst 1 %. Hur stort måste antalet stickprovsenheter minst vara? Lösning: Antalet stickprov beräknas ur uttrycket n = s s 2 x 2, eller 2 n = 7 = = 49 Antalet stickprovsenheter måste uppgå till minst 49 för att precisionskravet skall vara tillgodosett. Om kollektivet i ovanstående exempel varit mindre än m³f hade medelfelet fått vara högst 2 procent. Antalet stickprovsenheter blir i detta fallet 49/4 eller ungefär 12. Huvudregeln är emellertid att antalet enheter för kollektiv av denna storlek bör vara minst 15, varför denna regel här tar över. 2.5 Mätningens utförande Mätningens utförande Varje enhet i ett kollektiv skall mätas enligt instruktionen för aktuell mätmetod. Mätningen av enheterna (stockar eller travar) i uttaget stickprov skall dessutom ske enligt instruktionerna för respektive sortiment. När mätkollektivets samtliga enheter levereras av en och samma leverantör/säljare behöver bedömning av virkets beskaffenhet och bestämning av fastvolymprocent eller viktavdrag ej ske samt behandling ej utföras, annat än vid mätning av de uttagna stickprovsenheterna.

13 Travmätningen vid TBFS-mätning är en totalmätning av samtliga enheter (travar) i kollektivet. Mätningen utförs enligt de allmänna bestämmelserna för mätning av trave vilket innebär att även vedvolymprocenten skall bedömas. En viss förenkling av mätningen är emellertid tillåten om kollektivets samtliga enheter levereras av en och samma leverantör vilket innebär att bedömning av beskaffenhet och vedvolymprocent i enskild trave ej behöver ske. Mätningen av enheterna i uttaget stickprov skall, om ej annat föreskrivs, ske enligt instruktionen för respektive sortiment och alltså omfatta bl a bedömning av beskaffenhet och behandling. VS-mätning För VS-mätning gäller i princip samma regler som för TBFS-mätning men med den skillnaden att totalmätningsmetoden är vägning och att viktavdrag i förekommande fall ersätter bedömningen av vedvolymprocenten. I stickprovsmetoder grundade på metoden räkning är bedömningen av beskaffenhet och behandling i samband med totalmätningen av instruktionstekniska skäl ej möjlig att utföra. 2.6 Exempel på beräkning av fastvolymen i TS-kollektiv Precision Målet för mätningen av ett stickprovskollektiv är att bestämma dess volym och värde. Det kan därvid vara värdefullt att känna till med vilken säkerhet (precision) dessa begrepp är bestämda. För att belysa dels vilka mätuppgifter (mätdata) som behövs för denna beräkning, dels vilka allmänna statistiska regler som gäller, följer nedan ett exempel på beräkning av fastvolymen i ett TS-kollektiv. I exemplet ingår även beräkning av konfidensintervall för volymbestämningen. Exempel: Ett barrsågtimmerkollektiv omfattar enligt totalmätningen (T) m³t (kubikmeter travvolym). Ur kollektivet har uttagits ett stickprov om 36 travar. Volymen av dessa har bestämts till 825 m³t och den toppmätta fastvolymen till 396 m³to. Standardavvikelsen för den travvisa kvoten m³to/m³t har beräknats till 4,2 %. Beräkna med ledning av dessa uppgifter dels volymen i m³to för hela kollektivet, dels det 99 %-iga konfidensintervallet för denna skattning. Lösning: Med ledning av mätdata från stickprovstravarna kan vi beräkna kvoten m³to per m³t som alltså blir lika med 396/825 = 0,48. Detta tal är alltså en skattning av förhållandet mellan volymen i m³to respektive m³t för hela kollektivet vars fastvolym därefter beräknas till 0,48 m³to/m³t m³t = m³to. Konfidensintervallet för denna volym tecknas ± λ 0,99 s n m³to

