Miljöfysik FYSA15 2015 Laboration 6 Absorption av joniserande strålning + Radioaktivitet i vår omgivning
Förberedelser: Läs i Reistad & Stenström, Energi- och Miljöfysik (2015), Del 2 (eller motsvarande avsnitt i äldre upplagor): o Sidorna 189-196 (Joniserande strålning) o Sidorna 231-236 (Radioaktivitet i omgivningen) Läs laborationshandledningen Labbrapport: Labbrapporten ska ha en tydlig indelning i stycken, som t.ex. syfte, utförande, resultat, slutsatser/sammanfattning, o.s.v. Rapporten ska skrivas med egna ord och som löpande text. Samarbete är tillåtet, maximalt två personer per rapport. Redovisa laborationens resultat noga och ha gärna egna funderingar. Eget tänkande uppskattas.
1. Inledning Joniserande strålning, som till exempel α-, β- och γ-strålning, är skadlig för människan på grund av att den kan ändra stukturen hos molekyler i kroppen; något som kan orsaka bland annat celldöd och cancer. Strålning kan dock stoppas med hjälp av olika material. Under laborationen kommer vi att studera hur tjockt lager av en absorbator som behövs för att stoppa strålningen och hur långt strålningen kommer i vår kropp innan den absorberas. I den andra delen av laborationen kommer vi att studera radioaktivitet i vår omgivning. Radon ger oss det största dosbidraget av alla naturligt förekommande strålkällor (i genomsnitt 3 msv/år jämfört med 1 msv/år för övriga naturliga källor). 2. Teori 2.1 γ-strålning Gammastrålning är högenergetiska fotoner som kan växelverka med materia via fotoelektrisk effekt, Comptonspridning samt parbildning. Vilken utav dessa tre processer som sker beror mest på fotonens energi, som kan ses i figur 1 nedan. Figur 1: De tre olika processerna dominerar olika energiintervall. (Krane 1988) Gammastrålningens växelverkan med omgivningen När en foton växelverkar via fotoelektrisk effekt, tas fotonens energi upp av en atomärt bunden elektron, som därefter emitteras (sänds ut) med en rörelseenergi som är lika med fotonens rörelseenergi minus elektronens bindningsenergi. Fotonen absorberas (tas up/försvinner) alltså helt i denna process. Comptonspridning innebär att fotonen sprids (studsar) mot en löst bunden elektron, varvid fotonen ändrar riktning samt förlorar en del av
sin energi till elektronen. Så kallad parbildning kan ske när fotonen har en energi som överstiger två elektronmassor, det vill säga 1,022~MeV. Genom växelverkan omvandlas fotonen till en elektron och en positron, elektronens antipartikel. Fotonen försvinner alltså helt även i denna process. Via vilken process fotonerna växelverkar är starkt beroende av deras energi. Fotoner växelverkar huvudsakligen med elektroner respektive elektrondensiteten i ett material. Om materialet som vi använder som absorbator är homogent (ser likadant ut överallt), kommer elektrondensiteten också vara det. Det betyder att inkommande fotoner har konstant sannolikhet att växelverka med elektrondensiteten för varje enhetssträcka. Det låter svårt men är enkelt att visualisera. Säg att ''halveringssträckan'', för ett visst material och en viss fotonenergi, är en meter. Då har antalet fotoner, med den energin, halverats efter en meters resa i materialet. Dessa 50% ska nu ta sig till från en meter till två meter, varvid ressträckan återigen är en meter, det betyder att antalet fotoner kommer att halveras igen. 25% kommer två meter in i materialet, 12,5% tre meter och så vidare. Om vi plottar dessa värden mot färdsträckan ser vi att de liknar en exponentialfunktion. Absorption Intensiteten av fotoner med en viss energi som funktion av en absorbators tjocklek kan enligt resonemanget ovan skrivas: Här är I0 intensiteten av fotoner innan passage genom absorbatorn och I är intensiteten på djupet x i absorbatorn. µ är attenueringskoefficienten, se figur 2, för absorbatorn och är bland annat beroende av fotonenergin. Samma typ av samband känner vi igen från radioaktivt sönderfall, där sannolikheten för sönderfall är konstant. Istället för attenueringskoefficienten µ = ln 2 / x1/2 har man där sönderfallskonstanten λ = ln 2 / T1/2. Figur 2: Massattenueringskoefficienten för olika fotonenergier i aluminium resp. bly. Massattenueringskoefficienten är attenueringskoefficienten µ dividerad med materialets densitet. (Krane 1988)
