1 Obsah 1 Grafy 1 2 Bipartitn grafy 3 3 Souvislost graf 5 4 Toky v s t ch 8 5 Matroidy 11 6 Ramseyova v ta 13 7 Rovinn grafy 15 8 Dopravn probl my 17

Transkript

1 1 Obsah 1 Grafy 1 Bipartitn grafy 3 3 Souvislost graf 5 4 Toky v s t ch 8 5 Matroiy 11 6 Ramseyova v ta 13 7 Rovinn grafy 15 8 Dopravn probl my 17 Seznam obr zk 1 P kla grafu a opov aj c ho blokov ho grafu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 P klay rovinn ch anerovinn ch graf : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 15 3 P klay konvexn ch nakreslen rovinn ch graf : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 4 Hamiltonovsk kru nice (sch mak kazu) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 18 1 Grafy Denice 1.1 Orientovan graf je vojice G =(E V ), ke prvky mno iny V naz v me vrcholy, a prvky mno iny E hrany je p itom E V. mluva. Bueme uva ovat pouze kone n grafy, tey s kone nou mno inou vrchol V. Smy kou pak naz v me hranu veouc z vrcholu o sebe sama, tey (u u). Denice 1. Orientovan graf G =(V E) naz v me orientovan m grafem bez smy ek, je-li relace E ireexivn. Orientovan graf G =(V E) naz v me symetrick m, je-li relace E symetrick. Hranu symetrick ho orientovan ho grafu si p itom m eme p estavit jako mno inu nejv e vouprvkov ch pomno in V. Denice 1.3 Graf (neorientovan ) je vojice G =(V E),keE je mno ina vouprvkov ch pomno in V (analogie symetrick ho orientovan ho grafu bez smy ek). Denice 1.4 Stupe vrcholu je po et hran s vrcholem incientn ch, tey s(v) =jfe Ejv egj: V ta 1.5 Sou et stup vrchol libovoln ho grafu je roven vojn sobku po tu jeho hran. Form ln zaps no: 8G =(V E): X vv s(v) =:jej D kaz: z ejm (na lev stran se ka hrana po t vakr t).

2 1 GRAFY Denice 1.6 Graf G 0 =(V 0 E 0 ) se naz v pografem grafu G =(V E), je-li V 0 V az rove E 0 E. pln m pografem pak naz v me takov pograf, pro kter nav c plat E 0 = V 0 \ E, tey jsou v n m obsa eny v echny hrany p von ho grafu, spojuj c vrcholy z V 0. Denice 1.7 Homomorsmem graf naz v me zobrazen h : G! G 0 (tey h : V! V 0 a h : E! E 0 )takov, e h(e) E 0. Pozn mka. Pografy opov aj prost m homomorsm m. Denice 1.8 Sle je posloupnost navazuj c ch uzl a hran, tey v 1 e 1 ::: v n e n v n+1 ke e i = fv i v i+1 g81 i n n 0: slo n pak naz v me lkou cesty. Cesta je sle, v n m se neopakuj uzly ani hrany, tey e i 6= e j, v i 6= v j, 81 i<j n. Je tey ovoleno, aby spl valy prvn a poslen vrchol, ale ostatn ne. Takovou cestu, v n prvn a poslen vrchol spl vaj (v 1 = v n+1 ), a m v ce ne va vrcholy (n >), naz v me kru nic. Tah je sle, ve kter m se mohou opakovat vrcholy, ale ne hrany. V ta 1.9 Jestli e mezi v ma vrcholy existuje sle, existuje mezi nimi i cesta. D kaz: z ejm sta vyhoit smy ky(kru nice, kter jsou sou st sleu). Denice 1.10 Souvisl graf je graf, v n m existuje cesta mezi ka mi v ma vrcholy. Vz lenost vrchol v souvisl m grafu je nejmen lka cesty, kter je spojuje bueme ji zna it %(u v). Takto enovan vz lenost je z ejm metrikou. Komponenta grafu je maxim ln souvisl pograf grafu. Nesouvisl graf se tey roz lenit na n kolik komponent, znich ka je ji souvisl. Strom je souvisl graf bez kru nic. V ta 1.11 Libovoln strom, kter m v ce ne jeen vrchol, m alespo va vrcholy stupn 1. D kaz: Uva me ve stromu nejel cestu v 1 e 1 :::v n e n v n+1. Z ejm mus b t s(v 1 )=s(v n+1 )=1, jinak bychom na li el cestu nebo kru nici. V ta 1.1 Souvisl graf je strom,, jv j = jej +1. D kaz: ) inukc vzhleem k po tu vrchol. 1. n =1 z ejm.. n>1: pak existuje vrchol stupn 1 ky ho z grafu ostran me, z ejm neporu me souvislost, a zbytek pln pograf je op t strom. Proto e jv 0 j = n ; 1, m eme pou t inuk n ho p epoklau a ost v me ( rovn inukc : 1. n =1 z ejm. jv j = n +1: jv j = jv 0 j +1=(jE 0 j +1)+1=jEj +1:

3 BIPARTITN GRAFY 3 (a) bu G obsahuje vrchol stupn 1. Pak jej m eme vypustit a z skat tak graf G 0 na vrcholech V 0.Ten spl uje rovnost jv 0 j = je 0 j +1, je tey strom, a proto i G ke strom. (b) nebo G neobsahuje vrchol stupn 1. Tento p pa ale nem e nastat, proto e X st v =:jej:jv j =:jej +1 a to je spor. Denice 1.13 Les je graf bez kru nic. 1 D sleek 1.14 Bu G les. Pak po et komponent G je roven jv j;jej. D kaz: Ka komponenta je stromem, p i em jv i j;je i j =1. Denice 1.15 Kostra grafu G =(V E) je strom G 0 =(V E 0 ),kee 0 E. V ta 1.16 Libovoln souvisl graf G m kostru. D kaz: Sestav me posloupnost pograf G 0 ::: G n s n sleuj c mi vlastnostmi: a) E 0 =, V 0 = b) E i+1 vznikne p i n m hrany e i+1 k E i tak, e nevznikne kru nice c) zastav me, jakmile V = V n. Uk eme, e G n je kostra, a to sporem: nech v V ; V n, cesta spojuje v a u V n. Lze tey p iat hranu (u v), ata nevytvo kru nici, ani neporu souvislost. To jespor. Tento algoritmus je typem tzv. hlaov ho algoritmu funguje na z kla principu se er, co m e. Jak uk eme v al m, ne v y vee tento typ algoritm kc li. Bipartitn grafy Denice.1 P rov n grafu je takov pomno ina P E, e n v hranyvp neinciuj. Maxim ln mo n po et hran p rov n se pak naz v p rovac slo grafu. P rov n grafu s maxim ln m mo n m po tem hran nelze v y nal zt hlaov m algoritmem. Denice. Bipartitn graf je takov graf, jeho mno inu vrchol lze roz lit na v isjunktn pomno iny V 1 a V tak, e E \ V1 = a E \ V =, tey hrany bipartitn ho grafu veou pouze z jen z isjunktn ch pomno in o ruh zna me G =(V 1 [ V E). V ta.3 Hallova v ta Bipartitn graf G =(V [ W E) m p rov n velikosti jwj, D kaz: 8X W : ) z ejm 1 D er kova enicenice: Souvisl les je strom. jxjjfv V : 9x X : fv xgegj

