Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2010-10-27 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Erland Gadde, Ove Edlund Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: 0766-317460 Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium i Regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan rättas upp på grund av slarvfel. På del 1 ges inga delpoäng på uppgifterna. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 19 poäng på del 1. Med 4 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (9)
1. I textilfabriken kontrollerar de två kontrollanterna Adam och Berit alla plagg efter att de sytts ihop. De ska båda två granska alla plagg, och de ska också genomföra granskningarna så att de är oberoende av varandra. Anta att en viss typ av plagg är defekt, och att sannolikheten att Adam upptäcker detta är 91% och motsvarande för Berit är 96%. (a) Beräkna sannolikheten att ingen av dom upptäcker defekten. (b) Beräkna sannolikheten att exakt en av dom upptäcker defekten. (c) Beräkna sannolikheten att minst en av dom upptäcker defekten. (d) Givet att minst en av dom upptäcker defekten, hur stor är sannolikheten att Berit upptäcker defekten? 2. En forskare konstruerar med hjälp av metoden i avsnitt 8.2.2 i Vännman tolv konfidensinervall I 1, I 2,..., I 12 för väntevärdena µ 1, µ 2,..., µ 12 i tolv olika normalfördelade populationer. Varje intervall har konfidensgrad 95 % och de tolv stickproven antas vara oberoende. Vad är sannolikheten att minst 9 av de 12 intervallen täcker sitt väntevärde? 3. Sannolikheten att en flygkrash inträffar någonstans i världen under en dag är 1.096%. Antag, vilket är ganska rimligt, att flygkrasher under olika dagar inträffar oberoende av varandra. Beräkna, antingen exakt eller med hjälp av Poissonfördelningen, sannolikheten att det sker en flygkrash under minst fem dagar på ett år (365 dagar). 4. Inger har en aktieportfölj värd 750 kkr. Portföljens värde den 31 december 2010 betecknas ξ och antas ha en N(770, 130)-fördelning. (a) Beräkna sannolikheten att portföljen är värd mindre än 600 kkr den 31 december. (b) För att försäkra sig mot kursfall har Inger köpt ett finansiellt kontrakt som ger utbetalningen 200 kkr om ξ 600, 100 kkr om 600 < ξ 700, och 0 kr om ξ > 700. (1) Beräkna den förväntade utbetalningen som kontraktet ger 1. 5. En fiskares väntetider ξ 1, ξ 2,... mellan napp ( napp betyder att en fisk fastnar på kroken) antas vara oberoende och Exponentialfördelade med väntevärde 1/λ = 10 minuter. Man kan visa att τ = ξ 1 + ξ 2 + ξ 3 + ξ 4, 1 Svaret på b) skulle kunna användas för att prissätta kontraktet. I praktiken så används dock den s.k. log-normalfördelningen för att beskriva aktiekurser. 2 (9)
som är tidpunkten för det fjärde nappet, har en sk Gammafördelning. Dess frekvensfunktion är f τ (x) = λ4 6 x3 e λx, x > 0. (2) (a) Bestäm väntevärdet E(τ). (b) Bestäm variansen V (τ). (c) Låt ξ vara den genomsnittliga väntetiden fram till och med det fjärde nappet. Bestäm variansen V ( ξ). 6. På ett sjukhus där man skickar vissa av sina blodprover till två olika laboratorier för analys ville man utföra en undersökning för att testa om laboratorierna mäter likvärdigt. Vid undersökningen tog man ett enda blodprov på 6 ml från en patient och sände 3 ml var till de två laboratorierna, som vart och ett fick göra 9 oberoende mätningar på provet. Resultatatet av mätningarna, i kodade enheter, ges nedan: Mätning 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Lab 1 31.2 30.2 43.8 38.0 34.3 35.8 27.7 40.8 29.8 Lab 2 40.7 34.7 41.6 40.6 40.4 31.1 32.1 27.6 31.5 En beräkning av medelvärden och stickprovsstandardavvikelser gav x 1 = 34.63, x 2 = 35.59, s 1 = 5.45, s 2 = 5.29. Beräkna ett lämpligt 95% konfidensintervall för den genomsnittliga skillnaden under rimliga normalfördelningsantaganden. För att genomföra ett tvåsidigt hypotestest av H 0 : ingen genomsnittlig skillnad mellan Lab 1 och Lab 2 på 5% signifikansnivå så kan man använda beslutsregeln: förkasta nollhypotesen om det beräknade intervallet inte täcker noll. Om denna beslutsregel tillämpas, skall nollhypotesen då förkastas? För 2 poäng kvävs rätt nedre gräns och rätt svar (ja eller nej). 