JONAS SCH ERDIN HENRICUS FALCK. Mag. UP SALINE P R O P O R T 1 O N E DEFINIE'ND A. DISSERTATIO CUJUS PARTEM PRIOREM PHILOS. UPS. VENIA AMPL. FAC.

Transkript

1 E P R O P O R T 1 O N E EFINIE'N A. ISSERTATIO CUJUS PARTEM PRIOREM VENIA AMPL. FAC. PHILOS. UPS. public: O EXAMINI OFFERüNT Mag. HENRICUS FALCK STIP. REG GKSTR. HELS. ET ' JONAS SCH ERIN STIP. STfEGL. OTHN1ENSIS, IN AUIT. GUST. IE IX EC. MCCCXV H. A. M. S. UP SALINE EXCUCEVANT ZEIPEL ET PAEMLAÖ

2 bkuks-patronessan hogådla född berg. Geno Eder välgörenhet Öpnades en bana, s-o jag Ön«skade beträda; geno EdrA osorger lättades fortgången på. den saa. Malte ig derföre tillåtas att pryda dessa blad ed Edert vördade nan t Måtte det tillåtas ig, att åt aftonen af Eder lefuad skänka den tillfredsställelsen, att frukterna af Edert utsäde skola svara ot EdrA upoffrin. gar. etta hopp är den enda belöning jag kan gifva den enda J fordre jonas scher din.

3 PROPORTIONE EFINIENA..{^.erurn, qute in athefi t radan tur, vix ullara reperics ob principia, qua; fubiniftrat, agis necesfaria latiusve patente, qua ipfa proportionis Theoria. Qaippe cu neque eleenta ipfa Analyfeos fine hac rite intelligi, neque Geoetria fi proficere velit, ejusdetn ope carere posfit, jure taqua Propasdeutice Mathefeos fundaentalis perfpicue atque adcurate expofira diiigentisfie eft perdifcenda. Quatnvis non defuerint follertes Geoetras, qui in asdificio hujus Theoriae flrueiido o- pera acuine ingenii adjuta ita collocarunt, ut nihil fere relinquere vifi fint; pluriini tarnen, Euclidearu definitionu veluti etuentes obfcurirate, alias pro his fubflituerunt, quas perpcra taqua ab bis diverfae fub noine principii Arithefici confideratas nonnifi ineopleta rei notione prsebuere. Contigit tande, fatendu eft, notioni huic, qua dicunt, aritheticas eani univerfalitatis fora ipertiri, qua Euclidea gequiparet; principii aute, quo nifi debet proportionis dodrina, firitate & deonftrationu fiplicitate atque evidentia o- nes port fe longe reliquit Euclides. Quare ne teeritatis inutili» accufetur conaen Euclidese entis ita eruendat, ut difficilia in definirionibus ejus forfan obvia reoveantur, & quo par eft pretio ethodus Euclidea aeflietur. Quod quaiitercunque fuccesferit, nos non Euclidis causfa egisfe fed tironibus odo confultu voluisfe puteus. A

4 Sad ne in fequentibus ipediaur, ex Eucl, L. V. prop. I. cujus corollariu revera eft, brevitatis causfa dedu&u, bocce juvabit praeittere Lea ico esfe I;o (pa) = p(a) *). Eft eni tn(pa) feu (pa-\~pa + pa &c,)a?que ultiplex ipfius A feu \A*+~A A J- &c.) atque eft pa ipfius A (E. V: i( i. e. (pa) ss p(a)(p. defin.^**). A A A A ico esfe a:o c. Eft eni n(-) feu ( ti n. n '» A A A A 4- "+- &c) asqueultiplex ipfius n ( ) feu C n n n n A &e) i. e. A, atque eft ipfius ~(E. V: i) unde per def. A A A n( ) = A & proinde tn =. q. e. d. ti n n. i- Ratione in genere agnitudinis A ad alia lioogenea quaerere, eft illius quantitate hujus unius ope de- ter- L A *) Ljtterse inufeulse nueros integros; roajufeulae aguitudines reprae fentant. **) icitur A ultiplex esfe ipfius f fi A=z(, certies futae) & quide totiplex, quoties futa cogitetnr. Sed A dicitur pars f. fobultiplex esfe ipfiös ß, fi A certies futa rr, & quide tota pars, quoties futa cogitetur. Fore fperaus re cflfetidat ufus Yocu nltiplicis & partis etiafi A, feel tantu vel ne feel quide futse cogitentur. Univerfaliori hoc introdutto conceptu, bre» ^iores certe erunt plures in hac Theoria deonftratioues»

