Uppgift 1 (14p) I en hockeymatch mellan lag A och lag B leder lag A med 4-3 när det är en kvart kvar av ordinarie matchtid. En oddssättare på ett spelbolag behöver bestämma sannolikheten för de tre matchutfallen A 1 = A vinner, A X =A och B spelar oavgjort och A 2 =B vinner, där samtliga utfall avser resultat efter ordinarie matchtid och inte resultat efter eventuell förlängning och straffar.oddssättaren bedömer att lagen är lika bra och utgår från följande modell: X A ~Pois(1)och X B ~Pois(1) där X A och X B är antalet mål som lag A respektive lag B gör den sista kvarten. Vidare antar hon att X A och X B äroberoende av varandra. Utgå från oddssättarens modell och bokens tabell över kumulativa sannolikheter över poissonfördelningen då du löser nedanstående deluppgifter: a) Vad är sannolikheten att lag A gör två mål till? b) Vad är sannolikheten att lag A vinner med 5-4? c) Visa att sannolikheterna för de tre matchutfallen A 1, A X och A 2 är 0.65433, 0.215323 respektive 0.130347. Vid oavgjort resultat vid full tid vidtar förlängning och i händelse av att inget mål görs under den fem minuter långa förlängningen avgörs matchen genom straffläggning så att ett segrande lag kan koras. Om ett segrande lag kan koras under ordinarie matchtid får det laget tre poäng och det förlorande laget noll poäng. Om en segrare kan koras först efter förlängning alternativt straffläggning får det segrande laget två poäng och det förlorande laget en poäng. Anta i den aktuella matchen att i händelse av ett oavgjort resultat efter ordinarie matchtid har båda lagen lika stor chans att få med sig två poäng. d) Vad är lag A:s förväntade poäng då de leder med 4-3 när det är en kvart kvar att spela? e) Vad är lag B:s förväntade poäng vid samma tidpunkt? f) Anta istället att X A ~Pois(2) och X B ~Pois(2). Blir lag A:s förväntade poäng större, lika stor eller mindre än den förväntade poängen som efterfrågades i deluppgift d? Endast svar krävs, ingen motivering. Uppgift 2 (10p) I Dagens Nyheter lördagen den 13 oktober 2013 kunde man läsa om en undersökning, som visade att världen är bättre än vi svenskar tror. Ett slumpmässigt urval av svenskar fick svara på sju frågor med olika svarsalternativ. För de flesta frågor visade det sig att det svarsalternativ, som flest personer i undersökningen valde låg tämligen långt från det rätta svarsalternativet. På de två kommande sidorna finns samtliga frågor återgivna med tillhörande svarsalternativ. För varje fråga finns också information om vilket alternativ de flesta valde och vilket alternativ som är det rätta alternativet.
Skolgång 1. I världen har män i åldern 25-35 år i genomsnitt gått 8 år i skola. Hur många år tror du att kvinnor i samma åldersgrupp har gått i skola? Svarsalternativ: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11- Rätt svar: 7 Flest svar: 4 Mobilabonnemang 2. I Afrika bor ca 1000 miljoner människor. Ungefär hur många miljoner mobilabonnemang tror du finns registrerade i Afrika? Svarsalternativ: <100 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Rätt svar: 800 Flest svar:100 Barnadödlighet 3. Hur många procent av alla födda barn i världen tror du dör innan de har fyllt 5 år? Vaccination Svarsalternativ: 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Rätt svar: 5 Flest svar: 10 4. Hur många procent av världens alla ettåringar tror du är vaccinerade mot mässling? Svarsalternativ: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Rätt svar: 80 Flest svar: 20 Analfabetism 5. Hur många procent av världens vuxna befolkning (äldre än 15 år) tror du kan läsa och skriva? Svarsalternativ: 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Rätt svar: 80 Flest svar: 60
