MA2047 Algebra och diskret matematik

Relevanta dokument
Hela tal LCB 1999/2000

MA2047 Algebra och diskret matematik

Kapitel 2: De hela talen

Teori :: Diofantiska ekvationer v1.2

PRIMTALEN, MULTIPLIKATION OCH DIOFANTISKA EKVATIONER

18 juni 2007, 240 minuter Inga hjälpmedel, förutom skrivmateriel. Betygsgränser: 15p. för Godkänd, 24p. för Väl Godkänd (av maximalt 36p.

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

MA 11. Hur starkt de binder. 2 Reella tal 3 Slutledning 4 Logik 5 Mängdlära 6-7 Talteori 8 Diofantiska ekvationer 9 Fördjupning och kryptografi

Manipulationer av algebraiska uttryck

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

MA2047 Algebra och diskret matematik

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Talteori (OBS en del frågor gäller diofantiska ekvationer och de tas inte upp från och med hösten 2012)

Grupper och RSA-kryptering

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

Diofantiska ekvationer

Några satser ur talteorin

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 5

1. (a) Lös ekvationen (2p) ln(x) ln(x 3 ) = ln(x 6 ). (b) Lös olikheten. x 3 + x 2 + x 1 x 1

MA2047 Algebra och diskret matematik

TALSYSTEM, DELBARHET OCH PRIMTAL

MA2047 Algebra och diskret matematik

Polynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion

, S(6, 2). = = = =

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER

Vi börjar med en viktig definition som inte finns i avsnitt 3.4 i [EG], den formella definitionen av kongruens modulo n:

Mängdlära. Satslogik och algoritmer. Sannolikhetslära och kombinatorik Inledande sannolikhetslära Kombinatorik Grafteori

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

Delbarhet och primtal

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18: Svar: Ja, det gäller, vilket kan visas på flera sätt (se nedan).

MA2047 Algebra och diskret matematik

Algebra och Diskret Matematik A (svenska)

Lösningar till Algebra och kombinatorik

Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Examinator: Daniel Bergh. Lösningsförslag Algebra och kombinatorik

Entydig faktorisering och Fermats stora sats i fallet n = 3

EXTRA UPPGIFTER I C++ PROGRAMMERING-A

MITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007

Euklides algoritm för polynom

MA2047 Algebra och diskret matematik

NÅGOT OM KRYPTERING. Kapitel 1

Låt n vara ett heltal som är 2 eller större. Om a och b är två heltal så säger vi att. a b (mod n)

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

Kinesiska restsatsen

DELBARHET OCH PRIMTAL. Syftet med detta avsnitt är att bekanta sig med delbarhetsegenskaper hos heltalen.

Mer om faktorisering

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Elementär talteori. Lars-Åke Lindahl

IX Diskret matematik

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

Logiska konnektiv som disjunktion, konjunktion, implikation, ekvivalens, negation.

Algebra II. Isac Hedén och Johan Björklund

4. Bestäm alla trippler n 2, n, n + 2 av heltal som samtliga är primtal. 5. Skriv upp additions- och multiplikationstabellen för räkning modulo 4.

MITTUNIVERSITETET TFM. Tentamen Algebra och Diskret Matematik A (svenska) Skrivtid: 5 timmar. Datum: 9 januari 2007

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Diskret matematik. Gunnar Bergström

Pythagoreiska trianglar

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

Definition Låt n vara ett positivt heltal. Heltalen a och b sägs vara kongruenta modulo n om n är en faktor i a-b eller med andra ord om. n (a-b).

Lösningar till Algebra och kombinatorik

POLYNOM OCH EKVATIONER. Matematiska institutionen Stockholms universitet Experimentupplaga 2003 Eftertryck förbjudes eftertryckligen

KTHs Matematiska Cirkel. Talteori. Andreas Enblom Alan Sola

RSA-kryptografi för gymnasiet. Jonas Gustafsson & Isac Olofsson

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

10! = =

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

SAMMANFATTNING TATA82 Diskret matematik

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret Lektion 1

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2001

TILLÄMPADE DISKRETA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski och Jan Stevens

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag

Dagens Teori. 2.1 Talteori Största gemensamma delaren. Vilket är det största tal som samtidigt är delare till de båda talen.