14 Av tablån på sidan 4 framgår att λ-värdet för sannolikheten 99 % är 2,58. Standardavvikelsen s har beräknats till 4,2 % och antalet stickprovstravar (n) är 36. Intervallet kan därmed tecknas: m³to ± 2,58 4,2 36 = m³to ± 1,806 % % = m³to ± 2,58 0,7 % = I absoluta tal kan intervallet tecknas: m³to ± 109,2 m³to eller (5.938, ,2) m³to. Det beräknade konfidensintervallet säger oss alltså att kollektivets "verkliga" fastvolym i m³to med 99 procents sannolikhet ligger inom intervallet 5.938,8 till 6.167,2 m³to. Det är emellertid inte i det enskilda fallet möjligt att säga exakt var det ligger. I ett fall på 100 kan det också ligga utanför intervallet. 2.7 Ordningsregler vid stickprovsmätning För att stickprovsmetoder skall ge korrekta resultat fordras inte bara att mätningen av enskilda mätenheter utförts instruktionsenligt. Minst lika viktigt är att urvalet av stickprovsenheterna skett på ett riktigt sätt och att uttagna enheter i redovisningen verkligen tillförts stickprovet. Om dessa senare villkor inte är uppfyllda är risken för snedvridning av mätresultatet nämligen mycket stor. Det allvarliga är dessutom att resultatet kan påverkas av omständigheter som ligger utanför "slumpens" lagar och att vi därigenom får fel som i stort sett är utanför vår kontroll. Vi vet inget om deras storlek och inte heller åt vilket håll de "slår". Den enda möjligheten att gardera sig mot denna typ av fel är att vid tillämpningen av stickprovsmetoder beakta bl a att varje mätenhet i kollektivet tilldelas samma sannolikhet att ingå i stickprovet att av mätningen berörd part (leverantör, köpare, transportör) ej i förväg får känna till när stickprov kommer att utfalla att uttag av stickprov får ske först sedan mätdata från totalmätningen registrerats att uttagen stickprovsenhet alltid skall mätas och redovisas som stickprov. Det kan emellanåt inträffa att en stickprovstrave i ett eller annat avseende är extrem. Den får emellertid av denna anledning inte strykas ur stickprovet utan den skall mätas och redovisas på samma sätt som alla andra stickprovstravar.

15 Uteslutning Uteslutning av provtrave kan, trots vad som sagts ovan, under vissa förutsättningar bli aktuell. Ansvaret för uteslutning av provtrave ligger på föreningens VD/mätningschef eller den han utsett i sitt ställe och den måste bygga på mycket väl dokumenterade omständigheter eller fakta. Motiven till uteslutning kan vara flera men följande kan i första hand vara värda att nämna: 1. Provtravens identitet har ändrats mellan ordinarie mätning och mätningen av stickprovet. 2. Provtravens innehåll har ändrats genom att stockar förkommit eller tillförts. 3. Kvoten mellan provtravens fastvolym enligt ordinarie mätning och fastvolymen enligt stockmätningen av traven avviker mer än ± 30 % från stickprovsmedelvärdet eller kvoten mellan provtravens fastvolym och dess vikt i ton avviker mer än ± 40 % från stickprovets medelvärde. Mätningsenhet som uteslutits som provtrave skall trots detta fortsatt tillhöra kollektivet och värderas på samma sätt som övriga travar. 3. ÖVRIGA MÄTNINGSTILLÄMPNINGAR MED STICKPROV. Stickprov i samband med virkesmätning förekommer i ett flertal olika former vid sidan av de i föregående avsnitt beskrivna stickprovsmetoderna. Urvalsprincipen kan vara strikt slumpmässig eller också mer eller mindre behäftad med subjektiva inslag. Systemet stockvis kontroll bygger på urval av enskilda stickprovsstockar med hjälp av slumpvalsgenerator. Stockarna mäts av såväl ordinarie mätare som kontrollmätare och utgör underlag för s k funktionskontroll. Eftersom all den ordinarie stockmätning som berörs av systemet är utsatt för en ständig "risk" för utfall av kontrollstock finns garantier för att alla stockar, oavsett om de kommer att utgöra kontrollstockar eller ej, mäts med en noggrannhet och omsorg, som är oberoende av kontrollmomentet. Urvalet sker helt slumpmässigt och påverkas enbart av inställd kontrollstocksfrekvens. Utfall av kontrollstock skall dessutom "kvitteras" vilket gör det möjligt att se till att samtliga kontrollstockar verkligen blir föremål för kontroll. Visst bortfall av kontrollstockar kan förekomma, t ex genom misstag vid tömning av kontrollfack, men detta får inte ses som någon brist i urvalsmetoden.

