TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 16 december 2009 Tid: 14 18 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav: För godkänt krävs 12p, betyg 4 kräver 16p, och betyg 5, 21p. Examinator: Clas Rydergren Jourhavande lärare: Clas Rydergren, 0709 743898. Salsbesök c:a 15:30 och 16:30. Resultat anslås senast: 8 januari 2010. Tentan kan hämtas ut hos Åsa Dahl, plan 6 hus Täppan. Kortfattade lösningsförslag anslås vid skrivningstidens slut. Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 1 Uppgift 1 E ska rangordna ett antal föreläsare/föreläsningar. Rangordningen ska användas i samband med inbjudning till ett stort evenemang. E har satt upp ett antal kriterier för hur rangordningen ska göras, dessa är: nyhetsvärde, kändisskap, etc. Alla kategorierna och listan med föreläsningar ges i tabellen nedan. Kategori ett och tre i tabellen har givits en bedömning mellan 0 och 10; ju högre desto bättre. För kriterium två har en kvalitativ värdering angivits. Kostnaden är angiven i tusentals kronor. Låg kostnad är bättre än hög. Även en viktning av kategorierna finns angiven i tabellen. Föreläsning Nyhetsvärde Kändisskap Show Kostnad A 3 megastjärna 7 20 B 7 nationell stjärna 5 13 C 6 lokal kändis 6 15 D 8 nationell stjärna 6 11 E 6 lokal kändis 6 10 F 9 okänd 5 16 Viktning 0.25 0.2 0.2 0.35 a) Transformera tabellen ovan till en nyttomatris. b) Eliminera föreläsare som dominas av andra. Ange den reducerade nyttonmatrisen. c) Använd den reducerade nyttomatrisen för att göra en rangordning av föreläsningarna baserat på den allmänna metoden för MCDM. Beräkna värdefunktionen med viktad summa. d) Använd den reducerade nyttomatrisen för att göra en rangordning av föreläsningarna baserat på TOPSIS-metoden och med ett additativt, euklidiskt avstånd som avståndsmått. Uppgift 2 Dator-serverföretaget Harkel har lämnat en offert på att driva chat-tjänsten Rettiwt i sin server-farm. Harkel måste nu bestämma sig för att köpa in billig eller dyr utrustning för att kunna upprätthålla servicen till Rettiwts användare. Den billiga utrustningen förväntas kräva dyrare underhåll, men vara billigare i inköp. Beslutet om att köpa billig eller dyr utrustning måste göras innan Harkel vet om offerten godtagits. Om Harkel köper den dyra utrustning gör man en nettovinst om 100 000 euro om offerten godtas, men en nettoförlust om 40 000 euro om offerten avslås. Om Harkel i stället köper den billiga utrustning, gör man en nettovinst om 60 000 euro om offerten godtas, och en förlust på 20 000 euro om offerten avslås.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 2 a) Harkels ledning har genom sedan tidigare konstaterat att de kan sägas vara indifferenta mellan ett spel där de får 0 euro med sannolikhet 0.3 och 100 000 euro med sannolikhet 0.7 eller att få 50 000 euro med säkerhet. Bestäm en funktion u för nytta som funktion av antal euro, på formen u(x) = αx 2 + βx + γ där x är pengar (i enheten 1000-tals euro) och α, β och γ är parametrar att bestämma. Ange parametervärden med 4 värdesiffror. Ange om Harkel är riskrädd (risk-averse) eller riskvillig (risk-prone). Tips: Ansätt u( 40) = 0 och u(100) = 1. b) Harkel bedömer sannolikheten att offerten godtas till 65%. Antag att Harkel värderar pengar enligt nyttofunktionen framräknad i a). (Om du inte löst deluppgift a kan du använda väradena α = 0.00005, β = 0.01, och γ = 0.5) Använd ett beslutsträd till att bestämma Harkels optimala strategi då den förväntade nyttan ska maximeras. Ange den förväntade nyttan och dess säkerhetekvivalent. c) Vilken nettovinst av ett köp av den billigare utrustningen och godtagen offert skulle göra Harkel indifferent mellan besluten köp av den dyrare och den billigare utrustningen? Uppgift 3 Ett startup-bolag i branschen för strömmad film har utvecklat en video-on-demandtjänst på Internet