Gymnasieelevers självskattning och deras förmåga att lösa PISA-uppgifter

Transkript

1 Examensarbete Gymnasieelevers självskattning och deras förmåga att lösa PISA-uppgifter Författare: Ingemar Hjelmfors Handledare: Håkan Sollervall Examinator: Torsten Lindström Datum: Kurskod: 4MAÄ2E Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad Institutionen för Matematik

2 Gymnasieelevers självskattning och deras förmåga att lösa PISA-uppgifter. Ingemar Hjelmfors 13 juni 2017 Sammanfattning För att undersöka den generella kunskapsnivån hos 15-åringar i de länder som är medlemmar i OECD (Organisation for Economic Co-operation and Development) används så kallade PISA-tester där bland annat de matematiska förmågorna testas. 15-åringar förväntas med andra ord ha inhämtat de matematiska kunskaper som krävs för att lösa uppgifterna i ett PISAtest. Gymnasieelever förmodas i ännu högre grad ha utvecklat sina matematiska förmågor och kunskaper under sin skoltid. Speciellt de elever som har valt naturvetenskapligt eller tekniskt program bör vara väl hemmastadda i matematikens värld. I det här examensarbetet har 21 gymnasieelever genomfört ett test bestående av uppgifter hämtade från äldre PISA-tester. Lösningarna har sedan bedömts utifrån sex olika förmågor. Det visade sig att eleverna, som läser naturvetenskapligt och tekniskt program, hade uppenbara problem med att klara av uppgifterna på ett tillfredsställande sätt. Det framkom att eleverna framförallt hade problem med kommunikation och resonemang, förmågor som borde ha utvecklats i högre grad än vad resultatet visade. Dessutom var spridningen mellan eleverna relativt stor vilket kan tolkas som att alla elever som läser ovan nämnda program ej per automatik är duktiga i matematik. En jämförelse av resultatet av lösningarna och elevernas egen bedömning av sina kunskaper visade att synen på den egna förmågan inte alltid stämde överens med den egna prestationen. Slutsatsen av denna undersökning är att undervisningen skulle kunna förändras och förbättras så att eleverna utvecklar sina resonemangs- och kommunikationsförmågor på ett effektivare sätt. Innehåll 1 Inledning Syfte Litteraturstudie Vad är PISA? KOM-projektet Algoritmiskt resonemang Kreativa lösningsmetoder (CMR) och matematisk förmåga Gymnasieelever och matematik Metodbeskrivning Kontakt Undersökningsunderlag Urval av elever Etik

3 3.4 Formulärets utformning Urval av matematikuppgifter Besvarandet av formuläret Undersökta förmågor Begreppsförmågan Procedurförmågan Problemlösningsförmågan Modelleringsförmågan Resonemangsförmågan Kommunikationsförmågan Bedömning av förmågor Presentation av matematikuppgifter Gång Dropphastighet Provresultat Seglande fartyg Svängdörr Lägenhetsköp Följdfrågor Presentation av följdfrågor Resultat Bedömning av underlag Hur har uppgifterna bedömts? Exempel på uppgiftsbedömning Analys av lösningar Uppgift Lgd I Uppgift Lgd II Uppgift Dropp I Uppgift Dropp II Uppgift Stat Uppgift Båt Uppgift Dörr Uppgift Hus Analys av förmågor Begrepp Procedur Problemlösning Modellering Kommunikation Analys av resonemangsförmågan Lgd I Lgd II Dropp I Dropp II Stat Båt Dörr Hus

4 4.6.9 Resonemangsförmågan sammanfattning Analys av följdfrågor Vilka kunskaper fick du användning av? Lärde du dig något nytt? Har du användning för dina matematikkunskaper i andra ämnen? Hur tror du att du kommer att använda dina matematikkunskaper i framtiden? Hur upplevde du svårighetsgraden på uppgifterna? Anser du att du är duktig i matematik? Motivera! Diskussion Resultat av elevlösningarna Resultat av elevernas svar på följdfrågorna Koppling mellan resultat och självskattning Helhetsintryck av undersökningen Referenser och litteratur 44 7 Bilagor Enkät Sammanställning av uppgiftsbedömningar Sammanställning av följdfrågor Inledning 1.1 Syfte Både i skolpolitiska sammanhang och inom skolvärlden i allmänhet omnämns ofta svenska grundskoleelevers dåliga resultat i PISA-tester (se t.ex. Skolverket 2016a, s. 6). Dessa tester utförs i Sverige endast av de elever som går i nionde klass och man kan fråga sig varför inga, eller få liknande tester görs på gymnasienivå. En färdighet som undersöks i PISA-tester är matematisk förmåga (mathematical literacy, The PISA 2003 Assessment Framework, s. 15). Det engelskspråkiga uttrycket saknar en direkt motsvarighet i det svenska språket men enligt Skolverket handlar det om kunskaper och kompetenser i matematik (2016a, s. 26). Syftet med detta examensarbetes omfattande undersökning av elevlösningar är att få en djupare inblick i hur gymnasieelever resonerar när de löser matematikuppgifter som är hämtade från olika PISA-tester. Samtidigt är tanken att belysa elevernas syn på sin egen matematiska förmåga. Resultatet av undersökningen ger också en inblick i hur gymnasieelever använder sina matematikkunskaper. Då dessa elever läser matematik på relativt hög nivå har de tillgång till flertalet matematiska metoder och dessutom har de förhoppningsvis tillägnat sig en förmåga att föra tydliga och välutvecklade resonemang. Skulle det visa sig att elever som läser ett tekniskt eller naturvetenskapligt program har problem med att lösa uppgifter som ingår i ett PISA-test så uppstår frågan om eleverna verkligen är redo för högre studier. 4

5 2 Litteraturstudie 2.1 Vad är PISA? 1997 skapades Programme for International Student Assessment, PISA, för att observera utbildningssystemet i de länder som är knutna till OECD, Organisation for Economic Co-operation and Development (PISA 2009 Assessment Framework, s. 3). Medlemsländerna i OECD får vart tredje år genomföra ett prov som undersöker hur väl 15-åringar klarar av uppgifter inom områdena läsning, matematik och vetenskap (ibid. s. 10). De kunskaper och förmågor som en 15-åring besitter ska med andra ord vara tillräckliga för att kunna lösa uppgifterna i ett PISA-test. Syftet med dessa test är sålunda att vara ett instrument för att bedöma hur väl utbildningssystemet fungerar i ett land samtidigt som de är ett stöd vid utvecklingen av undervisningen (ibid. s. 9). Ett PISA-test prövar bland annat elevernas förmåga att analysera, resonera och kommunicera matematiskt inom olika områden och kontexter (The PISA 2003 Assessment Framework, s. 38), det vill säga deras matematiska förmåga. Det ska påpekas att ett PISA-test skiljer sig från till exempel svenska nationella prov som även prövar matematik utan särskilda kontexter (Skolverket 2015, s. 11). Det som gör PISA-testerna intressanta och relevanta för hur matematikkunskaper kan och ska användas är just kopplingen till olika områden som berör eleven i olika grad. Det kan vara alltifrån det vardagsnära, privatliv och skola till det mera avlägsna som till exempel vetenskapliga områden (The PISA Assessment Framework 2003, s. 32). Detta ligger i linje med syftet med ämnet matematik i den svenska grundskolan enligt läroplanen. Matematikämnet ska också ge eleverna möjligheter att utveckla kunskaper för att kunna tolka vardagliga situationer och beskriva dessa med matematiska uttryck (Skolverket 2016b, s. 55). Enligt OECD:s utvärdering påverkas valet av matematisk metod av den kontext i vilken uppgiften presenteras (The PISA Assessment Framework 2003, s. 32). En annan parameter som också påverkar resultatet är varje individs intellektuella förmåga och ämnesspecifika kunskaper (Jonnson, Norqvist, Liljekvist & Lithner 2014, s. 23). 2.2 KOM-projektet Ett projekt som också har som mål att utveckla undervisningen är det danska KOM-projektet (Niss & Højgaard 2002). Ett av huvudsyftena med KOM-projektet är att bidra till utvecklingen av matematikundervisningen men också att skapa pålitliga metoder för bedömning (ibid. s. 6). I detta projekt ligger fokus på åtta kompetenser (ibid. s. 5). Dessa åtta kompetenser delas in i två grupper: förmågan att besvara och ställa matematiska frågor samt förmågan att hantera det matematiska språket. En av dessa förmågor är resonemangsförmågan, som dels består i att kunna följa och bedöma ett matematiskt resonemang men också att kunna genomföra en argumentation som leder till ett bevis (ibid. s. 54). 2.3 Algoritmiskt resonemang En av huvudorsakerna till inlärningssvårigheter i matematik är att eleverna alltför ofta förlitar sig på rutininlärning och ytligt resonemang, metoder som är otillräckliga för djupare matematisk förståelse (Boesen, Lithner & Palm 2010, s. 89). Undervisning kan ibland handla om att eleverna löser övningsuppgifter efter en kortare genomgång med läraren (Skovsmose 2001, s. 123). Svårigheterna beror på att eleverna fokuserar på bekanta och ytligt ihågkomna saker snarare än på ett matematiskt resonemang som kan kopplas till innehållet i uppgiften (Lithner 2000, s. 165). Det kan tolkas som att eleverna försöker lösa uppgifter genom att tillämpa inlärda metoder, 5

6 så kallat algoritmiskt resonemang, AR, eller genom att försöka komma ihåg andra uppgifter som liknar den aktuella, ett sätt att lösa uppgifter som ej kräver någon direkt förståelse för ett problem (Boesen, Lithner & Palm 2010, s. 93). Detta lösningsförfarande talar emot avsikten med matematikundervisningen, där ett av syftena är just att lära ut logiskt resonemang enligt Ross (1998, s. 253) som vidare menar att förmågan till logiskt resonemang är en grundläggande färdighet och ej enbart en matematisk färdighet. För att uppnå detta måste läraren framställa matematiken som ett spännande och levande ämne (ibid.). En student som ej har utvecklat sin förmåga att resonera matematiskt kommer att uppleva ämnet matematik som en metod att följa procedurer och härma exempel utan en tanke på vad de ska användas till (ibid. s. 254). Lithner tar upp frågan om vikten av att kunna föra ett matematiskt resonemang och han menar att lösandet av ett matematisk problem kan ses som att lösa ett antal mindre uppgifter av olika karaktär(2000, s. 167). Det kan jämföras med Pólya s metod att i fyra steg lösa problem (1954): (i) Förstå problemet. (ii) Tänk ut en plan. (iii) Genomför planen. (iv) Se tillbaka. Begreppet resonemang definieras som den tankekedja som ska leda till antaganden medan argumentation är den del av resonemanget som skapar övertygelse om att resonemanget är korrekt (Lithner 2000, s. 166). Lithner nämner också två typer av resonemang: rimlighetsresonemang och erfarenhetsresonemang (ibid.). Ett rimlighetsresonemang bygger på de matematiska egenskaperna hos innehållet i resonemanget vilket i sin tur är tänkt att leda till vad som förmodligen är sant, utan att nödvändigtvis vara fullständigt eller korrekt (ibid.). Erfarenhetsresonemanget bygger på tillvägagångssätt som eleven är bekant med från liknande uppgifter (ibid. s. 167). 2.4 Kreativa lösningsmetoder (CMR) och matematisk förmåga Resultatet av en undersökning gjord av Karlsson-Wirebring, Lithner, Jonsson, Liljekvist, Norqvist & Nyberg (2015, s. 6) visade att elever som kommit fram till sina egna lösningsmetoder, Creative Mathematically founded Reasoning, CMR, presterade bättre än elever som använde sig av algoritmiskt resonemang. Undersökningen genomfördes bland annat genom så kallad fmri (funktionell magnetresonanstomografi) för att kunna mäta hjärnaktiviteten hos försökspersonerna när dessa genomförde olika testuppgifter. De elever som använde sig av CMR uppvisade en jämförelsevis lägre hjärnaktivitet i den del av hjärnan som har att göra med det språkliga minnet vilket, enligt undersökningen, var en indikation på att dessa elever löste uppgifterna med mindre ansträngning (ibid.). Resultatet av undersökningen pekar på att en förändring av undervisningen kunde vara aktuell så att eleverna själva lär sig metoder för att lösa uppgifter (Karlsson-Wirebring et al. 2015). Matematisk förmåga beskrivs som en förmåga som utöver det rent matematiska handlar om att kunna tolka och agera i en matematisk miljö (Skovsmose 2001). Elever som ska lösa uppgifter och problem utanför lärobokens ramar får användning av denna förmåga eftersom de hamnar i en situation som de ej är vana vid. Till skillnad mot att nöta in en ny metod genom att lösa en mängd uppgifter kan man använda sig av ett mer undersökande tillvägagångssätt (ibid. s. 123). Det kan till exempel handla om projektarbete eller att lösa matematiska problem i en laborativ 6

7 miljö. Enligt Skovsmose är matematik ett ämne som kräver eftertanke eftersom det är en del av vår teknologibaserade kultur och fyller därmed flertalet funktioner (ibid.). 2.5 Gymnasieelever och matematik Har kunskaperna i matematik förändrats under senare år hos de ungdomar som antagits till civilingenjörsutbildning? Det är en fråga som Bengt Johansson ställer i en rapport som bland annat tar upp synen på gymnasieelevers kunskaper inom ämnet matematik (1998, s. 3). Bakgrunden till rapporten är tidningsartiklar som pekar på försämrade resultat på de diagnostiska prov som genomförs av förstaårsstudenter på tekniska högskolor. Johansson nämner också dåliga resultat på matematikprov som nyblivna gymnasieelever skriver (ibid. s. 4). Det handlar med andra ord om de kunskaper som eleverna har med sig vid övergången till högre studier tog Högskoleverket fram en rapport vars syfte var att undersöka förkunskapskraven som ställs på de som ska läsa högskolematematik. Enligt rapporten förekom uppgifter om att förkunskaperna i matematik hos eleverna som påbörjade civilingenjörsutbildningar hade försämrats (ibid. s. 11). Dessa uppgifter var baserade både på resultat från förkunskapstest och vittnesbörd från lärare (ibid.). Med dessa rapporter i åtanke uppstår frågan om kvalitéten på gymnasieelevers matematikkunskaper. 3 Metodbeskrivning Eftersom frågeställningen tar upp elevers resonemangsförmåga behövdes ett material som kunde undersökas på samma sätt som ett prov rättas. Provet i det här fallet bestod av olika uppgifter som ett antal gymnasieelever skulle lösa. En liknande metod används av Lithner för att skapa en en problemlösningssituation för elever, där två olika resonemangsmodeller undersöktes: rimlighetresonemang och erfarenhetsresonemang (fritt översatt från engelskans plausible reasoning och reasoning based on established experiences)(2000, s. 170). 3.1 Kontakt För att skaffa ett lämpligt underlag till denna undersökning kontaktades en gymnasieskola i en medelstor kommun. Rektorn hänvisade till en lärare som undervisar i matematik på bland annat tekniskt och naturvetenskapligt program vilket passade utmärkt eftersom undersökningen riktade sig mot elever som läser gymnasiematematik på så hög nivå som möjligt. 3.2 Undersökningsunderlag För att samla in underlag till detta arbete konstruerades ett formulär som innehöll åtta uppgifter hämtade från äldre PISA-tester samt ett antal följdfrågor som skulle besvaras efter att uppgifterna var lösta. Tanken var att enkäten skulle efterlikna matematikdelen i ett PISA-test så att gymnasieeleverna fick lösa uppgifterna på samma villkor som grundskoleelever Urval av elever Valet av elever som läser högskoleförberedande program grundar sig på att dessa elever förväntas ha gedigna kunskaper i matematik och därför bör ha goda förutsättningar att lyckas väl med de uppgifter som undersökningen innehöll. I samråd med den kontaktade läraren kom vi fram till att elever ur årskurs tre som läser 7

