Matematiska vetenskaper Carl-Henrik Fant 16 september 2005 Inledning till matematik med Matlab kompendium för M1 och TD1 2005. Allmänt. MATLAB är ett interaktivt program med mycket kraftfulla numeriska rutiner. Namnet MATLAB står för matrix laboratory. Det var ursprungligen ett program för matrishantering, men har numera utvecklats så att det lätt kan användas för grafisk representation, för att lösa olika problem inom matematisk analys och som ett programmeringsspråk för måttligt stora program. Detta kompendium är avsett att ge en kort introduktion till MATLAB I följande matematikkurser eller i kursen Matematisk Programvara, TD får du ytterligare utveckla dina kunskaper om MAT- LAB. Under hela utbildningen kommer du att använda Matlab som räkneverktyg, dessutom används programmet av allt fler företag så den tid du nu ägnar åt att lära dig grunderna är väl använd. Det finns naturligtvis många andra matematikprogram som kunde använts istället för MATLAB: Mathematica, Maple, Derive eller Excel för att nämna några. De första tre är symbolhanterande till skillnad från MATLAB, det fjärde är inte så bra vid mer komplicerade beräkningar. Ett alternativ till MATLAB är Octave, ett program som är mycket likt en äldre version av MAT- LAB. Som alternativ på hemdatorn är det utmärkt, i synnerhet priset: 0 kr. Nedladdas direkt från www.octave.org. För att övningarna skall kunna ge bestående kunskap krävs att du arbetar aktivt och medvetet med dem. Det kommer säkert dessutom att finnas anledning att gå tillbaka till det du en gång gjort så jag rekommenderar att du gör anteckningar och sparar eventuella programfiler. Då du fortsätter med MATLAB kommer du att läsa boken Användarhandledning för MATLAB av Pärt-Enander och Sjöberg. Naturligtvis täcks detta lilla kompendium mer än väl av boken. För att markera matlabkommandon och liknande i kompendiet så används en speciell font, kommando, för dessa. Matlabs uppbyggnad. Till skillnad från din miniräknare, som arbetar med enstaka tal, arbetar Matlab med listor av tal vektorer, matriser, flerdimensionella matriser, samt två andra objekttyper celler och strukturer. Här kommer vi enbart att behandla de två enklaste typerna av objekt vektorer och matriser. En lista som består av fem tal 1 1.1 1.2 1.3 1.4 kan vi tänka på som en vektor eller en radmatris, en 1 5-matris. Det är också så vi kan tänka oss att den uppfattas av Matlab, en lista kompletterad med matristypen (1,5). En matris som ex.vis 1 2 3 4 5 6 7 8 0 lagras som listan 1 4 7 2 5 8 3 6 0 tillsammans med matristypen (3,3).
Matematik med Matlab för M1 och TD1 2005. sid. 2 Notera den kolonnvisa ordningen på elementen i listan. En av svårigheterna då man lär sig Matlab är just att lära sig tänka i listor eller matriser i kalkyler där man normalt bara tänker på enstaka tal. Samtidigt är detta en av Matlabs fördelar, om man lär sig utnyttja den. Om du tidigare har hållit på med programmering så har du säkert använt dig av forslingor i programmen. Många sådana kan ersättas av matrisräkning vilket gör programmen betydligt effektivare. De program som Matlab använder finns i s.k. m-filer. En m-fil är (i allmänhet) en textfil som innehåller Matlab-kommandon. Att de kallas m-filer beror på att namnet på filen skall ha ändelsen.m. En del av dessa filer finns inbyggda i Matlab och är därför dolda för användaren, detta gäller exempelvis sin.m (den vanliga sinus-funktionen), andra finns tillgängliga så att man kan titta på innehållet, detta gäller exempelvis de hyperboliska funktionerna sinh, cosh vars beräkningsprocedurer finns lagrade i m-filerna sinh.m resp. cosh.m. Längre fram skall vi se hur man kan titta på innehållet i dessa filer. Även de program som man själv skriver skall lagras som m-filer. Det ställs då vissa krav för att Matlab skall hitta filerna, du får senare se vilka dessa krav är. Att starta MATLAB, inmatning och hjälp. Start: Du startar MATLAB precis som alla andra program i Windows. Alltså: Start -> Program -> MATLAB 6.x.x -> MATLAB 6.x.x Du får upp två fönster, ett med rubriken Help ett med rubriken MATLAB. Det senare är indelat i tre delar Current directory/workspace, Command history och Command Window I det senare finns lite text om MATLAB och en rad to get started select... Under den raden finns den så kallade MATLABprompten». Då den syns är det klart att börja räkna. Inmatning: MATLAB arbetar som redan nämnts med listor/matriser av tal. Ett enstaka tal kan vi uppfatta som en 1 1-matris. Tal, även komplexa, matas in precis som de skrivs, exempelvis 3+2*i eller 5-2*j. Notera * tecknet och att man inte har mellanslag inne i talet. Den imaginära enheten skrivs i eller j. Matriser skrivs in radvis. De inramas av [ och ]. Beroende på typ av tangentbord hittar du hakparenteser med hjälp av AltGraph-tangenten och en annan samtidigt (mest troligt), eller direkt på en tangent (amerikanskt tangentbord). Matriselementen separeras av mellanslag eller, tecken, raderna (utom den sista) separeras med ; tecken eller genom ett tryck på return/enter tangenten. All inmatning avslutas med vagnretur RETURN. Vill man att resultat inte skall skrivas ut på skärmen så avslutas kommandot med ; följt av RETURN.