2.2 β-strålning Betastrålning är högenergetiska elektroner β - respektive positroner β +, som till skillnad från fotoner växelverkar kontinuerligt (fortlöpande) med de atomära elektronerna under sin passage. Då en betapartikel färdas genom ett material, förlorar den rörelseenergi vid spridning mot atomära elektroner. Eftersom det handlar om kollisioner mellan identiska partiklar med lika massor, kan spridningen bli avsevärd och spridningsvinklarna stora; elektronen kan slås iväg i en helt annan riktning än vad den hade innan. I spridningsprocesser kommer elektroner även förlora energi genom utsändandet av Bremsstrahlung (bromsstrålning). Sådan strålning består av fotoner och uppkommer då en laddad partikel såsom elektronen accelereras, vilket är fallet vid spridning. Energiförlusten av betapartiklar i en absorbator per sträcka (de/dx) är proportionell mot absorbatorns densitet samt mot kvoten mellan atomnummret Z och masstalet A, se figur 3. Termen Z/A är dock relativt konstant för de flesta ämnen. På grund av att betapartiklarna sprids i så stor utsträckning vid passage genom ett material, kommer deras kontinuerliga energispektrum att förflytta sig mot lägre energier samt breddas. Detta kommer ifrån att inte alla elektroner växelverkar lika stakt vid passage genom materialet och därmed inte förlorar lika mycket energi; något som naturligtvis inte har med elektronerna att göra utan är en konsekvens av att elektronerna har en viss sannolikhet att växelverka per sträcka. Figur 3: Energiförlust genom kollisioner respektive bromsstrålning för elektroner i koppar. Den totala energiförlusten av båda processerna är också markerad, liksom motsvarande kurva för protoner. (Leo 1994)
2.3 α-strålning Alfastrålning kommer från radioaktivt sönderfall där en heliumkärna sänds ut från en atomkärna. Eftersom alfapartiklar är ca 7300 gånger tyngre än elektroner, kommer de att spridas mycket mindre än elektronerna respektive positronerna i fallet med betastrålning. Detta blir rätt naturligt då man jämför alfapartikeln med en 40 ton lastbil som kör på en massa godtyckliga 5,5 kg objekt, det krävs många krockar för att minska lastbilens fart respektive ändra dess rikting. Figur 4: Typisk Braggkurva för en alfapartikel som visar hur de/dx varierar med penetrationsdjupet i materialet. Partikeln är alltså som mest joniserande mot slutet av sin bana. (Leo 1994) Alfastrålning är precis som betastrålning laddade partiklar och förlorar kontinuerligt rörelseenergi då de färdas genom ett material. Energiförlusten per sträcka är i det här fallet omvänt proportionell mot den kinetiska energin hos partikeln. Detta leder till att en partikel med hög energi bara förlorar lite av sin rörelseenergi längs större delen av sin färdväg. När dess energi slutligen minskar så ökar energiförlusten drastiskt, nästan all energi kommer då att deponeras på en mycket kort resterande sträcka. Figur 4 visar i en så kallad Braggkurva hur energiförlusten (de/dx) av alfapartiklar beror av sträckan. 2.4 Jämförelse mellan α-, β- och γ-strålning En liten jämförelse av hur de tre olika typerna av joniserande strålning beter sig i ett material kan ses i figur 5. Vi ser att intensiteten för alfastrålningen inte minskar nämnvärt förrän partiklarna nästan har stannat upp helt. Alfapartiklar har en relativt välbestämd räckvidd, i olika material. Gammastrålningens intensitet minskar mer kontinuerligt men har istället avsevärt mycket längre räckvidd (hur mycket längre beror på fotonernas energi och vilket medium de penetrerar). Betastrålningens beteende kan ses som ett mellanting av alfa- och gammastrålning.