8 antingen tekniskt (TE) eller naturvetenskapligt (NA) program var ett lämpligt underlag för undersökningen. Att enbart använda elever från ett tekniskt eller ett naturvetenskapligt program hade resulterat i en ojämn könsfördelning. Dessa elever studerar på olika program men läser samma matematikkurs och har därför samma förutsättningar. Antalet elever som deltog i undersökningen var 21 stycken där fördelningen var relativt jämn sett till det totala antalet elever på båda programmen. Däremot var fördelningen ojämn med avseende på hur många flickor respektive pojkar som läste tekniskt respektive naturvetenskapligt program (se Tabell 1). Kön Program Fördelning TE NA TE + NA Pojkar % Flickor % Summa Tabell 1: Könsfördelning av elever. 3.3 Etik Eftersom den här undersökningen frågar efter personliga åsikter och tankar spelar den etiska aspekten en väsentlig roll. Det innebär bland annat att respektera deltagarnas rättigheter och att arbeta på ett ärligt och respektfullt sätt (Denscombe 2009, s. 193). Respondenterna informerades om syftet med undersökningen och alla deltagare var därmed medvetna om syftet med undersökningen, detta i enlighet med SFS (2003:460, 16 och 18 ) som fastställer kraven som ställs på undersökningar av det här slaget. Eftersom det förekom personliga frågor som rör elevernas personliga syn på sig själva i förhållande till ämnet matematik, valde jag att låta eleverna besvara frågorna anonymt. I det här fallet påverkar anonymiteten ej resultatet då undersökningen inte tar hänsyn till individen. Då eleverna är äldre än femton år behövdes ej föräldrarnas medgivande till undersökningen, det räckte med att eleverna själva gav sitt godkännande. Innan undersökningen genomfördes fick eleverna förklarat för sig vad undersökningen gick ut på och hur den skulle genomföras. Alla elever var införstådda med förutsättningarna och godkände dessa vilket innebar att undersökningen kunde genomföras utan problem. En viktig detalj är att resultatet av undersökningen presenteras så opartiskt som möjligt och att inga personliga värderingar av eleverna görs utifrån de erhållna resultaten. 3.4 Formulärets utformning Det material som används i undersökningen är ett urval av uppgifter från äldre PISA-tester samt några följdfrågor av egen konstruktion (se bilaga 7.1). I formuläret presenteras uppgifterna obearbetade och i sin helhet. De sex följdfrågorna kan delas in i två huvudgrupper: nyttoaspekten samt en mer personlig aspekt. Det innebär att tre frågor fokuserar på hur eleven ser på nyttan av sina matematikkunskaper medan de andra frågorna fokuserar på förhållandet mellan eleven och uppgifterna. Den centrala delen av formuläret är PISA-uppgifterna som utgör grunden till undersökningen. Frågor av flervalstyp, det vill säga frågor där respondenten ska välja ett av flera alternativ, valdes bort. En av orsakerna till detta är att flervalsfrågor ej visar hur en elev resonerar, dessutom finns 8

9 möjligheten att eleven har tur och svarar rätt utan att egentligen veta vad som är rätt svar. Alla frågor innehåller en illustration även om flertalet av uppgifterna egentligen inte kräver någon, men en bild kan ändå underlätta för eleverna att se uppgifterna i sitt sammanhang. Hjälpmedel Vid provtillfället tilläts eleverna att använda valfri räknare då tre av uppgifterna (nr 2, 6 och 7) blir för omständliga att lösa med manuell räkning. Det spelade ingen roll om eleverna hade tillgång till en mer avancerad räknare som till exempel en grafritande räknare då en sådan ej påverkade lösandet av uppgifterna. En linjal är inte nödvändig för att lösa någon av uppgifterna och den ger heller ingen fördel i något avseende. De elever som dock kände sig bekväma med en linjal fick självklart använda en Urval av matematikuppgifter Uppgifterna är tagna ur PISA-tester från år 2003 och 2012 (Skolverket 2016c). Tillsammans med uppgifterna finns även information om varje uppgifts tema och sammanhang. Även lösningsfrekvensen i Sverige presenteras i anslutning till varje separat uppgift. Av de publicerade uppgifterna har de valts som har varit lite svårare att lösa. Denna slutsats, angående svårigheten, drar jag utifrån lösningsfrekvensen hos de valda uppgifterna. De lättare uppgifterna ansågs alldeles för enkla för eleverna på gymnasienivå vilket var orsaken till att dessa valdes bort. Avsikten har också varit att få så blandade uppgifter som möjligt för att testa elevernas förmågor på ett så varierat sätt som möjligt. 3.5 Besvarandet av formuläret För att alla elever skulle ha samma förutsättningar genomförde alla elever testet samtidigt i samma lokal under en viss begränsad tid. Tiden för undersökningen maximerades till två lektionspass (80 min), dels för att det var svårt att få eleverna att avsätta längre tid till en aktivitet som tog tid från deras normala undervisning och för att det samtidigt skulle finnas med ett visst stressmoment i form av en tidsbegränsning. Det är mycket möjligt att några elever upplevde tiden som otillräcklig då formuläret innehöll både räkneuppgifter och följdfrågor. Det får i så fall ses som en del av de förutsättningar som även gäller för deltagare i riktiga PISA-test. Faktorer som kunde påverka utfallet av undersökningen var bland annat innehållet i den information som gavs till eleverna vid testtillfället. Med andra ord fick eleverna endast sådan information som var nödvändig för att enkäten skulle kunna genomföras på rätt sätt. Eleverna informerades till exempel ej om att det rörde sig om gamla PISA-uppgifter, ej heller vilken åldersgrupp som uppgifterna ursprungligen var tänkta för. 3.6 Undersökta förmågor Begreppsförmågan Grunden för att förstå ett problem ligger bland annat i att kunna tolka matematiska begrepp och samband. Uppgifterna bedömdes utifrån hur eleverna hanterade dessa, både när det gäller att förstå uppgifterna och att själva använda begreppen i lösningarna Procedurförmågan En stor del av att lösa en uppgift består i att utföra beräkningar av grundläggande karaktär. Ofta är en formel given och tankearbetet blir därför ej så omfattande. Det handlar istället om 9

10 att genomföra dessa beräkningar korrekt. Här bedömdes elevernas förmåga att använda kända formler och genomföra beräkningar på ett korrekt och smidigt sätt Problemlösningsförmågan Uppgifter handlar ofta om att lösa problem. Eleven ska kunna analysera problemet och ansätta en lämplig lösningsstrategi. Här bedömdes förståelsen för uppgiften och vilken metod eleverna valde för att lösa uppgiften. Kreativiteten hos en elev syns tydligt i tillvägagångssättet, speciellt om en standardmetod används på ett klurigt sätt Modelleringsförmågan Uppgifter som ej har en given lösningsalgoritm kräver att eleven tar fram en egen lösningsmodell. Problemet ska alltså lösas genom att eleven använder en matematiskt korrekt modell som tydligt visar tillvägagångssättet. Lösningsmodellen bedöms efter hur väl den stämmer överens med problemet och om den är lämplig för sammanhanget Resonemangsförmågan Genom logiskt resonemang ska eleven steg för steg komma fram till en lösning. Förmågan att dra slutsatser och argumentera för att avgöra om svaret är rimligt bedöms här. För att resonemanget ska kunna följas av en läsare måste det vara begripligt och tydligt formulerat. Med andra ord är god kommunikation en del av ett gott resonemang Kommunikationsförmågan Ett svar är inte fullständigt om det redovisas otydligt. Bedömningen fokuserar på språk, figurer, symboler och hur välordnad lösningens struktur är. En elev med en välutvecklad kommunikationsförmåga kan formulera en lösning som kan följas även av en läsare som ej är insatt i ämnet. En fördel med att kunna uttrycka sig tydligt är att det blir lättare att följa det egna resonemanget vilket ökar förståelsen för uppgiften. 3.7 Bedömning av förmågor Uppgifterna var av olika svårighetsgrad och bedömdes med betygsgraderna A, C, E och F enligt de kunskapskrav som gäller för grundskolan (se Skolverket 2017). Betygsgraderna A - E innebär att eleven har uppnått kunskapskraven på respektive nivå och F innebär att eleven ej har klarat kunskapskraven. Betyget E Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer på ett i huvudsak fungerande sätt samt bidra till att formulera enkla matematiska modeller. Eleven för enkla resonemang i förhållande till problemsituationen samt kan bidra till att ge något förslag på alternativt tillvägagångssätt. Eleven har grundläggande kunskaper om matematiska begrepp. Eleven kan även beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska uttrycksformer på ett i huvudsak fungerande sätt. I beskrivningarna kan eleven växla mellan olika uttrycksformer samt föra enkla resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra. Eleven kan välja och använda i huvudsak fungerande matematiska metoder med viss anpassning till sammanhanget för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, 10

11 geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med tillfredsställande resultat. Eleven kan redogöra för tillvägagångssätt på ett i huvudsak fungerande sätt och använder då symboler, algebraiska uttryck, formler, grafer, funktioner och andra matematiska uttrycksformer med viss anpassning till syfte och sammanhang. Betyget C Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer på ett relativt väl fungerande sätt samt formulera enkla matematiska modeller som efter någon bearbetning kan tillämpas i sammanhanget. Eleven för utvecklade och relativt väl underbyggda resonemang i förhållande till problemsituationen samt kan ge något förslag på alternativt tillvägagångssätt. Eleven har goda kunskaper om matematiska begrepp. Eleven kan även beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska uttrycksformer på ett relativt väl fungerande sätt. I beskrivningarna kan eleven växla mellan olika uttrycksformer samt föra utvecklade resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra. Eleven kan välja och använda ändamålsenliga matematiska metoder med relativt god anpassning till sammanhanget för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med gott resultat. Eleven kan redogöra för tillvägagångssätt på ett ändamålsenligt sätt och använder då symboler, algebraiska uttryck, formler, grafer, funktioner och andra matematiska uttrycksformer med förhållandevis god anpassning till syfte och sammanhang. Betyget A Eleven kan lösa olika problem i bekanta situationer på ett väl fungerande sätt samt formulera enkla matematiska modeller som kan tillämpas i sammanhanget. Eleven för välutvecklade och väl underbyggda resonemang i förhållande till problemsituationen samt kan ge förslag på alternativa tillvägagångssätt. Eleven har mycket goda kunskaper om matematiska begrepp. Eleven kan även beskriva olika begrepp med hjälp av matematiska uttrycksformer på ett väl fungerande sätt. I beskrivningarna kan eleven växla mellan olika uttrycksformer samt föra välutvecklade resonemang kring hur begreppen relaterar till varandra. Eleven kan välja och använda ändamålsenliga och effektiva matematiska metoder med god anpassning till sammanhanget för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter inom aritmetik, algebra, geometri, sannolikhet, statistik samt samband och förändring med mycket gott resultat. Eleven kan redogöra för tillvägagångssätt på ett ändamålsenligt och effektivt sätt och använder då symboler, algebraiska uttryck, formler, grafer, funktioner och andra matematiska uttrycksformer med god anpassning till syfte och sammanhang. 3.8 Presentation av matematikuppgifter Här följer en genomgång av de utvalda uppgifterna. Varje uppgift följs av ett lösningsförslag och en kommentar som motiverar valet av uppgiften och vilka förmågor den är tänkt att undersöka. I lösningsförslagen används följande avrundningsregler: svaret avrundas till lika många värdesiffror som det tal i beräkningarna som har minst antal värdesiffror. Om siffran efter avrundningssiffran är 0, 1, 2, 3 eller 4 görs avrundningen nedåt, i övriga fall avrundas uppåt. Bilderna som förekommer i uppgifterna används enligt gällande villkor för OECD-material (se 11

12 3.8.1 Gång Figur 1: Bild till uppgift nr 1 & 2. Bilden visar fotspåren av en gående man. Steglängden P är avståndet mellan de bakre kanterna av två på varandra följande fotspår. För män ger formeln n P = 140, ett ungefärligt förhållande mellan n och P, där n = antalet steg per minut och P = steglängden i meter. FRÅGA 1: Om formeln kan tillämpas för Heikos sätt att gå och Heiko tar 70 steg per minut, vilken är då Heikos steglängd? Visa hur du kom fram till ditt svar. FRÅGA 2: Bernard vet att hans steglängd är 0, 80 meter och formeln kan tillämpas på Bernards sätt att gå. Beräkna Bernards gångfart i meter per minut och i kilometer per timme. Visa hur du kom fram till ditt svar. LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 1: Heikos steglängd, P, ska beräknas med hjälp av en formel. Formeln ges av n P = 140 där n är antalet steg per minut och P är steglängden i meter. Vad vet jag? Heiko tar 70 steg per minut, dvs. n = 70. Steglängden anges i meter och betecknas P. Jag löser ut P ur formeln: n P = 140 Därefter sätter jag in värdet på n i formeln: n 140 = P = 0, 5 Värdet på P beräknas till 0,5. Enligt formeln är då steglängden 0, 5 meter. SVAR: Heikos steglängd är 0,5 meter. 12

13 BESKRIVNING AV FRÅGA nr 1: Tema: Förändring och samband. Sammanhang: Privatliv Lösningsfrekvens PISA: 34% (Sverige) Lösningen består av två enkla steg: Lösa ut den sökta variabeln ur formeln och sätta in de givna värdena vilket efter en enkel beräkning ger svaret. Problem kan uppstå om eleven slarvar med den variabel som ska beräknas. Uppgiften innehåller inga svåra beräkningar och problemet i sig är också lätt att lösa. Däremot har eleven möjlighet att visa sin matematiska förmåga genom ett tydligt resonemang och en god kommunikation. FÖRMÅGA Begrepp Procedur Problemlösning Resonemang Kommunikation EXEMPEL steg/minut, Bråkräkning Lösa ut variabel i Motivera Beskriva de olika steglängd formel beräkningar. stegen tydligt. NIVÅ E E E C C Tabell 2: Testade förmågor i uppgift nr 1. LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 2: Beräkning av Bernards gångfart i meter/minut och i km/h med hjälp av formel. Formeln ges av n P = 140 där n är antalet steg per minut och P är steglängden i meter. Bernards steglängd är 0, 80 meter, P = 0, 80 För att beräkna gångfarten måste n beräknas. Lös ut n och beräkna värdet på n: n P = 140 n = 140 P n = 140 0, 80 = 112 Bernard går 112 steg per minut. Gångfarten i meter per minut beräknas genom att multiplicera n med steglängd, P : Gångfart = n P = 112 0, 80 = 89, 6 Gångfarten är 89,6 meter per minut. För att omvandla till km/h är det enklast att först omvandla till m/s och därefter multiplicera med 3,6. Enheten meter/minut omvandlas till m/s genom att dividera med , 6 60 = 1, Svaret ovan multipliceras med 3,6 för att få gångfarten i km/h. 89, , 6 = 5, 376 5, 4. SVAR: Bernards gångfart är 90 meter/minut vilket är detsamma som 5,4 km/h. 13

14 BESKRIVNING AV FRÅGA nr 2: Tema: Förändring och samband. Sammanhang: Privatliv Lösningsfrekvens PISA: 21% (Sverige) Fortsättning på uppgift nr 1 vilket innebär samma formel. Här är informationen ej densamma och beräkningarna kan inte göras i ett steg. Här presenteras hastighetsbegreppet meter/minut som kan ställa till problem eftersom det är ett ovanligt begrepp till skillnad från km/h. Ett problem som eleverna måste ta hänsyn till är att presentera de två hastighetsbeteckningarna på ett korrekt och tydligt sätt. FÖRMÅGA Begrepp Procedur Problemlösning Resonemang Kommunikation EXEMPEL steglängd, Bråkräkning, Visa en metod Visa logiska steg Elev ska kunna meter/minut, multiplikation, att gå från steg och dra korrekta förklara lösningen km/h lösa ut per minut till slutsatser. på ett tydligt sätt. enhet hastighet. NIVÅ E E C C C Tabell 3: Testade förmågor i uppgift nr Dropphastighet Infusioner (eller dropp) används för att ge vätska och medicin till patienter. Sjuksköterskorna måste kunna beräkna dropphastigheten, D, i droppar per minut. De använder formeln D = dv 60n där d är droppfaktorn mätt i droppar per milliliter v är infusionens volym i ml n är antalet timmar som droppet måste sitta i. Figur 2: Bild till uppgift nr 3 & 4. FRÅGA 3: En sjuksköterska vill fördubbla den tid droppet sitter i. Beskriv exakt hur D förändras om n fördubblas samtidigt som d och v inte förändras. FRÅGA 4: Sjuksköterskor måste också beräkna infusionens volym, v, från dropphastigheten D. En infusion med en dropphastighet på 50 droppar per minut måste ges till en patient under 3 timmar. För den här infusionen är droppfaktorn 25 droppar per milliliter. Vad har infusionen för volym i ml? 14

