Kreativ matematik regneark Gudrun Malmer ved Matematikbienetten i Malmö 2003: nske en massa ord, men det är inte säkert att de har den rätte sortens ord. Det Trylleslaget Råd mod oprakte pegefingre. Corna Jette Sørensen Den som med sin pegepind terper os sin lære ind lukker døren til fornuften med sit trylleslag i luften. Piet Hein, Gyldne gruk & andet godt. (2003)
Indholdsfortegnelse 1. Baggrund... 3 1. del... 3 2. Fælles mål 2009, Matematik, Faghæfte 12... 3 2.1. Prioriteringer i planlægningsfasen... 5 2.2. Stilladsering gennem delmål, materialer og organisering.... 7 3. Fire nedslag... 8 3.1. Føraktivitet... 9 3.2. Underaktivitet 1 - læsning... 12 3.3. Underaktivitet 2 konsolidere viden og færdigheder... 13 3.4. Efteraktivitet lave opgaver selv... 14 4. Afsluttende bemærkninger... 16 2. del... 18 5. Operativ konstruktivisme... 18 5.1. Læring og undervisning... 19 5.2. Intentionel kommunikation... 20 6. Læreprocessen i centrum... 21 6.1. Lærer- elevroller et asymmetrisk forhold... 22 6.2. Giv eleverne hovedrollerne... 22 6.3. Opdragelse: Kommunikation om læreprocesser... 23 6.4. Kommunikeret klarhed... 24 7. Sammenhæng teori og praksis... 25 Litteratur... 26 Bilag 1. Læringscirklen... 27 2
1. Baggrund To 8.-klasser på Filstedevejen Skole i Aalborg har sammen med deres matematiklærere, Mette Printzlau og Lone Klausholm, arbejdet med regneark. Emnet var del af et treleddet forløb, hvor eleverne først arbejdede med funktioner for at kunne oner, de havde brug for at lægge ind bag cellerne for at løse netop deres opgaver. Derefter fulgte arbejdet med regneark, hvor målet var, at eleverne skulle blive kompetente brugere af dette redskab. Kompetent i denne sammenhæng var at kunne producere viden i regneark, foretage kvalificerede valg af diagrammer som udtryk for denne, samt formulere sig om emnet i et mundtligt og skriftligt fagsprog. De var herefter parate til at påbegynde arbejdet med tredje del af forløbet statistik, som skulle give dem mulighed for at tolke, forholde sig til og diskutere information formidlet i statistikkens særligt komprimerede fremstillingsformer. Det følgende er inddelt i to dele. I første del gengives overvejelser i planlægningen af den nævnte matematikundervisning, og der bliver lavet fire nedslag i forløbet for at illustrere, hvad der sker i en undervisning, der tilrettelægges ud fra den forudsætning, at eleverne skal lære at lære. 1 For at fremhæve det eksemplariske i forløbet, redegøres i anden del for centrale elementer i operativ konstruktivisme, den teoretiske ramme den konkrete undervisning kan skrives ind i. Overvejelser og konkrete eksempler fra praksis kan læses uafhængigt af det teoretiske afsnit, men ønskes indblik i den erkendelsesteori, der ligger til grund for undervisningen, kan det anbefales at læse anden del først. 1. del 2. Fælles mål 2009, Matematik, Faghæfte 12 Inden vi bevæger os over i det konkrete matematikforløb, redegøres for dele af de centralt givne rammer og lærerprioriteringer, der blev styrepinde i planlægning og gennemførelse af forløbet. Formål for faget matematik: 1 At lære at lære er kendetegnet ved selvbevidst selvforandring. Det foregår, når individet selektivt iagttager verden og derved sætter en indre proces i gang. 3
Formålet med undervisningen er, at eleverne udvikler matematiske kompetencer og opnår viden og kunnen således, at de bliver i stand til at begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer vedrørende dagligliv, samfundsliv og naturforhold. Stk. 2. Undervisningen tilrettelægges, så eleverne selvstændigt og gennem dialog og samarbejde med andre kan erfare, at arbejdet med matematik fordrer og fremmer kreativ virksomhed, og at matematik rummer redskaber til problemløsning, argumentation og kommunikation. Stk. 3. Undervisningen skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab. 2 Der fokuseres på både paratviden og vidensparathed - to uadskillelige størrelser ingen vidensparathed uden en platform af paratviden. Det får konsekvenser for tilrettelæggelsen af undervisningen, som kommer til at handle om at tænke organisering, materialer og aktiviteter, der skaber mulighed for kollektive læringsprocesser gennem dialog og samarbejde med henblik på at kvalificere elevens viden indenfor flg. vidensformer: 3 Vidensformer Vidensbetegnelser Matematikfaget 1. ordens viden: Faktuel viden (viden om noget) Matematik som stof Kvalifikationer (Hvad) 2. ordens viden: Kompetencer 3. ordens viden: Kreativitet Situativ viden (viden om vidensanvendelse) Systemisk viden (viden om videnssystemet) Matematik som nytte (Hvordan) Matematik som optik Hvilken fortælling om verden skabes ved anvendelse af forskellige matematiske fremstillingsformer, og med hvilke konsekvenser. 2 Fælles mål, faghæfte 12, 2009, s. 3, mine fremhævelser 3 Oversigten er inspireret af, Lars Qvortrups modeller. 4. ordensviden er udeladt, da den ligger ud over det, der nævnes i formålet, desuden er historie erstattet med matematikfaget. 4