Som exempel ger inmatningarna >>A=[1 2 3; 4 5 6 ;7 8 0] eller >>A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0] resultatet A = 1 2 3 4 5 6 7 8 0 Matematik med Matlab för M1 och TD1 2005. sid. 3 I allmänhet tilldelar man det man matar in eller resultatet av en beräkning ett variabelnamn så att man kan återanvända resultatet/inmatningen.. Matrisen ovan har namnet A, MATLAB kommer då att spara detta i vad man kallar arbetsutrymmet (workspace) och man kan använda det senare under samma arbetspass. Om inget annat namn ges så får senaste beräkningsresultatet eller inmatade matrisen automatiskt namnet ans. Vid nästa inmatning/beräkning ges ans nytt värde, det gamla förloras. Kommandot who ger en lista över lagrade variabler. Om du klickar på fliken workspace så ser du vad som finns lagrat där. Du kan markera en variabel i workspace-fönstret för att sedan ta bort eller editera den. Spara och Rensa: Kommandot clear tar bort alla variabler och kommandot clear A B x tar bort variablerna A, B och x. Då man avslutar MATLAB med quit eller exit så töms arbetsutrymmet. Om man vill spara variabler för framtiden så måste de sparas i en fil. Detta tar vi inte upp nu. Hjälp: Man kan få information exempelvis om vad ett kommando utför via hjälpfönstret. Jag rekommenderar att du så snart som möjligt sätter dig in i hur hjälpsystemet är uppbyggt. Pröva t.ex. att dubbelklicka på MATLAB under fliken contents och sedan Using MATLAB. På sidan du får upp kan du klicka dig vidare till det du vill meta mer om. Du kan också välja Index och i rutan Search index for skriva in ett kommando du vill veta mer om. Pröva att skriva in rref och se vad det kommandot gör. Bra att veta: Man lämnar programmet genom att under File välja Exit MATLAB. Man kan avbryta beräkningar med kommandot Control-c (Control- och c-tangenterna samtidigt). Om du klickar på MATLAB i hjälpfönstret och sedan MATLAB Demos så kan du få ett antal korta presentationer av MATLAB, en bra början. Det ger dig också möjlighet att titta på mer avancerade demonstrationsprogram av olika typ, dessa är värdefulla då du har lärt dig grunderna.