16 "synlig del av mätenhet" "representativt urval" I gällande mätningsbestämmelser finns ett flertal exempel på förenklade, delvis subjektivt präglade stickprovsförfaranden, som är tillåtna vid den ordinarie mätningen. Sålunda får vid stockmätning på transportör och vid mätning av trave, behandling ske med utgångspunkt från "synlig del av mätenhet" under förutsättning att möjligheter finns för fullständig behandling av hela mätenheten. Vidare får vid stockmätning och vägning av massaved behandlingen grundas på bedömning av varje stock eller av ett "representativt urval" av stockar. På motsvarande sätt gäller vid travmätning av massaved att behandlingen får grundas på bedömning av hel trave eller av ett "representativt urval" av stockar ur traven. Bestämmelsen om bedömning med utgångspunkt från synlig del av mätenheten bygger på den förutsättningen att stockar när de matas på transportör eller läggs i trave placeras utan tendens till vridning eller vändning i avsikt att dölja skador eller fel för mätaren. Vanligtvis är läggningen gjord utan sådana avsikter och de fel man därvid riskerar att göra vid bedömning med ledning av synlig del av mätenheten är enbart av slumpmässig art. Dessa fel jämnar ut sig med tiden, vilket gör att mätningen som helhet betraktad blir korrekt Som mätare måste man emellertid vara på sin vakt inför möjligheten att läggningen - oavsiktligt eller inte - kan vara "styrd". Upptäcker man inte detta och utför bedömning med ledning av den del man ser av mätenheten, blir resultatet ett systematiskt fel, som vanligtvis innebär övervärdering. Det är alltså viktigt att fortlöpande under mätningen, såvida inte läggningen är mekaniserad eller man själv har den under uppsikt, förvissa sig om att läggningen verkligen är slumpmässig. Visar det sig eller misstänker man att läggningen gjorts i syfte att dölja skador och fel på virket, är man skyldig att utföra en "fullständig" behandling med ledning av hela mätenheten. En i praktiken inte alltför ovanlig situation är att stockarna i trave med massaved på fordon är grupperade eller sorterade med hänsyn till rötförekomst. Orsak till detta kan vara att traven är sammansatt av virke från vägtravar med olika avverkningstidpunkter. Märker eller misstänker man att virket i den eller de travar, som inte är helt åtkomliga för bedömning, avviker från övriga travar vad gäller t ex kvalitet eller vrakförekomst, får traven (arna) inte mätas in förrän de aktuella ändytesidorna frilagts. Vanligen måste detta ske genom att en eller flera travar lastas av. En "fullständig" behandling förutsätter alltså att traves båda ändytesidor är åtkomliga för bedömning.

17 Behandling av massaved får, som tidigare framhållits, både vid stockmätning, vägning och travmätning, grundas på bedömning av antingen varje stock eller av ett "representativt" urval av stockar. Innebörden av begreppet representativ är i detta fallet att de utvalda stockarna tillsammans skall ge en rättvisande bild av tillståndet hos övriga stockar i virkespartiet vad gäller t ex rötförekomst. Man kan säga att de utvalda stockarna utgör en "förminskad" bild av partiet i övrigt. Villkoren för att detta skall gälla är emellertid att stockarna valts slumpmässigt. Detta kan tekniskt lösas på flera olika sätt när virket ligger i trave. En modell kan vara att utnyttja någon form av taxering längs slumpvis utlagda "linjer" eller med ett rutnät. För stora travar, exempelvis vid väg, kan en lämplig metod vara att välja mindre sektioner i vilka samtliga stockar bedöms. Sektionerna väljs lämpligen på visst bestämt avstånd från varandra, d v s urvalet blir i princip systematiskt. 4. FELTEORI AVVIKELSER OCH FEL VID MÄTNING 4.1 Allmänt Storhetsvärde Sanna värdet Syftet med en mätning är att bestämma ett s k storhetsvärde. För att ta ett exempel från virkesmätningen så kan detta värde gälla längd eller diameter hos en stock eller något av måtten för en traves längd, bredd och höjd. Beroende på att varken mätdon eller föremål för mätning är felfria och att man aldrig kan fullständigt beskriva hur såväl omgivningen som den som utför mätningen påverkar mätresultatet, är det omöjligt att göra en felfri mätning, d v s en mätning som till resultat ger det s k sanna värdet. Detta värde är alltså enbart ett teoretiskt värde som aldrig kan bestämmas genom experiment. Detta innebär vidare att inte heller det "sanna" mätfelet, d v s avvikelsen mellan det mätta värdet och det "sanna" värdet, kan fastställas. För att användaren av ett mätresultat skall kunna bedöma dess kvalitet är det likväl nödvändigt att ange realistiska gränser inom vilka det "sanna" värdet antas ligga. Det är ändamålsenligt att dela in mätfelen i systematiska och tillfälliga fel. Dessutom bör tilläggas de grova felen, som normalt inte har något samband med den egentliga mätningen. Det totala felet kan mot denna bakgrund tecknas på följande sätt: Grovt fel Fel = grovt fel + systematiskt fel + tillfälligt fel. 4.2 Grovt fel Grova fel kan uppstå genom t ex felavläsning, missuppfattning eller hörfel vid avrop, omkastning av siffror eller slarv vid registreringen. Fel av denna typ kan vara stora och därmed lätta att upptäcka med rimlighetskontroll men de kan lika gärna vara av sådan storlek att de ligger inom rimliga gränser i förhållande till det "sanna" värdet. Det grova felet uppträder "oberäkneligt" och är därför vanligen mycket svårt att beakta vid utvärderingen av ett mätresultat.