4 BIPARTITN GRAFY 4 ( Bez jmy na obecnosti p epokl ejme, e G je minim ln graf s touto vlastnost, tey e G ;feg ji nespl uje. Uk eme, e tento minim ln graf je pr v p rov n (kyby tam je t n co bylo, tak to m eme vyhoit, a nen to minim ln ). V opa n m p pa 9x V [ W, s(x). Mus b t x V (jinak by toti s(x) 1 8x V ). Uva me nyn V 0 = fx V : s(x) =1g. JejWjjV 0 j)g m p rov n velikosti jwj a G nen minim ln. (Je tay je t jeen kaz.) V ta.4 Frobenius, Hall, K nig P rovac slo (G) bipartitn ho grafu G (tey maxim ln po et isjunktn ch hran) je rovno se n mu slu grafu G, tey minim ln mu po tu vrchol takov ch, e libovoln hrana inciuje s n kter m z nich. Otu tak plyne Hallova v ta. D kaz: Dok eme pouze to, e otu plyne Hallova v ta (v ta.3). Nech G =(V [ W E) spl uje pom nku v ty.3.se n slo jwj je po et vrchol prav strany: v opa n m p pa existuje mno ina X, kter je se nou, a p itom jxj < jwj. Uva me V = X 1 [X,keX 1 V a X W, a le G(W ; X ) X 1. Plat tey jwj;jx j = jw ; X jjg(w ; X )jjx 1 j, tey jxj;jx j < jwj;jx j a to je spor. Pozn mka.5 P rovac slo je tey obrou charakteristikou bipartitn ho grafu a sice v tom smyslu, e se snano prokazuje pozitivn m zp sobem: chceme-li uk zat (G) n pak sta nal zt ono p rov n naopak (G) <n sta nal zt se nu s m n ne n uzly (t m tey ok eme, e neexistuje p rov n velikosti n). Denice.6 Hypergraf H(V E ") je trojice, ke V je obvykl mno ina vrchol, E je mno ina hran, " je incien n funkce " : E! V. Hrany jsou tey n jak objekty, o kter ch v me pouze to, e spojuj hrany kter spojuj, to popisuje incien n funkce. P kla.1 Ka oby ejn graf je hypergraf. D le nap. je-li incien n funkce prost, hovo me o prost m hypergrafu. Poku je " : E! P (V ), ke P (V ) je mno ina vouprvkov ch pomno in, nen obvykl m grafem, poku nen prost : pak toti vojici vrchol m e spojovat v ce ne jena hrana (tey p ipou t me tzv. n sobn hrany) hovo me pak o tzv. multigrafu. Denice.7 Transverz l hypergrafu je prost zobrazen : E! V takov, e 8e E : o syst mu r zn ch reprezentant. (e) "(e). M eme tey hovo it P kla. Nast v probl m, ky m hypergraf tranverz l. Toti nap.: 1. m me-li V = f1 ::: 6g ahranyjsoue 1 =1 3 e =1 4 e 3 =1 5 e 4 = e 5 = , pak transverz l je = (p esn ji op t (e 1 )=1at.). je-li V = f1 3g a e 1 = e = e 3 =1, pak transverz l neexistuje. Korektn z pis by byl "(e1) =f1 3g.

5 3 SOUVISLOST GRAF 5 V ta.8 Hypergraf m transverz l, pr v ky pro ka X E plat jxj S "(x) xx D kaz: P eveeme hypergraf na bipartitn graf G =(V [ E R), ke hrany bipartitn ho grafu jsou fw egr, w "(e). Z ejm hypergraf m transverz l, pr v ky G m p rov n velikosti jej. V ta.9 Bu A matice. Maxim ln po et nez visl ch nenulov ch prvk matice A (tey takov ch, kter nele ve stejn m ku ani sloupci) je roven minim ln mu po tu a, kter obsahuj v echny nenulov prvky matice A. D kaz: M jme matici A typu m=n. Uv me bipartitn graf, ke V = f1 ::: mg, W = f1 ::: ng, G =(V [ W E), ke p itom fi jg je hrana, pr v ky a ij 6=0. Vi me, e ost v me Hallovu v tu. Denice.10 Matic incience bipartitn ho grafu G =(V [ W E), kejv j = m jwj = n, bueme rozum t matici A typu m=n takovou, e a ij =1pr v ky fv i w j ge. Pozn mka.11 Po et v ech p rov n velikosti n je pak roven (pro tvercovou matici) X a 1 (1) ::: a n (n) ke s t me p es v echny permutace mno iny inex f1 :::ng. 3 Souvislost graf Denice 3.1 slo souvislosti grafu je nejmen po et vrchol, jejich ostran n m (v etn hran s nimi incientn ch) vznikne nesouvisl nebo trivi ln (jv j1) graf. Denice 3. Z pisem K n bueme rozum t pln graf na n vrcholech. Denice 3.3 Graf je k-souvisl, pr v ky pro jeho slo souvislosti plat (G) k. V ta 3.4 Mengerova Graf je k-souvisl, pr v ky libovoln va r zn jeho vrcholy lze spojit alespo k isjunktn mi cestami (p i em spojen vrcholy se pro stanoven isjunknosti nepo taj ). D kaz: ( z ejm poku existuje k cest spojuj c ch va vrcholy, mus se v echny p eru it, aby se naru ila souvislost.. ) je nechutn (neuveen). D sleek 3.5 Graf G je -souvisl, pr v ky ka va r zn vrcholy le na kru nici. Denice 3.6 Mno ina vrchol S roz luje vrcholy u v, poku po oebr n mno iny S se ocitnou u v v r zn ch komponent ch grafu G ; S.