2.1. Prioriteringer i planlægningsfasen Da emnet, som nævnt indledningsvis, er del af et treleddet forløb, har mange overvejelser været gjort forud for det samlede forløb. Det har været prioriteret højt, at der tages udgangspunkt i elevernes viden og erfaringer. Det indebærer, at læreren gennem undervisningen sikrer, at eleverne besidder de faglige færdigheder, erfaringer og det sprog, der er relevant i den givne kontekst. Betydningen af dette kan illustreres med flg. situation, som opstod under det indledende arbejde med ordforråd. Opgaven lød på i par at forklare ordet celle med egne ord/hverdagssprog. Ved et af bordene var der livlig snak om, hvad dette ord dog kunne betyde. Eleverne kunne tydeligvis ikke forbinde det med regnearket, som de sad med foran sig. Deres kendskab til ordet var knyttet til biologitimernes arbejde med plante- og dyreceller. Læreren, som underviser klassen i både matematik og biologi, blev den forbindelse, der for dem gjorde svaret sandsynligt. Ved at lytte til samtalen blev læreren, som i tilrettelæggelsen af undervisningen havde givet sig selv mulighed for at stå på sidelinjen, klogere på elevernes: o erfaringer og forestillinger i forbindelse med ordet o strategier til problemløsning o vilje til at løse opgaven Michael Wahl Andersen 4 har lavet flg. grafiske udtryk for sammenhængen mellem erfaringer, begreber, forestillinger og problemhåndtering. Jo flere erfaringer og begreber eleven har, jo flere forestillinger kan h/n danne og jo større mulighed har h/n for succesfuld problemhåndtering. Mental repræsentation Forestilling, forestilling, forestilling Problemhåndtering Erfaringer Begreber 4 Michael Wahl Andersen, 2004 s. 15 5
Det er ikke vanskeligt at forestille sig, de to elevers mangel på forståelse i en undervisningssituation, hvor det sproglige indhold ikke blev gjort til genstand for undervisning. Deres ihærdige forsøg på at koble noget kendt til begrebet kunne i værste fald blive tolket som manglende interesse. Af nedenstående skitsering over det samlede forløb fremgår, hvilke færdigheder og kompetencer eleverne skal mestre selvstændigt eller med en meget lille grad af stilladsering, inden næste skridt kan tages. Opnår eleven ikke denne sikkerhed, er forudsætningerne for udvikling af matematiske kompetencer 5 og progression i vidensformer på næste trin ikke til stede. I en klasse med stor faglig spredning stiller det store krav til differentiering. F unktioner: Matematik som stof. Mål at: tilegne sig færdigheden at arbejde med funktioner Regneark: Matematik som nytte Mål at kunne: producere viden i regneark foretage kvalificerede valg af diagrammer til at udtrykke viden formulere sig om emnet på fagsprog både mundtligt og skriftligt Statistik: Matematik som optik Mål at kunne: tolke, forholde sig til og diskutere information formidlet gennem statistik Læring gennem dialog og selvstændig eksperimenteren har også været prioriteret. Begrundelserne herfor er, som omtalt i redegørelsen for den erkendelsesteoretiske tilgang, at skabe dynamik gennem kollektiv læring give mulighed for hypoteseafprøvning og nye hypotesedannelser. En tredje prioritering har været anvendelsesperspektivet, at eleverne gør sig erfaringer med regneark som et nyttigt redskab. Sidste prioritering var, at arbejde integreret med sprog, it og fag, ikke som først det ene så det andet for til slut at anvende alle tre elementer, men samtidig, så tilegnelsen af sprog, erfaringer og færdigheder knyttes sammen og gensidigt støtter hinanden. 5 Mogens Niss og Tomas Højgaard Jensen, 2002, kap. 4.. 6
En alsidig tilgang til matematik, som de to lærere sikrer gennem de nævnte prioriteringer, kan anskueliggøres med Gudrun Malmers læringscirkel. 6 Den har ikke været anvendt i planlægningen af det her omtalte forløb, men da den er et godt planlægningsværktøj indsættes den i Tore Sørensens gengivelse og med hans forklaringer 7 (Bilag 1) 2.2. Stilladsering gennem delmål, materialer og organisering. At forudsætte, at eleverne arbejder selvstændigt og kommunikerer om det planlagte indhold med det forventede mål for øje, fordrer, at opgavens hvad, hvordan og hvorfor er tydelig for dem. Dette kan og skal kommunikeres verbalt, men jo vanskeligere en opgave er for eleven, jo vanskeligere kan det være at fastholde dette. Derfor er det vigtigt at stilladsere ved at reducere frihedsgraderne/kompleksiteten, så eleven kan koncentrere sig om det, h/n er i færd med at lære. 8 Ved at opdele de overordnede mål i delmål, som eleverne kan forstå, og som giver mulighed for hyppig målopfyldelse, øger lærerne elevernes mulighed for at arbejde selvstændigt, opnå succes og motivation til at arbejde videre. De anvendte materialer og opgaver, som lærerne selv producerede, er kendetegnet ved kvalitet frem for kvantitet: o Samtlige opgaver lægger op til dialog om matematik, sprog og anvendelse af regnearkets funktioner. o Samtlige opgaver har indbygget mulighed for differentiering i forhold til såvel omfang som sværhedsgrad, således at nogle elever får forlænget stilladseringen, mens andre får yderligere udfordring, så alle er meningsfuldt beskæftiget, indtil klassen er klar til at tage næste skridt. o Samtlige opgavers indhold er realistisk og hentet fra elevernes nære omverden, så de i forløbet får inspiration til at finde matematikken i hverdagen, inden de skal konstruere deres egen opgave sidst i forløbet. 6 Gudrun Malmer, 1999 7 Tore Sørensen, 2004 8 Pauline Gibbons, 2002, definerer på side 10 stilladsering ved at citere Bruner of freedom in carrying out some tasks so that the child can concentrate on the difficult skills she is in the process of 7
