Karlstads universitet matematik Peter Mogensen Gamla tentamensuppgifter i stokastik Hjälpmedel: Godkänd räknare och utdelade formelblad OBS Motivera lösningarna i rimlig omfattning. Exakta svar skall helst förenklas, 10 t ex 3 = 10 men uttryck av typen 5 eller 18 behöver kanske inte beräknas. Använd omdömet. Avrunda intelligent om du inte svarar med exakt värde. 1 Vi hälsar på hos Snövit och de sju dvärgarna. a En torsdag delar Snövit och dvärgarna upp sig i två grupper om fyra i varje grupp. Den ena gruppen skall gå till gruvan och den andra skall plocka nyttiga växter i skogen. På hur många sätt kan indelningen ske? b På fredagen delar man upp sig i två lag om fyra som skall spela en fotbollsmatch. På hur många sätt kan den indelningen göras? c Vad är sannolikheten att precis en av dvärgarna som var i Snövits grupp på torsdagen hamnar i samma fotbollslag som hon på fredagen? Ett tvåmotorigt flygplan färdas över ett 1000 mil brett hav. De två motorerna har exponentialfördelad livslängd; var och en har (oberoende av den andra) sannolikheten 1." att gå sönder under de kommande s milen. Båda motorerna måste fungera för att planet skall hålla sig i luften. a Vad är sannolikheten att planet kommer fram? b Vad är sannolikheten att planet klarar 900 mil men störtar mindre än 100 mil från målet? 3 Du spelar bordtennis. Ställningen är nu 9 9, dvs den första som får två bollars ledning har vunnit setet. a Vad är din sannolikhet att vinna setet om du vinner de enskilda bollarna med sannolikhet 0.5? 9bc Om bägge har sannolikhet 0.5 att vinna de enskilda bollarna: b vad är sannolikheten att det står 19 19 tjugo bollar senare? 4 På bageriet säljs franskbröd. Dessa har normalfördelad vikt med väntevärde 00 g och standardavvikelse 10 g. a Hur stor andel av bröden väger över 15 g? b Vad väger det tyngsta av de 5 % lättaste bröden? c Bröden säljs i påsar om fyra i varje. Vad är sannolikheten att en slumpvis vald påse väger under 65 g? d Påsarna kostar 39 kr styck. Du köper 4 påsar. Vad är sannolikheten att kilopriset blir mer än 50 kr?
5 Bombardiet möter Ruritanien i en fotbollsmatch. Bombardiet gör B mål och Ruritanien gör R mål, där B och R är Poissonfördelade slumpvariabler; B ~ Po(0.3) och R ~ Po(0.). a Beräkna sannolikheten att Ruritanien vinner matchen. b Beräkna sannolikheten att Ruritanien vinner åtminstone två matcher om de möts fem gånger med samma förutsättningar. Gör beräkningarna med minst tre decimalers noggrannhet men avrunda svaren till två. 6 På fem krokar hänger fem bokstäver, en på varje krok. Bokstäverna bildar ordet MOTTO. Nu har två bokstäver fallit ned och ett litet barn som passerar hänger upp dem slumpmässigt (en bokstav på varje tom krok). Vad är sannolikheten att det står MOTTO då barnet är klart? Bruna ägg säljs i kartonger om sex i varje. Äggens vikt antas normalfördelad med väntevärde 55 gram och standardavvikelse 4 gram. Vita ägg säljs i kartonger om tio i varje. Dessa ägg antas ha normalfördelad vikt; väntevärde 50 gram och standardavvikelse 3 gram. a Vi tar ett vitt och ett brunt ägg. Vad är sannolikheten att deras sammanlagda vikt är mindre än 100 gram? b Vi har två kartonger bruna ägg och en kartong vita ägg. Ange väntevärde och standardavvikelse för äggens sammanlagda vikt. 8 Detta gäller samma ägg som i uppgift. Handlaren har blivit misstänksam mot de vita äggen. Hen formulerar en hypotes: : Äggens vikt är normalfördelad med = 50 gram ( = 3 gram). Som mothypotes väljer handlaren att äggen har lägre förväntad vikt. Hen kontrollväger de vita äggen i tio kartonger. I vilket intervall ska totalvikten ligga för att hypotesen ska förkastas på 1%-nivån? 9 Vi har åtta parallella komponenter, var och en med exponentialfördelad livslängd med väntevärde 50 timmar. a Vad är sannolikheten att en given komponent håller i 150 timmar? b Om de åtta komponenterna är oberoende, vad är sannolikheten att mindre än tre av dem fortfarande fungerar efter 150 timmar? 10 Antalet män som kommer in i en butik under nästa minut är Poissonfördelat med parameter och antalet kvinnor med parameter 3. Ange sannolikheten att det kommer 4 män och 6 kvinnor under de kommande två minuterna betingat av att det kommer män och 3 kvinnor under den kommande minuten.