6 3 SOUVISLOST GRAF 6 V ta 3.7 Siln j Mengerova (lok ln varianta) Bu te u v va r zn neincientn vrcholy.pak nejmen po et vrchol roz luj c ch u v je roven nejv t mu po tu isjunktn ch cest spojuj c ch u v. Pozn mka 3.8 Uk eme implikaci V ta 3.7 ) V ta 3.4. M jme k-souvisl graf a v n m r zn vrcholy u v. Poku tyto vrcholy neinciuj, je tvrzen z ejm (k p etnut k isjunktn ch cest je t eba ostranit alespo k vrchol ). Poku vrcholy inciuj, ostran me hranu e = uv ostaneme tak (k ; 1)-souvisl graf. Pak v G ;feg existuje k ; 1 isjunktn ch cest. Hranu e jsme p itom mohli zru it ostran n m jenoho vrcholu pole v ty 3.7 tey existuje k isjunktn ch cest(v etn hrany e). Pozn mka 3.9 D le uk eme implikaci V ta 3.7 ) V ta.4. M jme G =(V [W E). Sestroj me graf G =(V E),keV = V [W [fv wg (SCH MA) a E = E[ffv xg x V g[ ffw yg y Wg. Nyn pou ijeme v tu 3.7 pro vrcholy v w: maxim ln po et isjuktn ch cest je roven p rov n (aby cesty nem ly pr nik ve V a W ). Denice 3.10 Hranov slo souvislosti je nejmen po et hran, jejich ostran n m 3 vznikne nesouvisl nebo trivi ln graf zna me (G). Graf naz v me hranov k-souvisl m, poku plat (G) k. Lemma 3.11 Pro graf G, slo souvislosti (G), hranov souvislosti (G) a stupe libovoln ho vrcholu plat (G) (G) s(v) V ta 3.1 ForFulkersonova v lok ln verzi Pro ka va r zn vrcholy u v G je nejmen po et hran roz luj c ch u v (ozna me m) roven nejv t mu po tu hranov isjunktn ch cest spojuj c ch u v (ozna me M). D kaz: Nerovnost M m je hne vi t, opa nou okazovat nebueme. V ta 3.13 ForFulkersonova Graf je hranov k-souvisl, pr v ky ka va vrcholy lze spojit k hranov isjunktn mi cestami. Denice 3.14 Artikulac naz v me vrchol, jeho ostran n m ostaneme nesouvisl graf. Lemma 3.15 Graf je -souvisl, pr v ky m alespo t i vrcholy a nem artikulaci. Denice 3.16 Blok je graf, kter je bu izolovanou hranou, nebo je -souvisl. Blok grafu je maxim ln pln pograf grafu, kter je blokem. Blokov graf B(G) grafu G: vrcholy jsou bloky a artikulace p von ho grafu, hrany jsou vojice fa Bg, ke a je artikulace B je blok, a le a B. P kla 3.1 P kla grafu (ze souvisl ho) a jeho opov aj c ho blokov ho grafu vi me na obr zku 1. Ze jsou p itom velk mi p smeny ozna eny bloky grafu ( troj heln ky T 1 T T 3 T 4, izolovan hrana H, a tverec X), a mal mi p smeny a 1 a a 3 a 4 jenotliv artikulace. 3 Nyn ostra ujeme pouze hrany vrcholy z st vaj.

7 3 SOUVISLOST GRAF 7 JJ J J X T 1 T 1 T D D J D J D a T 4 a 1 H a 3 A ; ; AA T 3 a 1 H a X a 4 T 4 ; T a T 3 3 Obr zek 1: P kla grafu a opov aj c ho blokov ho grafu V ta 3.17 Blokov graf souvisl ho grafu je strom. D kaz: Uva me va r zn bloky B 1 B.Pak z ejm (ozna me B i =(V i E i )) jv 1 \ V j1. Je-li p itom tento pr nik nepr zn, jen se z ejm o artikulaci. Poku je tey pr nik nepr zn, obsahuje V 1 [ V artikuaci a (nebo bloky jsou maxim ln ). Nech nyn nap. a V 1. Ostran me-li a z V 1, pak V 1 ;fag le v jen komponent (V 1 [V );fag (tey samotn V 1 se nerozpa, ale V 1 [ V ano). Otu ji V 1 \ V = fag. Pro ka ou artikulaci a z ejm existuj bloky B 1 B grafu G takov, e V 1 \ V = fag. V blokov m grafu nem e b t kru nice, proto e pr niky blok le c ch na t to kru nici by nebyly artikulace (nerozpalo by se to). Ozna en. Operace na grafech: oebr n hrany p i n hrany G ; e =(V E ;feg) G + e =(V E [feg) (p epok. e 6 E) kontrakce hrany G e = (V ;fu vg[fwg ffx yg : fx yg\fu vg = g [ ffw xg : fv xge _fu xgeg), len hrany tey zru se hrana e = fu vg a vrcholy se st hnou v jeen G : e =(V [fwg E;feg[ffu wg fv wgg), hrana se roz l nov m vrcholem ( troj heln ek) postupn m prov n m ope- V ta 3.18 Synt za -souvisl ch graf Graf G je -souvisl, pr v ky jej lze vytvo it z grafu K 3 rac +, :. D kaz: (: z ejm.