18 Systematiskt fel Konstant Relativt Kalibrering Handelsvolym Tillfälliga fel Konfidensintervall 4.3 Systematiskt fel Förekomsten av ett systematiskt fel innebär att mätsystemet har en benägenhet att mäta något annat än det storhetsvärde som egentligen skall bestämmas vid mätningen. Ett systematiskt fel uppträder antingen i form av en till storleken fast (konstant) avvikelse från det "sanna" värdet eller också utgör det en viss bestämd andel av detta. Felet kallas i det senare fallet relativt. Storleken av de flesta systematiska fel kan bestämmas och beaktas genom kalibrering av använda mätdon. Avvikelsen elimineras alltså genom någon form av korrektion. Systematiska fel kan uppstå vid användning av defekta eller felaktigt justerade mätredskap eller utrustningar för mätning. Denna typ av "fel" förekommer även som ett accepterat inslag i vissa mätmetoder inom virkesmätningen. Exempelvis ger metoden stockmätning av fastvolym endast i undantagsfall virkets verkliga fysiska volym. Resultatet blir i stället en handelsvolym, som kan avvika avsevärt från den verkliga volymen. Det kanske vanligaste och mest påfallande exemplet är den volym som erhålls genom toppmätning. 4.4 Tillfälliga fel Den som inte är insatt i hur det i verkligheten förhåller sig kan lätt tro att upprepade mätningar av samma storhetsvärde ger samma resultat. Alla som sysslat med mätningar vet emellertid att så inte är fallet. Även om man anstränger sig till det yttersta för att hålla de yttre betingelserna konstanta, får man en spridning mellan mätvärdena. Spridningen beror på förekomsten av tillfälliga fel. De tillfälliga felen är vanligen normalfördelade. Om man känner deras standardavvikelse är det därför möjligt att beräkna det intervall inom vilket det "sanna" värdet med känd sannolikhet ligger. Detta intervall kallas konfidensintervall och har berörts tidigare under avsnittet 1.5, Tolkning av medelfel. På grund av det tillfälliga felets natur är det också möjligt att öka precisionen vid bestämningen av t ex ett medelvärde genom att öka antalet mätvärden. 4.5 Noggrannhet och precision När man vill beskriva "kvaliteten" hos ett mätresultat talar man i vissa fall om noggrannhet, i andra fall om precision utan att närmare fundera över dessa begrepps egentliga innebörd.

19 Noggrannhet Precision Noggrannheten eller mer egentligt uttryckt onoggrannheten - hos en mätning avser avvikelsen för en enskild mätning från det "sanna" eller verkliga värdet. Detta värde skall då vara bestämt med så hög kvalitet att det kan betraktas som felfritt. Något sådant verkligt värde existerar inte vid tillämpning av de mätmetoder som är aktuella inom virkesmätningen. Det saknas nämligen metoder att göra en så högkvalitativ mätning att den kan betraktas som felfri. Begreppet noggrannhet är alltså inte helt korrekt i virkesmätningssammanhang. Den kvalitetsegenskap som istället kan och bör utnyttjas är precisionen i mätningarna. Med precisionen avses graden av överensstämmelse mellan resultaten av upprepade mätningar av samma storhet. Man kan också beskriva precisionen som ett mått på de enskilda mätvärdenas avvikelse från sitt medelvärde. Bild 3. Samband mellan noggrannhet och precision 4.6 Mätmetoders noggrannhet Stockmätning Toppmätt volym Samtliga de metoder för stockmätning som används för att bestämma ett virkespartis fastvolym är behäftade med större eller mindre systematiska fel. Det kanske mest framträdande "felet" gäller avvikelsen mellan toppmätt volym och "verklig" volym. Med "verklig" volym avses här den mängd vatten som en i ett vattenfyllt mätkar helt nedsänkt stock skulle tränga undan. För att jämförelsen skall vara riktig förutsätts också att mätningen i båda fallen utförts på bark.