11 Vid utgångsportarna efter en sångtävling på Löfbergs arena tillfrågades 144 av de 10080 besökarna om de ansåg att rätt låt hade vunnit. 54 svarade ja. a Ange ett 95-procentigt konfidensintervall för hur många som skulle ha svarat ja om samtliga besökare hade fått frågan. b Antalet kvinnor som fick frågan var 84 och av dessa svarade 49 ja. Vi vet att totala antalet kvinnliga besökare var 5544. Testa hypotesen : Andelen besökare som ansåg att rätt låt vann är densamma bland män och kvinnor (5%-nivån). 1 En rätvinklig triangel har kateter med längderna X och Y som är oberoende och likformigt kontinuerligt fördelade på intervallet ]0, 1]. Bestäm sannolikheten att hypotenusan är längre än 1. 13 Vi har sju dvärgar. Varje dag under en vecka väljs en av dem slumpmässigt (med återläggning; samma dvärg kan väljas fler än en dag). Vad är sannolikheten att precis en av dvärgarna inte blir vald? 14 Låt X och Y vara oberoende normalfördelade variabler med väntevärden 5 respektive 10 och standardavvikelser 6 respektive 3. a Ange och för X 5Y b Bestäm P(X < Y) c Vi gör ett stickprov om 10 observationer vardera på X och Y. " Ange (svar räcker) och för (i) (ii) 15 A och B är tennisstjärnor. Bägge har fruktade servar och vi vill testa hypotesen : De har samma sannolikhet att få in sin förstaserve. Under den senaste perioden har A lyckats med 180 av 600 förstaservar. Under samma tid har B lyckats med 15 av 500 förstaservar. Testa på 5%-nivån. Mothypotesen är a De har olika sannolikhet att få in sin förstaserve. b B har större sannolikhet än A att få in sin förstaserve (ensidigt test). 16 Vi hälsar på hos Snövit och de sju dvärgarna. a Av initialerna i Snövit, Butter, Blyger, Prosit, Glader, Toker, Kloker och Trötter kan man till exempel bilda "ordet" SBBPGTKT. Hur många olika ord kan man bilda genom att flytta om bokstäverna? (Alla 8 bokstäver måste vara med.) b Varje morgon väljs genom lottning vilken av de sju dvärgarna som skall sopa golvet.
Vad är sannolikheten att det en viss vecka blir samma dvärg som får sopa måndag, tisdag och onsdag? c Snövit väljer ut fyra olika dvärgar; en skall diska, en skall laga mat, en skall städa och en skall hugga ved. På hur många sätt kan sysslorna fördelas bland de sju dvärgarna? d Den som sopar får en liten chokladkaka då han är klar. Dessa sparas till söndagkvällen. På hur många sätt kan veckans sju chokladkakor fördelas bland de sju dvärgarna? Lösningsskisser 1a) Om vi väljer den ena gruppen så är den andra bestämd. Gruvgruppen kan väljas på = 0 sätt. 1b) Om vi väljer lag A så är lag B bestämt. Men om vi sedan väljer A till detta bestämda B så har vi inte fått en ny möjlighet, dvs antalet olika möjligheter blir hälften så många som i föregående uppgift, dvs 35 möjligheter. 1c) Det var 3 dvärgar i Snövits torsdagsgrupp, vi kan välja en på 3 = 3 sätt. Det var 1 4 dvärgar i den andra gruppen, vi kan välja på 4 = 6 sätt. Totalt skall 3 dvärgar av väljas till Snövits grupp, det finns = 35 möjligheter. SH är 3 = " " " a) P(en viss motor håller s mil) = 1 (1." ) =." P(bägge motorerna håller s mil) =." =.", dvs P(planet kommer fram) = P(bägge motorerna håller) =. "# b) P(någon motor går sönder inom s mil) = 1." Eftersom motorerna "saknar minne" är P(planet störtar de sista 100 milen) = = P(planet klarar de första 900 milen) P(planet störtar de första 100 milen) = =." "" (1." "" ) =. 0.038 3a) Låt vinstsannolikheten vara P då det står lika och Q om du har en bolls ledning. Sannolikhetsträd ger Q = 0.48P+0.5 P = 0.48 0.5P+0.5Q P 0.496P = 0.5(0.48P+0.5) 0.504P = 0.496P + 0.04 P = "#$ 0.54 ""# 3b) Ställningen måste passera 10 10, 11 11,, 18 18 innan den är 19 19. SH är 0.5 0.5 " =. " "
