Karin Landtblom Hur sannolikt är det? Uttrycket Hur sannolikt är det på en skala? använder många till vardags, ofta med viss ironi. I denna artikel om grunder för begreppet sannolikhet åskådliggör författaren begreppet, bland annat genom att pricka in olika sannolikheter på en skala från noll till hundra procent. Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har en katt? Hur stor är sannolikheten att någon i klassen har 20 katter? Hur stor är sannolikheten att det är julafton i morgon? Hur stor är sannolikheten att du ska gå till skolan i morgon? Hur stor är sannolikheten att en hund säger god morgon när den vaknar? Hur stor är sannolikheten att du inte vill gå och lägga dig på kvällen? Hur stor är sannolikheten att du andas varje dag? Slumpmässiga händelser Är detta matematik, att svara på mer eller mindre tokiga frågor? Ja, det är det! Det står till och med i Lgr 11. Inte just de här frågorna förstås, men de är exempel på hur vi kan behandla det centrala innehållet slumpmässiga händelser, vilket finns med redan från årskurs 1 3. Om vi tittar på frågorna ser vi att innehållet är av olika karaktär. Svaren till vissa kan vara mer eller mindre troliga eller sannolika. Att någon elev i klassen har en katt kan vi nästan utgå ifrån, vilket leder till en sannolikhet nära 100 %. Att någon i klassen har 20 katter är däremot mycket mer osannolikt, vilket leder till en sannolikhet nära 0 %. Frågorna om att en hund pratar och om att du andas kan endast besvaras med nej respektive ja. Sannolikheten för att en händelse ska inträffa varierar mellan 0 % och 100 % och med de olika frågeställningarna kan eleverna på ett spännande sätt närma sig begreppet sannolikhet. Om sannolikheten är 0 % kan man även säga att den är 0 och på samma sätt kan man säga att sannolikheten är 1 då den är 100 %. I den här typen av övning ges tillfälle att införa begreppet sannolikt. I de resonemang som uppstår när eleverna svarar på frågorna kommer de att uttrycka sig med olika synonymer och benämningar såsom slump, chans, risk, troligt och otroligt. De har lärt sig orden i skilda sammanhang och som lärare kan vi ge alternativa formuleringar med begreppet sannolikt. Övningen är kommunikativ och läraren får möjlighet att lyssna på de resonemang som förs, men också hjälpa till att förstärka den matematiska argumentationen i elevernas resonemang. Beroende på frågeställning kan den matematik som berörs vara på olika nivå. Frågorna kan diskuteras utifrån om de är otroliga eller troliga, vilket är lättare att förstå än sannolikheten uttryckt som en del av en helhet. Att förstå att sannolikheten för att det är julafton i morgon är 1/365, alltså en dag av ett helt år, är inte helt enkelt. Eleverna kan ha svårt att överblicka ett 27
så långt tidsintervall och att uttrycka det i procent är ingen större mening för dem. Däremot kan vi resonera om sannolikheten och komma fram till att det är bara en av årets alla dagar då detta påstående är sant, vilket gör att det är ganska otroligt att frågan kommer att besvaras med ja. Särskilt som det dessutom inte brukar vara skoldag dagen för julafton. Följande lektionsförslag är exempel på övningar som är tänkta att placera elevernas egna föreställningar om hur sannolikt något kan vara i en matematisk kontext. Övningarna syftar också till att ge eleverna en struktur för hur sannolikheten för en händelses utfall kan beskrivas, dels i förhållande till en slags skala och dels i förhållande till andra händelser. Hur sannolikt är det? 1. Bygg upp en struktur för hur olika händelser kan illustreras Sannolikheten för att en hund pratar. Sannolikheten för att du andas varje dag. 0 % 100 % Ställ olika frågor med sannolikheten 0 eller 1. Välj ett lämpligt sätt hur du benämner gränserna. Procentskalan känner elever igen från exempelvis datorer som laddar ner program. För yngre elever kan det var lämpligt att även markera ändpunkterna med olika färger. Det viktiga är att eleverna får en känsla för att sannolikheter begränsas av aldrig och alltid eller otroligt och troligt. Arbetar du med en smartboard kan du dra frågorna till lämplig placering och arbetar du med en whiteboardtavla kan du använda lappar och magneter. 2. Öka strukturens användbarhet med fler referenspunkter? 0 % 50 % 100 % Nästa steg är att skapa fler referenspunkter i denna struktur och en naturlig progression är att markera mitten, 50 %, på tallinjen där händelser som är lika troliga som otroliga placeras. Frågor här kan vara: Hur stor är sannolikheten att ett barn som föds är en flicka? Eller pojke? Hur stor är sannolikheten att få krona om du singlar slant? Det fortsatta arbetet kan ske på olika sätt. Eleverna kan föreslå en händelse som skulle kunna placeras på mittplatsen eller så får de ta ställning till några 28