15 LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 3: Hur förändras D om n fördubblas men d och v är oförändrade? Vi har formeln D = dv 60n. Om n fördubblas måste vänsterledet multipliceras med 1 2 D 2 = d 60 n 2. Vi ser att vänsterledet halveras när n fördubblas. SVAR: D halveras om n fördubblas. för att likheten ska gälla. Vi får BESKRIVNING AV FRÅGA nr 3: Tema: Förändring och samband. Sammanhang: Yrkesliv Lösningsfrekvens PISA: 16% (Sverige) Eleven ska i denna uppgift tolka hur en variabel förändras samtidigt som en annan variabel fördubblas. Det är alltså inget som ska beräknas, frågan kan ses som en ren resonemangsuppgift. Det som är intressant är att se vilken metod eleven använder för att komma fram till ett svar. Blir det en lösning med ett exempel eller gör eleven enbart ett resonemang? TABELL ÖVER FÖRMÅGOR. FÖRMÅGA Begrepp Procedur Problemlösning Resonemang Kommunikation EXEMPEL Förändring, fördubbling Bråkräkning, Samband mellan de båda leden i en multiplikation likhet. förändring. ett enkelt sätt. NIVÅ E E E C C Tabell 4: Testade förmågor i uppgift nr 3. Visa förståelse för följden av en Presentera en enkel lösning på LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 4: Bestämning av infusionens volym, v, utifrån dropphastigheten, D. D = droppar per minut, (50 droppar) d = droppar per milliliter, (25 droppar/minut) v = volym i ml, (beräknas) n = antalet timmar som droppet måste sitta i, (3 timmar) Lös ut v från formel i uppgift D = dv 60n v = D 60n. d Insättning ger SVAR: Infusionens volym blir 360 ml. v = 50 (60 3) 25 =

16 BESKRIVNING AV FRÅGA nr 4: Tema: Förändring och samband. Sammanhang: Privatliv Lösningsfrekvens PISA: 14% (Sverige) Till skillnad från fråga nr 3 så ska eleven först lösa ut en variabel i fråga nr 4 och därefter göra en beräkning med de värden som finns i texten. En intressant detalj är att PISA-testet från vilket fråga 3 och 4 är tagna benämner sammanhangen för dessa frågor olika (yrkesliv respektive privatliv), trots att frågorna berör samma område. TABELL ÖVER FÖRMÅGOR. FÖRMÅGA Begrepp Procedur Problemlösning Resonemang Kommunikation EXEMPEL Droppar per minut, volym Bråkräkning, Lösa ut variabel. Elev ska visa hur beräkningen Elev ska kunna förklara lösningen multiplikation genomförs. på ett tydligt sätt. NIVÅ E E C C C Tabell 5: Testade förmågor i uppgift nr Provresultat Figur 3: Bild till uppgift nr 5. Diagrammet visar resultaten på ett NO-prov för två grupper elever kallade Grupp A och Grupp B. Medelpoängen för Grupp A är 62,0 och 64,5 för Grupp B. Eleverna har fått godkänt på provet om de har 50 poäng eller mer. Efter att ha tittat på diagrammet, påstår läraren att Grupp B har lyckats bättre på provet än Grupp A. Eleverna i Grupp A håller inte med läraren. De försöker övertyga sin lärare att Grupp B inte nödvändigtvis har lyckats bättre. FRÅGA 5: Ge med hjälp av diagrammet ett matematiskt argument som eleverna i Grupp A skulle kunna använda. LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 5: Grupp A har endast en underkänd medan Grupp B har två underkända. Om man dessutom bortser från extremvärdet (det lägsta provresultatet i Grupp A) så får Grupp A ett högre medelvärde. 16

17 BESKRIVNING AV FRÅGA nr 5: Tema: Osäkerhet. Sammanhang: Utbildning Lösningsfrekvens PISA: 45% (Sverige) Testade förmågor: Begrepp, Problemlösning, Resonemang, Kommunikation Här bedöms elevernas förmåga att tyda ett diagram och dra slutsatser. Kan eleverna formulera ett tydligt resonemang som ger en godtagbar förklaring? Här spelar elevernas förmåga att kommunicera en betydande roll då inga beräkningar ska göras. Det bör påpekas att diagrammets x-axel har en skala som är relativt svår att tyda. För att kunna tolka diagrammet korrekt underlättar det att utgå från maxvärdet för att få en korrekt bedömning av diagrammet. FÖRMÅGA Begrepp Problemlösning Resonemang Kommunikation EXEMPEL Medelpoäng Tolkning av diagram. Elev ska ge En uttrycksfull Motivering. en alternativ beskrivning av bedömning. bedömningen. NIVÅ E C C C Tabell 6: Testade förmågor i uppgift nr Seglande fartyg Figur 4: Bild till uppgift nr 6. Nittiofem procent av världshandeln fraktas på haven av grovt räknat tankfartyg, lastfartyg och containerfartyg. De flesta av de här fartygen drivs av dieselolja. Ingenjörer planerar att utveckla vindkraft för att hjälpa fartygen. De tänker sätta fast draksegel på fartygen och använda vindkraften för att minska dieselförbrukningen och därmed effekten på miljön. På grund av den höga kostnaden på 0,42 zed per liter dieselolja har ägarna till fartyget Våge Viking börjat fundera på att utrusta fartyget med ett draksegel. Man uppskattar att ett draksegel av det här slaget ska kunna minska dieselförbrukningen med totalt omkring 20%. 17

18 Namn: Våge Viking Typ: fraktfartyg Längd: 117 meter Bredd: 18 meter Lastkapacitet: ton Maxfart: 19 knop Dieselförbrukning per år utan draksegel: ca liter. Kostnaden för att utrusta Våge Viking med ett draksegel är zed. Figur 5: Bild till uppgift nr 6. FRÅGA 6: Efter hur många år har besparingen i dieselolja betalat kostnaden för drakseglet? Visa hur du har räknat för att komma fram till svaret. LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 6: Hur många år tar det innan besparingen motsvarar investeringen i drakseglet? Kostnad för segel: zed. Dieselpris: 0,42 zed/liter. Dieselförbrukning utan segel: liter/år. Segel minskar dieselförbrukning med 20% per år. En minskning med 20% innebär en förändringsfaktor som är 0,80. Dieselförbrukning i l per år blir , 80 = Skillnaden i bränsleförbrukning i l per år blir då Besparingen i zed per år uppgår till = , 42 = Antal år innan besparingen betalar segel fås genom att dela segelkostnad med årlig besparing = 8, , 5 ȧr SVAR: Det tar åtta och ett halvt år innan investeringen har betalat drakseglet. BESKRIVNING AV FRÅGA nr 6: Tema: Förändring och samband. Sammanhang: Vetenskapligt Lösningsfrekvens PISA: 14% (Sverige) Testade förmågor: Begrepp, Procedur, Problemlösning, Modellering, Resonemang, Kommunikation 18

19 Eleverna måste i denna uppgift finna en lämplig lösningsmetod och visa prov på god modelleringsförmåga och problemlösningsförmåga. Den kräver beräkningar i flera steg de stora talen utgör en riskfaktor för beräkningsfel. FÖRMÅGA Begrepp Procedur Problemlösning Modellering Resonemang Kommunikation EXEMPEL Procent, Division, Finna en metod Formulera Är svaret Visa tydliga förbrukning multiplikation för beräkning lämpliga ma- rimligt? modeller. av besparing. tematiska uttryck. Skriftligt resonemang. NIVÅ C E C C C C Tabell 7: Testade förmågor i uppgift nr Svängdörr En svängdörr består av tre vingar som snurrar inuti ett cirkelformat utrymme. Innerdiametern på det här utrymmet är 2 meter (200 cm). De tre dörrvingarna delar upp utrymmet i tre lika stora sektorer. Ritningen visar dörrvingarna i tre olika positioner så som man ser dem ovanifrån. Figur 6: Bild till uppgift nr 7. De två dörröppningarna (de prickade bågarna i figuren) är lika stora. Om de här öppningarna är för breda kan dörrvingarna inte hålla utrymmet stängt och då kan luften flöda fritt mellan ingången och utgången, vilket ger en oönskad förlust eller tillskott av värme. Detta visas i figuren. Figur 7: Bild till uppgift nr 7. FRÅGA 7: Vilken är den maximala båglängd i centimeter (cm) som vardera dörröppningen kan ha, så att luften aldrig flödar fritt mellan ingången och utgången? 19

20 LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 7: Beräkning av maximal båglängd hos två lika stora dörröppningar i en cylinderformad svängdörr. Vad vet jag? Svängdörrens diameter är 200 cm och har tre roterande vingar som delar upp det cirkelformade utrymmet i tre lika stora sektorer. Öppningarna får ej vara större än att dörrvingarna håller tätt så att ingen luft passerar mellan öppningarna. Vinkeln α mellan dörrvingarna ges av = 120 Enligt figuren måste två vingar skapa ett lufttätt utrymme. Vidare framgår det av figuren att det Figur 8: Bild till lösningsförslag nr 7. måste finnas två sådana utrymmen. Ett utrymme begränsas av två dörrvingar och en del av väggen på den cirkelutformade svängdörren. Båglängden på denna del är en tredjedel av det cirkelutformade utrymmets omkrets eftersom vinkeln mellan dörrvingarna är 120. Av den totala omkretsen återstår nu en tredjedel till öppningen. Denna ska dessutom delas i två delar eftersom det är två öppningar. Det ger följande beräkning: 200 π 1 = 104, Beräkningen ger den maximala storleken på en dörröppning utan att luft kan passera. En dörröppning bör därför vara mindre än 104,7 cm för att garantera lufttäthet. SVAR: Båglängden hos varje dörröppning kan maximalt vara 104 cm. BESKRIVNING AV FRÅGA nr 7: Tema: Rum och form. Sammanhang: Vetenskapligt Lösningsfrekvens PISA: 3% (Sverige) Introduktionen till uppgiften är relativt lång och innehåller fakta som är nödvändiga för att kunna besvara frågan som följer. Det förekommer flera matematiska begrepp som eleven måste förstå innebörden av. Eleven måste kunna formeln för cirkelns omkrets för att kunna lösa uppgiften. Även om uppgiften tydligt talar om två öppningar kan detta lätt förbises. Om förståelsen för vissa uttryck inte är helt klar blir det svårt att förstå vad som ska beräknas. Svaret i lösningsförslaget till denna uppgift avrundas till 104 cm trots att det vore naturligt att avrunda till 105 cm. Orsaken till detta är att det handlar om en svängdörr som måste hålla tätt så att ingen luft kan passera. Om beräkningen avrundas uppåt blir öppningen för stor och luft kan passera.. 20

21 FÖRMÅGA Begrepp Procedur Problemlösning Modellering Resonemang Kommunikation EXEMPEL Cirkelform, Beräkning Tolka figur. sektor, av omkrets, Inse att det båglängd bråkräkning handlar om två öppningar Skissa figur. Förklara så att Kunna omsätta Ställa upp det framgår hur tankegång till uttryck för uppgiften ska ord. bestämning av lösas. öppning. NIVÅ C C A A A C Tabell 8: Testade förmågor i uppgift nr Lägenhetsköp Det här är en ritning över den lägenhet som Görans föräldrar vill köpa genom en mäklare. För att uppskatta lägenhetens totala golvarea (inklusive terrassen och väggarna) kan du mäta storleken på varje rum, beräkna arean på vart och ett och sedan addera samtliga areor. Figur 8: Bild till uppgift nr 8. FRÅGA 8: Det finns dock en effektivare metod för att uppskatta den totala golvarean där du bara behöver mäta 4 sträckor. Märk ut de fyra sträckor på ritningen här bredvid som du behöver mäta för att kunna uppskatta lägenhetens totala golvarea. LÖSNINGSFÖRSLAG FRÅGA nr 8: Beräkna den area som bildas av de båda längsta sidorna i figuren. Minska denna area med den area som bildas av de två kortaste sidorna, dvs. de båda sidor i det övre högra hörnet. Detta ger lägenhetens totala golvarea. BESKRIVNING AV FRÅGA nr 8: Tema: Rum och form. Sammanhang: Personligt Lösningsfrekvens PISA: 41% (Sverige) Testade förmågor: Begrepp, Problemlösning, Modellering, Resonemang, Kommunikation Den här frågan kan ses som ett sätt att bedöma vardagligt tänkande. I framtiden kan en elev ställas inför ett liknande problem och denna uppgift visar hur eleven resonerar. 21

22 FÖRMÅGA Begrepp Modellering Problemlösning Resonemang Kommunikation EXEMPEL Area, Tolka och Finna en effektiv Visa tankegång Presentera en sträcka analysera en metod att mäta enbart med grafisk eller ritning. area. symboler. skriftlig lösning. NIVÅ E C C C C Tabell 9: Testade förmågor i uppgift nr Följdfrågor I anslutning till uppgifterna fick eleverna besvara ett antal följdfrågor som anknöt till uppgifterna de besvarat och till ämnet matematik i allmänhet. Tanken med följdfrågorna var att de skulle ge en bild av hur eleverna ser på ämnet matematik och hur eleverna ser på sig själva i förhållande till matematikämnet. En vanlig metod när det gäller enkäter är att använda sig av flervalsfrågor. Här används istället så kallade öppna frågor, vilket innebär att respondenten formulerar ett skriftligt svar. Det svar som då erhålles blir mer personligt och uttömmande än svaret på en flervalsfråga Presentation av följdfrågor 1. Vilka kunskaper fick du användning av? Eleven ska precisera vilka metoder och kunskaper de har använt sig av. Svaret bör ge en bild av elevens kreativitet och färdighet med de matematiska verktyg som denne har till förfogande. 2. Lärde du dig något nytt? Förhoppningsvis kan en eller flera av uppgifterna ge en eller flera elever en ny syn på hur deras matematikkunskaper kan användas inom olika områden. 3. Har du användning för dina kunskaper i andra ämnen? Vilka och hur i så fall? Vid besvarandet av denna fråga kommer eleverna förhoppningsvis att inse hur betydelsefullt ämnet matematik är eftersom de själva ska komma fram till hur ofta de faktiskt använder sina matematikkunskaper. 4. Hur tror du att du kommer använda dina matematikkunskaper i framtiden? För att matematikundervisningen ska upplevas som meningsfull bör eleverna kunna beskriva vilken nytta de kommer att få av sina kunskaper. 5. Hur upplevde du svårigheten på uppgifterna? Denna fråga ger till viss del en bild av spridningen i klassen med avseende på förmåga och färdighet även om upplevelsen av svårighetsgrad är en relativt subjektiv bedömning. 6. Anser du att du är duktig på matematik? Motivera/utveckla ditt svar! En elev som gör en självbedömning ger sig själv återkoppling enligt Granekull (2016, s. 108). Det ger med andra ord ökad självförståelse att kunna bedöma sin egen förmåga, något som kan ses som en typ av formativ bedömning. 22

23 4 Resultat Den tid det tog för eleverna att besvara uppgifterna och följdfrågorna varierade mellan 50 och 80 minuter. Eleverna uppmanades att svara så utförligt som möjligt eftersom frågeställningen i första hand inriktade sig på elevernas resonemang vid lösning av olika typer av uppgifter. Eleverna svarade på separata papper, endast en uppgift besvarades direkt i enkäten. Eftersom bedömningen av uppgifterna och svaren på följdfrågorna är genomförd av enbart en person medför det att reliabiliteten ej är maximal. Utfallet av bedömningen kunde mycket väl blivit annorlunda om flertalet personer medverkat som bedömare. En maximal reliabilitet är dock mer eller mindre omöjlig att erhålla eftersom en bedömning alltid innebär en tolkning (Skolverket 2011, s. 34). 4.1 Bedömning av underlag Som utgångspunkt för bedömningen av lösningarna valdes sex förmågor: begrepp, procedur, problemlösning, modellering, resonemang och kommunikation (se t.ex. Boesen 2006, ss ). Bedömningarna kompletterades med en kolumn för kommentarer till varje elev. Underlaget för analysen var lösningarna på enkätens åtta olika uppgifter samt svaren på de sex följdfrågorna. Undersökningsmaterialet som granskades var sålunda 168 olika lösningar och 126 olika svar. Förmågorna bedömdes med betygsgraderna A - F enligt samma förfarande som tillämpas i grundskolan (Skolverket 2016b, ss ). Utöver bedömningen och kommentarerna tillkom synpunkter som gällde helhetsintrycket av hur eleverna som grupp löste uppgifterna. Förkortningar För att underlätta identifieringen av de olika uppgifterna och följdfrågorna i fortsättningen av texten införs följande förkortningar: Uppgift Förkortning Gång, nr 1 Lgd I Gång, nr 2 Lgd II Dropphastighet, nr 1 Dropp I Dropphastighet, nr 2 Dropp II Provresultat Stat Seglande fartyg Båt Svängdörr Dörr Lägenhetsköp Hus Följdfråga Vilka kunskaper fick du användning av? Lärde du dig något nytt? Har du användning av dina matematikkunskaper i andra ämnen? Hur tror du att du kommer använda dina matematikkunskaper i framtiden? Hur upplevde du svårighetsgraden på uppgifterna? Anser du att du är duktig i matematik? Förkortning Kunskap? Nytt? Ämnen? Framtid? Svårt? Duktig? 23

