Modul: Algebra Del 2: Resonemangsförmåga Upprepade mönster (fortsättning från del 1) Anna-Lena Ekdahl och Robert Gunnarsson, Högskolan i Jönköping Ett viktigt syfte med att arbeta med upprepade mönster i undervisningen i åk 1-3 är att eleven skall ges möjlighet att upptäcka vilka som är de upprepade delarna och hur dessa kan sättas samman till helheter. Det finns matematikdidaktisk forskning (se t.ex. Papic, 2007) som pekar på att elever behöver arbeta med mönster, både upprepade och växande, för att kunna utveckla sin förmåga att se generaliseringar. Man pekar också på att låta eleven beskriva vad som upprepas i ett mönster. Att arrangera mönster som kan utvidgas är ett bra sätt att utveckla elevens förmåga att argumentera och föra logiska resonemang. Enligt kursplanen kan därför en progression i algebra exempelvis handla om att få pröva sig fram med olika uttrycksformer. I fortsättningen av beskrivningen av upprepade mönster handlar det just om att få eleverna att gå från de mer konkreta uttrycksformerna; rita och konstruera, till att beskriva mönstret med en mer abstrakt uttrycksform, som till exempel en tabell. Därutöver handlar det om att kunna se den matematiska relationen mellan ett konkret upprepat mönster och en tabell. Utgångspunkten i detta innehåll tas upp i en problemlösningsaktivitet som används i en studie av Warren och Cooper (2006) och som presenterades i del1. I den förra texten föreslogs, baserat på tidigare forskning, några tänkbara kritiska aspekter. Dessa var: Se vilken som är den upprepade delen eller sekvensen i ett upprepat mönster. Upptäcka att ett upprepat mönster kan variera i form och riktning. Urskilja hur ett upprepat mönster kan illustreras med olika uttrycksformer. Kunna uttrycka vad som kännetecknar ett upprepat mönster. En förutsättning för att eleverna ska utveckla förmågorna, som exempelvis att kommunicera och resonera med hjälp av olika uttrycksformer, är lärarens medvetenhet om de kritiska aspekterna. Lärarens val av frågor, hur dessa frågor ställs och följs upp, spelar också stor roll. I nedanstående beskrivning av aktiviteten kommer därför förberedelser och val av frågor att vara avgörande för att elever ska utveckla förmågan att konstruera och beskriva upprepade mönster. Aktivitet om upprepade mönster Detta exempel syftar på att beskriva en aktivitet som läraren kan använda för att påvisa systematiken i ett upprepat mönster. Det kan i sin tur utveckla elevernas förmåga att resonera mer algebraiskt och se generella samband. Låt säga att ett upprepat mönster med två färger ser ut så här: http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (6)
Steg 1 Inledningsvis identifieras den upprepade delen och beskrivs i termer av hur många röda respektive blå rutor den delen består av. Därefter identifieras hur många gånger den delen upprepas. Inledningsvis kan du förtydliga vad som menas med upprepade delar genom att rita upp dem, först en del, sedan två, och så vidare. Figur Antal upprepade delar... 4 Gemensamt fyller ni sedan i en tabell, där det upprepade mönstret bokförs del för del. Utgångspunkten är följande frågor: Hur många delar? Hur många röda rutor? Hur många blå rutor? Hur många rutor totalt? Antal upprepade delar Antal röda rutor Antal blå rutor Totalt antal rutor Steg 2 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9 4 4 8 12 5 5 10 15 Om aktiviteten skulle avslutas här, när tabellen är ifylld, riskerar du att missa chansen att utmana elevernas förmåga att se mönster och resonera matematiskt. Istället kan du ta möjligheten att låta eleverna se delar och helheter och deras samband i hela mönstret och därefter också utöver de delar som finns angivna i tabellen. På så vis har eleverna möjlighet att se det generella i det geometriska mönstret och i talmönstret. Den öppna frågan: Vad ser ni för mönster? ger dig en vägledning, dels om vilka mönster eleverna ser, dels om vilka kvaliteter som framkommer i elevernas beskrivningar. Vanligtvis uttrycker elever samband som går att utläsa genom att läsa tabellen vertikalt, kolumn för kolumn. Det kan exempelvis handla om att de röda rutorna ökar med ett för varje sekvens, de blå ökar med 2, det totala antalet ökar med 3 för varje sekvens. Ett annat slags mönster, som kan betraktas som en beskrivning av högre kvalitet, är det mönster som går att utläsa genom att titta vågrätt i tabellen. Det är alltid dubbelt så många blåa som röda rutor och Det är lika många röda rutor som antalet upprepade delar illustrerar sådana iakttagelser. En relevant följdfråga är: Hur ser du det? Med ett sådant resone- 1 2 3 http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (6)