Figur 5: Transmitterad intensitet för alfa-, beta- och gammastrålning. För alfaoch gammastrålningen är räckvidden i materialet definierad som den sträcka efter vilken intensiteten halverats (I/I0), medan man för betastrålning har extrapolerat den linjära delen av absorptionskurvan. Viktigt att påpeka här är att den horisontella skalan inte är linjär, räckvidden för gammastrålningen kan vara många storleksordningar längre än räckvidden för alfastrålningen! (Krane 1988). 2.5 Neutroner Neutroner är inte direkt joniserande eftersom de inte märker av de atomära elektronerna. Neutroner med hög rörelseenergi räknas ändå som joniserande strålning. De växelverkar enbart med atomkärnorna via den starka kraften, och denna växelverkan ger indirekt upphov till joniserande strålning. Just på grund av den svaga växelverkan med elektronerna är neutroner ''svårstoppade'' och har en stor penetrationsförmåga. När en neutron så småningom fångas in av en atomkärna, kommer den resulterande kärnan först vara i ett exciterat tillstånd. Den kommer då att deexcitera (göra av med energi) genom att emittera en eller flera högenergetiska fotoner och/eller genom att emittera en alfa- eller betapartikel. 2.6 Radon i vår omgivning Radon ger oss det största dosbidraget av alla naturligt förekommande strålningskällor (i genomsnitt 3 msv/år jämfört med 1 msv/år från övriga naturliga källor). Det vi i dagligt tal benämner radon är egentligen radon-isotopen 222 Rn och dess fyra första sönderfallsprodukter (de s k kortlivade radondöttrarna). 222 Rn ingår i uran-sönderfallskedjan och förekommer därför naturligt i bergarter som innehåller uran. Radon är en ädelgas (liksom He, Ne, Ar, Kr, och Xe) och bildar därför ogärna kemiska föreningar. Därför binds det ej i ursprungsmaterialet utan kan i gasform nå håligheter och sprickor och därifrån diffundera ut till den omgivande luften (exhalation). Eftersom radon är vattenlösligt kan det även komma ut i luften via vattenflöden i ursprungsmaterialet. 222 Rn har en halveringstid på 3,82 dygn och sönderfaller till kortlivade isotoper av metallerna polonium (Po), vismuth (Bi) och bly (Pb), vars halveringstider är mindre än en halvtimme. Dessa s.k. radondöttrar fastnar med hög sannolikhet på de dammpartiklar (aerosoler) som alltid finns i luft (vanlig inomhusluft: 10 3-10 5 partiklar/cm3) och följer vid inandning med ner i luftvägarna där de deponeras på olika ställen. Kroppen har olika skyddsmekanismer för att
transportera bort de deponerade partiklarna men transporten tar upp till 24 timmar vilket innebär att sönderfallet av radondöttrarna sker inne i luftvägarna vilka då utsätts för strålning. Vid långvarig radonexponering har man kunnat påvisa cancerinduktion i de mest strålningskänsliga cellerna i lungorna. De viktigaste källorna för radon i bostäder är marken under huset, byggnadsmaterialet, vattenledningsvattnet samt eventuell hushållsgas. Det största bidraget kommer från marken med variationer beroende på uranhalt och genomsläpplighet för gaser (uranhalten är hög i t.ex. alunskiffer). Alla byggnadsmaterial baserade på mineral (t ex betong, tegel, gips,...) innehåller varierande mängder radioaktiva nuklider. I detta sammanhang kan nämnas blå lättbetong som användes i stor utsträckning som byggnadsmaterial fram till 1975. Denna betong är gjord på alunskiffer och innehåller ofta mycket höga halter av radioaktivitet. Vattenledningsvatten från djupare vattentäkter, speciellt i uranhaltig mark, kan ge betydande bidrag till radonhalten inomhus medan ytliga vattentäkter oftast ger försumbara bidrag. Den genomsnittliga radonhalten i svenska bostäder är 105 Bq/m3. Åtgärdsnivån för existerande hus är 800 Bq/m3 medan nybyggda hus ej får överstiga 140 Bq/m3. Det högsta uppmätta värdet i en svensk bostad är 18000 Bq/m3.