24 4.2 Hur har uppgifterna bedömts? På varje uppgift erhöll eleven en viss poäng som grundade sig på vilka förmågor som bedömdes. Poängen berodde av uppgiftens svårighetsgrad och vilka moment som bedömdes i uppgiften. I kolumnen Bedömning i tabellerna i bilaga 7.2 poängsattes lösningarna enligt (E/C/A) där siffran anger antal poäng i respektive svårighetsgrad. I kolumnen Betyg noterades det samlade betyget för lösningen. Till exempel så bedömdes Lgd I utifrån förmågorna begrepp, procedur, problemlösning, resonemang och kommunikation. Då uppgiften var relativt lätt gavs endast poäng på E-nivå. Uppgiften Dörr däremot tog hänsyn till alla förmågor och var dessutom svårare vilket därför gav möjlighet till både C- och A-poäng. 4.3 Exempel på uppgiftsbedömning För att illustrera arbetet med bedömningen av en uppgift presenteras här bedömningarna av uppgiften Dörr (se s. 16). Den är lämplig för ändamålet eftersom det är en längre uppgift som måste lösas i flera steg. Som illustration till bedömningarna finns även elevernas lösningar bifogade. Det ska tilläggas att ett antal lösningar ej finns med bland exemplen, då några elever inte redovisade någon lösning på denna uppgift. I uppgiften förekommer begreppet båglängd. En båglängd beskrivas geometriskt som avståndet mellan två godtyckliga punkter utmed periferin (omkretsen) på en godtycklig cirkel. Elevexempel Nr 1 Figur 9: Elevexempel nr 1, Dörr. Istället för att beskriva vad som ska beräknas och göra upp en plan för hur problemlösningen ska gå till så börjar eleven direkt med beräkningar. Eleven inför en variabel, b, utan att förklara vad den står för. Det saknas förklaringar till varför beräkningar utförs och vissa begrepp känns otydliga. Som läsare av lösningen krävs läsning mellan raderna för att förstå. Även om strukturen inte påverkar innehållet så blir det lättare att följa en välstrukturerad lösning. Denna lösning upplevs ganska rörig och blir därför aningen svårtolkad. Det är inte helt klart i vilken ordning som beräkningarna har utförts och som bedömare måste man läsa lösningen extra noga. 24

25 Elevexempel Nr 2 Eleven börjar med en beräkning av vinkeln mellan dörrvingarna. En figur ritas också där vinkeln är utsatt samt längden på radien (utan uträkning). Eleven fortsätter med att konstatera att en formel för att beräkna cirkelbåge krävs, en formel som eleven ej kan utantill. På grund av detta slutförs ej lösningen. Det framgår inte exakt vad eleven syftar på med begreppet cirkelbåge. Förmodligen har eleven också glömt att det går att beräkna båglängden genom att utgå från formeln för cirkelns omkrets. Figur 10: Elevexempel nr 2, Dörr. Elevexempel Nr 3 Först beräknas en variabel v utan förklaring men underförstått inses att det är en beräkning av vinkeln mellan två dörrvingar. Ytterligare en beräkning av en variabel b följer där variabel v är utgångspunkten. Utan förklaring läggs 2πr till i beräkningen men även här är det underförstått att eleven avser båglängden för vinkeln v. I denna beräkning förekommer ett bråk som enligt beräkningen ska motsvara r. Värdet på bråket är 2 men i nästa steg skrivs värdet 1 som Figur 11: Elevexempel nr 3, Dörr. stämmer med det rätta värdet på r. Variabeln O beräknas och även ett värde där omkretsen minskas med två gånger variabeln b men det ges ingen förklaring till varför denna uträkning genomförs. Även om uträkningarna stämmer blir det svårt för läsaren att följa resonemanget då inga tydliga förklaringar ges till varför de olika beräkningarna görs. Läsaren måste ha tillgång till frågan för att förstå lösningen som annars inte ger någon ledning till vad som söks. Figuren ger ledning till elevens resonemang men avsaknaden av text kan tyda på att eleven har svårt att klä sina tankar i ord. 25

26 Elevexempel Nr 4 Eleven börjar med en beräkning av omkretsen enligt formeln πd. Nästa steg är en något udda beräkning som kräver eftertanke från läsaren då eleven ej har någon förklaring till vad beräkningen avser. Vad menar eleven med uppställningen? Även om svaret är korrekt finns Figur 12: Elevexempel nr 4, Dörr. det knappt någon möjlighet att följa elevens resonemang. Det kan rent av vara så att eleven har tur när uträkningarna görs och råkar får rätt svar. Elevexempel Nr 5 Eleven börjar med att ställa upp ett allmänt uttryck för båglängd. Därefter beräknas en vinkel. Läsaren måste själv förstå att det handlar om vinkeln mellan dörrvingarna då ingen förklaring ges. En beräkning av en variabel b följer där formeln i början används, nu med insatta värden på radie och vinkel. För att förtydliga vad b betecknar har en figur ritats där b är markerat. Även markeringar för dörröppningar finns med. Sedan följer en något luddig förklaring till varför svaret på båglängden ska delas med 2 följt av en figur som illustrerar förklaringen. Avslutningsvis beräknas halveringen av båglängden vilket ger svaret. Eleven nämner ej vad den första formeln fyller för syfte. Det ges ej heller någon förklaring till vad beräkningen av vinkeln syftar till. Med ledning av den första figuren förstår man att b står för båglängden. Det hade dock varit naturligare att beräkningen kom efter figuren och en förklaring till figuren Figur 13: Elevexempel nr 5, Dörr. saknas. I meningen som följer står uttrycket...måste finnas en som tar emot... och då är frågan vad som menas med en? Förmodligen åsyftas dörrvingen men det framgår ej. 26

27 Elevexempel Nr 6 En figur lik den i frågan ritas tillsammans med tre olika beteckningar d, r och O med värden för varje beteckning. En intressant iakttagelse är att eleven beräknar omkretsen O = π 200 till 62,3cm. Slarvfel? Ytterligare en figur som visar 1 3 av svängdörren och en beteckning O b med längden 209,4 cm. Det saknas en uträkning av värdet även om värdet på O b, båglängden för en 1 3 av omkretsen är korrekt i förhållande till π 200. Sedan följer en mening där det konstateras att öppningen kan vara halva O b, dock utan förklaring varför. Lösningen avslutas med en beräkning av halva O b. Figurer och beteckningar är tydliga men den felaktiga beräkningen av omkretsen i början ger Figur 14: Elevexempel nr 6, Dörr. upphov till ett stort frågetecken. Den största bristen är dock att det saknas en förklaring till varför O b ska halveras. Elevexempel Nr 7 Eleven inleder med att beräkna omkretsen och fortsätter med att beräkna 1 3 av omkretsen, dock utan att förklara varför omkretsen ska delas med 3. Därefter följer en beräkning där tredjedelen multipliceras med 2. Varför? Beräkningen känns omotiverad, speciellt då den ej förklaras. I nästa steg utförs en subtraktion där omkretsen minskas med värdet från förra beräkningen. Svaret från subraktionen divideras med 2 och resultatet blir svaret på uppgiften. Figur 15: Elevexempel nr 7, Dörr. Det finns inga förklaringar till någon av beräkningarna. Den enda beräkning som egentligen säger något om syftet är den första eftersom det finns en variabel med, O. Det slutliga svaret är korrekt men det går ej att följa elevens resonemang då inga förklaringar visar tankegången eller avsikten med beräkningarna. Att försöka förstå hur en elev tänker, enbart genom att bedöma beräkningar blir svårt, då en beräkning inte talar om varför den genomförs. Till det krävs även ett skriftligt resonemang. 27

28 Elevexempel Nr 9 Fo rst skrivs formeln fo r cirkelns omkrets. Da refter fo ljer en formel som enligt en vidha ngande beskrivning ska beteckna avsta ndet som kra vs fo r att skapa tva slutna celler. Eleven skriver sedan 31 kvar men utan beskrivning pa vad som menas. Na sta steg a r en na got ovanlig uppsta llning som inleds med en kortare bera kning av 13 genom 2, och sedan anva nds svaret fra n denna bera kning i den slutliga bera kningen som leder till det avslutande svaret. Den inledande formeln tyder pa att eleven go r sina bera kningar utifra n en va lbekant formel. A ven om den fo rsta bera kningen har en beskrivning sa framga r det ej varfo r det Figur 16: Elevexempel nr 9, Do rr. ma ste bildas tva slutna celler. Uttrycket 1 pa varje sida ger ej tillra cklig information. Pa varje sida av vad? Lo sningen fortsa tter pa samma sa tt med uttrycket 13 kvar. 13 av vad? Na sta utra kning besta r av en enkel division men ingen fo rklaring ges. Fo rmodligen syftar eleven pa uttrycket 1 pa varje sida. π och r anva nds konsekvent genom hela lo sningen fram till den avslutande bera kningen vilket a r positivt eftersom avrundningsfel da undvikes under o vriga bera kningar. Elevexempel Nr 10 Lo sningen inleds med en figur da r informationen om do rren a r inskriven. Den fo rsta bera kningen avser fo rmodligen omkretsen men resultatet betecknas ma rkligt nog d. Pa na sta rad skriver eleven att 628,31cm = 360. Matematiskt a r det felaktigt men antagligen avses omkretsen. Sedan fo ljer en omva nd bera kning da r svaret kommer fo re sja lva utra kningen. Slutligen bera knas ba gla ngden genom att dela omkretsen med tre. A ven om det a r la tt att fo rsta att eleven avser omkretsen i steg tva a r det ett helt felaktigt skrivsa tt. Dessutom ger den fo rsta bera kningen omkretsen. Det hade passat ba ttre med ett fo rtydligande av att d betecknar omkretsen av cirkeln. A ven om na sta utra kning inte a r felaktig sa a r uppsta llningen ej korrekt da svaret kommer fo rst. Det saknas ocksa en fo rklaring till varfo r hela omkretsen Figur 17: Elevexempel nr 10, Do rr. ska delas med tre. Det sto rsta felet besta r i att eleven slutligen ej fo rsta r att ba gla ngden ma ste delas upp i tva delar (inga ng resp. utga ng) trots de tydliga bilderna i uppgiften. 28

29 Elevexempel Nr 13 En figur ritas där längden på dörrvingarna sätts till 1 meter. En beräkning utan motivering ger resultatet 120 och ytterligare en figur, som visar en vinkelsektor, ritas. En beräkning av cirkelns omkrets följer. Istället för att behålla ett exakt värde, 2π, beräknas ett värde Figur 18: Elevexempel nr 13, Dörr. med 9(!) decimaler. Hela detta värde delas därefter med 3 och avrundas till 3 decimaler och omvandlas sedan till cm. Enligt figuren har eleven insett att dörren har två öppningar men den detaljen tappas bort under lösandet av uppgiften. Eleven verkar bli så glad över att ha kommit fram till ett svar på båglängden att han eller hon glömmer bort vad som var den verkliga frågan. Svaret på frågan blir sålunda båglängden för 120. Elevexempel Nr 14 En stor tydlig figur ritas och följs av en beräkning av vinkeln. Omkretsen beräknas tyvärr med en felaktig formel (istället för 2rπ används rπ) vilket ger en felaktig båglängd. Början av lösningen är bra eftersom figuren tydligt visar både två dörröppningar samt båglängden för 120. Tyvärr får eleven fel omkrets med den felaktiga formeln och missar dessutom att det måste vara två öppningar i den roterande dörren. Värdet på dörröppningarna blir korrekt trots felen Figur 19: Elevexempel nr 14, Dörr. vilket beror på den felaktiga beräkningen av omkretsen. Ett plus för att eleven inser att öppningarna måste vara mindre än 104,7 cm. Elevexempel Nr 15 Eleven börjar med att beräkna omkretsen, dock utan någon enhet. Nästa beräkning delar omkretsen med antalet dörrvingar och det erhållna värdet får därefter utgöra svaret på frågan. Trots en tydlig bild i uppgiften verkar inte eleven tänka på att den här typen av dörr innehåller två öppningar. Det kan vara begrep- Figur 20: Elevexempel nr 15, Dörr. pet båglängd som får eleven att enbart fokusera på avståndet mellan två dörrvingar. 29

30 Elevexempel Nr 16 Tre små figurer är uppritade. Den första visar att ett varv i dörren motsvarar 360, den andra innehåller en kort beräkning av vinkeln mellan två dörrvingar och i den sista figuren är båglängden mellan två dörrvingar markerad. Lösningen är bara påbörjad och har inget Figur 21: Elevexempel nr 16, Dörr. egentligt svar. Det ser ut som att tankeverksamheten har avstannat eftersom inga ansatser görs till ytterligare beräkningar. Elevexempel Nr 17 Eleven ritar en figur där diameter och radie är insatta. Två dörröppningar markeras mittemot varandra. Omkretsen beräknas och delas med 3 utan motivering. Denna beräkning avrundas dessutom kraftigt! Det ges inget tydligt svar. Antingen menar Figur 22: Elevexempel nr 17, Dörr. eleven att den sista beräkningen är svaret eller också vet ej eleven hur denna ska svara. Figuren tyder på att eleven inser att det är två öppningar. Tyvärr missar eleven orimligheten i att en öppning (om nu den sista beräkningen ska betraktas som svar) är lika stor som diametern. Elevexempel Nr 18 Figur 23: Elevexempel nr 18, Dörr. 30 Först beräknas omkretsen och beräkningen får dessutom en förklaring vilket är positivt. En skiss med en förklaring visar hur stor del av dörrens vägg som krävs för att det ska bli tätt så att ingen luft kan passera. Därefter följer konstaterandet att en öppning kan vara mindre eller lika med det markerade området. Nästa steg är en uträkning av vinkeln mellan dörrvingarna (även om det ej förklaras med text inses detta). Denna vinkel jämförs med en cirkels totala gradtal och ger svaret 1 3. Eleven konstaterar alltså att en 1 3 av omkretsen måste vara stängd på varje sida och räknar därefter ut båglängden på denna 1 3. En ny figur följer där eleven markerar de båglängder som krävs för att skapa slutna celler. Utan att visa beräkningen presenteras ett mått på den totala delen av omkretsen som kommer att vara stängd samt hur vad som återstår till öppningarna. Avslutningsvis konstateras att en öppning är hälften av den totala öppningen. Det mest positiva med lösningen är det skriftliga resonemanget som visar hur eleven

31 tänker. Även en så enkel beräkning som omkretsen av dörren förklaras. Figurerna är också ett utmärkt komplement till texten. Resonemanget till första figuren tyder på att eleven inser att det bildas ett utrymme av dörrvingarna och den del av väggarna som ej tillhör öppningen. En detalj som eleven också inser är att öppningen inte behöver vara exakt lika stor. De två beräkningar som följer är egentligen överflödiga, speciellt som eleven räknar runt, dvs. eleven börjar med att dela med 1 3 vilket också är svaret på den andra beräkningen. Däremot är resonemanget som följer fullt tillräckligt för att förklara varför 1 3 av dörrväggen måste vara stängd. Den sista beräkningen ger båglängden för en stängd sida vilket illustreras med en figur där båda sidor är markerade. Även om det är lätt att se varifrån de sista värdena kommer ifrån hade det varit bra med förtydligande beräkningar men texten ger desto mer information. Det hade också sett snyggare ut med ett ordentligt svar istället för ett värde som blir hängande i luften. Elevexempel Nr 20 Lösningen börjar med en division utan förklaring till vad som avses med beräkningen. Resultatet av beräkningen anges även som svar på uppgiften. Det märks direkt att eleven ej vet hur denne ska angripa problemet. Eleven inser inte att omkretsen behöver beräknas för att båglängden ska erhållas. Det enda som eleven Figur 24: Elevexempel nr 20, Dörr. verkar förstå är att något ska delas med tre (antalet dörrvingar). Varför eleven väljer radien som täljare är oklart, speciellt då det ej finns någon förklaring till divisionen. Det kan vara så att eleven chansar och hoppas att det ska ge någon poäng. Elevexempel Nr 21 Cirkeldiametern beräknas utan avrundning och därefter beräknas båglängden (felaktigt benämnd cirkelsektor) för 1 3 av omkretsen. Eleven utgår från figurerna och gör en beräkning av den största båglängden som en öppning kan ha. Förklaringen till beräkningen kommer efteråt men är Figur 25: Elevexempel nr 21, Dörr. lite oklar på grund av formuleringen. Eleven förklarar tydligt tillvägagångssättet i början av svaret och det är lätt att följa resonemanget. Hänvisningen till figurerna visar att dessa ligger till grund för elevens resonemang och slutsatser. Den sista meningen har en märklig formulering och måste ses i sammanhang med den övriga lösningen för att förstås. 31

