Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP14/TEN 1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för I, Ii och TB Datum: 24 augusti 2009 Tid: 8.00-13.00 Hjälpmedel: Lundgren m fl: Optimeringslära och/eller Lundgren m fl: Linjär och ickelinjär optimering och/eller Rardin, R.L. Optimization in Operations Research och/eller Winston, W.L. Introduction to Mathematical Programming Inga anteckningar i böckerna får förekomma. Antal uppgifter: 7 Antal sidor: 5 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. Varje uppgift kan ge 3 poäng. För godkänt krävs 8 poäng. Examinator: Kaj Holmberg Jourhavande lärare: Kaj Holmberg, tel 013-282867 Resultat meddelas per e-post Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som ingår i kursen. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
Uppgift 1 Betrakta följande LP-problem. max z = 2x 1 + x 2 + x 3 då x 1 + 2x 2 4 2x 1 + x 2 + x 3 10 x 1, x 2, x 3 0 a) Finn optimallösningen till problemet med hjälp av simplexmetoden. Är optimum unikt? b) Vänd olikheterna i de två bivillkoren (dock ej ickenegativitetsvillkoren) till. Utgör den resulterade baslösningen i uppgift a en tillåten baslösning till det modifierade problemet? Är baslösningen optimal om dessutom målet är att minimera målfunktionen? Ledning: Byte av tecken på en slackvariabel ger omvänt tecken på hela dess kolumn i sluttablån. c) Vänd olikheterna i bivillkoren som i uppgift b och utgå från optimallösningen i uppgift a, men behåll målet att maximera målfunktionen. Visa att lösningen nu blir obegränsad. Ange riktningen genom att ange lösningen med hjälp av en parameter t som ska gå mot oändligheten. Verifiera att målfunktionsvärdet blir oändligt bra, samt att lösningen är tillåten även för stora värden på t. Vilka bivillkor är aktiva då man följer riktningen? Uppgift 2 Det internationella företaget Nyser tillverkar buljong. Man funderar på att göra en ny sort, Bouillione Light, vilken ska innehålla mindre fett än den vanliga, Bouillione de Luxe. En tärning Buillione de Luxe väger 10 gram. Innehållsförteckningen (i viktordning) lyder: Salt, smakförstärkare (E621, E627, E631), palmfett, potatisstärkelse, hydrolyserat vegetabiliskt protein, maltodextrin, socker, jästextrakt, nötköttsextrakt 2%, aromer, gurkmeja, selleriblad, färgämne. Fetthalten är 16%. För att minska den totala fetthalten, kan man minska mängden palmfett, men också mängden kött (som ju innehåller fett). För att få ett godtagbart resultat när det gäller smak, behöver man öka mängden smakförstärkare (E621, E627 och E631) och salt. Man använder (det något förenklade) kravet att totala vikten av köttextrakt och smakförstärkare (E-ämnena) skall vara konstant. Kostnader per gram (normerade) samt mängd i Bouillione de Luxe (gram) och fetthalt för de berörda råvarorna är följande: 2
Ämne Kostnad Mängd (gram) Fetthalt (%) Palmfett 0.12 1.5 100 Nötköttsextrakt 1.00 0.2 10 E621 0.04 1.1 0 E627 0.05 1.0 0 E631 0.06 0.9 0 Salt 0.07 4.0 0 Totalt väger dessa ingredienser väger 8.7 gram och innehåller 1.52 gram fett. De resterande ingredienserna (som inte ska ändras) väger 1.3 gram och innehåller 0.08 gram fett. Buljongtärningens totala vikt får inte ökas, eftersom fraktkostnaderna då skulle ökas, och den får inte minskas mer än 2 gram, eftersom det då skulle se konstigt ut med det höjda pris man planerar för den nya fettsnåla produkten. Om man har mindre än 0.3 gram palmfett blir konsistensen oacceptabel, och en undre gräns för nötköttsextraktet är 0.07 gram. Samtidigt krävs att totala fetthalten inte är mer än 3% för att få använda beteckningen Light. Salthalten ska