Medellivslängd 6. År 2013 är medellivslängden i Sverige 82 år. År 1800 var medellivslängden i Sverige ca 40 år. Vad tror du världens befolkning har för medellivslängd idag? Fatigdom Svarsalternativ: -45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86- Rätt svar: 71-75 Flest svar: 56-60 7. Sett till de senaste 20 åren, hur tror du andelen av världens befolkning som lever i extrem fattigdom har förändrats? Svarsalternativ: Ökat Inte förändrats Minskat Rätt svar: Minskat Flest svar: Ökat Anta att en person slumpar ut svarsalternativ på de olika frågorna på ett sådant sätt att sannolikheten är densamma för samtliga svarsalternativ för en given fråga. Vidare definierar vi den stokastiska variabeln X i, antal svarsalternativ det utslumpade svarsalternativet ligger från det rätta svarsalternativet för fråga i där i = 1,, 7. Om exempelvis det utslumpade svarsalternativet på fråga 2 är 300 antar variabeln X 2 värdet 5 eftersom det utslumpade svarsalternativet ligger 5 svarsalternativ från det sanna svarsalternativet 800, om det utslumpade svarsalternativet på fråga 7 är Ökat antar variabeln X 7 värdet 2, osv. I händelse att det utslumpade svarsalternativet sammanfaller med det rätta svarsalternativet antar naturligtvis den aktuella variabeln värdet 0. a) Härled fördelningen för X 1 och beräkna sannolikheten att det utslumpade svarsalternativet ligger minst lika nära det sanna svarsalternativet som det svarsalternativ som de flesta i undersökningen har angett. b) Visa, avrundat till två decimaler, att E X 1 = 2.67. 7 c) Låt T = i=1 X i. Vilket värde på T får vi om de utslumpade svarsalternativen sammanfaller med de svarsalternativ, som de flesta har angett för respektive fråga? d) Det gäller att E X 2 = 3.55, E X 3 = 4.18, E X 4 = E X 5 = 3.1 E X 6 = 2.7 oche X 7 = 1. Visa att E(T) är mindre än det tal du angav som svar i närmast föregående deluppgift. Hur tolkar du det?
Uppgift 3 (12p) Om du kastar ett litet plastdjur hamnar det stående på fyra ben med sannolikheten p. LåtX = antal kast tills djuret hamnar stående. a) Vilket antagande krävs för att X kan sägas vara geometriskt fördelad med parameter p. b) Låt X 1, X 2,, X n vara ett slumpmässigt urval från den omtalade fördelningen. Visa att såväl ML-estimatorn som momentestimatorn för p ges av 1/X. c) Ge en punktskattning av p med utgångspunkt från följande utfall på variabeln X: 12 6 3 5 5 9 10 7 Uppgift 4 (10p) Anta att vi har två oberoende stickprov av storlek n 1 = 2 och n 2 = 3 från två populationer med fördelning f(x) respektive g(y). Vi önskar testa nollhypotesen att fördelningarna är identiska mot alternativhypotesen att fördelningen för Xligger till höger om fördelningen för Y. Vald signifikansnivå är 10 %. Betrakta fördelningen nedan över Mann-Whiteys U- statistika under nollhypotesen för de aktuella stickprovsstorlekarna: u 0 1 2 3 4 5 6 P U = u 0.10 0.10 0.20 0.20 0.20 0.10 0.10 a) Har du stöd för alternativhypotesen om de två observationerna från det minsta stickprovet båda är större än den största observationen från det största stickprovet? Motivera med p-värdesmetoden! b) Hur ser fördelningen för W ut, där W = rangsumman för det lilla stickprovet? Ledtråd: Tänk på hur relationen ser ut mellan U och W. c) Visa, med ett kombinatoriskt resonemang, att sannolikheterna för de olika värden som U kan anta ser ut som i tabellen ovan. Uppgift 5 (8p) En pojke spelar League of Legends, ett onlinespel på datorn. Tidsåtgången för ett spel kan betraktas som en normalfördelad stokastisk variabelmed väntevärde 40 minuter och standardavvikelse 10 minuter. a) Hur stor är sannolikheten att tidsåtgången överstiger 45 minuter? b) Föräldrarna till pojken tycker att det är trevligt om hela familjen kan äta middag tillsammans, men när de ropar att maten är klar är inte sällan sonen inne i ett game
och kan omöjligt sluta spela.hur lång tid innan maten är klar kan sonen senast påbörja ett spel för att sannolikheten att familjen kan äta tillsammans ska vara minst 0.9? Uppgift 6 (6p) För att undersöka om hockeydomare är lika rättvisa lät man två elitseriedomare (nuvarande domare i SHL) granska videoupptagningar av åtta elitseriematcher. Man undersökte sedan antalet dömda utvisningar av vardera domaren i respektive match. Följande resultat erhölls: Match 1 2 3 4 5 6 7 8 Domare 1 7 15 13 17 9 5 6 8 Domare 2 6 11 10 12 7 5 12 9 Testa på 5 % signifikansnivå om det finns skillnader i antal dömda utvisningar mellan de två elitseriedomarna. Du har fått lära dig två icke-parametriska test för denna situation. Använd det icke-parametriska test som har störst styrka.