32 4.4 Analys av lösningar Att presentera en separat analys av alla elevlösningar till varje uppgift skulle i flera avseenden bli en upprepning av många likartade kommentarer och beskrivningar av elevernas lösningar. Reliabiliteten i analysen är inte hundraprocentig då det endast finns skriftliga svar att tillgå och då en subjektiv bedömning görs. För att öka reliabiliteten kunde eleverna även intervjuats (Lithner 2000, s. 170) men det fanns ej utrymme för detta tillvägagångssätt. Här följer en sammanfattande bedömning av varje uppgift för att ge ett helhetsintryck av elevernas lösningar. För en kortare kommentar till varje lösning hänvisas till tabellerna på sidorna Uppgift Lgd I De flesta elever löste ut P ur formeln och satte in värdena i det nya uttrycket och fick därmed ett värde på steglängden. Endast ett fåtal elever skrev upp fakta, ritade figur och förde något slags resonemang för att lösa uppgiften. En elev kommenterade svaret och var tveksam till om formeln fungerade på Heiko, men det berodde på ett räknefel. Uppgiften är relativt enkel vilket resulterade i att alla utom en kommer fram till rätt svar Uppgift Lgd II Den andra uppgiften bygger på den första men svårighetsgraden har ökat, vilket också märktes på svaren. Den största svårigheten för eleverna var att göra den ovanliga enhetsomvandlingen, vilket var den vanligaste orsaken till att drygt hälften av eleverna svarade fel Uppgift Dropp I Här skulle eleverna endast göra ett enklare matematiskt resonemang utan beräkningar. Överlag blev lösningarna ganska korta och ej så utförliga. De allra flesta verkade inte ha problem med att inse följden av att nämnaren fördubblas. Däremot var det inte många elever förde någon typ av resonemang Uppgift Dropp II Man kan kalla uppgiften för en tvåstegsfråga. Så gott som alla elever har också löst uppgiften genom att först lösa ut rätt variabel och därefter, genom insättning, erhållit rätt svar. Även om det inte var svårt att se hur eleverna tänkte så saknades tydliga beskrivningar av hur eleverna gick till väga för att komma fram till svaret Uppgift Stat Detta är en tolkningsuppgift vilket gör den lite svårare att analysera, särskilt som det ursprungliga facit ej är tillgängligt. Dessutom är frågan ställd så att det kan finnas flera korrekta svar. Elevern hade problem med att tolka diagrammet korrekt och verkade att i första hand utgå från skalstrecken på x-axeln snarare än maxvärdet. Flera elever betraktade diagrammet i helhet istället för att fokusera på detaljer som skiljer grupp A från grupp B. Flera antaganden var antingen felaktiga eller orimliga. En elev ansåg att diagrammet var felkonstruerat. Många elever insåg att extremvärdet 32

33 påverkade den ena gruppen kraftigt. Det var också många elever som tolkade extremvärdet som om det representerade en frånvarande elev utan att förklara varför de gjorde denna tolkning Uppgift Båt Uppgiften måste lösas i flera steg men det krävs inga svåra beräkningar. Det kan emellertid vara lite svårt att inse vad som är ett rimligt svar då uppgiften ej anknyter till något vardagligt. De elever som lyckades bäst hade välstrukturerade och tydliga lösningar vilket gjorde det lätt att följa deras resonemang. Det fanns också exempel på korta, effektiva lösningar som dock ej visade tankegången lika tydligt. Eftersom uppgiften kan lösas på olika sätt ökar möjligheterna till fel, särskilt som uppgiften innehåller relativt stora tal med många nollor Uppgift Dörr Denna uppgift bör på papperet vara den svåraste eftersom den innehåller ett moment som inte är helt självklart. Det krävs nämligen ett logiskt resonemang som lätt kan förbises av eleven. Mindre än hälften av eleverna klarade att lösa uppgiften tillfredsställande. Många ritade en figur för att förtydliga sina lösningar. Tyvärr lyste resonemangen med sin frånvaro även om flertalet av de korrekta lösningarna hade utförliga beräkningar. Vad beräkningarna beträffade så var det tydligt att de flesta eleverna var osäkra på hur de skulle gå till väga för att förklara sina lösningar. Innebörden av flera uträkningar var oklar och ofta hittade eleverna på egna modeller som saknade förankring i metoder som elever på denna nivå borde vara bekanta med. En orsak till de undermåliga lösningarna kan i flera fall bero på att eleverna ej har förstått uppgiften fullt ut. Pólya tar upp det här problemet och menar att det är dumt att försöka att besvara en fråga som man ej förstår (1954, s. 6) Uppgift Hus Eftersom uppgiften endast går ut på att markera fyra sträckor på en ritning är det svårt att avgöra hur eleverna tänker. Visserligen var det relativt lätt att se om en lösning var korrekt eller ej, men varför eleven hade valt en specifik lösningsmetod gick ej att utröna. Däremot sade lösningarna en del om hur eleverna tolkade en ritning och vilken metod de använde för att markera sträckor i ritningen. Det är intressant att notera att fem av eleverna valde att rita egna figurer med mer eller mindre avancerade lösningar, trots att det står i uppgiften att sträckorna ska markeras i den befintliga ritningen. 4.5 Analys av förmågor Efersom den huvudsakliga frågeställningen berör elevernas resonemangsförmåga gjordes en analys av resonemangsförmågan separat (se avsnitt 4.6). För de övriga förmågorna presentaras här en sammanfattande beskrivning av helhetsintrycket av samtliga svar för respektive förmåga Begrepp Överlag hade samtliga elever god förståelse för de begrepp och uttryck som förekom i uppgifterna. Däremot hade flertalet elever problem med enheterna i Dropp I (se tabell nr 3) och med tolkningen av diagrammet i Stat. 33

34 4.5.2 Procedur De flesta beräkningarna genomfördes utan större problem. Det var däremot vanligt att eleverna använde ett fåtal beräkningssteg vid lösandet av uppgifterna Problemlösning Svårigheten med att omvandla steg/minut till meter/minut utifrån givna uppgifter ledde till att merparten av eleverna ej löste Lgd II på ett korrekt sätt. I Stat fanns det många förslag på lösningar av skiftande karaktär varav drygt hälften kunde räknas som godkända. I Båt och Dörr var det tre respektive fem elever som inte hade något lösningsförslag alls. En vanlig orsak till felaktiga svar var att eleverna ej upptäckte slarvfel och ej insåg orimligheten i sina svar. Förmodligen har eleverna missat eller struntat i ett viktigt steg som går ut på att se tillbaka på en lösning (Pólya 1954, s. 14). Pólya menar att det ofta finns något att förbättra i en lösning och dessutom förbättras förståelsen för lösningen och problemet vid en återblick Modellering De flesta av uppgifterna är relativt tillrättalagda såtillvida att informationen i texten ger lösningsmetoden. Uppgifterna Båt och Dörr däremot kräver mer eftertanke vilket tydligt märktes vid bedömningen av uppgifterna. Skillnaden mellan elevernas förmåga att hitta en lösningsmetod framträdde tydligt, speciellt i Dörr där endast nio elever presenterade en acceptabel lösning Kommunikation Denna förmåga uppvisar de största bristerna. Frånvaron av tydliga skriftliga svar var snarare regel än undantag och dispositionen av beräkningarna var oftast undermålig och ostrukturerad. Lösningar som byggde på en formel innehöll endast den nödvändiga formeln med insatta värden utan förklaringar till varför en viss beräkning utfördes. Det var tydligt att de flesta eleverna presenterade lösningar som krävde minsta möjliga arbete för att ge ett svar. En orsak till att betrakta den genomförda lösningen är, enligt Pólya, att försöka göra den så enkel som möjligt. Omständiga förklaringar ska kortas ner och göras mer intuitiva (1954, s. 36). 4.6 Analys av resonemangsförmågan I detta avsnitt analyseras varje uppgift översiktligt så att ett helhetsperspektiv ges av elevernas förmåga att föra resonemang i de olika uppgifterna Lgd I Endast tre elever hade en ansats till resonemang i denna uppgift. Övriga elever gjorde bara de nödvändigaste beräkningarna för att komma fram till ett svar. Det gavs inga förklaringar till varför beräkningarna genomfördes. Även om det inte var svårt att följa tankegången i de flesta uppgifter, såg det inte bra ut när det endast var formler i lösningen Lgd II Denna fråga är en fortsättning på Lgd I och kräver lite mer eftertanke av eleverna. Detta syntes också i lösningarna, i alla fall om man såg till antalet beräkningssteg. Det som så att säga skilde agnarna från vetet var omvandlingen från steg per minut till kilometer per timme 34

35 via meter per minut. Denna fälla var den största orsaken till att många elever kom fram till ett felaktigt svar. En av orsakerna till detta fel var (förmodligen) frånvaron av ett tydligt resonemang. Många elever skrev enbart formlerna för beräkningarna och använde det erhållna värdet i nästa beräkning utan att reflektera över vad de hade räknat ut. Den bästa formuleringen i en lösning var följande: På en timme går han 89, 6 60 meter. Det tyder på ett rakt resonemang. Tyvär gjorde eleven ett räknefel direkt efter och fick fel svar trots det tydliga resonemanget Dropp I Uppgiften är visserligen kort och enkel men inbjuder till resonemang då den lätt kan lösas utan beräkningar. De flesta löste uppgiften på ett enkelt sätt, ibland med lite väl långa lösningar, både med beräkningar och utan Dropp II Utifrån den givna formeln ska en parameter lösas ut och beräknas. Den vanligaste metoden var att skriva upp de beräkningar som utfördes, dra ett sträck under resultatet av beräkningen och lägga till rätt enhet, ml. Avsaknaden av förklaringar till beräkningarna var påtaglig men alla utom två fick rätt värde. Utförliga resonemang saknades, vilket förmodligen berodde på att det var en enkel uppgift som inte krävde något större tankearbete Stat Här krävs endast en matematisk argumentation för att lösa uppgiften vilket innebär att det också blir svårare att bedöma uppgiften. De flesta eleverna hade problem med att tolka diagrammet korrekt. Det kan bero på att diagrammet var något otydligt konstruerat. Flera elever såg ej extremvärdet som påverkar resultatet till nackdel för grupp A. Några elever gjorde en alternativ beräkning av medelvärdet där extremvärdet var uteslutet. En annan variant som förekom var en jämförelse av hur många som var underkända i grupp A respektive grupp B Båt En typisk problemlösningsuppgift som ger eleverna tillfälle att visa vad de förmår. En vanlig metod var att jämföra bränsleåtgång, med respektive utan draksegel, och utifrån dessa data beräkna förtjänsten per år. Detta kan göras på olika sätt vilket också återspeglades i elevlösningarna. Eftersom det är många nollor i faktauppgifterna förekom fleratalet slarvfel. Det var ganska vanligt med ostruktuerade beräkningar vilket skapade oreda i lösningarna och gjorde det svårare att följa resonemanget Dörr Eleverna måste känna till formeln för cirkelns omkrets för att lösa uppgiften och inse att det är två öppningar i svängdörren. Här var det fyra elever (20 % av klassen!) som ej ens gjorde en ansats till lösning. En figur är till stor hjälp vilket många insåg. Några elever verkade bli nöjda när de beräknat ett svar men glömde att det skulle vara två lika stora öppningar. Istället fick de ett resultat som var dubbelt så stort. 35

36 4.6.8 Hus I en figur ska eleverna markera de sidor som behövs för att beräkna en area. De huvudsakliga metoderna kan benämnas additions- respektive subtraktionsmetoden. Principen är densamma, skillnaden består i vilka sträckor som väljs i figuren. Totalt sett presenterades sex olika lösningsförslag varav ett var felaktigt. Tolv av eleverna hade valt samma metod, subtraktionsmetoden, vilken också var den smidigaste Resonemangsförmågan sammanfattning Frånvaron av utförliga resonemang framträdde tydligt. När eleverna löste en uppgift var det vanligaste förfarandet att enbart utföra de nödvändigaste beräkningarna för att komma fram till ett svar. Speciellt de enklare uppgifterna (till exempel Lgd och Dropp I ) uppvisade ett minimum av resonemang. Resonemanget utvecklades ej nämnvärt när uppgifterna blev svårare (se till exempel Lgd II och Dörr ). Oftast var den enda skillnaden att antalet beräkningar ökade, något som istället ökade risken för räknefel och slarvfel. I ämnet matematik är figurer i form av grafer, diagram och skisser ett kraftfullt hjälpmedel. Uppgift Dörr är en uppgift där en figur är till stor hjälp. Det var dock bara tio elever som använde sig av en figur för att lösa uppgiften. Även om många av elevernas lösningar saknade utförligt resonemang är det nödvändigtvis inte ett tecken på bristande matematisk förmåga. Flertalet av lösningarna var trots allt korrekta även om det inte alltid framgick av lösningarna hur eleverna hade kommit fram till svaret. Ett icke-verbalt resonemang visar på en persons förmåga att lösa problem och är relativt oberoende av utbildning (Jonsson et al. 2014, s. 23). Med andra ord kan en elev ha förmågan att föra ett relativt avancerat resonemang men däremot brista i att kommunicera sitt resonemang. Elevexempel nr 4 (se figur 12, s. 23) åskådliggjorde detta tydligt. Lösningen var mycket kort och en beräkning som de flesta elever gör i två steg bakades istället ihop till ett steg. Svaret var korrekt men det fanns inget resonemang presenterat. En orsak till att eleverna hde svårigheter med uppgifterna kan ha varit att de inte var vana vid att lösa uppgifter som kräver matematiskt resonemang som ligger utanför det som läraren tagit upp i undervisningen (Lithner 2000, s. 189). Istället satte eleverna sin tillit till lösningsmetoder som bygger på erfarenhet vilket inte alltid är tillräckligt även om Polya förespråkar denna metod (1954, s. 3). 4.7 Analys av följdfrågor Följdfrågorna var tänkta att ge en beskrivning av elevernas syn på sina kunskaper i ämnet och vilken nytta de har av matematiken. De fick också möjlighet att beskriva hur de såg på sig själva i förhållande till ämnet Vilka kunskaper fick du användning av? Eleverna nämnde flertalet specifika kunskaper som de använde vid lösandet av uppgifterna. De mest frekventa kunskaperna var procenträkning, algebra, statistik och geometri. Därtill nämnde flera elever också problemlösning, logik och grundläggande matematikkunskaper. Exakt vad som menas med grundläggande matematikkunskaper framgick ej men multiplikation och division omnämndes vilket kan tyda på att bland annat de fyra räknesätten åsyftades. 36

