Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I och Ii Datum: 13:e januari 2011 Tid: 8.00 13.00 Hjälpmedel: Kurslitteratur av Lundgren m fl: Optimeringslära gamla upplagan med hård pärm Optimeringslära nya upplagan med mjuk pärm Optimeringslära övningsbok Äldre kurslitteratur kan få medtagas efter tillstånd av examinator. Mindre anteckningar, samt markering av sidor med små lappar med en kort notering på får förekomma i böckerna. Antal uppgifter: 6 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Varje uppgift kan ge högst 3 eller 4 poäng. För godkänt krävs 8 poäng. Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Elina Rönnberg 013-28 16 45 Resultat meddelas per e-post Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
Uppgift 1. Efter en lugn och skön jul vill Erik komma igång med träningen igen, och han vill göra det på ett optimalt sätt. För att få in bra rutiner vill han göra ett bra träningsschema för en vecka och sedan använda detta varje vecka under våren. I hela uppgiften antar vi att Erik själv kan bestämma hur många minuter långt ett träningspass ska vara och att man därför enbart ska avgöra hur många minuter som ska ägnas åt en viss träning. I nedanstående deluppgifter kommer frågeställningen att berarbetas i lite olika former. a. Erik bestämmer sig för att träna i 180 minuter per vecka, varav minst 60 minuter ska vara konditionsträning. Erik har ett par olika träningsformer han gillar och han rangorndar dem efter hur roliga han tycker att de är, och anger också om han anser det vara konditionsträning eller ej. Träningsform Rolighetsindex Konditionsträning (ja/nej) Motionscykel 5 ja Löpning 3 ja Maskiner på gymmet 6 nej Fria styrkeövningar 4 nej Formulera en LP-modell som beskriver problemet att finna ett träningsschema som maximerar Eriks rolighetsindex. Modellen ska ej skrivas på summationsform. b. Erik känner sig väldigt möjd med att kunna använda optimeringsmetodik för att kunna planera sin träning och har också fått flera förfrågningar från vänner som vill ha hans hjälp att planera sin träning. För att på ett enkelt sätt kunna hjälpa sina vänner vill Erik göra en mer generell modell för träningsplanering. Inledningsvis skapar han en mängd P som innehåller de olika träningsformer som ska vara med i beräkningarna och för varje träningsform p P införs ett rolighetsindex r p. En begränsning Erik ser med sin första modell är att han enbart anger om en träningsform är konditionsträning eller ej, och att den inte kan innehålla båda delar. Eftersom flera av hans vänner går på pass som kombinerar styrke- och konditionsträning inför han istället två parametrar s p och k p som anger hur stor andel av träningen som anses vara styrketräning respektive konditionsträning, p P, och för dessa gäller s p + k p = 1. I modellen införs ytterligare tre begränsningar: total som anger den totala träningstiden per vecka, k min som anger minimalt antal minuter konditionsträning per vecka, och s min som anger minimalt antal minuter styrketräning per vecka. 2
Formulera en LP-modell som beskriver problemet att finna ett träningsschema som maxierar totalt rolighetsindex. Modellen ska skrivas på summationsform. (2p) c. Eriks träningsplanerare blir en succé och han vill utvidga den genom att ytterligare specificera vad träningstyperna påverkar mest, eftersom detta kan vara bra om man vill planera för att fokusera på en viss typ av träning, exempelvis styrka i lår. Han inför mängden T där man kan ange de fokusområden man vill ta hänsyn till, och han inför också för varje p P en mängd T p T där man kan ange vilket fokus en viss träningstyp har, exempelvis T motionscykel = { styrka i lår, styrka i vader }. Baserat på mängderna som givits ovan, utöka modellen i b-uppgiften så att det antal minuter träning som ägnas åt en träninsform som tillhör respektive fokusområde t T är minst f min t. 3
Uppgift 2. Studera det linjära problemet min / maxz = 2x 1 + x 2 2x 3 då 2x 1 x 2 2 2x 1 + x 2 x 3 = 2 x 1, x 2, x 3 0. a. Använd simplexmetoden fas I för att hitta en tillåten lösning till problemet som givits ovan. Om det finns flera alternativ till utgående variabel, välj i först hand att låta en artificiell variabel lämna basen. Ange tydligt i ditt svar vilken punkt du hittat. b. Givet den tillåtna lösning du erhållit i a-uppgiften, utgå från den i fas I erhållna optimaltablån och beräkna vidare för at avgöra om det, med hänsyn till den ursprungliga målfunktionen z, finns en punkt med (i) ett högre målfunktionsvärde, och om det finns, ange en sådan. (ii) ett lägre målfunktionsvärde, och om det finns, ange en sådan. (2p) c. Antag att man vill minimera värdet på z och att målfunktionskoefficienten för x 3 måste vara = 0. Avgör om det existerar en målfunktion sådan att både baslösningen där s 1 respektive x 1 är basvariabler och baslösningen där s 1 respektive x 2 är basvariabler är optimal. 4