o Samtlige opgaver er konstrueret, så der er indbygget progression, der støtter eleverne i at bevæge sig fra hverdags- til fagsprog. Kvaliteten i materialerne gav lærerne tid til at observere og udfordre eleverne på forskellige niveauer og gav eleverne tid til at kunne bevæge sig fra høj grad af lærerstøtte til selvstændigt arbejde. 3. Fire nedslag De fire nedslag er valgt, fordi de tydeliggør den faglige progression, og den i materialerne indlagte bevægelse fra høj grad af stilladsering til hovedsageligt individuelt arbejde i takt med, at elevens forståelsesstabilitet 9 øges. Det er derfor også omkring disse nedslag, lærerrollen ændres fra at være støttende i forhold til at opnå denne stabilitet til at forstyrre den med henblik på yderligere læring/perspektivudvidelse. Nedslagene illustrerer desuden tilrettelæggelsen af undervisningen som en kæde af sprogbrugssituationer, som stilladserer elevernes faglige og sproglige udvikling fra: KONKRET: Uformel, hverdagsorienteret og kontekstafhængig viden ABSTRAKT: Formel, symbolpræget matematik -, under- og efteraktiviteter til stadighed er medtænkt, og at de medvirker til at give eleverne mulighed for at bevæge sig fra det konkrete til det abstrakte. 9 8
3.1. Føraktivitet foldeord Under arbejdet med denne første aktivitet indenfor emnet regneark var målene: o Gennem dialog og handling at fremkalde den viden eleverne allerede havde om regneark. o At strække sproget ved at sætte eleverne i situationer, hvor de skulle forklare, argumentere, lytte og danne nye hypoteser om deres eget sprog for at nå til mere præcise beskrivelser af foldeordene. o At udføre enkle handlinger i regnearket. Eleverne skulle arbejde i par. Hver elev havde en computer, så de havde regnearket foran sig og kunne få inspiration til sandsynlige forklaringer på ord, anvende sprog som ledsagelse til handling frem for helt at undlade at producere sprog, hvis de manglede ord. Ved fælles hjælp kunne parrene efterhånden få sat mere præcise definitioner på ordene. Hvert ord blev fulgt af en opgave, som gik ud på at udføre handlinger i regnearket med netop det udvalgte ord, f.eks. celle. I denne del af opgaven var det specielt vigtigt, at der var en computer til hver elev, da målet var at knytte handling til sprog, at give mulighed for at tilføre ordet et konkret indhold ved at gøre. Eksempel på opbygning af foldeord. 10 (Folderne laves ved at folde et A-4-ark to gange, så det deles i tre felter, som lukkes op efterhånden som arbejdet skrider frem.) Lukket folder 1. felt: 2. felt: Celle Beskriv : Eleven skal forklare ordet med egne ord. Beskriv : Hjælp til beskrivel- se: Eleven kan hente hjælp til at forklare ordet. 10 De udfyldte foldere kan findes sidst i dokumentet. 9
4..felt 3.felt: Beskriv: Beskriv: Opgave: Eleven skal arbejde med enkle handlinger i regnearket. Hjælp til beskrivel- se: Hints til opgave: Eleven kan hente anvisninger på, hvordan h/n skal gøre Lærerne havde lavet seks foldere, som eleverne skulle hente i en bestemt rækkefølge i vindueskarmen. Rækkefølgen er vigtig, da foldeopgaverne forudsætter, at der har været arbejdet med de foregående ord, så eleverne til stadighed har brug for at anvende de nye ord og handlinger i nye sammenhænge. At ordene gentages, så eleverne flere gange hører, læser, skriver, taler om og handler med disse, støtter eleverne, når de senere i forløbet skal arbejde med tekstopgaver. Rækkefølgen var: Celle Kolonner Skema Diagram Formel Regnearksfunktioner De seks ord, der er valgt, er alle basale for at forstå instruktioner, tale om og arbejde med regneark. At eleverne kun måtte hente en folder af gangen, var tænkt som en sikkerhed for, at parrene ikke bare arbejdede med hver sin, og at de, der har behov for at røre sig under arbejdet, fik mulighed for dette som en del af opgaven. Det viste sig, at det gav en ekstra sidegevinst, idet de på vej til og fra vindueskarmen benyttede lejligheden til at få nye input fra andre par.. 10