3. Experiment 3.1 Alfastrålning Målet med detta moment är att studera hur förhållandevis tunga, laddade partiklar växelverkar med materia. Montera både alfapreparatet 241 Am (se figur 6) i avsedd hållare i vakuumkammaren, och en folie av aluminium på den vridbara hållaren. Vrid absorbatorhållaren i ett läge mellan strålningskällan och detektorn. Folien är 6 mikrometer tjock på den ena halvan och 12 mikrometer tjock på den andra halvan. Stäng akuumkammaren och starta vakuumpumpen. När trycket är under ca 0,05 Torr kan en spänning läggas över detektorn. Sakta ökas spänningen upp till 100V. OBS! Sänk spänningen över detektorn innan ni luftar kammaren. Tag upp ett spektrum för 241 Am utan absorbator. Hur ser det ut? Varför? Sätt in den ovan beskrivna absorbatorfolien och tag upp ett nytt spektrum, utan att radera det förra från skärmen. Hur ser det ut nu? Varför? Hur mycket energi förlorar alfapartiklarna i folien? Uppskatta (med hjälp av det du ser) räckvidden för en alfapartikel med 5,5 MeV rörelseenergi! Lufta vakuumkammaren och gör en tredje körning utan att rensa skärmen. Vad ser vi? Slutsats? OBS! Dra ner spänningen över detektorn direkt när körningen avslutats, innan ni lyfter upp detektorn och preparathållaren. Figur 6: Uppkoppling för försöken med alfa- och betastrålning. MCA beskrivs i bilaga 1.
3.2 Betastrålning Uppställningen i detta försök är densamma som i föregående. Alfapreparatet byts mot ett preparat som emitterar betapartiklar, i vårt fall 90 Sr. Genom att föra in metallfolier (aluminium och/eller koppar) av varierande tjocklek mellan detektor och preparat registrerar vi intensitetsförlusten som funktion av foliernas tjocklek. Betastrålning har ett kontinuerligt energispektrum till skillnad från alfastrålning som ger diskreta energitoppar. Detta beror på att betasönderfall är ett trekropparsproblem i vilket det finns oändligt många sätt energin kan fördela sig mellan de inblandade partiklarna. Observera att det kontinuerliga energispektrumet från betapartiklarna för en lägre amplitud och ''rör sig mot'' en lägre energi när vi placerar en absorbator mellan detektor och preparat. Diskutera varför det är på det viset. Ta upp ett spektrum utan absorbator, gör en ''peak search'' och en ''peak report''. Notera antalet ''counts/second'', detta är I0. Gör samma sak med två olika tjocklekar av aluminium som absorbator, bortsett från att ingen ny ''peak search'' skall göras (viktigt). För varje körning, notera tjockleken på absorbatorn och den uppmätta intensiteten. Gör precis samma sak med koppar som absorbator. 3.3 Gammastrålning Syftet med momentet är att studera absorptionsförmågan av gammastrålning i olika material som funktion av en absorbators tjocklek. Uppställningen består av en HPGe-detektor (High Purity Germanium) som via en förstärkare är kopplad till en mångkanalanalysator (MCA), se figur 7. Dra långsamt upp spänningen över detektorm till 900V. Placera 137 Cs-preparatet framför detektorn. Starta datainsamlingen och låt insamlingen pågå till dess att god statistik i spektret erhålls. Försök att förklara de olika delarna i spektret. Gör en peak search och peak report över den stora toppen. Anteckna intensiteten (counts/second), den motsvarar I0. Ta upp nya spektra där blyplattor av olika tjocklek används som framför preparatet. För varje körning, gör