Uppgift 3. I följande deluppgifter ligger tonvikten på hur du motiverar ditt svar och de kommer därför att bedömas på sådant sätt att ett kortfattat och relevant svar kan ge poäng. Med ett kortfattat svar menas ca tre till fyra rader text och matematiska uttryck, med normalstor handstil. Det är enbart kvalitén på motiveringen som är avgörande för poängsättningen, att endast ange rätt svar kan ej ge poäng. Studera följande tre LP-problem. (LP1) min z 1 = c T x då Ax b Dx e x 0 (LP2) minz 2 = c T x då [A + D]x b+e x 0 (LP3) min z 3 = c T x då Ax b x 0 a. Studera förhållandet mellan de optimala målfunktionsvärdena: (i) z 1 och z 2 (ii) z 1 och z 3 (iii) z 2 och z 3 Avgör om det går att ange vad förhållandet är, och i fall det är möjligt, ange förhållandet. b. Studera följande Lagrangerelaxation av (LP1): (2p) h(v) = min c T x + v T (e Dx) då Ax b x 0 Givet optimala värden på v, vad kan man säga om relationen mellan h(v) och z1 respektive motsvarande värden på x? 5
Uppgift 4. I denna uppgift studerar vi funktionen: f(t) = (t + 2)(t 1)t som har sina nollställen för t = 2, t = 0 och t = 1. Vidare har funktionen en lokal maxpunkt i intervallet 2 < t < 0 (funktionen är konkav på detta intervall) och en lokal minpunkt i intervallet 0 < t < 1 (funktionen är konvex på detta intervall). För t 2 avtar funktionen och för 1 t växer funktionen. a. Starta med intervallet 0 t 1 och använd intervallhalvering för att avgöra i vilket av intervallen 0 t 1/4, 1/4 t 1/2, 1/2 t 3/4 respektive 3/4 t 1 som funktionen har en lokal minpunkt. Tips: Tänk på att värdet på derivatorna behöver inte beräknas exakt, utan det räcker att avgöra om värdet är positivt eller negativt. b. I denna deluppgift ska du konstruera ett motexempel som visar att den givna funktionen inte är konvex. Resonemanget ska utgå från definitionen av en konvex funktion så som den ges i kursboken. Skissa funktionen med hjälp av informationen som gavs i den inledande texten, och ta figuren till hjälp för att konstruera ett motexempel. Att grafiskt konstruera ett motexempel kan ge 1p på uppgiften, men för att erhålla 2p krävs fullständiga algebraiska beräkningar som veriferar att du hittat ett motexempel som visar att funktionen inte är konvex. (2p) 6
Uppgift 5. Studera följande konvexa obegränsade icke-linjära problem. min f(x 1,x 2 ) = (x 1 1) 2 + 3x 1 x 2 + 5 2 x2 2 a. Starta i punkten (x 1, x 2 ) = (0, 0) T och utför en iteration med Newtons metod (steglängd = 1). Den lösning som erhålles efter en iteration är optimal. Verifiera detta genom att beräkna värdet på gradienten i den erhållna punkten, och kontrollera att f = (0, 0) T. b. Visa att den Newtonriktning som du beräknade i a-uppgiften är en descentriktnig i punkten (x 1, x 2 ) = (0, 0) T. Kommentar: Egentligen vet vi ju redan detta eftersom iterationen i a-uppgiften tog oss till en minpunkt, men bortse från detta i denna deluppgift. c. I Newtons metod är nästkommande iterationspunkt alltid min- eller maxpunkten till andra ordningens Taylorapproximation kring den nuvarande iterationspunkten. I de fall då Taylorapproximationen sammanfaller med den ursprungliga funktionen kommer Newtons metod alltid att konvergera på en iteration, vilket var fallet i denna uppgift. Visa att andra ordningens Taylorapproximation kring punkten (x 1, x 2 ) = (0, 0) T för den givna funktionen är densamma som den ursprungliga funktionen. 7
Uppgift 6. I denna uppgift är deluppgifterna a och b oberoende av varandra. a. Studera problemet z = min x 2 1 + x 2 2 då x 2 1 + x 2 1. Lagrangerelaxera bivillkoret med multiplikatorn u 0. Lös Lagrangesubproblemet och beräkna värdet av den duala funktionen för u = 2. Avgör om lösningen till subproblemet ger en pessimistisk skattning av z, och om den gör det, ange värdet på denna. Givet dina beräkningar i uppgiften, vilken är den starkaste slutsats du kan dra om z? (2p) b. Givet ett Lagrangesubproblem med en icke-linjär målfunktion och linjära bivillkor. Antag att du löser subproblemet med Frank-Wolfe metoden, och att du tvingas avbryta efter ett antal iterationer, innan du erhållit en optimallösning till subproblemet. Finns det någon information från subproblemet du kan använda för att få veta mer om lösningen till det ursprungliga problemet? Om ja, ange vilken och ange hur du ska ta tillvara på den, om nej, ange varför. Ge ett kortfattat men välmotiverat svar. Uppgiften kommer att bedömas baserat på kvalitén på motiveringen. Med ett kortfattat svar menas här ungefär en halv sida text och matematiska uttryck, med normalstor handstil. (2p) 8