8 4 TOKY V S T CH 8 ): Ka -souvisl graf vznikne (je mo no z skat) n sleuj c m zp sobem: Vyjeme z grafu G 0, co bue kru nice (ta se z K 3 z skat len m). P i me cestu, kter spojuje va vrcholy t to kru nice, ale jinak je s n isjunktn. Dostaneme cesty C 1 C ::: ( p i v n u ). Z ejm p itom libovoln -souvisl graf obsahuje n jakou kru nici G 0. S Nech nyn m me G 0 C 1 C ::: C n a vytvo me graf H = G 0 [ n C i,anech je tento graf r zn o G. Proto e G je souvisl, existuje hrana fu vg E takov, e u H a p itom e 6 H. D le v me, e G ;fug je souvisl (proto e G je -souvisl ) otu ji z ejmou vahou (iskus, za fu vg vee ven) ostaneme tvrzen ). 4 Toky v s t ch Denice 4.1 S je (kone n ) orientovan graf G =(V E) spolu s ohonocen m hran c : E!R +, kter se naz v kapacita hran. V s ti jsou vyzna eny uzly s t, kter naz v me zroj a stok. Denice 4. Tok velikosti C z s o t je re ln funkce f : E!R +, kter spl uje: f (y z) c(y z) pro ka ou hranu fy zge, P ee; (x) f (e) = ke p itom P ee + (x) E ; (x) =ffy xgeg E + (X) =ffx zgeg avelikost toku je pak enov na jako f (e) pro ka vrchol x V r zn o s t C = X ee; (t) f (e) ; X ee + (t) ili v echno, co p ite e o stoku, m nus to, co je t ote e zp t o s t. loha. Z klan lohou, kterou bueme e it, je stanoven maxim ln ho toku z s o t v an s ti, tey toku maxim ln velikosti C. Denice 4.3 ez mezi vrcholy s t je takov pomno ina hran E 0 E, e v grafu G 0 =(V E ; E 0 ) neexistuje orientovan cesta z s o t. Kapacitou ezu p itom rozum me slo P ee0 c(e). V ta 4.4 For-Fulkersonova v ta o maxim ln m toku Bu G si c kapacitou c. Pak maxim ln velikost toku z s o t je rovna minim ln kapacit ezu mezi s a t. D kaz: D ky Pasekovi je siln za morchan. Nech f je maxim ln tok, M je jeho velikost. Vezm me A B P V a ozna me f (A B) = f (a b), ke s t me p es a A b B (a b) E. Z ejm je f (V x) ; f (x V )=0pro s 6= x 6= t a lem = f (V t) ; f (t V ). Zvolme nyn S T V tak, e s S t T S \ T = S[ T = V.Nyn M = X xt i=1 f (e) f (V x) ; f (x V )=f (V T) ; f (T V )=f (S [ T T) ; f (T S [ T ) = f (S T )+f (T T) ; f (T S) ; f (T T) = f (S T ) ; f (T S) f (S T ) c(s T )

9 4 TOKY V S T CH 9 D kaz: Prvn st le Paseky. Nech E 0 je minim ln ez mezi s t s kapacitou m. Denujme si mno inu S jako mno inu v ech vrchol x V takov ch, e v grafu (V E ; E 0 ) existuje orientovan cesta z s o x. (Z ejm s S t 6 S.) Polo me le T = V ; S je tey t T. Z ejm E 0 = f(x y) E : x S y Tg: poku toti x S y T, existuje orientovan cesta z s o x a neexistuje cesta z s o y, tey(x y) 6 E ; E 0, a tey (x y) E 0. Naopak poku (x y) E 0, pak existuje orientovan cesta v grafu (V E ; E 0 ) z s o x (jinak bychom mohli hranu (x y) z E 0 ostranit). Z rove neexistuje takov cesta z s o y. Celkem y T. Je tey M c(s T )=m. Pozn mka. Pro al postup kazu bueme pot ebovat n kter pomocn pojmy a tvrzen, kter si nyn uveeme. Denice 4.5 Pro orientovan graf G =(V E) zaveeme graf ~ G =(V ~ E) tak, e ~ E = ffx yg :(x y) Eg, tey graf, v n m hrany pozb vaj orientace. Cesty v grafu ~ G naz v me polocesty v G. Je-li p itom C = fs = x 0 x 1 ::: x n = tg polocesta z s o t, pak ozna me C + = f(x i x i+1 ) Eg (tey hrany, kter v polocest proch z me po sm ru), C ; = f(x i+1 x i ) Eg (tey hrany, kter proch z me protism rn ). Denice 4.6 Je-li f tok, pak sla c(x i x i+1 ) ; f (x i x i+1 ) pro (x i x i+1 ) C +,resp.f (x i x i+1 ) pro (x i x i+1 ) C ;, naz v me rezervy na polocest. Znamen to, e na hran, kterou v polocest proch z me po sm ru, pova ujeme za rezervu zbytek o pln kapacity (tey reziu ln kapacitu, kterou m eme hranu nasytit, to, co m eme p iat), v protism ru pak to, co na hran te e (tey to, co m eme oebrat oklonit). Denice 4.7 Minim ln z rezerv na C se naz v rezerva polocesty C. Je-li rezerva polocesty C klan, naz v serezervn polocestou. V ta 4.8 Maxim ln tok nep ipou t rezervn polocestu. D kaz: Sporem. P epokl ejme, e jsme nalezli maxim ln tok f, a sou asn e existuje polocesta C s rezervou >0. Denujme nov tok g takto: g(x i x i+1 )=f (x i x i+1 )+ pro (x i x i+1 ) C + g(x i+1 x i )=f(x i x i+1 ) ; pro (x i+1 x i ) C ; g(e) =f (e) pro e 6 C Z ejm g je tok, p itom jeho kapacita m + je v t, a to je spor s maximalitou toku f. Lemma 4.9 Nyn si naenujeme mno inu S jako mno inu v ech vrchol x V, o nich vee rezervn polocesta ze s, s p ian m vrcholem s let = V ; S. Z ejm je s S t T. Plat : pro ka ou hranu (x y) E takovou, e x S y T,jef (x y) =c(x y). D kaz: je z ejm v opa n m p pa by existovala rezervn polocesta z s o y, co je v rozporu se zaveen m mno in S T. Analogicky je pak f (y x) =0pro x S y T. D kaz: P ikro me P nyn ke zbytku kazu v ty 4.4. M me M = c(x y) =c(e 0 ), ke p itom E 0 = f(x y) E x S y Tg je ez mezi s a t. xs yt Toti, je-li P orientovan cesta z s o t, sta uva ovat nejv t i takov, e z i S, kep = fs = z 0 z 1 ::: z n = tg. Z ejm je i<n, proto e t 6 S. Speci ln pak z i+1 T.Tey celkem M c(x y) m. P xs yt