en ny peak report utan att göra en ny peak search och anteckna antalet counts/second för respektive absorbatortjocklek. Plotta logaritmen av intensiteten (ln I) mot absorbatortjockleken (x). Vi vet att, vilket kan skrivas om med räknereglerna för logaritmfunktioner till ln (I(x)) = ln (I0) - µ x. Detta är en rät linje med riktningskoefficient -µ. När vi har plottat kan vi anpassa en rät linje och lutningen av denna ger oss attenueringskoefficienten (µ). När vi har fått fram ett värde på µ kan vi möblera om i ekvationen igen för att få en halvvärdestjocklek x1/2, där intensiteten av strålningen
gått ner till hälften: x1/2=ln 2 / µ. Vad får ni för attenueringskoefficient och vad är halvvärdestjockleken för denna absorbator? Vad innebär det? Upprepa de två senaste punkterna för övriga tillgängliga absorbatormaterial: tenn, koppar, aluminium och falukorv -- den sistnämnda för att representera den mänskliga kroppen. På vilket vis skiljer sig falukorv från den mänskliga kroppen? Ta bort alla absorbatorer och flytta fram preparathållaren så att avståndet mellan preparat och detektor halveras. Ta upp ett spektrum, gör en ''peak report'' och notera intensiteten ( counts/second ). Flytta sedan preparathållaren så att avståndet till detektorn istället blir dubbelt så långt jämfört med utgångsläget och gör samma mätning. Resultat? Slutsats? Figur 7: Uppkoppling för försöken med gammastrålning. MCA beskrivs i bilaga 1. 3.4 Mätning av radon-exhalation från alunskiffer och/eller vatten I denna del av laborationen skall vi se närmare på hur radon exhaleras ut i luften ifrån alunskiffer och vanligt vattenledningsvatten. Alunskiffer förekommer i stor utsträckning i marken i vissa områden, inom Skåne i synnerhet på Österlen och även i Södra Sandbytrakten, medan vatten ju är en vara som förekommer rikligt i alla hushåll. Om så önskas kan vattenprovet medtagas hemifrån (mängd: 1 liter). Provet bör vara färskt (helst inte äldre än ca. ett dygn). Vi kommer att mäta radonhalt genom att detektera α-partiklarna som emitteras vid α- sönderfall av 222 Rn. Radondetektorn består av en s k jonisationskammare enligt figur 8. Den aktiva volymen mellan anod och katod består av luft som normalt är elektriskt isolerande. Normalt går det alltså ingen ström mellan de två elektroderna trots en spänning på 750 V mellan dem. En α -partikel som emitteras vid sönderfall av 222 Rn orsakar vid sin passage genom luft en jonisation av molekylerna, d.v.s. en uppdelning av dessa i elektroner och joner, som är elektriskt laddade. Om sönderfallet sker inne i den aktiva volymen kommer dessa fria laddningar att vandra mot resp. elektrod (anod resp. katod) och ge upphov till en kort strömpuls. Denna kan detekteras med hjälp av snabb elektronik och indikerar m.a.o. att ett 222 Rn-sönderfall har skett. Vid normal användning är jonisationskammaren öppen (via ett glasfiberfilter) mot den omgivande luften. Radongas kan diffundera igenom filtret medan radondöttrarna effektivt stoppas. Detektorn registrerar α -sönderfall av 222 Rn inne i jonisationskammaren och för att få