37 4.7.2 Lärde du dig något nytt? Överlag ansåg eleverna att de ej lärde sig något nytt, de ansåg att det mest var repetition av gamla kunskaper vilket får anses rimligt då frågorna bygger på matematikkunskaper som eleverna förväntades ha. Däremot menade några elever att det som var nytt låg i de olika sammanhangen i vilka frågorna presenterades. En elev nämnde att denne lärde sig att tänka på ett nytt sätt och att ta det lugnt Har du användning för dina matematikkunskaper i andra ämnen? Eleverna menade att matematikkunskaperna används i så gott som alla ämnen. Språk och musik var de enda ämnen som, enligt eleverna, ej kräver kunskaper i matematik. Det ämne där matematik används flitigast är utan tvekan fysik, tätt följt av kemi Hur tror du att du kommer att använda dina matematikkunskaper i framtiden? Ungefär hälften av eleverna trodde att de kommer studera vidare och därmed få användning för den matematik de ansåg vara lite svårare. Även i vardagen, på jobbet och inom ekonomi kunde matematiken fylla ett syfte. En del elever var dock mer osäkra på hur de skulle använda sina kunskaper, speciellt när det gällde den matematik som enligt eleverna inte tillhör vardagsmatematik. Vad som menas med vardagsmatematik är, med utgångspunkt i elevsvaren, i första hand de fyra räknesätten, volymer, areor och procenträkning. Det var tydligt att kunskaperna från grundskolan verkade räcka för de flesta eleverna, både i det dagliga livet och inom framtida yrken Hur upplevde du svårighetsgraden på uppgifterna? Att avgöra svårighetsgraden hos en uppgift blev en subjektiv bedömning då alla elever hade olika förutsättningar och upplevde uppgifterna olika. Merparten av eleverna ansåg att svårigheten varierade men det framgick ej av elevsvaren vilka uppgifter som var lättast respektive svårast. När eleverna får ett nytt område inom matematiken presenterat för sig sker det ofta med teoretiska bevis som har en allmän giltighet vid lösandet av problem inom det specifika området. Däremot när eleverna ska lösa problem själva utgår de oftast bara från de exempel som de har stött på i läroboken (Lithner 2000, s. 181). Det kan vara en av orsakerna till att eleverna hade svårigheter med att lösa problem som ej påminnde om de uppgifter de är vana vid Anser du att du är duktig i matematik? Motivera! Att utfrån svaren avgöra om en elev anser sig duktig eller ej blir en subjektiv bedömning. Eftersom frågan var öppen kunde ett svar bli både negativt och positivt till skillnad från en flervalsfråga. Istället för att enbart leta efter svar som indikerade ett ja eller nej har en positiv eller negativ inställning till den egna förmågan eftersökts. Drygt hälften av svaren gav en relativt tydligt bild av elevernas syn på sin matematiska förmåga. Övriga svar var mer svårbedömda och skulle mycket väl kunna ha tolkats annorlunda. Svaren på denna fråga varierade från de som ansåg sig vara dåliga till de som tyckte att de var duktiga på matematik. Det område som de flesta ansåg sig behärska var grundskolematematik medan de hade större problem med gymnasiematematiken. Motiveringarna till svaren varierade mycket. Ett par elever menade att de hade lätt för matematik eftersom det är ett roligt ämne. Vissa ansåg att ämnet kunde vara svårt att förstå ibland men att det gick att bli bättre. Det framkom också att förståelsen för ämnet spelade roll 37

38 för hur eleverna tog till sig kunskaperna. En elev menade att man är duktig om matematikkunskaperna kan tillämpas i praktiken och ej enbart för att klara av prov i skolan. Detta uttalande får anses som insiktsfullt då eleven har förstått att undervisningen i första hand är ämnad att förbereda eleven för ett yrkesliv och ej enbart för skolan. 5 Diskussion Eleverna som genomförde testet läser och har läst matematik på högre nivå än vad som krävs för att lösa de utvalda uppgifterna. Trots detta hade de problem med att lösa problem som var avsedda för femtonåringar. En tanke är att eleverna ej var vana vid denna typ av problemlösning eller att de hade glömt bort hur de skulle gå tillväga för att lösa dylika uppgifter. Eleverna kan förmodligen lösa svårare uppgifter men då handlar det oftast om rutinuppgifter där lösningsmetoden bygger på en teknik som nyligen är presenterad av läraren. Eleverna har dessutom arbetat med uppgifter kopplade till tekniken och har därmed lösningsmetoden i färskt minne. Denna undervisningsmetod, att läraren först går igenom en teknik som eleverna sedan får träna på, är relativt vanlig och kan därför benämnas traditionell matematikundervisning (Skovsmose 2001, s. 123). Även Lithner tar upp problemet som uppstår om resonemangsförmågan ej utvecklas. Istället för att eleven försöker föra ett resonemang kommer matematiken endast att handla om att utföra procedurer och imitera givna exempel (Ross 1998 se Lithner 2000, s. 165). 5.1 Resultat av elevlösningarna Resonemangsförmågan är en stor del av den process i vilken eleven kommer fram till en lösning (Laurillard 1986, s. 171). Det innebär att de problem som en elev ska lösa i första hand har ett pedagogiskt värde (ibid.). Eftersom elevernas resonemang skulle studeras var det med andra ord av mindre betydelse om elevernas svar var rätt eller fel. När uppgifterna valdes ut var utgångspunkten att de flesta eleverna var kapabla att lösa dessa utan större problem. Det visade sig dock att många elever trots allt hade svårigheter att lösa flera av problemen vilket var förvånande. Det förväntades mer detaljerade svar med texter som visade hur eleverna tänkte och resonerade. Även i det avseendet var det tydligt att utförliga lösningar ej är vanliga hos gymnasieelever. Stor spridning Det visade sig vara en relativt stor spridning både när det gällde kunskaperna och tillvägagångssättet vid lösandet av de olika problemen. Speciellt de mer omständliga uppgifterna som krävde mer arbete uppvisade påtagliga skillnader mellan eleverna. I en högstadieklass hade det varit mer normalt med en spridning av matematikkunskaperna då alla elever läser samma ämnen och ännu ej har valt någon särskild inriktning. På gymnasienivå har trots allt varje elev gjort ett medvetet val av program. Att det fanns elever som inte klarade vissa uppgifter var oroväckande, speciellt med tanke på vilket program eleverna läser. Än värre var att några elever inte ens försökte att lösa ett par problem. Det man dock bör ha i åtanke vid bedömningen av resultatet är att uppgifterna i denna undersökning ej påverkade elevernas betyg vilket kunde få den effekten att eleverna ej gjorde sitt bästa. 38

39 Svagt resonemang Elevernas förmåga att genomföra matematiska resonemang var, med tanke på elevunderlaget, förvånansvärt låg. Denna bedömning baseras enbart på elevernas lösningar av uppgifterna. De flesta eleverna ville inte eller kunde inte beskriva sitt resonemang i textform. Det innebar inte per automatik att resonemangsförmågan överlag var dålig hos eleverna. Det sade däremot en hel del om deras kommunikationsförmåga och förmågan att föra skriftliga resonemang. Ett betydelsefullt moment vid problemlösning är enligt Pólya att göra upp en plan (1954, s. 5). Vidare skriver Pólya att det krävs en hel del för att tänka ut denna plan (ibid. s. 12). Det kan vara en orsak till att många elever upplevde svårigheter med att lösa problem, ovanan vid att planera ett lösningsförfarande. De flesta lösningar på uppgiften Dörr skiljde sig åt mer eller mindre vilket kan vara ett tecken på att eleverna ej har fått lära sig en metod att lösa sådana problem. Det såg mer ut som att en improviserad plan växte fram under tiden som eleverna löste problemet. Uppgiften Dörr är relativt svår men det är ändå anmärkningsvärt att så få elever löste problemet (43%, se Tabell 10, s. 35). Pólya skriver att det är omöjligt att finna idén till en lösningsmetod om kunskaper saknas eller åtminstone svårt om man har svaga kunskaper på området (1954, s. 9). I det har fallet borde fler elever ha lyckats bättre. Det är ju trots allt en uppgift som bygger på kunskaper som eleverna har och säkerligen har använt ofta under tidigare matematikstudier. Dålig kommunikationsförmåga En av de största bristerna uppvisades i förmågan att kommunicera skriftligt, något som var förvånande på denna nivå. Förväntningarna var att eleverna på gymnasiet hade utvecklat en bättre kommunikationsförmåga än den observerade eftersom eleverna trots allt har tillbringat nästan tolv år i skolan. Lösningsfrekvens En översikt som visar hur eleverna lyckades med sina lösningar presenteras i Tabell 10 där även resultaten från PISA-testerna finns med. Lösningsfrekvens Uppgift Enkät PISA-test PISA-test Sverige OECD Lgd I 95% 34% 36% Lgd II 38% 21% 21% Dropp I 90% 16% 22% Dropp II 90% 14% 26% Stat 57% 45% 47% Båt 62% 14% 15% Dörr 43% 3% 3% Hus 76% 41% 45%. Tabell 10: Lösningsfrekvens i procent. 39

40 Skillnad i resultat En tydlig skillnad i lösningsgraden mellan enkätsvaren och de svenska PISA-resultaten framträder vid en granskning av uppgifterna Dropp I, Dropp II, Båt och Dörr. Vad skillnaden beror på är inte helt klart. Både 15-åringar och gymnasieeleverna som gjorde testet har trots allt de kunskaper som krävs för att lösa uppgifterna. En tanke är att skillnaden beror på att gymnasieelever har en mer utvecklad problemlösningsförmåga då de har läst matematik under en längre tid och är vana vid att lösa mer komplexa problem. Samtidigt har förmodligen 15-åringar för lite erfarenhet av att lösa problem liknande dessa. En faktor som också kan ha bidragit till skillnaden är att andelen matematikstarka elever förmodligen är större på de undersökta gymnasieprogrammen än i en klass med 15-åringar. 5.2 Resultat av elevernas svar på följdfrågorna En fråga som kan ställas är om en elev reflekterar över varför denne studerar ett visst ämne och de moment som ingår i ämnet, i det här fallet matematik. Frågorna Kunskap?, Nytt? och Svårt? är direkt kopplade till uppgifterna medan övriga frågor berör elevernas syn på matematiken i allmänhet. När eleverna besvarade frågan Kunskap? blev det mest en uppräkning av de olika räknemetoder som de har lärt sig under skoltiden. Uttrycken logiskt tänkande och problemlösning nämndes vid några tillfällen vilket visade att eleverna ser på matematiken som ett verktyg eller hjälpmedel för att lösa problem. Det är möjligt att svaren på frågorna Ämnen?, Framtid? och Duktig? påverkades av matematikuppgifterna i enkäten men det var inget som inverkade negativt på svaren. Det kunde snarare vara så att uppgifterna fick eleverna att tänka till lite extra när de besvarade följdfrågorna. Det var väldigt få elever som redan nu hade bestämt sig för att studera vidare. De flesta såg det som en framtida möjlighet. Förmodligen har eleverna inte tänkt så mycket på framtiden ännu utan fokuserar istället på att göra sitt bästa under det sista skolåret. Synen på ämnet matematik och vad kunskaperna i matematik ska användas till varierade mycket trots att eleverna läser samma matematikkurs. Det går definitivt inte att dra alla elever över en kam. Istället framträdde en bild av ett antal individer som skulle kunna spegla populationen i ett mindre samhälle. 5.3 Koppling mellan resultat och självskattning Finns det något samband mellan en elevs självskattning och prestationen? Vid en genomgång av lösningarna framkom det att de elever som ansåg sig duktiga på matematik (tio stycken) stod för en tredjedel av det totala antalet fel. Övriga elva elever, som hade en mer eller mindre negativ syn på sin matematiska förmåga, stod för två tredjedelar av det totala antalet fel. Utifrån resultatet ligger det nära till hands att dra slutsatsen att en elev som anser sig duktig också gör ett bra resultat. En närmare granskning av de enskilda resultaten visade att det inte alltid stämmer. Två av de elever som ej ansåg sig duktiga hade ett respektiva inga fel på uppgifterna medan tre av eleverna som ansåg sig duktiga hade vardera tre fel på uppgifterna. Ett annat antagande som kan göras är att de elever som upplever uppgifterna som lätta också bör lösa uppgifterna utan större problem. Antagandet kan dock diskuteras då det inte behöver betyda att eleverna anser sig tillräckligt duktiga för att lösa alla uppgifter. Detta framgår också vid en jämförelse av elevernas syn på sig själva i förhållande till antalet gjorda fel. Av de sju elever som ansåg uppgifterna lätta var det ingen som klarade alla och tre av eleverna hade en negativ syn på sin matematiska förmåga. 40

41 5.4 Helhetsintryck av undersökningen Innan undersökningen gjordes var föreställningen den att de flesta elever som valt naturvetenskapligt eller tekniskt program skulle vara relativt duktiga i ämnet matematik eftersom dessa program får anses som krävande med avseende på innehåll och svårighetsgrad, särskilt med tanke på hur stor del av schemat som innehåller matematik. Omfånget och typen av resonemang varierade mycket hos eleverna. Även om många av eleverna inte använde sig av ett skriftligt resonemang kunde den metod som eleven använde vid lösandet av en uppgift ses som ett slags resonemang. Ju fler formler och uttryck som fanns med i lösningen, desto enklare var det att följa elevens tankegång. Efter att ha gått igenom alla elevlösningar så är slutsatsen den att matematikkunskaperna hos många elever tyvärr ligger på en lägre nivå än förväntat. Uppgifterna ska ju trots allt kunna lösas av elever som går sista året på högstadiet. När elever i årskurs tre på gymnasiets tekniska och naturvetenskapliga program har problem med att lösa dylika uppgifter kan frågan ställas: Vilka av dessa studenter är mogna för vidare studier? Trots allt är dessa program i allra högsta grad högskoleförberedande och resulterar ej i en färdig yrkesutbildning. Det krävs med andra ord ytterligare studier för att bli attraktiv på arbetsmarknaden. Undersökningen går på djupet med ett mindre antal elever, 21 stycken, vilket ger ett omfattande material som visar läget hos denna grupp. För att få en allmän uppfattning om läget hos gymnasister överlag krävs en undersökning som grundar sig på data från en större population. Förmågan att resonera och kommunicera Med tanke på att många av de elever som läser naturvetenskapligt och tekniskt program är framtidens ingenjörer, läkare och forskare med mera,borde undervisningen innehålla fler moment som ger träning i förmågan att resonera. Eleverna bör också lära sig hur man kommunicerar i skrift på ett föredömligt sätt, något som de kommer att ha stor nytta av både i sina framtida studier men framförallt i yrkeslivet. Det som framkommit vid genomgången av alla lösningsförslag är att i uppgifter av enklare slag använder sig eleverna oftast av samma resonemang. Avancerade problem ger upphov till en större variation med avseende på resonemang och lösningsmetoder. Även graden av kommunikation varierar mycket vid svårare problem vilket leder till svårigheter att bedöma tankegången hos de elever som ej för ett skriftligt resonemang. Förslag till förbättringar Det är svårt att skapa en exakt mall för hur ett bra resonemang ska se ut. En god utgångspunkt vid lösandet av uppgifter är till exempel Pólya s fyra steg för problemlösning (1954). Eleverna måste framförallt inse vikten av att kunna föra ett resonemang som både de själva och en läsare kan följa och dessutom vara medvetna om att ett problem endast delvis består av beräkningar. 41

42 6 Referenser och litteratur Boesen, J., Lithner, J. & Palm, T. (2010). The Relation between Types of Assessment Tasks and the Mathematical Reasoning Students Use, Educational Studies in Mathematics, 75: Boesen, J. (2006). Assessing Mathematical Creativity. Umeå: Umeå Universitet Denscombe, M. (2009). Forskningshandboken - för småskaliga forskningsprojekt inom samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur AB Högskoleverket (1999). Räcker kunskaperna i matematik? Högskoleverket Granekull, T. (2016). Kamratbedömning i naturvetenskap på mellanstadiet. Malmö: Mölmö Högskola Johansson, B., (1998).Förkunskapsproblem i matematik?. Göteborg: Göteborgs Universitet Jonsson, B., Norqvist, M., Liljekvist, Y. & Lithner, J. (2014). Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning. Journal of Mathematical Behavior, 36, ss Karlsson Wirebring, L., Lithner, J., Jonsson, B., Liljekvist, Y., Norqvist, M. & Nyberg L. (2015). Learning mathematics without a suggested solution method: Durable effects on performance and brain activity, Trends in Neuroscience and Education, 4, ss Laurillard, D. (1986). Hur vi lär. Marton, F., Hounsell, D. & Entwistle, N. (red.) Att lära genom problemlösning. Kristianstad: Raben & Sjögren, ss Lithner, J. (2000). Mathematical Reasoning in Task Solving. Educational Studies in Mathematics, Vol.41, No. 2, ss Niss, M. & Højgaard, T. (red.)(2002). Kompetencer og matematiklæring. Roskilde Universitetscenter, Undervisningministeriet. The PISA 2003 Assessment Framework (2003). PISA 2009 Assessment Framework, Key competencies in reading, mathematics and science. Polya, G. (1954). How To Solve It. A New Aspect of Mathematical Method. Ross, K.A. (1998). Doing and Proving: The Place of Alogrithms in School Mathematics. The American Mathematical Monthly, Vol. 105, No. 3, ss SFS 2003:460. Lag om etikprövning av forskning som avser människor. Stockholm: Utbildningsdepartementet Sidenvall, J., Lithner, J & Jäder, J. (2015). Students reasoning in mathematics textbook task-solving. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. 46:4, ss Skolverket (1998). TIMSS. Kunskaper i matematik och naturvetenskap hos svenska elever i gymnasieskolans avgångsklasser. Stockholm: Skolverket Skolverket (2011). Kunskapsbedömning i skolan. Stockholm: Skolverket Skolverket (2015). Med fokus på matematik. Analys av samstämmighet mellan svenska styrdokument och den internationella studien PISA. Stockholm: Skolverket Skolverket (2016a). PISA åringars kunskaper i matematik, läsförståelse och naturvetenskap. [ ] Skolverket (2016b). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, reviderad Stockholm: Skolverket Skolverket (2016c). Frisläppta uppgifter och enkäter. [ ] Skolverket (2016d). Frågor och svar om PISA. [ ] Skolverket (2017). Matematik. och-/grundskoleutbildning/grundskola/matematik [ ] 42