10 4 TOKY V S T CH 10 Pozn mka. Toto je z ejm konec Pasekov ch zmatk. Pozn mka. ez lze rovn enovat jako mno inu hran f(x y) E x S y Tg, ke pro mno iny S T plat s S V, t T V, a p itom S \ T =, S [ T = V. V ta 4.10 Pro celo selnou kapacitu (f : E!N) je maxim ln tok rovn celo seln. D kaz: Maxim ln tok nalezneme tak, e za neme z n jak ho toku (nap. z nulov ho toku, kter existuje z ejm v ka s ti), nalezneme pro n j rezervn polocestu, tok zv t me o jej rezervu, a postup opakujeme. Je-li v choz tok celo seln a kapacita celo seln, neust le ost v me celo seln tok. Po kone n m po tu krok ojeme k maxim ln mu toku, kter je tak celo seln. Pozn mka 4.11 Snano se uk e, e pro racion ln kapacity je poobn i maxim ln tok racion ln (sta kapacity hran vyn sobit jejich nejmen m spole n m n sobkem a p ev st tak na celo seln ). For-Fulkerson v algoritmus tey v kone n m po tu krok zastav. Tvrzen. toku. 4 P i iracion ln ch kapacit ch hran algoritmus nemus zastavit, ani nemus konvergovat k maxim ln mu V ta 4.1 Bu G kone n graf, s t jeho vrcholy, m nejmen velikost hranov ho ezu mezi s t, M nejv t po et hranov isjunktn ch cest spojuj c ch s a t. Pak plat M = m. D kaz: Bu G ~ =(V E) ~ orientovan graf, ke E ~ = f(x y) :fx yge(g)g. Denujme c : E ~!R + tak, e c(e) =1 pro ka e E. ~ Nech ~m je minim ln kapacita ezu E, ~ M je maxim ln tok v G ~ mezi s t. Proto e evientn M m, zb v ov it m M. Ostran me-li v G hrany (x y) takov, e (x y) E 0 nebo (y x) E, ostaneme ez v G. Tey m ~m (ve skute nosti okonce plat rovnost) zejm na le m M M 0. Do t vee M ~ r zn ch hrane, f (e) =1 m me M ~ r zn ch po te n ch uzl y chto hran, a pro ka uzel x existuje hrana (y x), f (y x) =1. V ta 4.13 Nech G = (V E) je s s kapacitou c, nech z s jsou zvolen vrcholy (zroj, stok), a nech je na funkce k : V ;fz sg!r + (propustnost vrchol ). Potom maxim ln velikost toku f ze z o P s omezen ho kapacitou c a propustnost k, tj. z 6= v 6= s je roven minim ln velikosti sla f (v v 0 P ) k(v), pro (v v0 )E ee0 c(e)+ vv 0 k(v), ke minimum se t k v ech mno in V 0 V, E 0 E, pro n v grafu (G ; E 0 ) ; V 0 neexistuje orientovan cesta ze z o s. (Mno inu V 0 [ E 0 naz v me vrcholov hranov ez mezi z a s.) D kaz: Sestroj me novou s G =(V E ) skapacitou c a uzly z s takto: V = V f0 1g, E = f(x i) (y j) : ((x y) E i = 0 j = 1) _ (x = y i = 1 j = 0)g, tey p von hranu (x y) nahra me hranou ((x 0) (y 1)), a p von vrchol x nahra me hranou ((x 1) (x 0)), c ((x 0) (y 1)) = c(x y), c ((x 1) (x 0)) = k(x), teyve sho se zaveen m hran ( to, co teklo v G vrcholem, te e v G hranou), z =(z 0), s =(s 1). Snano se uk e, e si vz jemn opov aj hranov ezy v G a hranov vrcholov ezyvg, a stejn tak kapacita c opov kapacit c spolu s propustnost k. Otu ji je tvrzen v ty z ejm. 4 Je to v bec mo n? P

11 5 MATROIDY 11 5 Matroiy Denice 5.1 Matroi je kone n prost hypergraf (M M) tak, e: 1. M je nepr zn i n syst m, tey poku X Ma Y X, je tak Y M. pro X Y Mtakov, e jxj < jy j, existuje x Y ; X tak, e X [fxg M(vlastnost v m ny analogie nap. s b zemi line rn ch prostor ). P kla M jme M = f1 ::: ng a M = fx M: jxj kg pro pevn k, 0 k n. Pak (M M) je tzv. k-uniformn matroi pro k = n hovo me o iskr tn m matroiu, pro k =0ost v me trivi ln matroi.. M jme matici typu m=n, A =(a ij )m n. Vezmeme M = f1 ::: mg a ekneme, e X M, pr v ky ky a i jsou pro v echna i X line rn nez visl. To co ostaneme, je op t matroi jen se o tzv. vektorov matroi. P kla 5. Nech G je kone n neorientovan graf bez smy ek, G =(V E), E 6=. Zaveeme M jako syst m pomno in E takov, e X M, pr v ky (V X) je les. Pak (E M) je matroi. Tvrzen ok eme: 1. D i nost je z ejm.. Les o n vrcholech ak komponent ch m n ; k hran. Tey poku X Y M, jxj < jy j, pak les (V X) m m n hran, ne (V Y ), tey existuje hrana e Y ; X, kter spojuje r zn komponenty X. Tey X [fegm. Tento matroi se naz v grafov matroi. Lemma 5. Bu (M M) matroi, A M.Pak v echny maxim ln pomno iny A pat c o M maj stejn po et prvk. D kaz: Nech mno iny X Y A, X Y M, jsou maxim ln. Nech nap. jxj < jy j. Pak existuje X Y ; X tak, e X [fxgm, X [fxga, a to je spor s maximalitou X. V ta 5.3 Kone n prost hypergraf (M M) je matroi, pr v ky plat pom nka z lemmatu 5.. D kaz: ): viz lemma 5.. (: Nech plat pom nka lemmatu 5.. M jme X Y M, jxj < jy j. Polo me A = X [ Y. Bu X X 0 A tak, e X 0 je maxim ln takov, e X 0 M.Pak jx 0 jjy j > jxj, tey existuje x X 0 ; X. Plat x Y, X [fxgm. T m je tvrzen ok z no. Denice 5.4 Prvky mno iny M naz v me nez visl mno iny matroiu (M M) velikost maxim ln nez visl pomno iny mno iny A naz v me mno iny A zna me r(a). Funkci r : P(M)!N naz v me po kovou funkc matroiu. P kla Uvektorov ho matroiu je em honost p slu n submatice.. Ugrafov ho matroiu je to po et uzl sn en o po et komponent p slu n ho pografu.