7. Vätetomen består av en atomkärna och en enda elektron. Innan mätning kan elektronens position relativt atomkärnan betraktas som slumpmässig, och avståndet mellan kärnan och elektronen kan därför beskrivas med en slumpvariabel ζ. Då atomen befinner sig i grundtillståndet ges frekvensfunktionen för ζ av f ζ (x) = 4 a 3 0 x 2 e 2x/a 0, x > 0, där a 0 är den s.k. Bohr-radien. Använd definitionen av väntevärde för en kontinuerlig slumpvariabel för att beräkna E[ζ], det förväntade avståndet mellan kärnan och elektronen i en väteatom i sitt grundtillstånd. Du kan använda att funktionen f τ (x) från uppgift 5 för varje värde på λ > 0 är en frekvensfunktion, vilket betyder att 0 f τ (x)dx = 1. 3 (9)
8. Antag att x 1,..., x n är ett observerat stickprov från en N(µ, σ)-fördelning, där σ = 1.6 är känd. För att testa H 0 : µ = 15 mot H 1 : µ > 15 på 5% signifikansnivå används medelvärdet x som testvariabel. (a) Om n = 10 kan beslutsregeln: förkastas H 0 om x > 15.83 användas. Beräkna detta tests styrka i punkten µ = 16. (b) Om n 10 så skall en annan beslutsregel användas för att genomföra testet på 5% signifikansnivå. Bestäm n och testet så att testets styrka i punkten µ = 16 blir minst 90%. Ange det minsta värdet på n som ger en styrka på minst 90%. 9. En studie av hur mycket av det biologiska materialet som finns kvar vid frystorkning av jäst 2 har resulterat i analysen i tabell 1. Under försöket användes procentandel glycerin på nivåerna 10, 20 och 30% (Glycerine), och avkylningshastighet på nivåerna 10, 20 och 30 C/min (Speed), vilket gav totalt 9 observationer av hur många procent biologiskt material som finns kvar i jästen efter frystorkning (Material). (a) Bestäm residualspridningen s e. (b) Bestäm förklaringsgraden R 2. (c) För att avgöra om Speed ska vara med som förklarande variabel på 5% signifikansnivå, jämförs t-kvot med ett tal. Ange detta tal, samt ange om Speed ska behållas som förklarande variabel. (d) Finn ett 95% konfidensintervall för hur Material förändras i genomsnitt om Glycerine ökar med 1% och Speed hålls konstant. Svara med den övre gränsen. Tabell 1: Regression Analysis: Material versus Glycerine; Speed The regression equation is Material = 107-0,050 Glycerine - 0,900 Speed Predictor Coef SE Coef T P Constant 107,333 3,555 30,19? Glycerine -0,0500 0,1208-0,41? Speed -0,9000 0,1208-7,45? S =? R-Sq =? R-Sq(adj) = 87,0% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression? 487,50 Residual Error? 52,50 Total? 540,00 Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 2 Savova I, Donev TN, Tepavicharova I and Alexandrova T (1989). Comparative studies on the storage of freeze-dried yeast strains on the genus Saccharomyces. In Proceedings of the 4th International School on Cryobiology and Freeze-drying, 29 July 6 August 1989, Borovets, Bulgaria, p32 33. Bulgarian Academy of Sciences Press, Sofia. 4 (9)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Fråga Svar Poäng 1 a Sannolikhet (procent, två decimaler) 0.36 1 b Sannolikhet (procent, två decimaler) 12.28 1 c Sannolikhet (procent, två decimaler) 99.64 1 d Sannolikhet (procent, en decimal) 96.34 1 2 Sannolikhet (procent, en decimal) (99.8) 99.77 2 3 Sannolikhet (procent, en decimal) 37.1 2 4 a Sannolikhet (procent, en decimal) 9.5 (9.549 exakt, Φ( 1.31) = 9.5098) b Väntevärde (en decimal) 39.0 (39.07 exakt) 1 5 a Väntevärde (en decimal) 40 1 b Varians (en decimal) 400 1 c Varians (en decimal) 25 1 6 Nedre gräns (en decimal), samt ja eller nej 6.36, Nej 2 7 Väntevärde (uttryckt i a 0 ) 3 2 a 0 1 8 a Styrka (procent, en decimal) 63.2 (65.16 exakt, 1 Φ(0.36) = 64.1 ok) b n 22 2 9 a Residualspridning (två decimaler) 2.96 1 b Förklaringsgrad (två decimaler) 90.27 1 c t-kvot jämförs med (två decimaler) 2.45 Ja eller Nej Ja 1 d Övre gräns (två decimaler) 0.25 2 Totalt antal poäng 25 5 (9)