Matematik med Matlab för M1 och TD1 2005. sid. 4 Man kan återfå tidigare givna kommandorader genom att trycka på pil-upp-tangenten. Om du skriver en eller flera bokstäver eller symboler och använder -tangenten så återfår du den rad som börjar på detta sätt. Senare kommandon får man tillbaka genom att trycka på. Man kan korrigera ett givet kommando genom att återkalla det och ändra på samma sätt som i skrivprogram (word etc.). Uppgift 1: Starta MATLAB och titta lite på demonstrationsprogrammen. 1 MATLAB som matrishanterande räknedosa. 1.1 Grundläggande operationer 1.1.1 Aritmetiska operationer De vanliga aritmetiska operationerna mellan tal ser ut så här : + addition subtraktion * multiplikation / division ˆ exponentiering (skrivs ˆ följt av mellanslag!) Talet π skrivs pi medan talet e skrivs exp(1) Några exempel: Skriver du >> 100*pi (utan ; före avslutande RETURN) blir svaret ans = 314.1593 (ans står för det senaste svaret). Som påpekats ovan skall man alltid ge namn till beräkningarna. I ovanstående exempel skriver man då >> a=100*pi och får svaret a = 314.1593 MATLAB tillämpar den vanliga prioriteringsordningen mellan de aritmetiska operationerna : >> 8^1/3 ger svaret 2.6667, medan >> 8^(1/3) ger svaret 2. 1.1.2 Elementära funktioner MATLAB har alla de vanliga elementära grundfunktionerna, alltså exponential- och logaritmfunktionerna, de trigonometriska funktionerna och deras inverser, absolutbelopp, kvadratrot, och flera andra. Här följer en lista på några av MATLABs funktioner:
Matematik med Matlab för M1 och TD1 2005. sid. 5 exp, log (= ln), log10 (= 10-logaritmen), sin, cos, tan, atan (= arctan), asin, abs, sqrt, sinh, cosh, tanh. Observera att man alltid måste ha () runt variabeln som i sin(pi/3). Det finns ytterligare funktioner t.ex. sign, round, floor, ceil Exempel: Vi beräknar ln( e) : >>y= log(sqrt(exp(1))) y = 0.5000 Vi löser ekvationen e tan x = 5, π/2 < x < π/2 : >> x = atan(5/exp(1)) x =1.0728 Notera att man inte kan skriva e^x för exponentialfunktionen. 1.1.3 Formatering av utskrift Man kan dirigera antal decimaler som skrivs ut och formen på utskriften med hjälp av kommandot format. De vanligaste varianterna är format short ger fem signifikanta siffror format long ger femton signifikanta siffror format short e ger fem signifikanta siffror i flyttalsnotering format long e ger femton signifikanta siffror i flyttalsnotering Prova med att skriva ut 10π i de olika utskriftsformaten, t.ex. >> format long >> 10*pi ans = 31.41592653589793 Uppgift 2: Välj ett tal 1 < c < 10 med fyra decimaler. Mata sedan in c : >>c = valt värde; Beräkna därefter med hjälp av MATLAB a. roten till ekvationen 10 x = 21. (Se ovan hur ekvationen e tan x = 5, π/2 < x < π/2 kunde lösas.) Ge roten namnet rot2a. Kontrollera att 10 rot2a = 21. b. den positiva roten till ekvationen ln(1 + x 2 ) = 1/c. Ge roten namnet rot2b. Kontrollera ditt svar. MATLAB räknar naturligtvis enbart med närmevärden. Här några uppgifter för att illustrera det. Uppgift 3: a. Beräkna talet q = 2sin(e) sin(2e)/cos(e) dels med hjälp av MATLAB, dels exakt (för hand med hjälp av lämplig formel, du bör få ett heltal). Hur stort är felet?
Matematik med Matlab för M1 och TD1 2005. sid. 6 b. Sätt x = 1 + (10 c) n och y = (10 c) n (x 1) Då är det exakta värdet av y lika med 1, men MATLAB kommer att för stora heltal n ge andra värden. Finn det minsta heltal för vilket y = 0. Vilket värde får y för n-värdet dessförinnan? Enklaste sättet att utföra upprepade beräkningar av denna typ är att skriva allt på en rad som körs gång efter gång med hjälp av pil-tangenten. Gör så här: Skriv först n=0 och sedan på en ny rad n = n+1, x=1+(10*c)^(-n), y=(10*c)^n*(x-1) Då du återkallar denna rad med pilupp-tangenten första gången har n värdet 1 och får nytt värde 2 varefter x och y beräknas med detta n-värde. Med hjälp av pilupp-tangenten kan du upprepa så många gånger du vill, denna metod brukar jag kalla en mekanisk snurra. 