mang vill du visa sambandet mellan antalet röda och blå rutor och antalet upprepade delar i mönstret. Steg 3 Nästa steg i aktiviteten är att utmana eleverna att fortsätta mönstret utöver det vi vet. Det vill säga, att utifrån det som kan utläsas i tabellen kunna ta reda på hur det upprepade mönstret kan se ut om det fortsätter bortom de fem upprepade delarna. I en sådan situation utmanas eleverna att tänka mer generellt, eftersom de inte har tillgång till det konkreta mönstret utöver de fem upprepade delarna. Återigen blir dina förberedelser av frågor viktiga. Följande frågor kan vara lämpliga: Om du har 6 upprepade delar hur många av varje färg har du då? Om du har 10 röda rutor, hur många blå skulle du ha då? Om du har 20 röda rutor, vad är då antalet blå rutor? Om du har 30 blå rutor, hur många upprepade delar har du då? Om du har totalt 45 rutor, hur många röda respektive blå rutor har du? Hur vet du det? Anteckna ditt svar! Visa och förklara det för en kamrat! Det kanske inte är självklart att alla elever kan uppfatta dessa samband. Några kan behöva ha tillgång till en mer konkret uttrycksform. Dessa elever behöver förmodligen rita eller bygga vidare på mönstret, alternativ fortsätta tabellen. Steg 4 Ytterligare ett steg kan tas med i aktiviteten genom att diskutera med eleverna hur man kan uttrycka det upprepade mönstret i mer generella termer. Det handlar då om att ange hur ett okänt antal delar kan se ut, det vill säga hur många röda respektive blå rutor samt totalt antal rutor det kan vara. Tänkbara kritiska aspekter i och med en ny uttrycksform I planeringen av lektionen behöver ni i lärargruppen diskutera en lämplig svårighetsgrad på mönstret, förbereda frågor och göra de anpassningar och utvidgningar av aktiviteten som behövs. Vilka aspekter som verkligen är kritiska beror på elevernas tidigare erfarenheter av upprepade mönster. När ni introducerar ytterligare en uttrycksform kan ni också möta nya kritiska aspekter. I exemplet på aktivitet som föreslås introduceras tabellformen. Därför ställs här upp några tänkbara kritiska aspekter för övergången mellan de båda uttrycksformerna: 1: Se sambandet mellan uttrycksformerna bild och tabell. Detta innebär att få syn på hur ett upprepat mönster illustrerat med bilder eller föremål kan http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (6)
överföras till en tabell. Vidare innebär det att kunna uppmärksamma att det som står i tabellen (värdena) har en motsvarighet i det visuella mönstret. 2: Se hur värdena i tabellen hör ihop. Detta handlar om att eleverna behöver få syn på vad de olika värdena i tabellen innebär. Det gäller även systematiken i hur antal delar, antal olikfärgade rutor och totala antalet rutor för respektive sekvens, förhåller sig till varandra. 3: Upptäcka hur mönstret kan se ut utöver det antal upprepade delar som finns i tabellen. Med detta menas att se hur systematiken i tabellen, det vi ser, kan användas för att förutse det vi inte ser. Med andra ord att se hur mönstret ser ut längre fram, bortom det som syns i mönstret. Klassrumsexempel Här ges några förslag på hur det kan se ut i klassrummet för att eleverna ska få en chans att uppmärksamma delar av innehållet som kan tänkas vara viktiga för deras förmåga att beskriva upprepade mönster, utifrån den föreslagna aktiviteten ovan. Inom matematiken är det viktigt att eleverna kan uttrycka samma sak på flera olika sätt. För att synliggöra den tänkbara kritiska aspekten sambandet mellan uttrycksformerna bild och tabell kan du med hjälp av systematik i hur respektive del förs in i tabellen underlätta