E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p

Transkript

1 MID SWEDEN UNIVERSITY DMA Examination 2017 MA095G & MA098G Discrete Mathematics (English) Time: 5 hours Date: 16 March 2017 Pia Heidtmann The compulsory part of this examination consists of 8 questions. The maximum number of points available is 24. The points for each part of a question are indicated at the end of the part in [ ]-brackets. The final grade on the course is determined by how well the candidates demonstrate that they have met the learning outcomes on the course. Provided all learning outcomes have been met, the following guide values will be used to set the course grade: E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p The final question on the paper is the Aspect Question, it is optional and carries no value in terms of marks, but a good solution of this Aspect Question may raise a candidates grade by one grade. The candidates are advised that they must always show their working, otherwise they will not be awarded full marks for their answers. The candidates are further advised to start each of the nine questions on a new page and to clearly label all their answers. This is a closed book examination. No books, notes or mobile telephones are allowed in the examination room. Note that Mathematical Formula Collection Edition 4 is allowed on this tenta and will be available in the examination room. Electronic calculators may be used provided they cannot handle formulas. The make and model used must be specified on the cover of your script. GOOD LUCK!! c DMA, Mid Sweden University 1 MA095G & MA098G

2 Question 1 7 (a) Consider the positive integer s = n. n=1 (i) Give the sum s without using Σ-notation. (ii) Express s in base 8 and base 16. [1.5p] (b) Let M = {m, a, t, h, s} and D = {d, m, a}. Compute the following sets. (i) M D; (ii) P(D); (iii) P(M) P(D). (c) How many subsets of cardinality 4 are there in the set S = {t, h, e, q, u, i, c, k, f, o, x}? Question 2 (a) Use Euclid s Algorithm to show that there are integers s and t such that 217s t = 7. [1.5p] (b) Showing all your working, find all integer solutions x to the congruence 217x 11 (mod 1603). [0.5p] c DMA, Mid Sweden University 2 MA095G & MA098G

3 Question 3 (a) Let the function f : N Z be given by the rule f(x) = x 2 + 3x 4. Prove that f is one-to-one. (b) Let the function g : R R be defined by g(x) = 2x 2 + 3x 1. (i) Compute g g(x). (ii) Prove that the function g g is O(x 4 ). Question 4 (a) Let p, q, r 1 and r 2 be logical propositions. Give a truth table for each of the following two composite propositions and decide whether they are equivalent or not. p 1 : (p q) (r 1 r 2 ); p 2 : ( p q) ( r 1 r 2 ). [1.5p] (b) Consider the following statement concerning an integer n. If n is a prime and 9 3n then n < 0 or n = 3. Write down the contrapositive of this statement. Question 5 (a) Let a and b be integers. Show that a b (mod 6) if and only if a b (mod 2) and a b (mod 3). (b) State and prove the pigeonhole principle. [1.5p] (c) Suppose we randomly select a subset of integers from the set {10, 11, 12, 13,..., 50}. How large must the subset be, if we want to make sure that we have chosen at least one pair of integers a, b such that 3 (a b) and 2 (b a)? Justify your answer. c DMA, Mid Sweden University 3 MA095G & MA098G

4 Question 6 (a) Is it possible to construct a simple graph with degree sequence 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4? Either construct an example of such a graph or say why it is not possible to do so. [0.5p] (b) Justifying your answer, find three non-isomorphic spanning trees in the following graph. [1.5p] a b c e d (c) Show that the graph from part (b) is planar. (d) Show that the graph from part (b) is not bipartite. (e) Showing all your working, use Kruskal s or Prim s algorithm to find a minimum spanning tree in the following weighted graph, and give the total weight of the spanning tree found. a 2 b 3 c 3 j d 2 e 7 f 2 k g 4 h 4 i c DMA, Mid Sweden University 4 MA095G & MA098G

5 Question 7 Let S = {±1, ±2, ±4, ±5, ±7} and consider the relation R on S defined by (a, b) R if and only if 5a + b 0 (mod 6). (a) Draw a digraph representing the relation R. (b) Prove that R is an equivalence relation on S. (c) Give the equivalence classes for the equivalence relation R on S. [3p] Question 8 Consider the sum for any integer n 2. n ( s n = i 2) i=2 (a) Compute s 2, s 3, s 4 and s 5. (b) Use induction to prove that s n = ( n+1 3 ) for all n 2. [2p] Aspect Question Showing all your working, determine the last digit of the integer c DMA, Mid Sweden University 5 END OF EXAMINATION

