Tekniska Högskolan i Linköping TAOP88 Matematiska Institutionen Lösning till tentamen Optimeringslära 9--7 Kaj Holmberg Lösningar Uppgift a: Inför slackvariabler x 5, x 6 och x 7 Starta med slackvariablerna i basen z - -4-6 x 4 x 5 8 x 6 5 Först fås x 3 som inkommande variabel och x 4 som utgående z - 3 6 x 3 5 5 5 x 5 8 x 6-5 5-5 5 Sedan fås x som inkommande variabel och x 6 som utgående z 7 x 3-5 x 5 3-8 x - - Nu är tablån optimal Optimallösningen blir x, x, x 3 5, (samt x 4, x 5 8, x 6 med v 7 Bivillkor och 3 är aktiva Duallösningen läses av i målfunktionsraden under slackvariablerna y, y, y 3, v 7 Svar i ord: Gör kakor av sort och 5 av sort 3 b: Optimallösningen är inte unik, ty ĉ Man skulle därför kunna få en lika bra lösning om man valde x som inkommande variabel Det skulle ge x 5 som utgående variabel, så optimalbasen skulle då bestå av x, x och x 3 Målfunktionsvärdet blir givetvis 7 c: Skuggpriser fås av duallösningen, och y 3 är störst av y och y 3 (bivillkor handlar ju inte om råvaror, så man tjänar mest på att öka högerledet till bivillkor 3, dvs skaffa mer av råvara d: Ny variabel x 7 Reducerad kostnad: ĉ 7 c a T y 5 ( + + >, Ja, vinsten skulle öka om man ökade x 7, dvs bakade nya kakan
Uppgift Börja med att för enkelhets skull numrera om variablerna, så att x blir x och x 3 blir x (Ej nödvändigt Byt tecken på målfunktionen: Min f(x 4x 6x + x + x Målfunktionen är summan av konvexa funktioner (linjära funktioner och kvadrater och bivillkoren linjära, så problemet är konvext Skriv problemet på standardform g (x x + x, g (x x 8, g 3 (x x + x 5, g 4 (x x, g 5 (x x, f(x g 4 (x ( 4 + x ( 6 + 4x, g (x (, g 5 (x (, g (x (, g 3 (x a: I startpunkten är bivillkor 4 och 5 aktiva Första LP-problemet blir min z 4d 6d då d, d, samt d, vilket har optimallösning d (, med z Sätt x ( (t, t Maximal steglängd blir /3 pga bivillkor Linjesökning ger t 5/3, så vi får t t max /3 och x ( (/3, /3 Nu är bara bivillkor aktivt LP-problemet blir min z 8/3 d /3 d då d + d, samt d, vilket har optimallösning d (, / med z Sätt x (3 (/3 + t, /3 t/ Maximal steglängd blir /3 pga bivillkor 3 Linjesökning ger också /3, så vi sätter t /3 och får x (3 (, / Nu är bivillkor och 3 aktiva LP-problemet blir min z d 4d då d + d, d + d, samt d, vilket har optimallösning d (, med z Alltså är x (, / optimal Svar: Gör kakor av sort och 5 kakor av sort 3 (Det blev samma svar som i uppgift ( b: Man kan se grafiskt att extrempunkterna är (,, (,, (, / och (3/, För punkt (, : KKT: Punkten är tillåten KKT: Bivillkoren, och 3 är inte aktiva, så u, u och u 3 ( 4 6 + u 4 ( + u 5 ( Detta ger u 4 4 och u 5 6, så KKT4 är inte uppfyllt Punkten är inte en KKT-punkt ( För punkt (, : KKT: Punkten är tillåten KKT: Bivillkoren, 3 och 5 är inte aktiva, så u, u 3 och u 5 ( 4 + u ( + u 4 ( Detta ger u och u 4 3, så KKT4 är inte uppfyllt Punkten är inte en KKTpunkt (,
För punkt (, /: KKT: Punkten är tillåten KKT: Bivillkoren, 4 och 5 är inte aktiva, så u, u 4 och u 5 ( 4 + u ( + u 3 ( Detta ger u + u 3 och u + u 3 4, vilket ger u och u 3, så KKT4 är uppfyllda Punkten är en KKT-punkt ( För punkt (3/, : KKT: Punkten är tillåten KKT: Bivillkoren, och 4 är inte aktiva, så u, u och u 4 ( 6 + u 3 ( + u 5 ( Detta ger u 3 och u 3 u 5 6, vilket ger u 5 5, så KKT4 är inte uppfyllt Punkten är inte en KKT-punkt Sammanfattningsvis är endast punkten (, / en KKT-punkt, och optimal, eftersom problemet är konvext c: Lagrangerelaxationen: ϕ(u min x X 4x 6x + x + x + u (x + x + u (x + x 5 där X {(x, x : x 8, x } Eftersom subproblemet är separabelt, kan vi skriva det som ϕ(u (min x 8(x + (u + u 4x + (min x (x + (u + u 6x u 5u, vilket betyder att vi kan göra optimering över x och x separat För u (, fås ϕ(, min x X 4x 6x +x +x, som har optimum för x och x 3/, vilket ger ϕ(, 8 9 + 4 + 9/ 85, och en undre gräns på 85 Lösningen är inte tillåten För u (, fås ϕ(, min x X 4x 6x +x +x +(x +x +(x +x 5 min x X x 3x + x + x 35, som har optimum för x och x 3/4, vilket ger ϕ(, 9/4 + + 9/8 35 45/8 565, vilket ger en förbättrad undre gräns 565 Lösningen är fortfarande inte tillåten Eftersom inget av bivillkoren är uppfyllt, bör de bästa värdena på u och u båda vara större än Uppgift 3 (Obs: min-problem och ett -bivillkor P: Grafisk lösning ger x 5, x 3 och z 5, vilket ger z Förgrena över x : P P + (x, P P + (x P: Saknar tillåten lösning Kapa P: Grafisk lösning: x, x 7/3 333, z, vilket ger z (dvs ingen förbättring av z Förgrena över x : P3 P + (x, P4 P + (x 3 P3: Grafisk lösning: x 5, x, z 5, vilket ger z 3 Förgrena över x : P5 P + (x, P6 P + (x P5: Saknar tillåtan lösning Kapa ( 3