Følgende ordveksling, mellem to elever, da de skulle beskrive ordet celle, demonstrerer, jf. Michael Wahl Andersens oversigt over sammenhængen mellem erfaringer, begreber, forestillinger og problemhåndtering, værdien af at give dialogen plads i undervisningen: - - - - - - Vi kan skrive, at det er et rum Nej sgu da, et rum er da et værelse. Ikke kun jeg har da et rum i min taske. Nå, men det her er altså matematik, det har ikke noget med din taske at gøre. (De griner) Nej, men kan vi så skrive, at det er et felt eller en firkant? Ja, det passer med matematik, og hvis vi skriver begge dele, så er vi da bare seje. De to elever finder forskellige ord, der alle passer til formen på en celle. Ved at prøve at sætte ordene ind i kendte sammenhænge udelukker de nogle, og slutter med at træffe valg ud fra deres viden om, at matematik har et særligt sprog. De udfyldte foldere fungerede under forløbet som ordbøger og støtte til handling. Det var en fordel for eleverne at kunne gå tilbage til deres egne forklaringer på hverdagssprog, når de blev i tvivl om et ord. Ofte kunne de gå videre med en opgave, selv om de havde glemt, hvordan de skulle indsætte diagrammer, ændre størrelsen på en celle osv, fordi de kunne hente anvisninger, som de selv havde afprøvet. For de elever, der har svært ved selv at skabe struktur, var det af betydning at kunne finde hjælp i netop den folder, der havde det ord, de arbejdede med, på forsiden. Nogle elever var hurtigt igennem opgaverne og fandt på nye til sig selv og hinanden, så de fik mere øvelse i anvendelse af regnearket. Det gav ro til, at de, der havde behov for yderligere lærer- /kammeratstøtte eller bare mere tid, ikke blev pressede af, at andre skulle videre. At folderne var interessante kunne ses på elevernes aktivitetsniveau og fokus på arbejdet, og der var åbenbart blevet talt videre om opgaverne efter lektionerne. En elev, der havde været fraværende 11
den pågældende dag, spurgte mig dagen efter, om jeg troede, det gjorde noget, at hun tog opgaverne med hjem, for hun ville også gerne prøve at lave dem. En elev sagde efter forløbet: Det var sjovt at skulle hjælpes ad med at forklare de ngen. Denne udtalelse, fra en i øvrigt dygtig matematikelev, kunne være et hint om et udviklingspotentiale, gående på at arbejde med at formulere sig skriftligt om matematik. En anden elev, som har tendens til at forsvinde fra faglige udfordringer sagde: Det er bedst, når vi selv forklarer, så ved vi mere, hvad vi har lavet. Med denne udtalelse fortæller han, at han har behov for at tale om stoffet. Det kan tilføjes, at han i hele forløbet blev i klassen og arbejdede aktivt og ambitiøst med opgaverne. 3.2. Underaktivitet 1 - læsning Næste skridt var at få de isolerede ord og handlinger, der netop var arbejdet med i foldeopgaverne, sat ind i en tekstsammenhæng, der nærmede sig den, eleverne møder i matematikbøgerne. Aktiviteten bestod af 10 små tekstopgaver, hver på 1-1½ linje, og fem regneark med forskellige informatio- 12
ner og repræsentationer for disse. Nogle få nye handlinger i regnearket var beskrevet med fagord fulgt af enkle handlingsanvisninger og illustrationer 11 Igen skulle eleverne i par arbejde med sprog og handle samtidig, men fokus var her på læsning. Hvilken slags ord fortæller, hvad jeg skal? (F.eks. beregn, udregn, lav). Er der ord, der siger noget om, hvor på siden, jeg kan hente hjælp? (F.eks. nedenunder, på modsatte side). Hvilke strategier kan jeg bruge for at gætte kvalificeret på, hvilke ord der hører sammen med hvilken repræsentation? (F.eks. søjlediagram, kurvediagram, skema). Hvad er forskellen på udregn og udregninger? Al overflødig tekst var fjernet, da målet netop var, at få eleverne til at tænke over og tale om de centrale ord, og hvordan de kan genkende og arbejde med dem. For nogle elever er dette en vanskelig opgave, og de har behov for, at læreren stiller guidende, men åbne spørgsmål, så det er eleven der overvejer, opdager og danner hypoteser. For andre elever er dette helt uproblematisk, og de skal naturligvis udfordres, så de også får mulighed for at stå på tæer. Denne gruppe blev udfordret ved at arbejde yderligere med de nye handlinger. Ved at lægge en stilladserende aktivitet ind mellem den stærkt stilladserede og den selvstændige aktivitet, sikrede lærerne sig, at de med Helle Pia Lauersens ord 12 ikke kom til: at trække stilladseringen for hurtigt tilbage fra eleven, der er i gang med at tilegne sig nye færdigheder og viden. Den eksterne stilladsering bliver med andre ord aldrig internaliseret hos eleven, og lærerens indledende stilladsering får ingen effekt. 3.3. Underaktivitet 2 konsolidere viden og færdigheder Til denne aktivitet havde lærerne lavet to opgaver. 11 Opgaverne til denne og flg. aktivitet kan findes sidst i dokumentet. 12 Helle Pia Lauersen (2005) Side 66-67 13