"#"" 4a) Sh att vikten över 15g är 1 Φ " = 0.9938 4b) 00 10 1.645 183.55 4c) Vikten av 4 bröd har väntevärde 800 och standardavvikelse 10 4 gram. (65 800)/(10 4) = 6.5 ger att sh är 1 Φ(6.5) (cirka 10" ) d) 16 bröd kostar 156 kr. Om vikten är under 3.1 kg så är kilopriset över 50 kr. 16 bröd har väntevikt 3. kg med standardavv 4 10 g vilket ger sh 0.08. 5a) Tabell över Poissonfördelningen ger P(B = 0) 0.408 P(R 1) = 1 P(R = 0) 0.1813 P(B = 1) 0.3 P(R ) = 1 P(R 1) 0.015 P(B = ) 0.0333 P(R 3) = 1 P(R ) 0.0011 P(B < R) 0.408 0.1813+0.3 0.015+0.0333 0.0011+ 0.138 0.14 5b) Binomialfördelning med n = 5 och p = 0.138 ger P(R vinner minst ) = 1 P(R vinner 0 eller 1 match) = 5 5 =1 0.138 0.8618 0.138 0.8618 0.1435. " 0 1 6. Sannolikheten att det är två likadana bokstäver som fallit ned är = ; i så fall blir det säkert rätt. Sannolikheten att det är två olika bokstäver som fallit ned är 1 = ; i så fall är sh att det blir rätt. Sannolikheten att det blir rätt är 1 + = a) Väntevikt 55+50 = 105 g; varians 16+9 = 5, standardavvikelse 5 gram. Låt vara sammanlagda vikten. [ < 100] = Φ """# = Φ( 1) = 1 Φ(1) 0.158 b) 1 bruna ägg; förväntad vikt 1 55 = 660 g, varians 1 16 = 19 10 vita ägg; förväntad vikt 500g, varians 10 9 = 90 Totalt; förväntad vikt 1160g, varians 8, standardavvikelse 8 16.8 g 8) Under är förväntad vikt av 100 ägg 5000 g och varians 9 100 dvs standardavvikelse 30 g. Ensidigt test ger 5000.363 30 4930 Om handlaren får en totalvikt på 4930 gram eller lägre ska han förkasta hypotesen. 9a) () = 1 " där = 50 = dvs = 0.0. Om den givna komponenten har livslängd så fås [ > 150] = 1 [ < 150] = 1 (150) = 9b) Antalet, säg, som fungerar är binomialfördelat med n = 8 och p = 0.050 8 8 8 [ ] = 0.05 0.95 + 0.05 0.95 + 0.05 0.95 0.994 0 1
10) Låt händelsen A vara "det kommer män nästa minut" och B vara "det kommer 3 kvinnor nästa minut". Dessa händelser är oberoende. [ ] = =. Att händelsen skall inträffa två på varandra följande minuter har sannolikheten Den betingade sannolikheten blir alltså = 0.061. 11a) 3/8 av de tillfrågade svarar ja. Korrigeringsfaktorn är ""#""" ""#" 0.9988. Andelen är ± 1.96 "" 0.9988. Antalet jasägare är 380±91 eller [989, 451] 1b) 49 kvinnor av 84 svarar ja, ger skattad andel /1 5 män av 60 svarar ja, ger skattad andel 1/1 Differensen mellan skattningarna är 0.5. Utan korrigeringsfaktor ger detta att ett konfidensintervall för differensen är 0.5 ± 1.96 """ + """ 0.5 ± 0.13. Vi ser att redan utan korrigering ligger nollan utanför intervallet så hypotesen förkastas. 1) Koordinaterna (X, Y) är likformigt fördelade på en kvadrat med hörn i origo, (1, 0), (1, 1) och (0, 1). Hypotenusans längd är + som är större än 1 utanför enhetscirkeln. Sökt sh är = 13) En dvärg blir inte vald och en väljs två gånger, det är 6 möjligheter. För den dvärg som väljs två gånger finns möjliga par av veckodagar då han väljs. De återstående fem dvärgarna kan fördelas på de återstående fem dagarna på 5 sätt. Antal gynnsamma utfall är alltså 6 5 =. Totala antalet utfall är. Den sökta sannolikheten är = 0.185 14a) E[X 5Y] = 5 + 5 10 = 0 V[X 5Y] = 4 36+5 9; S[X 5Y] = 4 36 + 5 9 = "# 14b) E[X Y] = 5 0 = 5; V[X Y] = 36+36 = ; S[X Y] = P(X Y < 0) = Φ " = 1 Φ 14c (i) E[ " ] = 10E[X] = 50 " S[ ] = 10 S[X] = " 15c (ii) E[] = S[] = " [] " "[] = = 5 " " [] " = " " 1 Φ(0.589). "#
15) Med 95% konfidensintervall är = "# "# ± 1.96 "" "# "" och "" "" = "# "# ± 1.96 "" "# "" "" "" Ett 95% konfidensintervall för differensen är 0.35 0.30±1.96."." +.. = 0.05±0.056 "" "" 0 ligger i intervallet. accepteras. 3b) Ett ensidigt 95% intervall är 0.05 1.6449."." "" +.. "" = 0.05 0.04 0 ligger utanför intervallet. förkastas. Anm. Det ser konstigt ut, vi förkastar mothypotesen att de skulle vara olika men vi accepterar mothypotesen att B är bättre. Metoderna bygger på att vi måste välja mothypotesen innan vi gör testet. 16a) = ""#" 16b) På måndagen kan det vara vilken dvärg som helst. På tisdag och onsdag måste det vara samma som på måndagen. Sh är 1/49 16c) Vi väljer 4 av utan återläggning med hänsyn till ordning: 6 5 4 = "# 16d) Vi skall välja av med återläggning utan hänsyn till ordning: + 1 13 = = " = "#.