rimliga statistiska osäkerheter räknas antalet sönderfall per tio-minuters intervall. Värdena lagras i minnet i detektorn och kan läsas ut vid senare tillfälle. Figur 8: Radondetektor Vid denna laboration kopplas ett slutet system upp ungefär enligt figur 9. Behållaren innehåller prov av alunskiffer eller vatten. Eftersom systemet är slutet och luften pumpas runt i systemet kommer radonhalten att vara densamma överallt, d v s samma halt i jonisationskammaren som i behållaren. Då systemet sluts (d.v.s. locket med tillhörande slangar sätts på behållaren) kommer radonhalten att stiga p g a exhalation från provet. Vi skall mäta hur radonhalten förändras under en viss tid och utifrån detta beräkna hur många radonatomer som exhaleras per tidsenhet från provet (exhalationshastigheten). Beteckningar: N: antal radonatomer i luften i systemet E: exhalationshastighet C: uppmätt radonhalt A: aktivitet V: systemets volym : sönderfallskonstant för 222 Rn t 1/2 : halveringstid för 222 Rn Detektorn anger radonhalten som aktivitet/volymsenhet: med enheten Bq/m 3.
Figur 9: Uppkoppling för radonmätning Eftersom vi är intresserade av antalet radonatomer i luften utnyttjar vi sambandet vilket ger: I början av processen (då systemet nyligen har slutits) gäller att förändringshastigheten för antalet radonatomer i luften är lika med exhalationshastigheten från provet (se bilaga 2): Exhalationshastigheten ges då av: Sönderfallskonstanten för den aktuella kärnan erhålles ur dess halveringstid som: Utförande 1. Mätning på alunskiffer. Sätt på locket med tillhörande slangar på behållaren med alunskiffer. Sätt samtidigt igång detektorn ("on/off") och starta luftpumpen (0.5 l/min). Låt mätningen pågå så länge som möjligt, d v s lämpligen till efter moment alfa-, betaoch gammastrålning ovan (dock minst två timmar).
2. Utskrift och utvärdering av alunskiffermätningen. Starta analysprogrammet på datorn: o välj genvägen "xdataexpert04". Hämta data från detektorn: o välj "Connect to instrument (ikon) AlphaGuard o under flik Measurements, klicka på Read list of measurements o välj aktuell mätserie (normalt den senaste) o klicka Import measurement Tag av locket från behållaren och öka luftpumpen till 1 l/min för att "skölja ur" jonisationskammaren inför nästa mätning. Stäng samtidigt av detektorn. Skriv ut mätningen: Bestäm lutningen för radonhalt-kurvan (d v s dc/dt): o p.g.a. statistiska fluktuationer är det inte säkert att den uppmätta ökningen av radonhalten sker i jämn takt. Vi nöjer oss här med att med ögat göra en uppskattning av kurvans lutning. Beräkna gasvolymen i det slutna systemet (mät lämpliga dimensioner med linjal). Beräkna sönderfallskonstanten för 222 Rn (t1/2 = 3,82 dygn). Beräkna exhalationshastigheten för radon från alunskiffer enligt formlerna ovan. 3. Mätning på vattenledningsvatten. Sätt på kallvattenkranen och låt vattnet rinna i minst 1 minut, gärna längre. Fyll den tomma behållaren med 1 l vatten. Förfarande i övrigt som under moment 1 ovan. 4. Utskrift och utvärdering av vattenmätningen. Förfarande som under moment 2 ovan. Referenser Krane, Kenneth S., Introductury Nuclear Physics, John Wiley & sons, ISBN: 0-471-80553-X, 1988 Leo, W.R., Techniqus for Nuclear and Particle Physics Experiments, 2 nd ed., Springer Verlag, ISBN: 0-387-57280-5, 1994