Opgave A Aalborg kommunes skoler bestod af seks underopgaver og et regneark med oplysninger om elevtal opgjort på hver af kommunens skoler. I de seks underopgaver skulle eleverne ikke regne indtil nu havde været igennem. Denne gang uden lærerens forudgående mundtlige instruktion og omformuleringer. Disse var erstattet af opgaveformuleringerne, som bestod af instruktioner på fagsprog. Opgave B Kiosk- pgave A. Der var mere tekst, større informationstæthed, og der skulle laves diagrammer og tages stilling til opstilling (pæn/overskuelig) Målene med denne aktivitet var: o At repetere handlinger og fagudtryk. o At bruge viden fra underaktivitet 1 til at uddrage det væsentlige i en skrevet instruktion. o At vurdere layout. Under arbejdet med disse opgaver var det tydeligt, at den grundige stilladsering havde haft effekt. Samarbejdet ændrede karakter således, at de fleste par hovedsageligt arbejdede hver for sig, afbrudt af korte samtaler om, hvordan en vending skulle forstås og meningsudvekslinger om god opstilling. erne var blevet mere præcise, de kunne kvalificere deres spørgsmål, som Ovennævnte iagttagelser var gode tegn på, at eleverne havde tilegnet sig så megen viden og sikkerhed, at de kunne præsenteres for den krævende efteraktivitet. 3.4. Efteraktivitet lave opgaver selv Eleverne skulle nu finde matematikken i deres hverdag og formulere en opgave, som skulle sendes digitalt til parallelklassen. Målene med denne aktivitet var: o o At formulere sig på fagsprog 14
o At vurdere hvilke diagrammer, der egner sig til hvilke opgaver o At vurdere lay-out Her var det vigtigt at tale om, og illustrere med de tidligere opgaver, at man kan meddele sig med matematiksprog, og at det er en særlig måde at give information på. At sproget skal være præcist og teksten indeholde alle nødvendige oplysninger for at løse opgaverne, skulle også gøres til genstand for undervisning. Det gav anledning til, at eleverne blev opmærksomme på, at fagsprog er nødvendigt, hvis modtageren kun har teksten. Valg af diagrammer blev ikke specielt italesat. Eleverne skulle gennem afprøvning erfare sig til, at nogle er egnede til at vise fordelinger andre til at vise udvikling over tid osv. En elev udtalte, da han var næsten færdig med sin opgave: Der er godt nok meget at tænke på. Jeg skal jo være sikker på, at den anden forstår, hvad jeg vil have ham til, og at jeg får alle de ting med, der skal bruges for at svare. Så skal det se lækkert ud, så man får lyst til at lave det egentlig lærer jeg mere, end når jeg løser opgaver det varer jo kun et minut. Når en elev meldte sig færdig med en opgaven, skulle den fremlægges mundtligt for læreren. Ud over at sikre, at opgaven kunne løses, gav det eleven den ekstra udfordring at udtrykke sine overvejelser i forbindelse med opgaven, og læreren kunne stille spørgsmål, der kunne åbne for flere/andre overvejelser. Efter at have været igennem hele processen sagde den elev, der plejede at forsvinde, når han blev fagligt udfordret: Fint nok at lave en opgave selv og rette den, og det er godt at finde på og stille pænt op. 15
At arbejde med denne type opgave giver læreren mulighed for at gøre mange iagttagelser. Nogle elever havde hurtigt mange ideer til opgaver, mens andre skulle have hjælp til at få ideerne frem. For nogle var årsagen, at de ikke umiddelbart kunne få øje på matematikken, for andre, at de ikke havde så mange oplevelser at trække på. Nogle havde behov for at fortælle om deres ide, inden de kunne begynde at lave den om til matematik, mens andre kunne klare denne proces i hovedet. Omfanget og kvaliteten af elevprodukterne er naturligvis meget forskellige, men samtlige elever fik lavet opgaver, der levede op til de stillede krav. Også for den meget dygtige matematikelev, havde der været udfordringer: Matematik på en anden måde, vi ser det på en anden måde, vi kunne lettere bruge fantasien. At opstille det, så andre forstår det, det er god matematik. Jeg får brugt mange flere muligheder end normalt. Det er kedeligt bare at arbejde derfra og dertil i bogen. 4. Afsluttende bemærkninger Forløbet blev i indledningen omtalt som eksemplarisk. Det eksemplariske består i, at lærernes prioriteringer er principper, der kvalificerer undervisningen uanset fag og niveau. Forløbets tidsmæssige omfang var otte lektioner. Der blev ikke afsat ekstra tid i undervisningen til at arbejde med de beskrevne aktiviteter, de var undervisningen. Nåede de så det, de ifølge Fælles mål 2009, faghæfte 12 skal nå? I forhold til de tre vidensformer (s.4) er eleverne meget tæt på øverste trin, som der skal arbejdes med i tredje og sidste del af det 16
planlagte forløb. En tur rundt i blomsten af kompetencer 13, som eleverne skal mestre, giver også anledning til et positivt svar måske er det ikke alle, der mestrer dem i tilstrækkelig grad endnu, men der er arbejdet med dem, og eleverne har selvstændigt produceret opgaver, hvor kompetencerne har været i anvendelse. Lærernes oplevelser af at arbejde integreret med sprog og fag gengives bedst med følgende replikker: 13 Mogens Niss og Jensen, Thomas Højgaard, 2002 17