12 5 MATROIDY 1 Denice 5.5 B ze matroiu (M M) je maxim ln nez visl pomno ina M. V ta 5.6 Po kov funkce matroiu (M M) m tyto vlastnosti: 1. r( ) =0 r(a) 1 pro jaj1,. r(a) r(b) pro A B (monot nnost), 3. r(a [ B) +r(a \ B) r(a) +r(b) (semimoularita). D kaz: Prvn v tvrzen jsou z ejm, zastav me se pouze u semimoularity. Bu Z A \ B takov, e r(z) =jzj = r(a \ B). Bu le X maxim ln nez visl pomno ina A [ B tak, e X Z. Pak jxj = r(x) =r(a [ B) =jx \ Aj + jx \ Bj;jX \ A \ Bjr(A) +r(b) ; r(a \ B) a t m je tvrzen ok z no. Pozn mka. Pro ka X plat z ejm r(x) < jxj. V ta 5.7 Bu r : P(M)!Nfunkce, spl uj c vlastnosti, vyjmenovan vev t 5.6. Pak existuje pr v jeen matroi (M M) s po kovou funkc r. D kaz: Uk eme, e M = fx M: jxj = r(x )g je hlean matroi. 1. Nejprve prok eme i nost, tey poku Y M X Y, je tak X M.Postupujeme sporem: Nech r(x) < jxj. Pak atojesporst m, ey M. r(y )=r (X [ (Y ; X)) r(x) +r(y ; X) ; r( ) < jxj + jy ; Xj = jy j. Vlastnost v m ny. Nech X Y M, jxj < jy j. P epokl ejme, e r(x [fxg) = r(x) = jxj pro ka x Y ; X, tey e neexistuje prvek na v m nu. Bu te nyn x y libovoln r zn x y Y ; X. M me r (X [fx yg) =r ((X [fxg) [ (X [fyg)) r (X [fxg) +r (X [fyg) ; r(x) =r(x) Postupn tey ojeeme k tomu, e r(y )=r(x), a to je spor. Probl m. Bueme se nyn zab vat n sleuj c lohou. M jme mno inu X = fx 1 ::: x P n g, matroi (X M) a tzv. v hovou funkci c : X! R + 0. Na m c lem je nal zt mno inu M Mtak, e c(m )= c(x) je maxim ln. xm Na tentoprobl mse p ev st nap kla nalezen kostry grafu, maxim ln ho p rov n aj. Algoritmus 5.1 Hlaov algoritmus Tento algoritmus pro hle n maxim ln mno iny prob h stylem se er, co m e (otu n zev). 1. A 0 =. A i+1 = A i [fag tak, e:.1. a 6 A i.. A i+1 M

13 6 RAMSEYOVA V TA c(a) nab v maxim ln honoty pro prvky a spl uj c pom nky.1,.. 3. algoritmus kon, nelze-li prov st bo. V ta 5.8 Bu MP(M) i n syst m pomno in. Pak n sleuj c v pom nky jsou ekvivalentn : 1. Hlaov algoritmus e probl m maxim ln mno iny pro ka ou v hovou funkci c.. M je matroi. D kaz: )1: M jme matroi M a mno inu B b z M. Nech le B O je optim ln e en, zat mco B H je e en vze l z hlaov ho algoritmu. M eme p epokl at, e B O B H B. Uspo ejme si nyn tato e en pole klesaj c ch vah, B O = fx 0 ::: x n g, B H = fy 0 ::: y n g.uk eme, e c(x i ) c(y i ) (oku ji vyplyne tvrzen ), a to inukc vzhleem k i. 1. Pro i =1je tvrzen z ejm o A 1 se v hlaov m algoritmu vyb r prvek s maxim ln vahou.. Inuk n krok ok eme sporem: p epokl ejme naopak, e pro n jak i je c(x i ) > c(y i ), a sou asn c(x j ) c(y j ) pro ka j<i. Polo me Y = fx M : c(x) c(x i )g. Z ejm fx 0 ::: x i gm, a proto r(y ) i (pon va je fx 0 ::: x i gy ). D le v me, e fy 0 ::: y i;1 g je maxim ln nez visl mno ina. Hlaov algoritmus p ial y i, ale pon va plat axiom o v m n, je tak fy 0 ::: y i;1 x i gm m p itom v t v hu, a to je spor s hlaovost hlaov ho algoritmu. 1): P epokl ejme, e existuje Y M, A B Y nez visl, a e jaj > jbj. Zvolme a b tak, e b jb ; Aj < a ja ; Bj, 0 <a<b. Denujme le c(x) = 8 < : a b c X A ; B X B jinak: Optim ln e en m z ejm v hu alespo a ja ; Bj + b ja \ Bj (mno ina A je v t ). Hlaov algoritmus ale bere prvky z B, a pak skon, nebo B je maxim ln ( le ji p i v n co mimo Y, a tam je v hov funkce nulov ). 6 Ramseyova v ta P kla 6.1 Na vo si p ipomeneme zn mou lohu, ky se na kontinu ln bes ce probu est opilc, a m me uk zat, e mezi nimi existuj alespo t i, kte se v ichni navz jem znaj, nebo alespo t i, kte se v ichni navz jem neznaj. (Relace zn mosti je symetrick.) Nen obt n prov st kaz element rn mi metoami uvi me, e je zaj mav zab vat se n m obecn j m. Ozna en. Zaveeme si n kter symboly, t kaj c se tzv. barven mno in. Jako [n] ozna me mno inu v ech jenoprvkov ch pomno in mno iny f1 ::: ng jako [n] mno inu vouprvkov ch pomno in at. r-obarven mno iny S nazveme zobrazen % : S! [r]. Mno ina A S je homogenn (monochromatick ), poku z en zobrazen %=A je konstantn. ekneme, e n! (l), poku pro ka -obarven % mno iny [n] existuje H f1 ::: ng, jhj = l, a p itom [H] je homogenn. Poobn n! (l) k, poku pro ka -obarven mno iny [n] k existuje H f1 ::: ng, jhj = l tak, e [H] k je homogenn. 5 5 M sto n! (l) se tey ps t n! (l).