1.2 Ytterligare grundläggande operationer 1.2.1 Operationer med listor/radmatriser För att utnyttja MATLAB effektivt skall nästan alla variabler man använder vara radmatriser eller större matriser. Detta innebär en viss komplikation. Multiplikationen x*y betyder matrismultiplikation. Om x och y är enstaka tal så är det den vanliga produkten. Är x och y matriser så finns inte produkten såvida inte typerna stämmer överens. Vi kan som nämnts ovan föreställa oss en matris lagrad som en lång lista av tal tillsammans med uppgift om matrisens typ. Ofta vill vi beräkna elementvisa (punkt-visa) produkter av tal i sådana listor. Den produkten skrivs.* alltså med en punkt framför *-tecknet. Med x = [1,2,3] är x.*x= [1,4,9]. På samma sätt skrivs division x./y och potenser x.^y. Man kan även använda de elementära funktionerna på matriser. Exempel (med utskrift i format short): >>x=[1 2 3]; y=[4 5 6]; ger x+y 5 7 9 x.*y 4 10 18 x./y 0.2500 0.4000 0.5000 x.^y 1 32 729 exp(x) 2.7183 7.3891 20.0855 Viktiga specialkommandon är ones och zeros. De användes för att generera matriser bestående av enbart ettor respektive nollor. T.ex. ger kommandot ones(1,3) eller ones(size(x)) svaret 1 1 1 om x är en radmatris av längden 3. Andra exempel: >>x=[1 2 3 4]; z=ones(size(x))./x ger svaret >>z = 1.0000 0.5000 0.3333 0.2500 >>x+ones(size(x)) ger svaret 2 3 4 5 >>2*ones(size(x)) ger svaret 2 2 2 2
Matematik med Matlab för M1 och TD1 2005. sid. 7 Det näst sista svaret hade man också kunnat få genom att skriva x+1. z kan man erhålla med z = 1./x. Uppgift 4: Skriv in radmatriserna x = [3 5 1] och y=[2 2 9]. Beräkna x+y, x-y, x.*y, x.^y, x./y, x.\y, x.*sin(y). Skriv upp vad MATLAB svarar på x*y. Hur tolkar du svaret? Kom ihåg detta svar och orsaken. Du kommer säkert att få det fler gånger. 1.2.2 Generering av aritmetiska följder Om a, h och b är givna tal kan man bilda radmatrisen x=[a,a+h,a+2h,...,b] med hjälp av kommandot x=a:h:b. >>x=-5:2:5 ger x = -5-3 -1 1 3 5 Analogt ger kommandot >>x=-pi:0.1:pi; radmatrisen x=[-3.1416-3.0416-2.9416... 2.9584 3.0584], vilket är en matris av längden 63. Kontrollera genom att mata in x enligt ovan och sedan skriva >>length(x) Låt också datorn skriva matrisen x på skärmen genom att skriva >>x (utan semi-kolon) Vill man ha steglängden h = 1 räcker det att skriva >>x=a:b t.ex. >>x=0:10 x = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Även negativ steglängd går bra, men naturligtvis bara om b < a. Uppgift 5: Leta upp hjälpinformation om :, kolon-operatorn är en mycket viktig ingrediens i Matlab. 1.3 Ekvationssystem. Ett ekvationssystem som x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 5 kan lösas med hjälp av Gausseliminering i ekvationssystemet tills koefficientmatrisen är triangulär. Ofta väljer man att presentera räkningarna utan att ta med de obekanta. Man bildar då systemets totalmatris eller utökad koefficientmatris som består av koefficientmatrisen följd av högerledet, ofta separerade med ett lodrätt streck för att förtydliga att det handlar om en totalmatris till ett ekvationssystem. På denna matris gör man sedan radoperationer tills koefficientmatrisen är triangulär. Man eliminerar sedan uppåt i pivotkolonnerna tills man erhållit den reducerade rad trappformen. Därefter kan man enkelt lösa ut de obekanta ev. på parameterform, eller se att systemet saknar lösning.
Matematik med Matlab för M1 och TD1 2005. sid. 8 I Matlab erhålls trianguleringen genom att man bildar systemets totalmatris A1 = [A b] och sedan beräknar T = rref(a1), (rref är förkortning av reduced row echelon form. Ur denna kan man bestämma lösningen. Exempel, med A = 1 2 3 4 5 6 7 8 0 och b = 5 8 7 ger rref([a b]) matrisen 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 2 ur vilken vi direkt kan utläsa lösningen X = Låter vi A = 1 2 3 2 4 1 3 2 2 och b = 4 5 2 så ger T = rref([a b]) T = 1.0000 0 1.2500 0 0 1.0000 0.8750 0 0 0 0 1.0000 Den sista raden ger oss ekvationen 0 = 1 vilket visar att ekvationssystemet AX = b 1 0 2. saknar lösning. Om vi ändrar högerledet till b = 4 5 1 så ger T = rref([a b]) T = 1.0000 0 1.2500 0.7500 0 1.0000 0.8750 1.6250 0 0 0 0 Ur denna matris kan vi se att systemet har parameterlösning. Uppgift 6: Lös övningarna 1.7, 1.16 och 1.25 i kompendiets utdrag om linjära ekvationssystem.