6 (9)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2010-10-27 Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden. 10. En fiskares väntetider ξ 1, ξ 2,... mellan napp ( napp betyder att en fisk fastnar på kroken) antas vara oberoende och Exponentialfördelade med väntevärde 1/λ = 10 minuter. Beräkna sannolikheten att fiskaren lyckas få åtminstone 40 napp på fem timmar=300 minuter. Välmotiverade approximationer godtas. (10p) 11. Victoria har alltid undrat om sannolikheten att få klave vid slantsingling faktiskt är 0.5. Hon beslutar sig därför för att kasta sin favoritenkrona (som hon fick när hon tappade sin första tand) 1000 gånger. (a) Föreslå ett lämpligt hypotestest. Testvariabel, beslutsregel och fördelningsantaganden skall tydligt framgå. Välmotiverade approximationer får användas för att bestämma testet så att det får signifikansnivån 10%. (b) Finns det anledning att tro att hennes mynt är asymmetriskt om 516 klavar fås på de 1000 kasten? Använd testet i a) för att besvara frågan. (8p) 12. Vi fortsätter att arbeta med datamaterialet som användes i del 1, uppgift 9. Själva datamaterialet redovisas i tabell 2 nedan. Analysen i tabell 1 har problem som blir uppenbara om alla? ersätts med sina värden. För att komma till rätta med detta provar vi två alternativa lösningar. I tabell 3 har ytterligare en förklarande variabel, Glycerine^2, lagts till, som är kvadraten på Glycerine. (a) Ange fullständiga modellantaganden för analysen i tabell 3. Utgående från minitabutskiften, och residualanalysen i figur 1, samt vid jämförelse med tabell 1, ange vilka förtjänster och problem som analysen uppvisar. (3 p) (b) Det andra angreppssättet är att helt ta bort glycerinhalten som förklarande variabel, vilket resulterar i enkel regression med resultat i tabell 4 och figur 2. Ange fullständiga modellantaganden och ange vilka förtjänster och problem som detta angreppssätt har, jämfört med de tidigare resultaten. (3 p) (c) För den enkla regression som beskrivs i tabell 4, bestäm ett konfidensintervall som med 95% säkerhet innehåller procenten biologiskt material som finns kvar i frystorkad jäst om avkylningshastigheten är 15 C/min. Tips: De nödvändiga parametrar som inte är givna i tabell 4, är för detta problem relativt enkla att beräkna via handräkningar, så de ges inte här utan ska beräknas och redovisas. (4 p) 7 (9)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2010-10-27 Tabell 2: Datamaterialet som beskriver hur procenten biologiskt material i frystorkad jäst (Material) varierar med procentandel glycerin och avkylningshastighet i C/min. Glycerine 10 10 10 20 20 20 30 30 30 Speed 10 20 30 10 20 30 10 20 30 Material 96 85 82 100 92 80 96 88 76 Tabell 3: Regression Analysis: Material versus Speed; Glycerine; Glycerineˆ2 The regression equation is Material = 95,7-0,900 Speed + 1,35 Glycerine - 0,0350 Glycerine^2 Predictor Coef SE Coef T P Constant 95,667 6,261 15,28 0,000 Speed -0,90000 0,09661-9,32 0,000 Glycerine 1,3500 0,6763 2,00 0,102 Glycerine^2-0,03500 0,01673-2,09 0,091 S = 2,36643 R-Sq = 94,8% R-Sq(adj) = 91,7% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 3 512,00 170,67 30,48 0,001 Residual Error 5 28,00 5,60 Total 8 540,00 Figur 1: Residualplottar vid regressionanalysen med Speed; Glycerine; Glycerineˆ2. 8 (9)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2010-10-27 Tabell 4: Regression Analysis: Material versus Speed The regression equation is Material = 106-0,900 Speed Predictor Coef SE Coef T P Constant 106,333 2,449 43,41 0,000 Speed -0,9000 0,1134-7,94 0,000 S = 2,77746 R-Sq = 90,0% R-Sq(adj) = 88,6% Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 486,00 486,00 63,00 0,000 Residual Error 7 54,00 7,71 Total 8 540,00 Figur 2: Residualplottar vid regressionanalysen med Speed. 9 (9)