14 6 RAMSEYOVA V TA 14 D le n! (l) k r, poku pro ka zobrazen f :[n] k! [r] existuje H [n], jhjl tak, e na [H] k je f konstantn. Probl m. Po tomto zaveen se pt me: existuje pro an slo l n jak n tak, e n! (l)? To z ejm plat jak je v ak nejmen takov n (ozna me ho R(l))? Vi me, e nap. R() =, R(3)=6. lohy. 1. Pro jak n plat, e pro ka roz len mno iny f1 ::: ng o r skupin existuje v y skupina o alespo l prvc ch? (Tuto ot zku e Dirichlet v princip: n r (l ; 1) + 1.). Pro jak n plat, e pro ka roz len mno iny vouprvkov ch pomno inmno iny f1 ::: ng o r skupin existuje v y mno ina H f1 ::: ng o alespo l prvc ch tak, e ka vouprvkov pomno ina utvo en z prvk mno iny H pat o jen ze skupin? V ta 6.1 Ramseyova Pro ka l r kn existuje n N takov, e n! (l) k r. Nejmen takov vyhovuj c n pak ozna me R(l r k) anazveme jej Ramseyov m slem. V ta 6. Nekone n Ramseyova Pro ka r N plat :!! (!) r, ke! = or N. Jin mi slovy, pro ka zobrazen f :[N ]! [r] existuje homogenn nekone n pomno ina H N. D kaz: Sestroj me nekone n syst m mno in S i takto: 1. S 1 = N.. M me-li mno inu S i,zvol me libovoln x i S i. 3. M me-li nyn x i S i, polo me T j = fx S i : x i 6= x f (x i x)=jg pro j =1 ::: r (roz l me pole barvy vojic). Takto jsme roz lili nekone nou mno inu S i ;fx i g na kone n mnoho st : proto existuje j takov, e mno ina T j je nekone n. Polo me nyn S i+1 = T j. D ky konstrukci mno in je f (x i x j )=f (x i x k ),pokui<j k. Vytvo me le zobrazen f : fx 1 x :::g![r] tak, e f (x i )=f (x i x j ) pro i<j(tey takov barva, jako ty, co z n ho veou). Otu ji zjist me, e existuje nekone n mno ina H fx 1 x :::g, ke f =H je konstantn. Je to tey hlean homogenn mno ina. V ta 6.3 Ramseyova (1930) Pro ka l N existuje n N takov, e n! (l). D kaz: Uk eme, e l;1 ; 1! (l). Vytvo me tey mno inu S 1 o l;1 ; 1 prvc ch a zobrazen f :[S 1 ]! []. D le inuktivn : 1. Zvol me libovoln x i S i.. Vezmeme T j = fx S i : x 6= x i f(x i x)=jg pro j =1, jako S i+1 zvol me v t z mno in T 1 T. Proto e je jt 1 j + jt j = js i j;1, m me celkem js i+1 j jsij;1, a v tom je ji skryt pot ebn inuk n krok. V ta 6.4 Van er Waerenova (197) Roz l me-li mno inu p irozen ch sel na v skupiny, pak alespo jena z nich obsahuje libovoln louh aritmetick posloupnosti.

15 7 ROVINN GRAFY 15 Pozn mka 6.5 ParisHarringtonova v ta Pro ka l k r N existuje n N takov, e n! (l) k r, ke! znamen, e homogenn mno ina H nav c spl uje jhj >min(h). Tato v ta nen okazateln v teorii sel (Peanova aritmetika) v teorii mno in ano. Toti, funkce H(x +1 x x): N!N hrozn rychle roste. Pro m en, jak rychle rostou funkce N!N, existuje tzv. Ackermanova hierarchie: F 0 (x) =x +1 F n+1 (x) =Fn x+1 (x), ke exponentp estavuje x +1iterac.... Je tey F 1 (x) =x +1, lef (x) x, F 3 (x), ke v exponentu m me x pater. Pro nekone n sla pak m me: F! (x) =F x (x) pro limitn slo op t m me F +1 (x) =F x+1 (x). Nyn vyslov me okuj c tvrzen : je toti H F " Rovinn grafy Denice 7.1 Graf se naz v rovinn, poku ho lze nakreslit v rovin tak, e se jeho hrany neprot naj (tj. ot kaj se jen ve vrcholech). P kla 7.1 Graf K 3 ( pln graf na t ech vrcholech) z ejm rovinn je graf K 4 rovn (sta zvolit vhon zp sob nakreslen ). Oproti tomu grafk 5 ji rovinn nen, stejn jako graf K 3 3. V echny tyto p klay n m zachycuje obr zek. T ; ; # Bcc # B c Ec cc # # B EE ## B cb ZJ Z J Z JJ J JJJJ Z Z J Z Z JJ A A A Q A QQ A K K K K K ,3 4 Obr zek : P klay rovinn ch a nerovinn ch graf Denice 7. D len grafu je libovoln graf, kter vznikne z p von ho kone n m po tem operac len hrany. V ta 7.3 Je-li graf H len m grafu G, pakh je rovinn, pr v ky je rovinn i graf G. V ta 7.4 Kuratowsk ho Graf je rovinn, pr v ky neobsahuje n len grafu K 5 ani K 3 3. Denice 7.5 P mo ar rovinn nakreslen grafu znamen, e hrany jsou zobrazeny jako se ky. Pozn mka 7.6 D se uk zat, e ka rovinn graf m rovinn (p mo ar ) nakreslen. 6 Ze samoz ejm "0 =!!...!, ke m me! pater.

16 7 ROVINN GRAFY 16 Denice 7.7 St na: Oebereme-li z roviny v echny hranyrovinn ho grafu (tj. roz e eme ji po l hran), rozpane se rovina na st ny rovinn ho grafu. Denice 7.8 Konvexn nakreslen rovinn ho grafu je takov, kter je p mo ar, a nav c v echny omezen st ny jsou konvexn. Pozn mka 7.9 Z ejm ne ka rovinn graf m konvexn nakreslen. Tak na obr zku 3 vi me postupn graf G 1, kter z ; ;@ G 1 ; ;@ & % C X CC@@ XXXXX ; ;; CC CC ; ;; G' G J J ;@ J H ; ;; J H J H@J G 3 Obr zek 3: P klay konvexn ch nakreslen rovinn ch graf m konvexn nakreslen, le graf G a jeho konvexn nakreslen G 0,akone n geaf G 3, kter nelze konvexn nakreslit. Pozn mka 7.10 Plat, e ka 3-souvisl graf lze konvexn nakreslit. Denice 7.11 Graf H je minor grafu G, pr v ky G obsahuje len grafu H zna meh G. Pozn mka 7.1 Kuratowsk ho v tu lze tey stru n zapsat takto: graf G je rovinn, pr v ky K 5 K G. V ta 7.13 Wagnerova hypot za (1940) Libovoln t a graf uzav en vzhleem k minor m m kone nou b zi. Ze pojem uzav enosti je z ejm b z rozum me mno inu zak zan chgraf (kter o t y nepat ). Tak nap kla rovinn grafy maj b zi fk 5 K 3 3 g. Wagnerovu hypot zu ok zali Robertson a Seymon v roce Denice 7.14 Graf k an mu grafu u ln sestroj me tak, e za uzly vezmeme oblasti (st ny) p von ho grafu, a spoj me hranou ty, kter se ot kaj. Du ln graf u ln ho grafu je toto n s v choz m grafem, pr v ky jerovinn. V ta 7.15 Euler v vzorec Bu G =(V E) rovinn graf, kter je souvisl a m f st n. Pak plat : D kaz: veeme inukc vzhleem k po tu hran. jv j;jej + f = 1. Poku jej =0,mus b t (vzhleem k souvislosti) jv j =1a f =1, tvrzen tey plat.. Poku jej1, m eme uva ovat va p pay: (a) G je strom. Pak f =1, jej = jv j;1 a tvrzen je z ejm. (b) V opa n m p pa existuje hrana e, obsa en v kru nici. Vytvo me graf G 0 = G ; e, kter je z ejm rovn souvisl. Proto e m m n hran, v me z inuk n ho p epoklau, e jv 0 j;je 0 j + f 0 =. P i n m hrany e z ejm p i me jenu st nu, a tey tvrzen plat i pro graf G.