6 MITTUNIVERSITETET DMA Tentamen 2017 MA095G & MA098G Diskret matematik (svenska) Skrivtid: 5 timmar Datum: 16 mars 2017 Pia Heidtmann Den obligatoriska delen av denna tenta omfattar 8 frågor. Delfrågornas poäng står angivna i marginalen inom [ ]-parenteser. Maximalt poängantal är 24. Betyg sätts efter hur väl lärandemålen är uppfyllda. Riktvärde för betygen är: E: 9p D: 10p C: 14p B: 18p A: 22p Därutöver innehållar skrivningen en frivillig aspektuppgift som kan höja betyget om den utförs väl med god motivering. Behandla högst en uppgift på varje papper! Till alla uppgifter skall fullständiga lösningar lämnas. Resonemang, ekvationslösningar och uträkningar får inte vara så knapphändiga, att de blir svåra att följa. Brister i framställningen kan ge poängavdrag även om slutresultatet är rätt! Hjälpmedel: Matematisk Formelsamling Ed. 4 (delas ut), skriv- och ritmaterial samt miniräknare som ej är symbolhanterande. Ange märke och modell på din miniräknare på omslaget till tentamen. LYCKA TILL!! c DMA, Mittuniversitetet 1 MA095G & MA098G

7 Uppgift 1 7 (a) Låt positiva heltalet s = n. n=1 (i) Ange summan s utan summatecken. (ii) Uttryck s i basen 8 och basen 16. (b) Låt M = {m, a, t, h, s} och D = {d, m, a}. Bestäm följande mängder: (i) M D; (ii) P(D); (iii) P(M) P(D). (c) Hur många delmängder av kardinalitet 4 finns det till mängden S = {t, h, e, q, u, i, c, k, f, o, x}? Uppgift 2 (a) Använd Euklides algoritm för att visa att det finns heltal s och t sådana att 217s t = 7. (b) Bestäm alla heltalslösningar x till kongruensen 217x 11 (mod 1603). Visa dina uträkningar. c DMA, Mittuniversitetet 2 MA095G & MA098G

8 Uppgift 3 (a) Låt f : N Z vara funktionen f(x) = x 2 + 3x 4. Visa att f är injektiv. (b) Låt g : R R vara funktionen g(x) = 2x 2 + 3x 1. (i) Bestäm g g(x). (ii) Visa att funktionen g g är O(x 4 ). Uppgift 4 (a) Låt p, q, r 1 och r 2 vara logiska påståenden. Ge en sanningstabell för följande sammansatta påståenden och avgör om de är ekvivalenta eller ej. p 1 : (p q) (r 1 r 2 ); p 2 : ( p q) ( r 1 r 2 ). (b) Ange det kontrapositiva påståendet till följande påstående om ett heltal n: Om n är ett primtal och 9 3n så gäller att n < 0 eller n = 3. Uppgift 5 (a) Låt a och b vara heltal. Visa att a b (mod 6) om och endast om a b (mod 2) och a b (mod 3). (b) Formulera och bevisa Dirichlets lådprincip. (c) Antag att vi slumpmässigt väljer en delmängd av heltal från mängden {10, 11, 12, 13,..., 50}. Hur stor måste delmängden vara, om vi vill vara säkra på, att vi har valt minst ett par av heltal a, b sådana att 3 (a b) och 2 (b a)? Motivera ditt svar! c DMA, Mittuniversitetet 3 MA095G & MA098G

9 Uppgift 6 (a) Är det möjligt att konstruera en enkel graf med gradföljden 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4? Konstruera ett exempel på en sådan graf eller tala om varför en sådan konstruktion är omöjlig. (b) Hitta tre icke-isomorfa uppspännande träd i grafen a b c e d Motivera ditt svar! (c) Visa att grafen i (b) är planär. (d) Visa att grafen i (b) inte är bipartit. (e) Använd Kruskals eller Prims algoritm för att bestämma ett minimalt uppspännande träd i följande viktade graf och ange den totala vikten av det uppspännande trädet. Redovisa gången i lösningen. a 2 b 3 c j 2 d 2 e f k g 4 h 4 i c DMA, Mittuniversitetet 4 MA095G & MA098G

10 Uppgift 7 Låt S = {±1, ±2, ±4, ±5, ±7} och definiera en relation R på S sådan att (a, b) R om och endast om 5a + b 0 (mod 6). (a) Rita en riktad graf som beskriver relationen R. (b) Bevisa att relationen R är en ekvivalensrelation på S. (c) Ange ekvivalensklasserna för ekvivalensrelationen R på S. [3p] Uppgift 8 För alla heltal n 2 definieras summan s n = n i=2 ( i ) 2. (a) Beräkna s 2, s 3, s 4 och s 5. (b) Bevisa med induktion att s n = ( n+1 3 ) för alla n 2. [2p] Aspektuppgift Bestäm den sista siffran i talet c DMA, Mittuniversitetet 5 SLUT PÅ TENTAMEN