20 Även om avvikelsen mellan "verklig" volym och motsvarande handelsmått kan vara stor saknar den normalt praktisk betydelse för värdeberäkningen. Priset på handelsmåttet sätts nämligen i medvetande om den avvikelse som finns i förhållande till den verkliga volymen. Volymskillnaden är så att säga inbyggd i priset. Mittmätning Topprotmätning Även mittmätning och topprotmätning ger systematiska fel som emellertid normalt inte är större än att man i praktiken ofta jämställer mittmätt och topprotmätt volym med "verklig" volym. Erfarenheterna har dock visat att det vid mittmätning av rotstockar, är motiverat att räkna upp denna volym ett antal procent för att förbättra överensstämmelsen med verklig volym. Volymberäkning enligt topprotmätning har sedan länge ansetts vara en mycket noggrann metod för bestämning av stockens volymer. Med tiden har det dock visat sig att den för grövre och längre stockar ger en viss överskattning av volymen, främst hos rotstockar av gran. Därför gjordes under åren 1997 och 1998 en större utredning som gav till resultat att konstanterna i formeln ändrades från och med mätningssäsongens början Från att ha tillämpat endast en rotkonstant i formeln gäller nu skilda konstanter beroende på stockens längd och toppdiameter. Formeln som sådan har det utseende som framgår nedan medan aktuella konstanter visas i tabellen. Vid topprotmätning beräknas således volymen av stock enligt formeln: 2 [ ] 1 π Dr Dt där V betecknar stockens volym i m³, L betecknar stockens längd i dm samt D r och D t dess rot- respektive toppdiameter i cm. För konstanten α i formeln gäller de värden som framgår av följande tabell: 2 V = L α + ( 1 α ) Toppdiameter Längdklass, cm (cm) Travmätning ,485 0,485 0, ,465 0,460 0, ,440 0,430 0,420 Bestämningen av en traves bruttovolym, d v s produkten av längd, bredd och höjd, kan i allmänhet ske med rätt hög precision. Upprepade mätningar ger alltså volymer som ligger nära varandra. Däremot är noggrannheten i mätningen i allmänhet låg om man med travmätning syftar till att få ett mått på travens "verkliga" volym (fastvolym eller vedvolym) och därmed dess värde.

21 Sedan år 1973 tillämpas för bestämning av fastvolym och virkesvärde av en trave metoden travmätning med bedömning av fastvolymprocent. När handelsmåttet avser volym under bark bedöms på motsvarande sätt vedvolymprocent. Noggrannheten hos denna mätmetod är givetvis betydligt högre än vid enbart travmätning eftersom fastvolymen respektive vedvolymen är ett bättre mått på travinnehållets "verkliga" värde än enbart travvolymen. På grund av den osäkerhet som ingår i bedömningsmomentet är emellertid precisionen lägre än vid enbart travmätning. 4.7 Relativt fel vid mätning Vid mätning av en stocks längd eller diameter kan som tidigare nämnts såväl tillfälliga som systematiska fel förekomma. Oavsett felets art gäller emellertid att ett fel av den storlek, som normalt förekommer, relativt sett betyder mindre på längdmåttet än på diametermåttet. Ett fel på längdmåttet är ofta begränsat till 1, högst 2 dm, och detta gör för en stock med längden 45 dm endast 2,2 respektive 4,4 %. Ett fel i diameterbestämningen om 1 eller 2 cm blir omedelbart betydligt större. Beaktas dessutom diameterfelets inverkan på volymbestämningen kan felet bli allvarligt på grund av den kvadrering som sker i formeln för en cirkels grundyta. Ett fel på 1 cm hos en stock med diametern 20 cm gör 5 % på diametermåttet men hela 10,25 % på grundytan och därmed också på volymen.