5 ) 3 < terinare. Haec vero deterinatio tot vari is fieri potefl odis, quot funt variae folius A fun&iones, quaruin fingulse fingulas ex variis folius fundionibus asquent, adeo ut A f() ratione in genere L e. relatione expriat ipfius A ad. Cu vero fundionu fiplicisfias easdeque prise ac fun daentales fi.it illa, qua fua.-gnitudinu hoogenearu (A,, C &c.), åc ejusde cafus fpeciaiis, A quo ultiplex unius efficiarur, nec non altera illius inverfa, qua refiduu & hujus itide cafus fpeciaiis, quo pars unius A oriatur, nihil irutn per haru alrerurra fundionu relatione potisfiu «xprii, quas quide fie expresfa relatio xotr ratio nuncupatur. Onis igitur ratio qua habet A ad ad duo onino genera reduci porefi. Unu fi deterinatur quantitas ipf. A ira ut A tanto ajor vel inor fit ipfa quanta fit data agnirudo R (h, e. fi A = +- R vel A -4- R ~, quod quide pofierius fic quoque adfignatur: A = - R). Haec ra io noine Aritheticce vulgo infignirur. Si vero A fuse agnitudinu, quaru quaslibet =, A ultiplex ipfius audit, fed pars ipfius A, & quide tantiplex vel tanta pars, quantus efi nuerus agnitudinu quas fua conficiunt ifia (quod ide in not. prsec. brevi(us eft expresfu). Altera inde quantitatis ipfius A deterinatio per ultipiices feil. & partes ipfaru A & ut ab arithetica difiinguatur, ratio Geoetrica f. Proportio dici folita. Quod fi jarn^ A ul tiplex vel pars fit ipfius, ratio ipfius A ad per eu deterinatur nueru, qui, quoties vel A futa fuerit, expriit, ita quide ut A e, g. aut = 4 aut = 4 Si aute A nec ultiplex nec pars fit ipfius., tu aut, Euciide duce, ultipiices ordinc fuantur ipfius A & obfervetur utri ta ru arqualis fit quacda ex ultiplicibus, itide ordine futis, aut recentioiu odo partes ordine fuantur ipfius {diidia, tertia, &c.) & obfervetur utra haru fit A a quo-

6 ) 4 C quoque pars ipfius A vel etiatur ipfa A vel denique (ut dicuni) utra haru A certies exaffie contineat. N*utra vero fuccedet ethodus nifi ante certu fuerit, esfe A & co«enfurabiles, i. e. esfe parteni quandain uuius (e. g. ) quas pars quoque fit alterius (A), quod ubi obtinet, efi quoque ul tiplex quasda ipf. A = iriuit. cuida ipf.. Na cu vi p. byp. A = = - ile. i), eft p. def. na ss. n n Quod fi ja confiat esfe A, incoenfurabiles & proinde rarione ipfius A ad nuqua exa Sie posfe exprirni, of fert fefe problea, quod vel alias folvere cuperes: Ratione ipfius A ad data quavis dijferentia verce propiore expriere. Cujus vis proble a tis haec efi: ata quantuvis exigua niagnitudine ipfis Aj hoogenea» aut (Euclideis convenienter principiis) invenire quota fit ipfius A ultiplex, quas a ultiplici quada i- pfius five excesfu > five defecfiu, inore qua H difiat, aut> fecundu recentiores, quota fit pars ipfius, qua A certies continet *) ita ut excesfus -<J H. Facile vero folvunt recentiores pofiulati loco pofito: "parte agnitudinis datas qualibet posfe cogitari". Contra ea fl ultiplices coparentur, nulio präster hoc opus efi: pofiulato (quod ipfa def. 4. Eucl. V. inefi): ''quacuque ngnitudine toties futa posfe cogitari, ut qualibet alia hoogenea excedat*', & Leate 111 o: "Si ex agnitudine ajore diidiu aut ajus auferatur, ex refiduo iterutn diidiu, aut ajus *) A dicitur certies continerc ipfa, fi A non - ^ ( aequetohvt futa fed ^ ( una pluries futa), fi e. g, A non <2 7 fed 8 dicitur A ipfa fepties continere.

7 ^ ) s ( jus, fic pergendo relinquetur tande rgnitudo quavis inore inor". Tu vero problea no/lru ita folvatur: H Sit A pria ultiplex quae n A (11 Hh z) & n ultia quas non - > A, E unde (n -4- z) i? > A. Si n ~ (p-z) n p A, folütu eft problea j fi vero ' E/ n = 1l ~f- & {q-i)e! n qe! rs (n -+ 1) - M. Quonia '' E" Hh E zz2, alterutra necesfe eft ut fit non -. Sit e. g. non - Sc fuatur p 2 2 pria ultiplex quas n, quo fit p = n -f- E Sc (p -z) ~ '. Siquide ' -4- E' alterutra b efl non - ^ : fit e. g. * non & fuatur qe! pri- <2 2 a ultiplex, quac > w5> unde qe! =5 -f-sc (q -/) Ef Cu vero '' + JE" z: ' alterutra (e. g. jct/\ sssii - ". E! non - >. Sic pergendo proveniet tande excejfus vel de* n fedus K qui H (Le. cit.). Efi aute pa ( =: pn -f-p) ss (p -f- i)n -f- JE* qpa pzz (qp -4- q 4- t) n + " &c. & tande /.. qpa = r.. qp -4- x., -J- s..+ 1) wfl +, Si defesfus quasritur qui i?, fuatur / ultia ulti plex quas non - n. Sit igitur tkzzn - K'\crit K'{ Sc ts.; = {ts.. qp \ ts.. q-^-ts.,<-\-i*)n ~ K. q. e. $. ^