P6: Grafisk lösning: x, x, z 3, heltalig lösning, vilket ger z 3 Kapa P4: Grafisk lösning: x, x 3, z 4, vilket ger z 4 Kapa, ty sämre än z 3 Trädet avsökt Bästa lösning x, x, med z 3 Svar i ord: Kör två gånger med bil och en gång med bil Uppgift 4 4a: Den givna startlösningen är tillåten och ger att basbågarna är (,5, (,3, (3,5, (5,4 och (5,6 Detta ger nodpriserna y, y 6, y 3, y 4, y 5 7, y 6, och följande reducerade kostnader: ĉ 3 5 > (optimalt ty x, ĉ 4 7 < (optimalt ty x u, ĉ 5 5 < (optimalt ty x u, ĉ 6 < (optimalt ty x u, ĉ 46 7 > (optimalt ty x Alla bågar optimala Lösningen optimal 4b: Ny båge, reducerad kostnad: ĉ 4 5 + y y 4 3 <, ej optimalt Öka Alltså välj x 4 som inkommande variabel, att öka Cykeln blir -4-5-3-, och maximal ändring blir, pga båge (,4, som blir utgående Inga nodpriser ändras, så inga reducerade kostnader ändras Vi har nu ĉ 4 3 <, optimalt, ty x u Lösningen är optimal Uppgift 5 5a: Handelsresandeproblem Billigaste -träd ger kostnad 39, vilket är en undre gräns Tillåten lösning är lite svårare att få Närmaste granne med start i nod 6 ger turen 6-7-8-9---3-4-5-6, med kostnaden 45 Flyttning av två bågar i -trädet ger turen -- 4-3-7-5-6-8-9-, med kostnaden 5 Vi får övre gräns 45 (eller 5 och undre gräns 39, så vår lösning kan vara 6 (eller enheter sämre än optimum, men inte mer 5b: Inför direktbågar mellan alla noder som man kan ta sig till via nod 4 eller nod 6 (om inte en billigare direktbåge redan finns För nod 4: inför båge (, 5 med kostnad 4 och båge (3, 5 med kostnad För nod 6: inför båge (5, 8 med kostnad 5 Lös som vanligt TSP Uppgift 6 6a: Använd Dijkstras metod Vi får vägen -3-5-8-, med kostnad 3 6b: Använd Fords metod Vi får vägen --3-5-8-9-, med kostnad 6c: Båge (7, 9 ingår i basträdet, och y 7 9, så vi får y 9 9 + c 79 och skulle kunna få y y 9 + 5 4 + c 79 Vi vill få y 3, vilket ger 4 + c 79 3, dvs c 79 7 Uppgift 7 7a: Finn maxflöde från nod till nod Lösningsgång: Sök maximal flödesökande väg med Dijkstras metod Vi får vägen -3-9-, med kapacitet 3 Skicka 3 enheter och ändra tillåtna riktningar (Båge (3, 9 blir full Sök åter maximal flödesökande väg med Dijkstras metod Vi får nu vägen -7-8-, med kapacitet 9 Skicka 9 enheter och ändra tillåtna riktningar (Båge (7, 8 blir full Sök åter maximal flödesökande väg med Dijkstras metod Vi får nu vägen -4-5-, med kapacitet 8 Skicka 8 enheter 4
och ändra tillåtna riktningar (Båge (4, 5 blir full I nästa iteration kan man i Dijkstras metod bara märka/nå noderna,, 3, 4, 6 och 7, så minsnittet går mellan dessa noder och de andra, dvs över bågarna (3, 9, (4, 5 och (7, 8 Maxflödet är 3, dvs 3 personer kan sätta sig i säkerhet Det är inte så bra, eftersom det finns 6 personer som skulle vilja ta sig ut (summan av kapaciteterna på bågarna från nod 7b: Kinesiska brevbärarproblemet Noderna, 3, 4 och 5 har udda valens De förbinds billigast med bågarna (, 3 och (4, 5, så dessa bågar dubbleras (körs mer än en gång till kostnad av En rundtur blir då tex -3 9-5-8-7-6-4-5-4-3-, med kostnaden 54 + 64 Uppgift 8 Efter första steget fås α (, 6, 8,, och β (,,,, Man kan stryka alla nollor genom att stryka rad 3 och 5 samt kolumn och 4, med minsta ostrukna element, vilket gör att vi får α (, 7, 8, 3, och β (,,,, Nu fås tex lösningen x, x 3, x 3, x 44, x 55, och total kostnad blir 8 Optimal duallösning är ovanstående α och β Summering av duallösningen ger 8, så starka dualsatsen är uppfylld 5