Bilaga 1. Vad beskrivs i MCA:n? Som vi kan se i kopplingsschemat går signalen från förstärkaren (amplifier) in i något som kallas MCA, "Multi Channel Analyzer" eller mångkanalsanalysator. MCA:n har ett antal kanaler, som var och en motsvarar en viss pulsstorlek från förstärkaren. Ju högre pulsen är, desto mer energi har deponerats i detektorn (vid just den händelsen), så de olika kanalerna på MCA:n motsvarar olika energier. För att få reda på exakt vilken energi en viss kanal motsvarar måste man kalibrera skalan med kanalnummer eftersom detta även beror på signalförstärkningen. MCA:n registrerar antalet händelser i varje kanal (antal "counts") och genererar på så sätt ett spektrum där vi kan se vilka energier partiklarna har. Om vi t.ex. tittar på spektrumet i figur 10 nedan ser vi att detektorn har registrerat ca 800 händelser (fotoner) i kanal nummer 77. Den exakta energin som kanal 77 motsvarar kan vi dock inte säga någonting om utifrån bilden. Figur 10: 137 Cs-spektrum upptaget med NaI-detektor
Bilaga 2. Radonhaltens variation med tiden För den matematiskt intresserade skall vi härleda uttrycken för hur radonhalten varierar med tiden samt visa att sambandet: gäller för små tider. Alunskiffer innehåller 238 U som har en mycket lång halveringstid (4,4710 9 år). Sönderfallskedjan som utgår från 238 U, i vilken bl a 222 Rn ingår, befinner sig därför i s k sekulär jämvikt vilket innebär att aktiviteten är konstant och att det sker lika många sönderfall per tidsenhet av alla nuklider som ingår i kedjan. 222 Rn nybildas därför kontinuerligt och exhalationshastigheten (E) från alunskifferprovet kan antagas vara konstant. Samtidigt finns det för varje radonatom i luften en viss sannolikhet per tidsenhet () att den försvinner ur systemet p.g.a. olika fysikaliska processer (radioaktivt sönderfall, diffusion till den omgivande luften genom läckor, etc.). Förändringen av antalet radonatomer (N luft ) i luften i det slutna systemet ges då av (i ekvationerna nedan underförstås att N luft är en funktion av tiden, d v s N luft =N luft (t)): Λ Lösningen till denna differentialekvation är: 1 Förändringshastigheten: För små t gäller: M.a.o.: för små t är förändringshastigheten för antalet radonatomer i systemet lika med exhalationshastigheten för alunskifferprovet. Situationen är annorlunda för vatten eftersom det endast innehåller en viss mängd 222 Rn från början och där inte sker någon nybildning. Det totala antalet radonatomer i systemet (N total = N vatten + N luft ) kommer därför att avtaga med tiden p g a det radioaktiva sönderfallet (för att förenkla räkningarna antager vi här att systemet är helt slutet, d.v.s. inga läckor till omgivningen). Vi skriver:
där är den radioaktiva sönderfallskonstanten. Lösningen till denna differentialekvation är: 0 Vi är intresserade av hur antalet radonatomer i luften varierar med tiden. Detta antal ökar genom exhalation från vattnet men samtidigt sker en minskning p.g.a. det radioaktiva sönderfallet samt återabsorption av radonatomer från luften till vattnet. Om sannolikheten per tidsenhet för att en radonatom i vattnet avgår till luften är vl och sannolikheten för den omvända processen är lv kan vi skriva förändringen för antalet radonatomer i luften som: Λ Λ Vi skriver om detta uttryck med hjälp av uttrycket för N total ovan: Λ Λ 0 Λ Λ 0 Λ Λ Λ Lösningen till denna differentialekvation med begynnelsevillkoret N luft (0) = 0 är: Förändringshastigheten: 1 Λ Λ För små t gäller: 0 Λ Detta är detsamma som antalet radonatomer per tidsenhet som avgår från vatten till luft vid tiden t=0, d v s exhalationshastigheten E vid tiden t=0.