8 ) 6 C ir. Sequifar ja ut de atqualitate åc ina?qualitate rationu dicarnus. Ex ente vero Euclidea I. a), icitur A: rs C:, fi qiicecunique iptaru A, C sequeultiplices (x A,xC} taies funt, ut fi = ^ ultiplici quada (n) ipfius j, llt quoque x A 1:1110 Cafu se 9 2:do > & 3:tio <J sequeultiplice (n} ipfius. Sed b) dicitur A: ^ C:, fi certce ipfaru Ay C ajque ultiplices (A. tnc) tales funt, ut A ultiplice quada (n) ipfius fed C non - seque ult. (11) ipfius. Sed A : C: fi A 11on -^ n; fed C 11. Secundu recentiorer aute: II. a ) icitur A: =: C :, fi A toties continet quaque ipfius parte, quoties C eande ipfius pdite continet, (i. e. fi A non - <J n fed <3 (» -f- /) quando C X X non - < n fed <J (»-f-?) ). X x t Sed b) dicitur A: ^ Cl, fi A certa ipfius par. te pluries continet, qua C eande continet ipfius parte. (i. e. fi non - fed C <» ). Et A:^C:, fi A certa ipfius parte inore nuero continet, qua C eande continet ipfius parte. (u e. fi A<, w fed C noa - < «

9 ) 7 C Qua quide dcßnitio ad Euclidea hoc odo poteß conforari: III. a) icitur A : C\ fi A i C tales funt, ut, quacuque fuerint ipfarutn, seque partes (, ), fi C zz OC 2C C aliquoties futa) fit quoque A i:o cafu =, 2:do oc & 3:tio <3 ( «quetoties futa). V Sed b) dicitur A : C :, fl A parte quada i- pfius aliquoties luta (n ) fed C non eade ipfius parte aeque toties futa (n \ Et A : ** C : ^ fi -^non - J>» fed C > n ~. Euclides vero ad recentiores fic propiut accesßsftti IV. a) icitur A j := C:, Ii qncecique ipfius A ulti plex ipfa toties continet, quoties sequeultiplex ipfius C ipfa eontiner. fi. e. fi xa uou - ^n fed ^ (M-f-i)i? quando xc non - <J nu fed <*(»-]- /), Sed dicitur A: C :, fi ccrta ipfius A ulti plex pluries continet ipfi y qua sequeult. ipfius C ipfa continet. (i. e. fi A non - n fed C <1 11J, Et A: <J C : fi ccrta ipf. A ult. ipfa inore nuero cont. qua teque ult. ipf. C ipfa continet. (i. e. fi A <1 n led C non - <1 n)%. III

10 ) 8 C $. «I. Quo aute ea, quae confilio nofito inlerviunt, elius intelligantur, <Sc qusena ex allatis IV definitionibus fit prasferenda facilius judicefur, utuo fcilicet ipfaru confenfu peifpetflo, quse fequuntur paucis exponere liceat, quavis a Celeberrirao Geoetra agna ex parte odo haud ulru diverio jadudu fint deonftrata. (Nov. Atfh Soc. Scient. Upf. V. VI) Viani igitur patefaciat LetiM 2. Si ultiplex quasda H >nk led aeque ultipl. L ss np (Sc differentise (^ inter H <Sc nk fuatur ultiplex g J> ipfius K ultiplice quada rk, erit gh > (gn r) K fed gnil <3 {gn -+ r) P. eonßr. Quonia H zr: nk -f- erit gh( zzz gnk + g) > gnk -4- rkc. ( gn + r) K. Sed gl z= gup, unde gl <3 (gn + r) P- T e* d. Theorea I. A) Si ponatur def. I. vera efi def. III. <Sc ) reciproce» C) Si aute ponatur def. IV. vera efi def. il & ) reciproce. eonßr. Ponatur e. g. def. IV; deonfir. def. II. Tu vero efi (p. hyp. IV. a) : xa non - <3 «&> fed <3 (w-f-z) & x C non - <3 n; fed <3 \n -4- z) und«a non <ii {n1) n <! fed <3 L(Sc C non - < fed < -- x X XX h. e. (p. Le. x) A non - <3 n fed <3 (n -4- z) <Sc C x x non ~ <3 n fed <j (n 4- i), q. e. d. x x Siiliter onia reliqua deonfirantur. Theo-