Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-10-27 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Mykola Shykula, Niklas Grip, Inge Söderkvist Jourhavande lärare: Inge Söderkvist Tel: 0920-492130 Examinator: Jesper Martinsson Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om flerdimensionella fördelningar Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen (del 1), som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in även lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. OBS! Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen (del 2), som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på del 1 samt minst 13 poäng på del 2. För betyg 5 krävs godkänt på del 1 samt minst 23 poäng på del 2. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på del 1 av tentamen med poäng från del 2. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (10)
1. Lisa får tio frågor att besvara och för varje fråga finns fem svarsalternativ, varav ett alternativ är rätt. Lisa har ingen kunskap i ämnet som frågorna behandlar och bestämmer sig därför för att låta en dator slumpa fram svaren på frågorna. Lisa programmerar datorn så att alla svarsalternativ skall ha samma sannolikhet att väljas. Vad är sannolikheten att Lisa (med hjälp av datorn) får mer än 3 rätt på de 10 frågorna? 2. Envise Johan kastar tre tärningar om och om igen. Han håller på tills han får triss i sexor. Vad är sannolikheten att Johan gör mer än 50 kast med sina tärningar? (Vid varje kast kastas tre tärningar). 3. Ett företag som köper elektroniska komponenter från en underleverantör vet av erfarenhet att en viss andel av komponenterna kommer att vara felaktiga. Tre olika feltyper förekommer, som betecknas feltyp a, b respektive c. Sannolikheten att fel a förekommer på en slumpmässigt vald komponent är 8 %. Motsvarande sannolikhet för fel b och c är 2 % respektive 5 %. Felen uppkommer oberoende av varandra. (a) Beräkna sannolikheten att en slumpmässigt vald komponent har minst ett av de tre felen. (b) Antag att en komponent visat sig ha felen b och c. Vad är sannolikheten att den även har fel a? 4. När Kalle skiver på sin dator så händer det att han trycker på fel tangent. Antalet feltryckningar per 5-minutersperiod är Poissonfördelat. Det förväntade antalet feltryckningar under 5 minuter är lika med 8. Beräkna sannolikheten att Kalle gör minst 10 feltryckningar på en 5-minutersperiod. 5. De kontinuerliga slumpvaribelerna (ξ, η) har den simultana frekvensfunktionen { cx 2 y 2 om 0 x 2, 0 y 1 f(x, y) = 0 annars, där c är en viss konstant. (a) Konstanten c måste ha ett speciellt värde för att funktionen ovan skall vara en frekvensfunktion. Vilket är detta värde? (b) Vad är sannolikheten att 0 ξ η? (Konstanten c skall ej ingå i svaret.) 6. Diametern på producerade skruvar antas vara normalfördelad med väntevärde 8 mm och standardavvikelse 0.3 mm. Diametern på producerade muttrar är normalfördelad med väntevärde 8.5 mm och standardavvikelse 0.4 mm och den är oberoende av skruvarnas diameter. (a) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald mutter har en diameter som är mellan 8 mm och 10 mm? Ange ditt svar i procent meden decimal. 2 (10)
(b) Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald skruv passar med en slumpmässig vald mutter. En skruv och en mutter anses passa ihop då mutterns diameter är mellan 0.3 mm och 1.3 mm större än skruvens diameter. 7. Stina och Oscar åker båda buss till jobbet. Stinas busslinje går 4 gånger i timmen och Oskars busslinje går 3 gånger i timmen. Varken Stina eller Oskar använder sig av klocka eller bussturlistan vilket gör att deras respektive väntetider kan betraktas vara rektangelfördelade (= likformigt fördelade). Dessutom är Stinas och Oscars väntetider oberoende av varandra. Bestäm sannolikheten att Stina får vänta längre på bussen än vad Oscar får göra, trots att Stinas bussar går tätare. 