och närmar sig nu lanseringsfasen. Ledningen bedömer att den nya tjänsten kommer att sälja bra med sannolikhet 0.55 men att de kommer att sälja dåligt med sannolikhet 0.45. Följande tabell anger motsvarande nettovinst (i miljoner kronor): Strategi Utfall Lansera tjänsten Lansera ej tjänsten Säljer bra 50 5 Säljer dåligt 40 5 Ledningen är ovilliga att ta beslut om lansering eller ej (och besluta om storleken på eventuell marknadsföringskampanj) på grundval av endast denna information. Därför väljer de att lansera en så kallad beta-version till en mindre grupp personer som visat intresse för tjänsten tidigt. Att bygga beta-versionen innebär ingen merkostnad. Återkoppling från beta-testarna har lett till en prognos (super, sådär, skräp) har kunnats skapas enligt tabellen nedan. I tabellen du bl.a. kan utläsas att om den Säljer bra så ges prognosen Super med sannolikhet 0.45.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 3 Verkligt utfall Prognos Säljer bra Säljer dåligt Super 0.45 0.2 Sådär 0.45 0.5 Skräp 0.1 0.3 Återkopplingen från beta-testarna kunde användas vid lanseringsbeslutet. Ledningen lanserade beta-versionen för tre månader sedan, och kommer att lansera tjänsten nästa vecka. Din uppgift är att efterhandsanalysera beslutet. (4p) a) Bestäm vad som varit optimal strategi och dess förväntad vinst givet att ingen beta-lansering hade gjorts. b) Konstruera ett beslutsträdet för situationen, inklusive beslut om beta-lansering, och bestäm den optimal strategi och maximala förväntade vinsten (eller minimala förlust) för företaget. Vad bör återkopplingen från beta-testarna varit? Uppgift 4 (3p) a) Betrakta ett två-personers nollsummespel. Spelare A har tre strategier och B har fem. Betalningsmatrisen anger spelare A:s utfall/vinst och har följande utseende: B A 1 2 3 4 5 1 1 1 3 2 1 2 2 1 2 1 1 3 4 5 2 2 2 Eliminera eventuella dominerade strategier. (Spelet kan reduceras så att radspelare och/eller kolumnspelare har två eller färre strategier.) Beräkna alla optimala blandade strategier för spelare A via användning av grafisk lösning. Ange spelets värde. b) Betrakta ett nollsummespel där vinstmatrisen för radspelaren har följande utseende B A 1 2 3 1 4 1 1 2 3 p 6 3 1 3 4 4 4 q 5
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 4 där p och q är parametrar. Analysera spelet endast för att hitta optimala rena strategier (jämvikter). i) Bestäm alla värden på p och q så att det finns en sadelpunkt i detta spel. ii) Bestäm alla värden på p och q så att spelet blir rättvist. Uppgift 5 Du har just fått rollen som tillförordnad miljöchef i en kommun och har fått i uppdrag att ta fram en optimal plan för utplacering av miljöstationer. Kommunen består av n mindre tätorter, i = 1, 2,..., n, där det i respektive tätort finns h i hushåll, som lämnar a m 3 avfall en gång i veckan till en miljöstation. Tänkbara placeringar av miljöstationer är platser numrerade j = 1, 2,..., m. Transportkostnaden för en tur-ochretur-resa mellan hulhåll i och plats j är c ij. Kostnaden för en miljöstation i läge j består av en fast del f j och en rörlig del vilken är v j per m 3 mottaget avfall och vecka. Avfallet måste fraktas från respektive miljöstation j till stadens soptipp med lastbilar som lastar b m 3 till en kostnad av g j per tur-och-retur-transport. (4p) a) Formulera matematiskt problemet att minimera summan av hushållens transportkostnader och kommunens kostnader att driva miljöstationerna och att frakta avfallet till soptippen under en vecka. b) När du presenterar din matematiska formulering från uppgift a) för kommunstyrelsen invänder en av politikerna att du borde ha ytterligare ett bivillkor: x 3j d 3j > 0.3, j = 1,..., m, där d ij är avståndet mellan i och j i kilometer och x ij en variabeltyp i modellen. Varför kan politikern tänkas vilja ha med detta bivillkor?