Föreläsning 5. Att summera amplituder Spinn. Fk3002 Kvantfysikes grunder 1

Transkript

1 Föreläsning 5 Att summera amplituder Spinn Fk3002 Kvantfysikes grunder

2 Att addera amplituder Betrakta en α-partikel och en syrekärna som växelverkar i masscentrumsystemet. dvs den totala rörelsemängden=0 pα + p syre = 0 (5.) Detektorna D och D kan mäta 2 och identifiera α-partikeln och syrekärnan. Detekorna kan skilja mellan partiklarna. f ( θ ) =amplituden att α-partikeln sprids med vinkeln θ Om en partikel obs erveras i D betyder det (a) att α-partikelns spreds med ( θ ) eller (a) ( π θ ). Båda sluttillstånd kan skiljas från varandr a. ( θ ) ( π θ ) 2 2 sannolikheten att få en signal i D = f + f (5.3) Fk3002 Kvantfysikes grunder 2

3 Ekv 5.3 funkar för α-partiklar och syrekärnor. Dock funkar det inte om man betraktar α-partiklar som växelverkar med varandra! Det är omöjligt att skilja mellan (a) α-partikeln från vänster sprids med θ och α-partikeln från höger sprids med π -θ (b) α-partikeln från höger sprids med θ och α-partikeln från vänster sprids med π -θ ( θ ) ( π θ ) 2 Sannolikheten att få en signal i D P = f + f Interferens 2 2 (5.4) π π π π Betrakta θ= P = f + f = 4 f (5.5) (observeras i data) I jämförelse förutsäger ekv π π π P = f + f = 2 f (5.6) Fk3002 Kvantfysikes grunder 3

4 Att addera amplituder - övning Ett typiskt problem: Vad är sannolikheten att en viss process uppstår? En enkel 3-stegsstrategi Rita ett diagram av de olika möjligheterna tänk på de olika start- och sluttillstånden Studera sluttillstånden och använd förnuft för att bestämma vilka möjligheter motsvarar en enkel amplitud och vilka möjligheter motsvarar en annan amplitud. Summera de olika sannolikheterna Fk3002 Kvantfysikes grunder 4

5 3 P3 Problem Anta att amplituden att en partikel kommer från en källa till en detektor A är A s. Amplituden att partikeln kommer från s till en detektor B är B s. Anta att det finns an annan källa s 2 - de relevanta amplituderna för partiklar från denna källa är A s och B s. 2 2 Vad är sannolikheten att en partikel observeras i A och en partikel observeras i B om... (a) partiklarna från s och s är identiska. (b) partiklarna är båda α-partiklar. s Anta att detektorna kan skilja mellan de olika partiklarna. Fk3002 Kvantfysikes grunder 5

6 (a) icke-identiska partiklar () Rita diagram som visar de olika möjligheterna - tänk på de olika start- och sluttillstånden. Fk3002 Kvantfysikes grunder 6

7 (2) Betrakta de sluttillstånden: Detektorna A och B kan identifiera partiklarna som slår dem. Alla möjligheter kan skiljas från varandra. Sannolikheten: Fk3002 Kvantfysikes grunder P = A s B s + A s B s + A s B s + A s B s (5.7)

8 (b) Identiska partiklar () Rita (samma) diagram (2) Betrakta de sluttillstånden: Detta är lite knepigt. Det är omöjligt att skilja mellan processerna i de övre diagrammen. Identiska partiklar träffar detektorna och varje källa har förlorat en partikel. Amplituden som motsvarar dessa diagram : A s B s2 + A s2 B s (5.8) Man kan skilja mellan de nedre processerna - identiska partiklar slår detektorna men det finns en skillnad i antalet partiklar som har emitterats från källorn a. Sannolikheten: Fk3002 Kvantfysikes grunder P = A s B s + A s B s + A s B s + A s B s (5.9) 2 2 2

9 3 P4 I ett experiment skjuts partikar mot en vägg med tre spalter. Använd Diracnotation och bestäm ett uttryck för sannolikheten att observera en partikel vid en viss punkt på en skarm bakom väggen. Anta att det finns en detektor som kan med 00% effektivitet observera om partiklen har passerat genom den första spalten. Lösning () Rit diagram som visar de olika möjligheterna. Signal i detektorn Problem X Ingen signal i detektorn Ingen signal i detektorn X Fk3002 Kvantfysikes grunder 9

10 (2) Använd förnuft för att bestämma de möjliga sluttillstånden som kan skiljas från varandra. Partikeln befinner sig vid en viss punkt på skärmen och det finns en signal i detektorn: x s ( 5. 0) Partikeln befinner sig vid en viss punkt på skärmen och det inte finns någon signal i detektorn: x 2 2 s + x 3 3 s (5.) Fk3002 Kvantfysikes 2 grunder 2 0 Sannolikheten P = x s + x 2 2 s + x 3 3 s (5.2)

11 Tentan Amplitudproblem kan se knepiga ut För varje amplitudproblem får ni information om vilken notation bör användas T.ex. Använd Diracnotation (<A s>) och bestäm ett uttryck Dessutom får ni information om detektorna T.ex. Detektorn kan skilja mellan partiklar A och B. Fk3002 Kvantfysikes grunder