8. Veckoutgifterna för mat hos en viss familj kan anses vara normalfördelad N(µ, σ) där standardavvikelsen σ = 300 kr är känd. Man vill utföra ett test med 10 % signifikansnivå där man testar nollhypotesen H 0 : µ = 1800 kr mot mothypotesen H 1 : µ < 1800 kr. (a) Som testvariabel används medelvärdet ξ som är baserat på observationer av utgifterna under 9 olika veckor. Ange kritisk gräns för testet. (1) (b) Bestäm testets styrka då det verkliga väntevärdet på veckoutgiften är 1500 kr. 9. Fysioterapeuten Kajsa har läst om en ny behandlingsmetod för att öka rörligheten i höften. Hon beslutar sig för att prova om metoden har effekt på rörligheten och behandlar därför 6 slumpmässigt utvalda patienter. Resultatet, givit i grader av en uppmätt vinkel, återges nedan. Patient 1 2 3 4 5 6 Vinkel före behandling 43 42 38 49 36 40 Vinkel efter behandling 47 48 36 52 35 45 (a) Beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för behandlingsmetodens effekt på rörligheten (dvs för skillnad i den uppmätta vinkeln efter och före behandling) under rimliga normalfördelningsantaganden. Intervallet skall vara en skattning av vinkel efter behandling - vinkel före behandling. Svara med den övre gränsen för intervallet. (b) Kajsa vill även göra en hypotesprövning och använder en nollhypotes H 0 : Behandlingen har ingen effekt mot mothypotesen H 1 : Behandlingen ökar rörligheten (den observerade vinkeln blir större). Ger observationerna stöd för att påstå att behandlingen ökar rörligheten med 10 % signifikansnivå? (svara Ja eller Nej) 10. Längden och vikten på spelare i en viss fotbollsserie är båda normalfördelade storheter med väntevärden 180 cm respektive 78 kg och standardavvikelser 8 cm respektive 6 kg. Längden och vikten har visat sig vara starkt korrelerade med en korrelationskoefficient som är 0.9. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt utvald spelare väger över 85 kg då man vet att spelaren är 188 cm lång? Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 3 (10)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Sannolikheter anges som ett tal mellan 0 och 1 i decimalform om inte annat anges. Fråga Svar Poäng 1 Sannolikhet (tre decimaler) 2 2 Sannolikhet (tre decimaler) 2 3 a Sannolikhet(fyra decimaler) 2 b Sannolikhet(två decimaler) 1 4 Sannolikhet (fyra decimaler) 2 5 a Värde på c (tre decimaler) 1 b Sannolikhet (fyra decimaler) 2 6 a Sannolikhet (fyra decimaler) 1 b Sannolikhet (två decimaler) 2 7 Sannolikhet (tre decimaler) 2 8 a Kritisk gräns (en decimal) 1 b Styrka (fyra decimaler) 2 9 a Övre gräns(tre decimaler) 2 b Ja eller Nej 1 10 Sannolikhet (två decimaler) 2 Totalt antal poäng 25 ============================================== 5 (10)
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 2 2017-10-27 Till uppgifterna på del 2 krävs fullständiga lösningar. 11. Vid en fabrik produceras 1000 enheter varje dag. På grund av slumpmässiga variationer i råvaran så blir de producerade enheterna av olika kvalite och de sorteras i tre olika klasser. Kvaliten på de olika enheterna kan antas vara oberoende av varandra. De olika kvalitetsklasserna är: Felaktig : Sannolikheten för att en producerad enhet blir felaktig är 0.1. Felaktiga enheter kasseras. Sekunda: Sannolikheten för att en producerad enhet blir sekunda är 0.4. Sekunda enheter säljs till ett pris av 10 kr/enhet Prima: Sannolikheten för att en producerad enhet blir prima är 0.5. Prima enheter säljs till ett pris av 20 kr /enhet. Man studerar försäljningen av dagsproduktionen varje dag under en period omfattande 20 dagar. Beräkna sannolikheten att det bland dessa 20 produktionsdagar, är minst 2 dagar då de producerade enheterna säljs till ett pris som överstiger 14200 kr. (10p) 12. Två studenter, Frasse och Klara, gör en statistisk undersökning för att skatta väntevärdet µ i en viss fördelning med den kända standardavvikelsen σ. Frasse har n 1 observationer, medan Klara har n 2 observationer. Både använder sig av stickprovetsmedelvärdet, ˆµ F och ˆµ K respektive, som skattningen för det okända väntevärdet µ. De vill vikta ihop sina resultat, dvs. skattningen ˆµ av µ skall vara ˆµ = kˆµ F + (1 k)ˆµ K, där k är en konstant mellan 0 och 1. Frasse föreslår att k skall vara 0.5, dvs. de skall ta medelvärdet av sina resultat. Klara invänder att det är smartare att ge större vikt åt det mätvärde som är baserat på flest observationer. Hur skall konstanten k väljas för att minimera standardavvikelsen för skattningen ˆµ? Motivera ditt svar. (10p) 13. En synål med längd a tappas på ett furugolv med plankbredd b. Man kan ange nålens läge relativt närmaste skarvarna mellan plankor med avståndet x och vinkeln y i principskissen nedan, där 0 x b och π 2 y π 2. a) Om x, y ses som observerade stickprov av stokastiska variabler ξ, η, vad är då rimliga antaganden om dessa variabler gällande fördelning och eventuellt beroende? (1 p) b) Ange den simultana frekvensfunktionen för (ξ, η). (2 p) c) Antag att a < b och räkna ut sannolikheten att nålen ligger helt på plankan, det vill säga att den ej nuddar eller korsar någon av skarvarna. (7 p) 8 (10)