- Eleverne har talt meget, prøvet meget og de finder ud af helt andre ting, end jeg havde forventet. - oget her, og det kan godt være lidt svært. - Man skal nok give det tid, det kan jo bruges til meget andet, og efterhånden kommer eleverne og vi til at vide, hvad det handler om. - Jeg har lært meget om eleverne af det. - Jeg synes, det var en sjov måde at arbejde på, man flytter noget af sin undervisning ud i forberedelsen, og det bliver et stort arbejde der, men det er også meget af det, der gør det sjovt at være lærer. - Nu kan jeg se, at det ville være godt kun at have to fag - jeg har fire sådan virkelig at kunne få lov til at gøre noget ekstra i et par fag, at kunne vende tilbage og udvikle. 2. del 5. Operativ konstruktivisme vendinger som ddannelsessektoren, og vi har nok alle kunnet observere, at nogle elever af en eller anden grund ikke helt har forstået, hvad deres ansvar i samarbejdet består i, ligesom vi lærere nok også må tilstå, at det ikke altid er umiddelbart synligt i undervisningens indhold, materialevalg og organisering, at praksis. Kan operativ konstruktivistisk erkendelsesteori bidrage positivt til at få ord og hensigter til at hænge sammen med den virkelighed lærere og elever står i hver dag? 18
5.1. Læring og undervisning For at finde svar på dette, er det relevant at tage udgangspunkt i teoriens definitioner af ordene læ- undervisning er den kommunikative proces, der foregår mellem lærer og elever eller mellem eleverne indbyrdes. 14 Iflg. denne definition foregår læring, når eleven, for ikke at vælte omkuld i en verden med uoverskueligt store og ofte modstridende vidensmængder, intentionelt selekterer opmærksomhedspunkter i sin omverden Elevens viden, erfaringer, interesser og behov vil være afgørende for, hvad opmærksomheden rettes mod. Giver iagttagelsen mening for eleven, producerer h/n viden. At give mening i denne sammenhæng forudsætter, at det præsenterede eksisterende viden. 15 En forudsætning for, at eleven kan lære sig nyt er, ud fra denne forståelse, at h/n allerede besidder viden, der giver mulighed for at vælge fokus i informationsmængden. Hvis denne betingelse er til stede, gives mulighed for udvidelse af den eksisterende viden til ny erkendelse. Deraf følger, at jo større viden eleven på forhånd har, jo større mulighed har h/n for yderligere videnstilegnelse. Grue Sørensen knytter de to begreber læring og undervisning sammen på flg. vis: Læring foregår der, hvor barnet, foranlediget af en ydre proces, indirekte opfordres til at sætte en indre proces i gang." 16 Netop denne erkendelsesteoretiske tilgang kan identificeres, når Thomas Gitz-Johansen i forbindelse med inkluderende pædagogik st 17 Dette leder frem til definitionen af undervisning som en kommunikativ proces en social foreteelse. At overlade eleven til sig selv i en læringsproces, som foregår i elevens bevidsthed, indebærer en (et andet fokus) 18 kun 14 Jens Rasmussen 1998, s. 135 15 Hans Vejlskov1999 s. 12. At noget er meningsfuldt betyder ikke, at man forstår det, men at det er noget man vil. Der er snarere tale om hensigt end indsigt. 16 Alexander von Oettingen 2001, s128. 17. Jvf. Thomas Gitz-Johansens indlæg i Projekt Uddannelsesløft, Aalborg d. 6.- 1.- 2011 18 Min tilføjelse. 19
ne jo lige så godt være valgt. Hvordan kan eleven sikre sig, at den viden han eller hun etablerer er væsent 19 Spørgsmålet handler om forholdet mellem intention og virkning og fordrer, at læreren opnår indsigt i, hvilken forståelse eleven har konstrueret. Da bevidstheden ikke er transparent, må forståelse og refleksion over egen forståelse frembringes via kommunikation. Kommunikation skal forstås som alle ytringer - verbale og nonverbale - der kan tilskrives betydning. Ud over det, der eksplicit formuleres i kommunikationen, er det nødvendigt at være sensitiv over for det, der kommunikeres på anden vis f.eks. gennem tonefald, kropssprog og mimik. 5.2. Intentionel kommunikation Undervisningen/kommunikationen skal ses i et dannelsesperspektiv, hvor det overordnede mål er at støtte eleven til at kunne håndtere en kompleks verden, ved at reflektere over egen forståelse og konstruere ny viden. Eller med andre ord, eleven skal opdrages til at lære at lære og leve med den usikkerhed, at der er andre muligheder end de valg h/n træffer. Lærerens umiddelbare hensigt er at få indsigt i elevens forståelse og med sin merviden og professionalitet at give eleven mulighed for gennem kommunikati bringe det frem, som ikke fremkommer af sig selv og reflektere over dette skabe mulighed for fortsatte forståelsesoperationer perspektivudvidelse. Elevens usikkerhed og evt. fejlslutninger skal gives mulighed for forståelse og ændring gennem fortsat bearbejdning og gentagelse i arbejdet med stoffet/emnet samt stadige efterprøvninger af forståelse via kommunikation. Efterhånden opnås en forståelsesstabilitet, der kan danne afsæt for inddragelse af nye områder. Dette indebærer en øget kompleksitet, hvorved den opnåede forståelsesstabilitet provokeres. 19 Jens Rasmussen 1998 s. 130. 20