förberedda förslag. Strukturen kan sedan byggas ut och en styrka är att den inte är exakt. Frågan om julafton kan placeras långt till vänster utan att man behöver beräkna ett exakt värde, det räcker att komma överens med eleverna om ungefär var på tallinjen frågan hör hemma. Övningen kan utvecklas genom att eleverna själva skriver frågor eller formulerar påståenden. Antingen kan de skriva helt fritt och sedan gemensamt resonera om var de ska placeras in på tallinjen eller så anger läraren vilket utfall fråge ställningen ska beskriva, exempelvis 25 %. 3. Sortera händelser genom resonemang I den här övningen ska eleverna sortera kort med olika händelser, från otroligt/osannolikt till troligt/sannolikt. Händelserna som beskrivs är av kategorin osannolik till sannolik och mellan dessa ytterligheter placeras händelserna i en glidande skala. Förslag på vad som skulle kunna stå på korten: Solen kommer att skina idag. Idag föds det ett barn i Stockholm. Om du slår en tärning kommer du att få ett tal större än tre. Fågeln kan simma. Fisken kan simma. Om du slår en tärning fem gånger får du fem femmor. På lördag ska du flyga till månen. Till lunch kommer vi att serveras rostade gräshoppor. Du kommer att äta en smörgås idag. Om du drar ett kort ur en kortlek så kommer det vara ett rött kort. Du kommer att titta på TV ikväll. Slumpmässiga händelser i experiment och spel Efter att ha bearbetat det mest grundläggande i begreppet sannolikhet kan nästa steg vara att undersöka slumpmässiga händelser i experiment och spel. Sannolikhetsövningar i läromedel behandlar ofta spel med tärningar eller snurror. Detta är också vanligt på många webbplatser. Nu blir innehållet mer matematiskt, jämfört med de tidigare frågorna, och det är viktigt att vara medveten om på vilken nivå övningarna ligger så att de ger eleverna möjlighet att utveckla sina matematiska förmågor från där de befinner sig. Det finns snurror av olika slag, både som laborativt material och på nätet. Av dessa tre snurror skulle den som visar halvor och den som visar fjärdedelar kunna vara lämpliga som en uppföljning av det första lektionsförslaget. Däremot kan den tredje snurran som är indelad i sjundedelar orsaka problem för elever som inte har utvecklat sin begreppsuppfattning om bråk, samtidigt som den kan vara en utmaning för andra elever. 29
Samma slags resonemang går att föra om vi istället väljer att arbeta med tärningar. Om sjättedelarna vållar bekymmer går det att omformulera i texterna. Istället för att fråga efter hur stor sannolikheten är att få en etta kan frågan vara hur stor sannolikheten är för att få ett udda tal. Övningen handlar då om sannolikheten 50 %, vilket kan vara lättare att förstå. Tomma tärningar kan märkas med tre ettor och tre tvåor. En fördel med att arbeta med spel och sannolikhet är enkelheten att koppla till elevernas egna erfarenheter. Ett bekant spel kan vara vad som behövs för att visa eleverna att matematiken finns i vardagen. Diskutera vad som gör spel rättvisa, till exempel vad som krävs av en tärning för att det inte ska gå att fuska. Slumpmässiga händelser 1. Undersök slumpmässiga händelser i experiment och spel Välj en för eleverna lämplig snurra. Låt dem skriva ner en hypotes om hur de tror att resultatet kommer att bli om de snurrar 10 gånger och låt därefter eleverna utföra experimentet enskilt eller i par. Låt eleverna bokföra sina resultat i en tabell med en spalt för avprickning och en spalt för frekvens. händelse avprickning frekvens röd blå I den här typen av övning är det av stor vikt att göra många försök för att få en större överensstämmelse mellan det experimentella resultatet och den förväntade sannolikheten. Det går naturligtvis också att beräkna sannolikheten. När eleverna har genomfört experimentet där de har snurrat 10 gånger var, är det lämpligt att sammanföra hela klassens resultat på tavlan. Sedan kan klassen diskutera resultatet med stöd av de resonemang som förekom i det första lektionsförslaget utifrån olika frågeställningar som: Hur stor är sannolikheten att pilen stannar på blått? Hur stämmer resultatet av vårt experiment överens med hypoteserna? Hur kan det komma sig att en elev har fått två röda och åtta blå medan en annan elev har fått tvärtom? Det är också intressant att följa upp elevernas hypoteser vilka ofta är av två slag: antingen utifrån ett antagande om sannolikhet eller utifrån favoritfärg. 30
Övningen kan varieras genom att singla slant eller att dra en kula ur en påse med två kulor i olika färg. 2. Använd resonemang om slumpmässiga händelser Nästa steg i progressionen är övningar där ett resonemang om sannolikhet kan vara en framgångsfaktor. Ett förslag på en sådan övning är Högre eller lägre som finns beskriven på www.subtangent.com/maths/higher-lower.php. Använd en kortlek, eller kort med tal, till exempel 1 10. (Använder man en kortlek är det viktigt att eleverna förstår kortens värden.) Utgången och möjligheterna i denna övning är också beroende av hur många kort det är av varje valör. I denna typ av övning är det sannolikt att det blir ett högre kort om vi utgår från en trea. Men det skulle faktiskt kunna vara så att det är en tvåa som kommer som nästa kort. Sammanfattning I denna artikel har jag utgått från vad elever kan anse är troligt eller otroligt och med hjälp av detta visat en struktur för att sortera och uppskatta hur sannolika händelser är. Aktiviteterna är valda utifrån ett kommunikativt perspektiv med avsikt att sätta eleverna i situationer där de får praktisera både sitt språk och sina föreställningar av begreppet sannolikhet. att läsa Repo, P. (2013). Sagt & gjort: Sannolikhet från början. Nämnaren 2013:1. Landtblom, K. (2013) Alla dessa möjligheter kombinatorik och resonemang. Nämnaren 2013:2 Länkar talsnurra högre eller lägre interaktiva snurror you never get a six www.skolplus.se/lessons/talsnurra www.subtangent.com/maths/higher-lower.php nrich.maths.org/6033 nrich.maths.org/2400 31