MA2047 Algebra och diskret matematik

6.1 Heltal och delbarhet Primtal Största Gemensamma Delaren och Minsta Gemensamma Multipeln... 38

Inlämningsuppgift, LMN100

Tal och polynom. Johan Wild

1. MYSTERIER BLAND HELTALEN.

MA2047 Algebra och diskret matematik

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

ALGEBRAISKA STRUKTURER. Juliusz Brzezinski

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000

Föreläsning 9: Talteori

Matematik med lite logik

C/D-UPPSATS. Talteori

Avdelning 1. Trepoängsproblem

MA2047 Algebra och diskret matematik

Diskret matematik: Övningstentamen 1

Ändliga kroppar. Anna Boman. U.U.D.M. Project Report 2016:12. Department of Mathematics Uppsala University

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

Transkript:

MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018

Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b Z så säger vi att b delar a (b a) om det finns ett c Z sådant att a = b c. Om b a men b ±a och b ±1 så är b en äkta delare. Exempel 2 54 = 6 9 6 54 17 = 2 kvot 7 + 3 rest 7 17 75 = ( 5) ( 15) 5 75 0 = b 0 b 0 b Z Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 2 / 16

Delbarhet Exempel 3 Är talet 131 42 + 64 63 delbart med 7? 7 42 och 7 63 131 42 + 64 63 = 131 7 6 + 64 7 9 = 7(131 6 + 64 9) 7 a (131 x 42 b + 64 y 63 c ) Sats 1 Om a, b, c Z så gäller: 1 a b och b c a c 2 a b, a c och x, y Z a (xb + yc) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 3 / 16

Divisionsalgoritmen Exempel 4 Vi beräknar 787 15 52 15 ) 787 750 37 30 7 med trappan: Sats 2 (Divisionsalgoritmen) 787 = 50 15 + 2 15 + 7 = 52 kvot 15 + 7 rest Om a, b Z, b > 0, så finns det två entydigt bestämda tal q, r Z sådana att Exempel 5 a = q b + r, 0 r < b (r = principalrest) kvot rest 87 = 6 kvot 14 + 3 rest principalrest: 0 3 < 14 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 4 / 16

Primtal Definition 2 Ett heltal p 2 som saknar äkta delare kallas ett primtal. Exempel 6 Primtalen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,... Exempel 7 15 = 3 5, 42 = 7 6 = 7 3 2, 93500 = 2 2 5 3 11 17 15, 42 och 93500 är produkter av primtal. Sats 3 (Aritmetikens fundamentalsats) Varje heltal n 2 kan skrivas som en produkt av primtal: n = p 1 p 2 p k Primtalsfaktorseringen är unik så när som på i vilken ordning primtalen skrivs. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 5 / 16

Största gemensamma delare Exempel 8 Det största heltal som delar 49 och 35 är 7. Vi skriver SGD(49, 35) = 7 (Största gemensamma delare) SGD(16, 23) = 1 16 och 23 är relativt prima Exempel 9 Bestäm SGD(996, 516) Sats 1.2 Divisionsalgoritmen: 996 = 1 516 + 480 a b, a c a (xb + yc) a 516 och a 480 a 516 1 + 480 1 a 996 b x c y a 996 och a 516 a 996 1 + 516 ( 1) a 480 x y Varje tal som delar 996 och 516 delar också 516 och 480 och omvänt. SGD(996, 516) = SGD(516, 480) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 6 / 16

Euklides algoritm Exempel 9 (forts) Vi fortsätter: 516 = 1 480 + 36 SGD(516, 480) = SGD(480, 36) 480 = 13 36 + 12 SGD(480, 36) = SGD(36, 12) 36 = 3 12 + 0 SGD(996, 516) = SGD(36, 12) = 12 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 7 / 16

Euklides algoritm SGD(996, 516): Euklides algoritm 996 = 1 516 + 480 SGD(996, 516) = SGD(516, 480), 0 480 < 516 516 = 1 480 + 36 SGD(516, 480) = SGD(480, 36), 0 36 < 480 480 = 13 36 + 12 SGD(480, 36) = SGD(36, 12), 0 12 < 36 36 = 3 12 + 0 Vid varje division blir resten minst 1 mindre än föregående rest Till sist får man en rest som blir 0 SGD(996, 516) = 12 = Sista icke-försvinnande resten i Euklides algoritm Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 8 / 16

Euklides algoritm Exempel 10 Bestäm SGD(4379, 3473). Euklides algoritm: 4379 = 1 3473 + 906 3473 = 3 906 + 755 906 = 1 755 + 151 Sista icke-försvinnande resten 755 = 5 151 + 0 SGD(4379, 3473) = 151 I Mathematica: GCD[4379,3473] Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 9 / 16