för eleverna att se detta samband. Exempel 1 Genom att, som i exemplet nedan, täcka över ett antal delar i mönstret och relatera till tabellen kan du åskådliggöra sambandet mellan de båda uttrycksformerna och systematiken i hur värdena förs in i tabellen. Exempel 2 Ett annat sätt är att utgå från en färdigställd tabell där antalet upprepade delar, antal olikfärgade rutor och det totala antalet rutor anges. På så vis hålls mönstret konstant medan uttrycksformerna varieras. Eleverna får sedan i uppgift att översätta mönstret genom att rita eller bygga med olikfärgade rutor. Därefter diskuteras likheter och skillnader mellan uttrycksformerna. I en sådan situation ges eleverna möjlighet att tolka den information som ges i tabellen och se att sättet att visa mönstret på kan variera. De ges också tillfälle att argumentera för respektive uttrycksforms fördelar och nackdelar. http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (6)
Exempel 3 En möjlig väg att få eleverna att se hur värdena i tabellen hör ihop är att presentera en tabell där vissa värden finns med, medan andra värden saknas. Tabellen grundar sig på mönstret presenterat i aktiviteten ovan. Antal upprepade delar Antal röda rutor Antal blå rutor Totalt antal rutor 10 Antalet värden som ska kompletteras kan varieras av dig. Det möjliggör en individanpassning av aktiviteten. Efter att ha fyllt i tabellen behöver eleverna ges möjlighet att kommunicera vad som står i tabellen, vad de ser för mönster och hur de kom fram till de antal som de skrivit i tabellen. Ett sätt att skapa kontrast är att du skriver in ett felaktigt värde i tabellen. Ett fel som eleverna uppmanas hitta, motivera varför värdet inte kan stämma och föreslå vad det kan ersättas med. Exempel 4 1 1 2 3 2 6 4 3 6 Om eleverna inte ser de olika mönstren över hela tabellen behöver du synliggöra dessa samband. Tabellen på sidan 2 kan åskådliggöras genom att du använder påståenden som eleverna ska ta ställning till. Du väljer påståendena i syfte att eleverna ska använda och söka samband över hela tabellen, både vågrätt och lodrätt. Ett förslag är att eleverna tilldelas två lappar med JA respektive NEJ. När du säger påståendet visar varje elev upp den lapp de tycker passar bäst. Därefter ber du olika elever motivera sitt val. Det är alltid dubbelt så många röda som blåa rutor. Hur ser du det? Det är alltid dubbelt så många blåa som röda rutor Hur ser du det? Det är hälften så många röda rutor som blåa rutor Hur ser du det? 10 15 Antal upprepade delar är alltid lika många som antalet blåa rutor Hur ser du det? I sättet att formulera frågor och ställa följdfrågor skapar du möjlighet för eleven att se systematiken i hur hela tabellen hänger ihop. http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (6)
Den tredje tänkbara kritiska aspekten syftar på att eleverna ska tänka mer generellt om mönster och upptäcka hur det upprepade mönstret kan se ut utöver det antal delar som finns i tabellen. Detta kan du iscensätta genom att som tidigare beskrivits ställa frågor som gör det möjligt för eleverna att upptäcka fortsättningen. Om du har 6 upprepade delar, vad händer då? Hur många av varje färg? Om du har 10, 20, 30? Hur förändras mönstret? Efter att ha arbetat med ett upprepat mönster med en slags struktur kan du konstruera och beskriva ett annat upprepat mönster, där den upprepade delen har en annan struktur. Jämförelser mellan de två upprepade mönstren och deras tabeller kan sedan göras genom att diskutera deras likheter och skillnader. Detta innehåll kan utvidgas och problemlösningsaktiviteten kan mycket väl arbetas med under flera lektioner. Med hjälp av ovan beskrivna delar av innehållet kan du skapa aktiviteter med upprepade mönster och samband mellan uttrycksformer. Referenser Papic, M (2007). Promoting repeating patterns with young children More than just alternating colours! Australian Primary Mathematics Classroom, vol 12. Warren, E. & Cooper, T. (2006). Using repeating patterns to explore functional thinking. Australian Primary Mathematics Classroom, vol 11 http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (6)