43 Skovsmose, O. (2001). Landscapes of Investigation, Zentralblatt für Didaktik der Mathematik. Vol. 33, (4), ss

44 7 Bilagor 44

45 . 45

46 7.1 Enkät ENKÄT ************************************************************************** Beräkningar och resonemang ska vara tydliga och lätta att följa. Skriv dessa på separata papper. ************************************************************************** GÅNG Bilden visar fotspåren av en gående man. Steglängden P är avståndet mellan de bakre kanterna av två på varandra följande fotspår. För män ger formeln n P = 140, ett ungefärligt förhållande mellan n och P, där n = antalet steg per minut och P = steglängden i meter. FRÅGA 1: Om formeln kan tillämpas för Heikos sätt att gå och Heiko tar 70 steg per minut, vilken är då Heikos steglängd? Visa hur du kom fram till ditt svar. FRÅGA 2: Bernard vet att hans steglängd är 0, 80 meter och formeln kan tillämpas på Bernards sätt att gå. Beräkna Bernards gångfart i meter per minut och i kilometer per timme. Visa hur du kom fram till ditt svar. DROPPHASTIGHET Infusioner (eller dropp) används för att ge vätska och medicin till patienter. Sjuksköterskorna måste kunna beräkna dropphastigheten, D, i droppar per minut. De använder formeln D = dv 60n d är droppfaktorn mätt i droppar per milliliter v är infusionens volym i ml n är antalet timmar som droppet måste sitta i. FRÅGA 3: En sjuksköterska vill fördubbla den tid droppet sitter i. Beskriv exakt hur D förändras om n fördubblas samtidigt som d och v inte förändras. 46 där

47 FRÅGA 4: Sjuksköterskor måste också beräkna infusionens volym, v, från dropphastigheten D. En infusion med en dropphastighet på 50 droppar per minut måste ges till en patient under 3 timmar. För den här infusionen är droppfaktorn 25 droppar per milliliter. Vad har infusionen för volym i ml? PROVRESULTAT Diagrammet visar resultaten på ett NO-prov för två grupper elever kallade Grupp A och Grupp B. Medel-poängen för Grupp A är 62,0 och 64,5 för Grupp B. Eleverna har fått godkänt på provet om de har 50 poäng eller mer. Efter att ha tittat på diagrammet, påstår läraren att Grupp B har lyckats bättre på provet än Grupp A. Eleverna i Grupp A håller inte med läraren. De försöker övertyga sin lärare att Grupp B inte nödvändigtvis har lyckats bättre. FRÅGA 5: Ge med hjälp av diagrammet ett matematiskt argument som eleverna i Grupp A skulle kunna använda. SEGLANDE FARTYG Nittiofem procent av världshandeln fraktas på haven av grovt räknat tankfartyg, lastfartyg och containerfartyg. De flesta av de här fartygen drivs av dieselolja. Ingenjörer planerar att utveckla vindkraft för att hjälpa fartygen. De tänker sätta fast draksegel på fartygen och använda vindkraften för att minska dieselförbrukningen och därmed effekten på miljön. På grund av den höga kostnaden på 0,42 zed per liter dieselolja har ägarna till fartyget Våge Viking börjat fundera på att utrusta fartyget med ett draksegel. Man uppskattar att ett draksegel av det här slaget ska kunna minska dieselförbrukningen med totalt omkring 20%. 47

48 Namn: Våge Viking Typ: fraktfartyg Längd: 117 meter Bredd: 18 meter Lastkapacitet: ton Maxfart: 19 knop Dieselförbrukning per år utan draksegel: ca liter. Kostnaden för att utrusta Våge Viking med ett draksegel är zed. FRÅGA 6: Efter hur många år har besparingen i dieselolja betalat kostnaden för drakseglet? Visa hur du har räknat för att komma fram till svaret. SVÄNGDÖRR En svängdörr består av tre vingar som snurrar inuti ett cirkelformat utrymme. Innerdiametern på det här utrymmet är 2 meter (200 cm). De tre dörrvingarna delar upp utrymmet i tre lika stora sektorer. Ritningen visar dörrvingarna i tre olika positioner så som man ser dem ovanifrån. De två dörröppningarna (de prickade bågarna i figuren) är lika stora. Om de här öppningarna är för breda kan dörrvingarna inte hålla utrymmet stängt och då kan luften flöda fritt mellan ingången och utgången, vilket ger en oönskad förlust eller tillskott av värme. Detta visas i figuren. FRÅGA 7: Vilken är den maximala båglängd i centimeter (cm) som vardera dörröppningen kan ha, så att luften aldrig flödar fritt mellan ingången och utgången? 48

49 LÄGENHETSKÖP Det här är en ritning över den lägenhet som Görans föräldrar vill köpa genom en mäklare. För att uppskatta lägenhetens totala golvarea (inklusive terrassen och väggarna) kan du mäta storleken på varje rum, beräkna arean på vart och ett och sedan addera samtliga areor. FRÅGA 8: Det finns dock en effektivare metod för att uppskatta den totala golvarean där du bara behöver mäta 4 sträckor. Märk ut de fyra sträckor på ritningen här bredvid som du behöver mäta för att kunna uppskatta lägenhetens totala golvarea. FÖLJDFRÅGOR Dessa frågor ska besvaras efter att uppgifterna är lösta. 1. Vilka kunskaper fick du användning av? 2. Lärde du dig något nytt? 3. Har du användning av dina matematikkunskaper i andra ämnen? Vilka och hur i så fall? 4. Hur tror du att du kommer använda dina matematikkunskaper i framtiden? 5. Hur upplevde du svårighetsgraden på uppgifterna? 6. Anser du att du är duktig i matematik? Motivera/utveckla ditt svar! 49

50 7.2 Sammanställning av uppgiftsbedömningar BEDÖMNING av Lgd I, (Nivå: E) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Saknar tydligt resonemang men beräkningar visar (3/0/0) E tankegång. Skriver ordentligt svar 2 Lätt att följa beräkningar men inget direkt (3/0/0) E resonemang. 3 Kort lösning utan förklaringar. (3/0/0) E 4 Kort lösning utan resonemang. (3/0/0) E 5 Enkel figur men ej resonemang. (3/0/0) E 6 Kort lösning utan resonemang. (3/0/0) E 7 Enklare resonemang med symboler. Separat svar (3/0/0) E 8 Mycket knapphändig lösning. (2/0/0) E 9 Inser att svar ej stämmer men ser ej räknefel. (2/0/0) F 10 Kort lösning utan resonemang. (3/0/0) E 11 Kort lösning, inget resonemang. (3/0/0) E 12 Liten lösning utan förklaringar. (3/0/0) E 13 Enklare lösning utan resonemang (3/0/0) E 14 Enkelt resonemang med figur. (3/1/0) E 15 Kort, skriftligt resonemang samt svar (3/1/0) E 16 Liten, kort lösning. Ej resonemang. (3/0/0) E 17 Kort, tydlig lösning utan resonemang. (3/0/0) E 18 Plottrigt, men tydligt resonemang. (3/1/0) E 19 Lösning i många steg dock ej resonemang. (3/0/0) E Skriftligt svar. 20 Kort lösning utan resonemang. Skriftligt svar. (3/0/0) E 21 Tydlig lösning, kort resonemang. (3/0/0) E Tabell 11: Bedömning av Lgd I 50

51 BEDÖMNING av Lgd II, (Nivå: C) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Vagt resonemang. Grovt tankefel: = 1, 2(?) (2/1/0) E 2 Kan ej omvandla m min till km h. Ser ej orelevans. (2/0/0) F 3 Ofullständig uträkning. Ej ordentligt svar. (2/1/0) E 4 Skriver ej ordentligt svar. (2/1/0) E 5 Slarvfel, steg min blir m min. (1/1/0) F 6 Ej ordentligt svar. Lätt att följa tankegång. (2/2/0) E 7 Ofullständig uträkning. Ser ej orelevant svar. (2/0/0) F 8 Slarvfel, steg min blir m min. Svårt att följa tankegång. (0/0/0) F 9 Slarvfel, steg min blir m min. (0/0/0) F 10 Slarvfel, steg min blir m min. Ger delsvar i fel enhet. (0/0/0) F 11 Kortfattad lösning. (2/1/0) E 12 Omvandlar ej, anv. istället formel på fel sätt. (1/0/0) F 13 Räknefel. Ser ej orelevans i svar. (2/0/0) F 14 Visar hur beräkningar utförs. (2/2/0) E 15 Slarvfel, steg min blir m min. (1/0/0) F 16 Svar i fel enhet. Får orimligt låg gånghastighet. (1/0/0) F 17 Slarvfel, steg min blir m min. Ser ej orelevant svar. (1/0/0) F 18 Lätt att följa resonemang. (2/3/0) C 19 Saknar ett delsvar. I övrigt en korrekt lösning. (1/2/0) E 20 Slarvfel, steg min blir m min. (0/0/0) F 21 Lätt att följa resonemang. Snygg uppställning. (2/2/0) E Tabell 12: Bedömning av Lgd II 51

52 BEDÖMNING av Dropp I, (Nivå: E) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Kort lösning utan resonemang. (3/1/0) E 2 Väldigt kortfattad lösning. (1/2/0) E 3 Tydlig tankegång. (2/2/0) E 4 Inga uträkningar. (1/2/0) E 5 Tydlig tankegång. (2/2/0) E 6 Udda formulering av svar. (2/2/0) E 7 Svar saknas. (1/0/0) F 8 Märklig tankegång. (2/1/0) E 9 Tunn uträkning. (2/2/0) E 10 Saknar beräkningar. (1/2/0) E 11 Använder exempel. (2/2/0) E 12 Tydligt resonemang. (1/2/0) E 13 Resonemang och exempel. (3/2/0) E 14 Prydlig uppställning. (3/1/0) E 15 Tydliga beräkningar. (3/1/0) E 16 Tunnt resonemang. (1/2/0) E 17 Ej fullständigt svar. (1/1/0) E 18 Lätt att följa resonemang. (3/2/0) E 19 Felaktig lösning. (0/0/0) F 20 Vagt resonemang. Ej beräkning. (1/2/0) E 21 Omständigt resonemang. (3/1/0) E Tabell 13: Bedömning av Dropp I 52

53 BEDÖMNING av Dropp II, (Nivå: C) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Lätt att följa resonemang. (4/0/0) E 2 Väldigt kortfattad lösning. (5/0/0) E 3 Kortfattad lösning. (4/0/0) E 4 Kortfattad lösning. Enhet efter svar på bråk. (4/0/0) E 5 Hoppar över steg i beräkning. (4/0/0) E 6 Sätter in enhet efter svar på bråk. (4/0/0) E 7 Tydlig tankegång. (5/0/0) E 8 Märklig beräkning som saknar relevans. (0/0/0) F 9 Många steg. (4/0/0) E 10 Enhet efter bråksvar. (4/0/0) E 11 Aningen ostrukturerat. (4/0/0) E 12 Tappar enhet, slarv. (2/0/0) F 13 Saknar tydligt svar. (4/0/0) E 14 Tydlig tankegång. (5/0/0) E 15 Tydlig tankegång. (5/0/0) E 16 Tydlig tankegång. (4/0/0) E 17 Tydliga beräkningar. (4/0/0) E 18 Tydliga beräkningar. (5/0/0) E 19 Felaktig beteckning men det påverkar ej svar. (4/0/0) E 20 Kort men tillräcklig lösning. (4/0/0) E 21 Kort lösning. (4/0/0) E Tabell 14: Bedömning av Dropp II 53

54 BEDÖMNING av Stat, (Nivå: C) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Omständigt resonemang, felaktig slutsats. (0/1/0) F 2 Kort bedömning som fokuserar på maxresultat. (0/2/0) C 3 Bedömning som enbart utgår från maxresultat. (0/2/0) C 4 Bortser från extremvärdet. (1/2/0) C 5 Ej matematiskt korrekt resonemang. (0/1/0) F 6 Tolkar extrevärdet som noll. (0/2/0) C 7 Fel elevantal. Jämför helhetsresultat. (0/2/0) C 8 Extremvärde tolkas som frånvaro. Jämför helheten. (0/1/0) F 9 Extremvärde tolkas som frånvaro. Föreslår (1/0/0) F beräkning av nytt medelvärde. 10 Räknar fel på antal elever. (0/0/0) F 11 Lösning saknas. (0/0/0) F 12 Ej övertygande slutsats. (0/2/0) C 13 Omständligt resonemang men korrekt slutsats. (0/3/0) C 14 Jämför högsta poäng och tar hänsyn till extremvärde. (1/2/0) C 15 Extremvärde feltolkas. Ovanligt antagande. (1/1/0) E 16 Lösning saknas. (0/0/0) F 17 Ser att grupp B har två ej godkända. (0/2/0) C 18 Utgår från helheten av diagram. (0/2/0) C 19 Fel elevantal. Felaktig slutsats. (0/0/0) F 20 Lösning saknas. (0/0/0) F 21 Läser diagram fel, men godkänt resonemang. (0/2/0) C Tabell 15: Bedömning av Stat 54

55 BEDÖMNING av Båt, (Nivå: C) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Tydligt, bara nödvändiga beräkningar. (3/3/0) E 2 Smidig lösning, men lite kort. (3/3/0) E 3 Tydligt, flera steg. (3/3/0) E 4 Bråttom, har ej tänkt efter. (0/0/0) F 5 Mycket tydligt. Tänker i flera steg. (1/5/0) C 6 Tydligt, snygg uppställning. (2/4/0) C 7 Lättföljt resonemang. (2/4/0) C 8 Lösning saknas. (0/0/0) F 9 Smart lösning, men kort. (3/3/0) E 10 Enkelt, men för kort resonemang. (3/3/0) E 11 Felaktig lösning. (2/0/0) F 12 Lösning saknas. (0/0/0) F 13 Tydligt, flera steg. (2/4/0) C 14 Snygg lösning i flera steg. (2/4/0) C 15 Lite plottrig lösning. (3/3/0) E 16 Felaktig lösning. (2/0/0) F 17 Felaktig lösning. Ser ej orelevant svar. (3/0/0) F 18 Flera steg, saknar dock tydliga beräkningar (2/4/0) C 19 Lösning saknas. (0/0/0) F 20 Felaktig lösning. Kort svar. (2/0/0) F 21 Slarv som rättas till Rätt lösning. (3/3/0) E Tabell 16: Bedömning av Båt 55

56 BEDÖMNING av Dörr, (Nivå: A) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Lite svårtydd lösning. (3/3/0) E 2 Kan ej formel. Lösning saknas. (1/0/0) F 3 Lite otydligt men korrekt. (3/3/0) E 4 Rätt, men dåligt presenterat. (4/1/0) E 5 Tydligt. Bra figurer. (2/4/0) C 6 Enkelt, men för kort. (4/2/0) E 7 Otydligt resonemang, för kort. (5/1/0) E 8 Lösning saknas. (0/0/0) F 9 Bra resonemang, lite kort lösning. (3/3/0) E 10 Felaktig lösning. (4/0/0) F 11 Lösning saknas. (0/0/0) F 12 Lösning saknas. (0/0/0) F 13 Felaktig lösning. (3/0/0) F 14 Snygg figur, men fel formel. (2/1/0) F 15 Felaktig lösning. Kort svar. (2/0/0) F 16 Påbörjat lösning. Ej komplett (2/0/0) F 17 Påbörjat lösning, grov avrundning. (2/0/0) F 18 Mycket bra resonemang. (1/5/0) C 19 Lösning saknas. (0/0/0) F 20 Kort och felaktig lösning. (0/0/0) F 21 Kort, tydligt resonemang. (3/3/0) E Tabell 17: Bedömning av Dörr 56