Diofantiska ekvationer Exempel 11 Vid en cirkusföreställning kostade inträdet 35 kr för barn och 45 kr för vuxna. Biljetter såldes för totalt 10000 kr. Vilket är det maximala antalet barn som kan ha sett föreställningen? Sätt x = antal barn, y = antal vuxna Vi söker de icke-negativa heltalslösningarna till ekvationen 35x + 45y = 10000 Diofantisk ekvation Hur löser vi den? Vi söker en lösningsformel för Diofantiska ekvationer av typen ax + by = c. Diofantos var verksam i Alexandria ca 250 e.kr. Han kallas ibland algebrans fader och skrev Arithmetika, en serie böcker som handlar om hur man löser vissa typer av algebraiska ekvationer. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 10 / 16

Diofantiska ekvationer Exempel 12 Sök heltalslösningar till ekvationen 42x + 28y = 56 x = 2, y = 1 är en lösning x = 30, y = 43 är en annan lösning Finns det fler lösningar? Exempel 13 Sök heltalslösningar till ekvationen 42x + 28y = 57 SGD(42, 28) = 14 14 42 och 14 28 14 (42x + 28y) enl Sats 1.2. 14 57?!? Ekvationen saknar heltalslösningar! Sats 4 Den Diofantiska ekvationen ax + by = c har heltalslösningar omm SGD(a, b) c Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 11 / 16

Diofantiska ekvationer Exempel 14 Bestäm alla heltalslösningar till 36x + 51y = 21 (1) SGD(36, 51) = 3 21 Ekvationen har heltalslösningar! Vi dividerar ekvationen med SGD(36, 51) = 3 för att få en enklare ekvation: 12x + 17y = 7 Om högerledet hade varit 1 kunde vi fått en lösning med hjälp av Euklides algoritm: 17 = 1 12 + 5 12 = 2 5 + 2 5 = 2 2 + 1 1 = 5 2 2 = 17 1 12 2 (12 2 5) }{{}}{{} = 5 = 2 = 17 1 12 2(12 2(17 12)) = 12( 7) + 17 5 (x 0, y 0 ) = ( 7, 5) är en lösning till 12x + 17y = 1 Multiplicerar vi hjälpekvationen med 7 får vi en lösning till (1): 12(7x 0 ) + 17(7y 0 ) = 7 (x 1, y 1 ) = (7x 0, 7y 0 ) = ( 49, 35) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 12 / 16

Diofantiska ekvationer Exempel 14 (forts) Hur hittar vi alla lösningar till 12x + 17y = 7? Ansats: x = x 1 + k, y = y 1 + l, k, l Z Insättning i ekvationen: 12(x 1 + k) + 17(y 1 + l) = 12x 1 + 17y 1 + 12k + 17l = 7 }{{}}{{} = 7 = 0 (x, y) är en lösning omm 12k + 17l = 0 12k = 17l SGD(12, 17) = 1 12 l och 17 k l = 12n, n Z 12k = 17 12n k = 17n Lösningarna till (1) är därför (x, y) = (x 1 17n, y 1 + 12n) = (7x 0 17n, 7y 0 + 12n) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 13 / 16

Diofantiska ekvationer Sats 5 Den Diofantiska ekvationen ax + by = c, SGD(a, b) = 1 har den allmänna lösningen (x, y) = (cx 0 nb, cy 0 ± na), n godtyckligt heltal där (x 0, y 0 ) är en lösning till hjälpekvationen ax + by = 1. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 14 / 16

Diofantiska ekvationer Exempel 11 (Teaterbesök forts) Ursprunglig ekvation: 35x + 45y = 10000 SGD(35, 45) = 5 10000 Ekvationen har heltalslösning! Dividera ekv med SGD(35, 45) = 5 7x + 9y = 2000 Bestäm en lösning till hjälpekvationen 7x + 9y = 1 mha Euklides algoritm: 9 = 1 7 + 2 7 = 3 2 + 1 2 = 1 2 + 0 1 = 7 3 2 = 7 3(9 1 7) = 7 4 + 9 ( 3) Sats 5 (x 0, y 0 ) = (4, 3) ax + by = c (x, y) = (cx 0 nb, cy 0 ± na) Allmän lösning enligt Sats 5: (x, y) = (2000x 0 9n, 2000y 0 + 7n) = (8000 9n, 6000 + 7n), n Z Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 15 / 16

Diofantiska ekvationer Exempel 11 (Teaterbesök forts) Antal barn x 0 och antal vuxna y 0: x 0 8000 9n 0 n 8000 = 888.888... n 888 9 y 0 6000 + 7n 0 n 6000 = 857.142... n 858 x max = 8000 858 9 = 278 Högst 278 barn såg föreställningen. 7 Diofantiska ekvationer i Mathematica: 492x + 396y = 9552 Allmän lösning: Reduce[492x+396y==9552,{x,y},Integers] Alla positiva lösningar: Reduce[492x+396y==9552 && x>0 && y>0,{x,y},integers] Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal 16 / 16