ligga mellan 40% och 60%. Man förutsätter att salt ska komma först i innehållsförteckningen även för Bouillione Light. Vikten av något E-ämne får därför inte överstiga vikten av salt, eftersom man då skulle få sätta det först i innehållsförteckningen, vilket skulle kunna uppfattas negativt. Den totala vikten av alla E-ämnen får inte överstiga 4 gram. Mängden E627 skall vara minst lika stor som mängden E631 men inte mer än dubbelt så mycket. På grund av en artikelserie i dagspressen angående eventuella skadliga effekterna av E621, krävs att E621 skall stå efter de andra E-ämnena i innehållförteckningen (om det är med alls), dvs. skall väga minst av smakförstärkarna. Formulera en linjär optimeringsmodell för att hitta den blandning av ingredienser till en buljongtärning av sort Bouillione Light som minimerar kostnaden. Uppgift 3 Betrakta följande LP-problem där fyra produkter (variablerna) ska sättas ihop av två råvaror (bivillkoren). max z = 2x 1 + x 2 x 4 då x 1 + 2x 2 x 3 4 (1) 2x 1 + x 2 + 2x 4 10 (2) x 1, x 2, x 3, x 4 0 En inte helt fullärd optimerare experimenterar med simplexmetoden, och får fram följande olika simplextablåer. 3
Tablå A: Tablå B: Tablå C: Tablå D: x 1 0 1 0.5 0 1 0 0.5 5 x 3 0 0-1.5 1 1-1 0.5 1 s 1 0 0 1.5-1 -1 1-0.5-1 x 1 0 1 0.5 0 1 0 0.5 5 x 2 0 2 1 0 2 0 1 10 x 3 0 3 0 1 4-1 2 16 z 1-3 -1.5 0 0 0-0.5-5 s 1 0 1 2-1 0 1 0 4 x 4 0 1 0.5 0 1 0 0.5 5 Varje simplextablå representerar en baslösning, som motsvarar en punkt i x- rummet, och vi kallar de fyra punkterna A, B, C och D. Frågorna nedan ska besvaras för var och en av de fyra punkterna. (Olika punkter ger oftast olika svar.) a) Ange lösningarna A, B, C och D, inklusive målfunktionsvärde. Ange även vilka bivillkor som är aktiva i varje punkt. Är lösning A/B/C/D tillåten respektive optimal? Ange skuggpris för de två råvarorna i de fyra punkterna. b) För vilka värden på c 1 är var och en av baslösningarna optimal? c) För vilka värden på b 1 är var och en av baslösningarna optimal? Uppgift 4 Farkas lemma säger att exakt ett av P1 och P2 nedan har en lösning: P1: Ax 0 och c T x > 0. P2: A T y = c och y 0. Det betyder att om P1 har en lösning, så vet man att P2 inte har en lösning. Om P1 inte har en lösning, så vet man att P2 har en lösning. a) Bevisa Farkas lemma med hjälp av LP-dualitet. (Ledning: Konstruera ett LP-problem, vars primal och dual är starkt kopplade till P1 och P2.) 4
b) Antag att P1 innehåller bivillkoren Ax 0 istället för Ax 0. Hur ska man ändra P2 så att Farkas lemma fortfarande är sant? Uppgift 5 Gör två iterationer med Frank-Wolfemetoden i nedanstående problem. Starta i punkten x = (1, 1). min f(x) = x 2 1 + x2 2 + x 1x 2 2x 1 + 2x 2 då x 1 + x 2 1 x 1, x 2 0 LP-problemen får lösas grafiskt. Rita upp det tillåtna området och markera varje iterationspunkt och gradient. Ange vilka gränser på det optimala målfunktionsvärdet som fås i varje iteration. Uppgift 6 Betrakta följande problem. min f(x) = 2x 2 1 + x 2 2 4x 1 2x 2 då 2x 1 + x 2 2 x 2 1 Sätt upp KKT-villkoren för problemet. Kontrollera huruvida punkterna x (1) = (1/2, 1), x (2) = (1, 1), x (3) = (2/3, 2/3) uppfyller KKT-villkoren. Vilka slutsatser kan man dra om punkternas optimalitet? Uppgift 7 Betrakta följande optimeringsproblem. min f(x) = 4x 1 + x 2 då 2x 2 1 x 2 2 1 x 1 1 x 2 1 x 1, x 2 0 Angrip problemet med Lagrangedualitet genom att relaxera det första bivillkoret. Lös Lagrangerelaxationen för värdena 0, 1 och 2 på Lagrangemultiplikatorn. Notera undre och ev. övre gräns på det optimala målfunktionsvärdet i varje iteration. Hur långt från optimum ligger den bästa funna lösningen? 5