Læring sker, når eleven ikke kan behandle noget nyt som et tilfælde af noget kendt forventningerne er ikke holdbare. Forstyrrelsen af forståelsesstabiliteten udvider elevens horisont ved, at noget nyt kommer ind, og noget eksisterende omstruktureres. Disse forstyrrelser af forståelsesstabiliteten må altid tilpasses eleven, så h/n ikke vælter omkuld og mister fodfæste, men tværtimod sættes i stand til at turde foretage valg. Undlades provokationen stagnerer eleven. Med dette nærmer vi os et indhold, der kan give betydning til begreberne nævnt på side 19. 6. Læreprocessen i centrum kkes og begrundes meget præcist i flg. udsagn af Ernst Undall Damm, underviser af tosprogede elever i Aarhus. 20 Læring er elevens eget projekt, hvis den skal have forbindelse til og kunne bruges til noget i hans eller hendes liv. At lære er at udvikle forbindelse mellem det man allerede ved og noget nyt, og det kan kun gøres af en selv. Læring betyder altså, at man ved hjælp af sine nyvundne kundskaber forandrer sit verdensbillede. Ernst Undall Damm, 1999 20 Ernst Undall Damm, Sprogforum. Nr. 15, 1999 side 34-38 21
Her fastslås at: o læring ikke kan overføres o det er elevens læreproces, der er i centrum. 6.1. Lærer-elevroller et asymmetrisk forhold om at påtage sig opgaver og ansvar fordrer en tydeliggørelse af både indhold og roller i læringsrummet. Mødet i skolen har en bestemt hensigt, som indebærer at deltagerne påtager sig forskellige funktioner barnet har ikke, og skal ikke have en funktion i skolens læringsrum. Det er en sag for opdragelse i familien, hvor samtalen med barnet ofte er fabulerende og kan bevæge sig ud af sidespor - alt, hvad barnet bidrager med kan være interessant, modsat i skolen, hvor et bestemt tema danner ramme for en læringssituation, hvor deltagerne er elever og lærere. Lærer-elevrollerne er kendetegnet ved at være asymmetriske. Læreren er en autoritet p.g.a. større livserfaring og viden om det formål og indhold, der er udvalgt som det særlige. Den autoritet, der er tale om er mer- ikke bedrevidende og ikke autoritær. Tidligere studielektor Holger Henriksen har udtrykt forskellen mellem at være autoritet og autoritær med flg. ord 21 : Autoriteten kan sparke bolden, men den autoritære sparker manden. Holger Henriksen, Information 1998 6.2. Giv eleverne hovedrollerne Lærerens opgave er bl.a. at sætte læring i gang at sparke bolden. Tilrettelægge situationer, der giver mulighed for at bringe elevernes erfaringer, viden og interesser i spil og derigennem lade eleverne komme i fokus i undervisningen/kommunikationen gøre eleverne til aktive medspillere ved 21-4-1998. 22
at sætte dem i centrum for aktiviteterne, give dem hovedrollerne. Det er her, vi med Thomas Gitz- Når eleverne indtager hovedrollerne, stiller spørgsmål til hinanden og læreren og argumenterer for synspunkter, opstår der et overskud af mening og kompleksitet, som igangsætter den indre proces, hvor eleven intentionelt selekterer opmærksomhedspunkter i sin omverden, der muliggør perspektivudvidelse. Denne form for kollektiv læring skaber dynamik på flere niveauer. Den enkelte får flere forskellige forklaringer at knytte det endnu ikke forståede an til, hypoteser afprøves, diskuteres og giver anledning til refleksion over egne antagelser. 22 Har læreren som beskrevet givet eleverne hovedrollerne og sat sig selv på sidelinjen med mulighed for at lytte og observere og derved opnå større indblik i den enkelte elevs forståelse og deltagelse, øges mulighederne for udvikling gennem differentiering og fortsat støtte ved at inddrage evaluering om læringsprocessen på klasse- og individniveau. 6.3. Opdragelse: Kommunikation om læreprocesser Vi har sandsynligvis alle oplevet at tilrettelægge situationer, netop med den hensigt at give mulighed for at kommunikere om forståelse og efterfølgende gå fra lektionen med den erfaring, at en stor del af eleverne anvendte tiden på noget ganske andet end det, der var hensigten. Belært af denne erfaring er vi tilbøjelige til at vende tilbage til en situation, hvor vi lærere igen indtager rollen som den centrale figur, for så er der ro og styr på, at vi når igennem stoffet. Denne reaktion er forståelig om end ikke legitim, for som en af deltagerne i Projekt Udddannelsesløft vi Svaret på udfordringen er, at undervisning og opdragelse er to sider af samme sag. Skolen opdrager gennem undervisning og sigter mod selvdisciplin i forbindelse med læring. Jens Rasmussen nævner 22 Jens Rasmussen 1998 s.134-137. 23