12 En stavmagnet Hur påverkas en stavmagnet av ett externt magnetiskt fält? S I ett uniformt magnetiskt fält (B) skulle den övre delen påverkas av en kraft uppåt och den nedre delen av en kraft nedåt Den totala kraften på magneten F = F + F = 0; F = F (5.3) tot N S N S F N N S F S B N Fk3002 Kvantfysikes grunder 2

13 I ett icke-uniformt magnetiskt fält påverkas magneten av en kraft. F = F + F 0 ; F > F (5.4) tot N S N S Stavmagneten skulle röra sig mot "sydpolen" av stavmagneten. Obs! Magneten kan också rotatera men detta är inte relevant för oss. N S N F N N S F S B (ickeuniform) Fk3002 Kvantfysikes grunder 3

14 Att skjuta en liten stavmagnet genom ett magnetiskt fält S Det magnetiska fältet blir starkare N S Det magnetiska fältet blir starkare N Skjut en stavmagnet in i ett område med ett icke-uniformt magnetiskt fält. Magneten får inte rotera en restriktion hos experimentet. Magneten ska gå upp eller ner! Fk3002 Kvantfysikes grunder 4

15 Att skjuta en elektronstråle genom ett magnetiskt fält S Elektron Det magnetiska fältet blir starkare N S Elektron Det magnetiska fältet blir starkare 50% of elektroner gå upp och 50% gå ner. Elektroner beter sig som små stavmagneter! N Fk3002 Kvantfysikes grunder 5 Detta experiment kallas för Stern-Gerlachexperimentet (föreläsning 7)

16 Spinn B-fält från en cirkulär strömbana - laddade partikler (elektroner) rör sig genom en tråd. B-fält från en stavmagnet En stavmagnet består av små circuklära strömbanar t.ex. elektroner som cirkulerar runt kärnor. ª e - - spinn upp ª e - - spinn ner En elektron kan betraktas som en spinnande laddade boll - en liten stavmagnet. Obs!! Naiv bild!! Fk3002 Kvantfysikes grunder 6

17 Elektronspinn Elektronen beter som som om den har rörelsemängdsmoment. Rörelsemängdsmomentet kan (i en naiv bild) betraktas som om elektronen spinner. Liksom laddning och massa är spinn en egenskap som kännetecknar en partikel. Elektronen har spin- och kan vara i två tillstånd upp eller ner. 2 En "upp"-elektron och en "ner"-elektron kan skiljas genom att titta på hur de rör sig genom ett magnetiskt fält. En "upp"-elektron och en "ner"-elektron är inte identiska! e - - spinn upp e - - spinn ner Fk3002 Kvantfysikes grunder 7

18 Växelverkan mellan två elektroner med olika spinn En elektron med "spinn upp" växelverkar med en elektron med "spinn ner" i masscentrumsystemet. f ( θ ) =Amplituden att elektronen med "spinn upp" sprids med en vinkel θ Partiklerna är inte identiska. Vi vill bestämma ett uttryck för sannolikheten att en elektron träffar D. Två möjligheter: (a) elektronen med "spinn-upp" sprids med θ. (b) elektronen med "spinn-upp" sprids med π -θ. Vi kan skilja mellan ( a) och (b). Fk3002 Kvantfysikes grunder 8

19 Sannol ikheten att elektronen med "spinn upp" träffar D med "spinn ner" träffar P = f ( θ ) 2 (5.5) D 2 : Sannolikheten att elektronen med "spinn ner" träffar D med "spinn upp" träffar D P ( π θ ) = f 2 (5.6) ( θ ) ( π θ ) : Fk3002 Kvantfysikes grunder 9 och elektronen och elektronen Sannolikheten att elektronen med "spinn upp" eller elektronen med "spinn ner" träffar P = f + f D (5.7)

20 Växelverkan mellan två elektroner med samma spinn Upprepa experimentet - använd elektroner med samma spinntillstånd ("spinn-upp") Nu är de identiska partiklar - det är omöjligt att skilja mellan dem interferens Sannolikheten att en elektron P θ π θ = f ( ) f ( ) 2 (5.8) slår D Obs! - är specifika för partiklar som elektroner (nästa föreläsningen) Fk3002 Kvantfysikes grunder 20

21 Betrakta ett experiment med opolariserade elektroner dvs 50% är spinn-upp och 50% är spinn-ner Sannolikheterna för olika processer: Andel av antalet processer Elektron spinn Elektron2 - spinn Spinn vid D Spinn vid D Sannolikheten /4 upp upp upp upp f(θ)-f(π θ) 2 /4 ner ner ner ner f(θ)-f(π θ) 2 /4 upp ner upp ner f(θ)) 2 ner upp f(π θ) 2 /4 ner upp upp ner f(π θ) 2 ner upp f(θ)) 2 Den totala sannolikheten P= f ( θ ) f ( π θ ) + f ( θ ) + f ( π θ ) (5.9) Fk3002 Kvantfysikes grunder 2

22 Fermioner och bosoner Fermioner 3 5 En fermion är en partikel med halvtaligt spinn:,, T.ex. en elektron är en fermion (spinn= ) 2 Protoner och neutroner är också fermioner med spinn=. 2 Bosoner En boson är en partikel med heltaligt spinn: 0,,2,3... En foton är en boson (spinn=) En α-partikel är en boson (spinn=0) En mer detaljerad beskrivning i föreläsning 7. Fk3002 Kvantfysikes grunder 22

23 Sammanfattning Beräkningen av sannolikheter för olika processer Spinn Fk3002 Kvantfysikes grunder 23