17 8 DOPRAVN PROBL MY 17 8 Dopravn probl my Probl m nejkrat cesty. Pro anou s s an m ohonocen m c : E! R + a pro an vrcholy a b nalezn te (orientovanou) cestu, jej lka je minim ln. Algoritmus 8.1 Tento algoritmus je zalo en na principu optim lnosti: je-li a 1 ::: a n minim ln cesta z a 1 ka j<nje a 1 ::: a j minim ln cesta z a 1 o a J. o a n, pak tak pro 1. P i a me ka mu vrcholu x 6= a o asn (x) =1, vrcholu a trvale t(a) =0.. Je-li z poslen vrchol, kter mubyla p i azena trval honota t(z), pak p i a me ka mu z 0, pro n j (z z 0 ) E, novou o asnou honotu (z 0 )=min((z 0 ) c(z z 0 )+t(z)). 3. Polo me t(z 0 )=(z 0 ) pro vrchol z 0 s nejmen m (z 0 ) poku jich existuje v ce, zvol me libovoln. 4. Opakujeme kroky a 3, oku vrchol b neostane trvalou honotu. D kaz: Korektnost algoritmu: chceme uk zat, e pro ka x u v honota t(x) ohonocenou lku nejkrat cesty z a o x. D kaz proveeme inukc po nejkrat cest : 1. Pro x = a tvrzen z ejm plat.. Nech tvrzen plat pro mno inu vrchol tak, e vrchol a i+1 je na cest prvn m vrcholem bez trval honoty. M me p itom cestu a = a 1 a ::: a n = x. Pak ale (a i+1 ) ohonocen cesty a 1 ::: a n < 0 (x) (x) (poku sou asn p epokl me, e pro x tvrzen neplat ). To je v ak spor s t m, e x m l b t vrchol s nejmen honotou (x) (na li jsme a i+1 ). Eulerovsk grafy. Denice 8.1 Tah je (uzav en ) sle, ve kter m se neopakuj hrany. Graf je eulerovsk, poku jej lze nakreslit jen m tahem. 7 V ta 8. Graf je eulerovsk, pr v ky je souvisl a ka vrchol je su ho stupn. D kaz: ) z ejm. ( Uva ujme tah v 0 e 0 v 1 e 1 ::: e n v n maxim ln lky. Uk eme: 1. v 0 = v n,. fe i i =1 ::: ng = E. P istupme tey k kazu: 1. Sporem: nech v 0 6= v n.pak v n inciuje s hranou, kter o tahu nepat (vrchol v n m su stupe, a ze p isp v lich m), a to je spor, pon va p i n m t to hrany prolou me tah.. Op t sporem: nech existuje hrana, kter o tahu nepat. Vrcholy, se kter mi inciuje, jsou v ak su ho stupn mus tey z nich krom t to hranyvych zet je t ruh hrana. Tyto ruh hranytak n kam veou, op t o uzl su ho stupn. Z ejm tak v kone n m po tu krok nalezneme kru nici, o kterou m eme tah prolou it. 7 Znamen to, e pole t to enice pova ujeme za eulerovsk jen tan graf, kter lze nakreslit uzav en m tahem zn m ome ek tay pro n s eulerovsk nebue.

18 8 DOPRAVN PROBL MY 18 Hamiltonovsk grafy. Denice 8.3 Hamiltonovsk kru nice je takov kru nice, kter obsahuje v echny vrcholy. Graf se pak naz v hamiltonovsk, poku obsahuje hamiltonovskou kru nici. Pozn mka 8.4 Jen se tey o probl m nav t ven v ech vrchol (policajti obch zej v echny k i ovatky). Zn m je tak loha obchon ho cestuj c ho, ky v ohonocen m grafu hle me hamiltonovskou kru nici co nejmen lky. Denice 8.5 Operace em uz v ru grafu: m jme graf G =(V E), jv j = n. Poku existuj vrcholy v v 0 V takov, e fv v 0 g 6 E a s(v) +s(v 0 ) n, vytvo me G v v 0 = G + fv v 0 g. Lemma 8.6 Pro ka graf G =(V E) existuje pr v jeen graf H, kter vznikne z grafu G v e uveenou operac, a kter ji touto operac neje le upravit. D kaz: P epokl ejme, e vzniknou H H 0 neupraviteln r zn p itom graf H vznikl p i n m e 1 ::: e m, H 0 vznikl p i n m e 0 1 ::: e0 m. Nech nyn k je nejmen slo takov, e fe 1 ::: e k g = fe 0 1 ::: e0 kg a le e k+1 fe 0 1 ::: e0 mg. Graf vznikl p n m e 1 ::: e k ozna me H, ~ nech le e k+1 = fx yg. Pak je s ~H (x) +s ~H (y) n, a proto tak s H 0 (x) +s H 0 (y) n (proto e H ~ H 0 ), a to je spor s t m, e e k+1 nen v ruh m grafu. V ta 8.7 Graf G je hamiltonovsk, pr v ky je hamiltonovsk jeho uz v r. D kaz: ) z ejm. ( P epokl ejme, e G v v0 je hamiltonovsk, zat mco G nen. V G je cesta v = v 1 e 1 v ::: e n v n = v 0, kter je hamiltonovsk, tj. vrcholy vy erpaj v echny vrcholy G. Vytvo me nyn v mno iny X = fi : fv i v i+1 geg, Y = fi : fv i v 0 geg. Nech nyn n 6 X [ Y. (Situaci n m zachycuje sch ma na obr zku 4.) To sealenem e st t, pon va tak bych v ; H HHH( ((( v=v 1 v'=v n i v i+1 Obr zek 4: Hamiltonovsk kru nice (sch ma k kazu) m l hamiltonovskou kru nici v 1 ::: v i v n = v 0 v n;1 ::: v i+1 v.tey opravu X \ Y =, co ale znamen, e s(v) +s(v 0 )=jxj + jy j.

19 8 DOPRAVN PROBL MY 19 D sleek 8.8 Bu G graf takov, e s(x) +s(y) jv j pro v echny neinciuj c vrcholy x y V.Pak G je hamiltonovsk. D sleek 8.9 Libovoln graf s vlastnost s(x) jv j pro ka x V je hamiltonovsk. Pozn mka 8.10 D sleek 8.8 plyne z v ty 8.7 uz v rem je pln graf. D sleek 8.9 v ak nen slekem sleku 8.8.