tr undervis-. 23 De tre områder, der således skal tænkes ind i og gøres til genstand for undervisning/kommunikation er: o Disciplin, som omfatter forstyrrende adfærd, passivitet, måder at kommunikere på og regler for samvær. o Indsats, som handler om elevens ambitionsniveau og resultater i forhold til gældende standarder og egne forudsætninger. o Motivation, som drejer sig om elevens interesse, engagement og nysgerrighed 24 Med baggrund i de før nævnte iagttagelser har læreren et godt grundlag for at gøre disse faktorer til genstand for undervisning. 6.4. Kommunikeret klarhed Eksplicitering af undervisningens hvad, hvorfor og hvordan, gør det lettere for eleven at navigere, fordi kompleksiteten reduceres, når rammerne for, hvad det er relevant at fokusere på, hvordan arbejdet skal foregå, og hvilke forventninger der er til eleven, er kendte. Uden kommunikeret klarhed vil al tale om ansvar for egen læring være meningsløs, man kan ikke tage ansvar for det, man ikke er vidende om. Ansvar for egen læring, som mere meningsfuldt kunne hedde medansvar for egen læring, kan med ovenstående identificeres som et gensidigt forhold, hvor læreren har ansvar for at invitere eleven indenfor ved at tilrettelægge undervisningssituationen, så forudsætningerne for aktiv deltagelse og perspektivudvidelse er til stede. Elevens ansvar er at tage imod invitationen, deltage, kommunikere åbent og overholde spillereglerne. 23 et kompleksitetsproblem s. 95-104 24 Ibid. 24
7. Sammenhæng teori og praksis I det beskrevne matematikforløb har lærerne gennem undervisningens tilrettelæggelse, organisering og materialevalg skabt forudsætninger for at sætte læring i gang. De enkelte aktiviteter opbygger større faglig kompetence, medtænker bevægelsen mellem hverdags- og fagsprog og danner afsæt for den efterfølgende aktivitet. Tydelig formidling af timernes indhold, arbejdsmåde og formål har givet eleverne mulighed for at navigere fokuseret. Dette kombineret med materialer, der kræver interaktion og eksperimenteren, har skabt rammer for dannelse og afprøvning af elevernes faglige og sproglige hypoteser. At opbygge undervisningen som en kæde af sprogbrugssituationer, hvor felt (emne), måde (sprog og aktiviteter) og relation (den rolle eleverne tildeles) tager udgangspunkt i det eleverne kan, og forbereder dem på det, der kommer, viste sig at være både motiverende, disciplinerende i forhold til at arbejde selvstændigt og lærerigt for samtlige elever uanset fagligt standpunkt 25
Litteratur Andersen, M. Wahl: Sprog som forudsætning for at lære matematik, Unge pædagoger nr. 7/8. 2004. Cummins, J. (2000): Language, Power and Pedagogy. Bilingual Children and the Crossfire. Cleveland: Multilingual Matters Ltd. Dam, E. Uldall: Læring og konstruktivisme. Sprogforum Nr. 15, 1999. Fælles Mål 2009, Matematik, Faghæfte 12. Undervisningsministeriets håndbogsserie nr. 21 2009 Gibbons, P. (2002): Scaffolding Language Scaffolding Learning. Portsmouth, Heineman Henriksen, H.: Hurraord ødelægger skolen. Information 11/4-98 Lauersen, H. Pia (2005): Forholdet mellem almen- og andetsprogspædagogikken i danskfaget. I: Red: H. Pia, Lauersen, Dansk som andetsprog i relation til danskfaget. Malmer, G. (1999): Bra matematik för alle. Studenterlitteratur. Lund Niss, Mogens & Jensen, Thomas Højgaard (2002): Kompetencer og matematiklæring. Ideer og inspiration til udvikling af matematikundervisning i Danmark. Uddannelsesstyrelsens temahæfteserie nr. 18, 2002, Undervisningsministeriet. Qvortrup, L.: Det vidende samfund mysteriet om læring og dannelse. Unge pædagoger 2004 Rasmussen, J. (1998): Radikal og operativ konstruktivisme. I: Red: Bisgaard, N. J., Pædagogiske teorier. Billesøe & Baltzer, Værløse. Rasmussen, J.: Opdragelse i familien og skolen et kompleksitetsproblem. Dansk Sociologi 2003, nr 14. Kronikken. Sørensen, T. : Dansk som andetsprog i matematik overvejelser om praksis, ufe- nyt tema: Andetsprogsdimensionen i fagene, 2004 Vejleskov, H.: Udfordringer for den enkelte elev? Danmarks Lærerhøjskole 1999 von Oettingen, A. (2001): Det pædagogiske paradoks et grundstudie i almen pædagogik. Kap. 5. Forlaget Klim, Aarhus. 26
Bilag 1. Læringscirklen Cirklen anskueliggør forskellige tilgange til matematik, og pointen er, at den sproglige og matematiske begrebsudvikling tilgodeses, hvis eleverne igennem et forløb får mulighed for at anvende samtlige tilgange. Tænke, tale Undervisningen må tilpasses elevernes varierende forudsætninger, og derfor må elevernes erfaringer, ordforråd, associationer i forhold til de matematiske fagområder være udgangspunktet. Handle, prøve Jo flere perceptuelle tilgange, der anvendes jo bedre. At handle og prøve i form af konkrete aktiviteter understøtter begrebsudviklingen. Synliggøre Eleven får mulighed for at strukturere sine tanker ved at udtrykke sin forståelse af matematikken vha. forskellige repræsentationsformer, f.eks. billeder, figurer, modeller, faglig skrivning. Elevens udtryk kan inddrages i det videre undervisningsforløb. 27
Symboler Det er vigtigt, at den tilegnede viden generaliseres, således at eleverne får indsigt i den formelle matematik, herunder de matematiske symbolers funktion og anvendelse. Anvendelse Der skal fokuseres på, at matematikken hjælper os til at forstå verden omkring os og til at løse daglige problemer. Refleksion Undervisningen skal ofte give den enkelte elev mulighed for at reflektere over matematikken med sin egen tænkemåde og sit eget sprog. 28