57 BEDÖMNING av Hus, (Nivå: C) Elev Kommentar Bedömning Betyg 1 Påbörjad lösning. (1/0/0) F 2 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 3 Additionsmetod. Osmidig variant. (5/0/0) E 4 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 5 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 6 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 7 Additionsmetod. (5/0/0) E 8 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 9 Subraktionsmetod, enkel förklaring. (5/0/0) E 10 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 11 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 12 Felaktig lösning. (1/0/0) F 13 Subraktionsmetod. Bra resonemang. (2/3/0) C 14 Rätt, men omständigt. (6/0/0) E 15 Additionsmetod. Bra resonemang. (2/3/0) C 16 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 17 Felaktig lösning. (1/0/0) F 18 Subraktionsmetod. Bra resonemang. (2/3/0) C 19 Lösning saknas. (0/0/0) F 20 Subraktionsmetod. (5/0/0) E 21 Felaktig lösning. (1/0/0) F Tabell 18: Bedömning av Hus 57

58 7.3 Sammanställning av följdfrågor. Elev Svar Fråga nr 1: Vilka kunskaper fick du användning av? 1 Lite blandat både nytt och gammalt. 2 Jag fick användning av procenträkning, statestikräkning algebra och geometri. 3 Det var en väldig variation på uppgifterna. Både rena formelberäkningar, geometriska beräkningar och procentuella beräkningar. Så mycket olika kunskaper fick användas, men logiskt tänkande är något som används i alla uppgifter. 4 algebra, geometri, statestik 5 Logiskt tänkande 6 Mer grundläggande kunskaper, sådant som man faktiskt har användning av i verkligheten eller snarare i vardagen (till skillnad från matten man läser just nu...) 7 Jag fick användning av mina matematikkunskaper 8 multiplikation division 9 Algebra Radianer funktioner Medellängd Grafläsning 10 Förståelse av formler, logiskt tänkande och grader i crkeln 11 Formelhantering 12 Jag fick användning av mänga olika kunskaper. Även om faktarutan hade vissa hjälpmedel i sig var man själv tvungen att tänka på det man lärt sig i föregående matematikkurser. 13 Kunskapen att kunna lösa ut x ur en ekvation, diagramkunskap, problemlösning. 14 Huvudräkning. Problemlösning. Mattematik. Kunna tänka vad som är rimligt. Var dock lite svårt utan formelblad. 15 Att förstå och kunna använda formler och problemlösning. 16 Procenträkning, formelhantering, algebra, diagramläsning. 17 Jag använde mig av en del av mina kunskaper, mest de vanliga räknesätten & argumentera med matematik. 18 algebra, trigominitri, statistik, procent 19 grundkunskaper som addition, multiplikation, osv. problemlösning 20 Ekvationer och hastighetsberäkning 21 Grundkunskaperna som man alltid har med sig som: - ekvationslösning - procenträkning - omvandling mellan enheter - räkna ut omkrets och area Tabell 19: Vilka kunskaper fick du användning av? 58

59 Elev Svar Fråga nr 2: Lärde du dig något nytt? 1 Speciellt om det uppgifterna handlade om (segel, svängdörrar) men diagrammet gav ett perspektiv. 2 Jag lärde mig ett samband för hur man räknar ut antalet steg/minut och steglängden vilket jag inte kunde tidigare. 3 Jag lärde mig att svängdörrar finns till för att inte få luftströmmar direkt in i huset så man kan minska värmeförlusten. Att räkna om från meter/minut till km/h gör man inte så ofta, så där fick jag tänka till. Att analysera diagram gör man heller inte så ofta, så där tvingades man till att tänka på nytt sätt och med nya perspektiv. 4 Att det finns en valuta som förkortas: zed 5 Mest repetition 6 Hur jag räknar ut gångfarten hos en man om jag bara har en linjal till hands. Skämt åsido, inget helt nytt kanske, då befintliga kunskaper var det viktiga kändes det som. 7 Inte direkt 8 vet ej kunde inte frågorna så nej men det var intressant med båtarna 9 Nej Dock roligt att ha en aplication för Radianer! :) 10 Kul info kring dropp 11 Allmän info om dropphastighet och Våge Viking. 12 Jag tycker att man alltid lär sig något nytt. Jag lärde mig till exempel att tänka på något annorlunda sätt, att minnas de äldre matematikkurserna, och att ta det lugnt. 13 Jag visste inte att man kunde få ut dropphastigheten med hjälp av formeln D = dv 60n Jag visste att förhållandet mellan antal steg/minut och steglängd i meter för män var Räknesätten var inte nytt men faktan kring uppgifterna lärde jag mig. 15 Tror inte det. 16 Nej, men väckte gamla kunskaper nej, använde bara mig av det jag kunde 19 nej men fick repetitation Att det går räkna ut arean (upp. 8) på flera sätt. Tabell 20: Lärde du dig något nytt? 59

60 Elev Fråga nr 3: Har du användning av dina matematikkunskaper i andra ämnen? Svar 1 fysik: formler och trigonometri kemi: Mol och procent, volym 2 Ja i fysik. för att räkna ut i princip allt. Men även i andra ämnen, allt från matlagning för att mäta upp ingredienser till idrott för att t.ex räkna ut hur snabbt man springer 3 Fysik - mycket formelberäkningar och man måste kunna tänka i flera steg framåt. Kemi - Molberäkningar, procentuella beräkningar och koncentrationer. 4 entrepenörsskap: Budget o.s.v fysik: är typ 90% matte kemi: räkna med mol Teknik: när man programerar 5 Ja, alla! Ex. om man ska dela in klassen i ett visst antal grupper. 6 Främst inom kemi & fysik, då man kan enklare formler & vet hur man ska tänka & förenkla m.m. Vet hur man gör med ex. potenser & logaritmer. 7 Ja, jag har användning utav dem i bland annat fysiken men även dator och nätverkstekniken. Fysiken är också mycket uträkningar och liknande. Tekniken har vi räknat lite med tal med basen 2 då datorn räknar med just ettor och nollor. 8 Ja. t.ex. hemkunskap osv 9 Ja, Cad (hitta mitten eller placering), fysik (många satser att räkna på), industri (Fräskordinater) 10 Ja, det kan vara förståelse av tabeller eller något annat, matematik stöter man på överallt. 11 Fysik, formelhantering 12 Matematik kommer självklart i fysiken, då man räknar på olika sätt, och använder olika formler. Men det är fortfarande matematik. Vi använde även lite matematik i kemin, då vi räknade ut ph-värdetpå olika ämnen. 13 Ja i fysiken räknar vi mycket med olika formler och då gäller det att kunna lösa ut t ex x eller så. Kemin räknar vi också med matte. När vi räknar mol och så 14 Ja. Biologi, Kemi, Fysik (För att göra olika beräkningar. T.ex tillväxthastighet, vindstyrka mol m.m). Entrepenörskap (buggetar m.m) 15 Matematik och fysik hör ju ihop rätt mycket med beräkningar och vissa formler så, ja. 16 Ja, bland annat i fysik. Kan även tänka mig samhäll och ekonomi. Matlagning. 17 Ja i fysik & kemi. Båda ämnena innehåller uppgifter som kräver matematiska kunskaper för att lösa, speciellt fysik. 18 Fysik och programering där använder man matten flitigt. 19 teknik, vård, bygg 20 Fysik, när man räknar med formler. 21 Vi använder matematik i fysik gela tiden då vi löser ekvationer. Vi lägger in kända värden i och räknar ut det okända värdet. I kemi använder vi också det vid beräkning av mol, koncentrationer och som i fysik ekvationslösning. Tabell 21: Har du användning av dina matematikkunskaper i andra ämnen? 60

61 Elev Svar Fråga nr 4: Hur tror du att du kommer att använda dina matematikkunskaper i framtiden? 1 Inte bara för att, utan det lär finnas någon (praktisk) anledning. 2 Jag tror att jag kommer att använda mina matematikkunskaper till i princip allt som jag nämnde tidigare t.ex matlagning och bakning men även t.ex. om man ska bygga hus. Jag är inte så säker på att jag kommer att ha lika mycket användning av den matten jag lär mig nu dock med trigonometriska formler och derivata m.m. Det är isåfall om jag utbildar mig till t.ex. ingenjör. 3 Jag tror jag kommer använd mig av vardagsmatematik i framtiden. Räkna om recept och ekonomiska beräkningar t ex. Jag tror inte att jag kommer jobba med derivata och så i framtiden, utan mer procent och geometriska beräkningar om man till exempel bygger något. 4 Troligtvis mest inom ekonomiska sammanhang 5 När jag handlar mat! 6 Endast i vardagen för att göra enklare beräkningar. 7 Det beror lite på vad jag väljer att göra. Kanske kommer ha användning av det i framtida studier eller jobb. 8 inte mycket men jag kommer nog komma ihåg gansk mycket 9 Relativt mycke men inte för vidare studier. 10 Jag kommer bli någon slags ingenjör och där kommer jag använda matematik mycket. 11 Möjligtvis om jag läser vidare 12 I framtiden vet jag inte vart jag kommer att stöta på matematiken. Men vi använder den nästan hela tiden. Men just mina kunskaper från matematik 4 får jag helt enkel vänta och se. Men till exempel procenträkning, addition, subraktion, multiplikation, m.m. använder man ofta i vardagen. Kaske till och med utan att man tänker på det. 13 Om jag pluggar till ingenjör kommer jag ju att använda mig av matten. I många yrken är det bra att kunna matte. Om du blir sjuksköterska måste du kunna räkna ut hur mycket medicin du ska ge en patient. 14 Jag tror inte jag kommer ha användning utav den matten vi lär oss (derivata, radianer) utan mer vardagsmatte som att beräkna storlekar på olika ytor, procent, volym m.m 15 Kommer använda dem för att utvecklas och förstå när jag läser vidare på högskola + hushållsekonomi osv. 16 Kolla reor i butiker och räkna deciliter. Räkna hur mycket jag tjänar/dag så jag blir motiverad av att arbeta. 17 Ja, antagligen då jag vill arbeta med ekonomi. 18 Om jag pluggar vidare kanske jag blir fysiker och då lär jag använda mig av matten dagligen. 19 vet ej 20 Till ekonomi och när man räknar ut längder 21 Det yrke jag vill lära kommer jag att behöva mina matematikkunskaper till (läkare), t.ex. att räkna ut doser m.m. Tabell 22: Hur tror du att du kommer att använda dina matematikkunskaper i framtiden? 61

62 Elev Fråga nr 5: Hur upplevde du svårighetsgraden på uppgifterna? Svar 1 Okej, får man tid att tänka och komma på lösningar så funkar det. 2 Svårighetsgraden var ganska medel skulle jag säga. Man klarade sig med de kunskaper man hade sedan tidigare. Det hade dock varit bra med ett formelblad då alla geometriska formler är lätta att glömma bort. 3 Varierande. Vissa var formelberäkningar där man bara löste ut det man ville veta. Andra var analytiska uppgifter som är svårare att veta vad man är ute efter i svaret. 4 Ganska lätt 4/10. 5 Lagom, vissa var lätta och vissa fick man tänka till lite på. 6 Lagom. 7 Vissa uppgifter var lite svårare än andra men det var inte supersvårt. 8 Jag tyckte dem var ganska svåra men jag vet inte hur man ska börja lösa dem. 9 4 mellan 1 och relativt enkla. 11 Lagom, vissa enkla andra svåra 12 Vissa var inte speciellt svåra, medan andra var något kluriga och svårare. 13 Vissa tycker jag var lite kluriga. T.ex. med diagramet hur man ska förklara det på ett matematiskt sätt. Annars var de ganska lätta. 14 Frågorna var alla lite kluriga men inte allt för svåra. Det gick helt okej. 15 Kändes rätt lätta men man får ju ändå tänka till lite ibland. 16 Blandad. Egentligen främst på en lättare nivå. Matematik A samt högstadienivå. 17 Svårighetsgraden var lagom tyckte jag. 18 lagom alla var lösbara man var tvungen att tänka efter. 19 början var lätt men hade ingen idee på uppgift lagom 21 De flesta var ganska lätta men vissa behövde man tänka till. Tabell 23: Hur upplevde du svårighetsgraden på uppgifterna? 62

63 Elev Svar Fråga nr 6: Anser du att du är duktig i matematik? Motivera/utveckla ditt svar. 1 Inte så duktig, lär mig inte nya ting första gången. 2 Jag skulle säga att jag jag är bra på matte så länge jag förstår vad det är jag gör och hur jag ska lösa en uppgift. När man väl har lärt sig en metod för att lösa en uppgift så sitter det ganska bra. 3 Jag anser att jag är ganska bra på matte. Jag tycker att jag ofta kan se lösningar på ett problem, eller i annat fall på ett logiskt sätt kunna resonera mig fram till ett resultat. Jag tycker också att jag är ganska bra på att använda mig av all den matte vi lärt oss, inte bara det område man läser just då. 4 Beror helt på vad man jämför med men generellt mot andra jag känner så ja. Men jämfört med hur mycket man skulle kunna lära sig så nej. 5 Ja, jag kan basmatematiken. Vilket man klarar sig rätt långt med. Dessutom tycker jag matematik är det roligaste ämnet för man får tänka till och dra logiska resonemang, därför blir jag mer motiverad till att lära mig nya begrepp och termer. 6 Jag tror jag kan en del grundläggande & det jag behöver i framtiden, & det är det viktigaste för mig. Jag anser inte att betyget i matte är det viktigaste, utan snarare frågan till att kunna behålla sina kunskaper. Vad är ett A om jag ändå inte kommer ihåg vad jag gjorde tre veckor senare. Duktig är jag väl inte, men inte heller dålig. 7 Jag anser att jag är ganska duktig på matte då det är något jag tycker är ganska roligt. Det har också märkts i de matematikkurserna som jag har nu och har haft tidigare då jag presterat väldigt bra i dessa. 8 Nej, som frågan ovan så tycker jag jag är dålig på matte men går man till grundskolematte så är jag bra. 9 Jag var en gång :( men jag är sämre på att skriva Jag är över medel när det gäller matematik, men jag är inte jättebra. 11 Nej jag anser att jag är på en ganska låg nivå. Tabell 24a: Anser du att du är duktig i matematik? Motivera/utveckla ditt svar! 63

64 Elev Svar Fråga nr 6: Anser du att du är duktig i matematik? Motivera/utveckla ditt svar. 12 Jag anser att jag alltid kommer att kunna bli bättre på matematiken. 13 Jag tycker att jag är bra på matte. Jag tycker det är väldigt roligt och därför blir det mycket lättare. Jag tycker att jag har rätt lätt att förstå mig på matten. 14 Sådär. Jag har lätt för att lära mig hur jag ska räkna men har svårt att förstå varför och se samband. 15 Ja, hyffsat. Har ju gått bra med att förstå det mesta hittills så. 16 Nja, matte A är inga större problem. Jag anser mig inte vara bra på något jag inte kan förstå ex matte 3c & 4c. Jag kan inte förklara ämnet för någon annan och anser mig därför inte vara bra på ämnet (i högre svårhetsgrad). Relativt bra på matte. 17 Jag tycker jag var bättre på matte förut & att det är mer komplicerat nu men gör mitt bästa för att förstå & lyckas bra. 18 Jag skulle säga att jag är duktig på matte för att jag har ganska lätt för att tänka logiskt och det är en ganska viktig sak när man räknar matte. dock är det skillnad på de områden jag är intresserad av och de jag inte är så intresserad av. t.ex algebra gillar jag så då blir det lättare medans sannolikhet är dö tråkigt så det sätter sig inte riktigt. 19 Nej! trög tänkt och sakna tålamod att rätta till fel. 20 Sådär. 21 Jag tycker att jag är duktig i matematik. Även om man inte löser alla frågor på proven, har svårt för ämnet ibland, tycker jag att jag kan tillämpa de rätta kunskaperna i matematikfrågor. Jag tycker att en person är duktig i matte när den kan använda sin nuvarande kunskap i helt andra frågor och i nya fält. Till prov kan man plugga och lära sig sättet man räknar ut något på men att tillämpa det i nya slags frågor som man inte löst förut, kan man förstå att personen har förstått vad ämnet handlar om. Jag tycker att jag har den förmågan. Även om jag inte kan lösa hela frågan, kommer jag alltid en bit på vägen. Tabell 24b: Anser du att du är duktig i matematik? Motivera/utveckla ditt svar! 64

65 Fakulteten för teknik Kalmar Växjö Tel Lnu.se/fakulteten-for-teknik Författare: Ingemar Hjelmfors Handledare: Håkan Sollervall Examinator: Torsten Lindström Datum: Kurskod: 4MAÄ2E Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad Institutionen för Matematik