Vinjetter TDDC91 Datastrukturer och algoritmer

Transkript

1 Vinjetter TDDC91 Datastrukturer och algoritmer 30 augusti 2013

2 2

3 Scenario 1 Man har inom Posten Logistik AB skrivit programvara för sortering av kundinformation och vill standardisera användningen av sorteringsalgoritmer. Som ett första steg har man provkört de olika algoritmerna på samma dator. Man har provat data av olika storlek och uppnått följande resultat: storlek indata alg. 1 alg. 2 alg. 3 alg

4 4

5 Scenario 2 När ett systems inloggningshanterare ställs inför ett lösenord måste en kontroll av att det lösenordet stämmer med användarens lösenord i systemets interna tabeller utföras. En naiv metod vore att lagra lösenorden i en symboltabell med användarnas namn som nycklar, men den metoden är känslig mot att någon oauktoriserad får tillgång till systemets tabell och därmed exponerarar alla lösenord. I stället använder de flesta system en säkrare metod där en symboltabell med krypterade lösenord för varje användare används. När en användare skriver in ett lösenord krypteras det lösenordet och kontrolleras mot det lagrade värdet. Vid överensstämmelse släpps användaren in i systemet. För att den här lösningen på inloggningsproblemet ska fungera väl behövs en krypteringsmetod med två egenskaper: Att kryptera ett lösenord bör vara enkelt och att lista ut ett lösenord givet den krypterade versionen bör vara mycket svårt. Subset Sum-kryptering En enkel lösenordshanteringsmetod är följande: Lösenordslängden sätts till ett specifikt antal bitar, säg N. Systemet håller reda på en tabell T med N heltal som vart och ett är N bitar långt. För att kryptera ett lösenord använder systemet lösenordet för att välja en delmängd av talen i T och lägger samman dem; summan (modulo 2 N ) är det krypterade lösenordet. Följande miniexempel med 5-bitars nycklar illustrerar processen. Antag att systemets tabell innehåller följande fem 5-bitars tal: Med den här tabellen skulle lösenordet krypteras som eftersom det säger att summan av rad två och fyra i tabellen ska användas (och = I praktiken skulle förstås en mycket större tabell användas. Antag nu att du fått tillgång till systemtabellen T och att du också lyckas snappa upp användarnamn och motsvarande krypterade lösenord. Den här informationen ger dig inte omedelbar tillgång till systemet; för att knäcka ett lösenord behöver du hitta en delmängd av T som summerar till det givna lösenordet. Säkerheten hos systemet beror på svårigheten hos det här problemet (som på engelska går under namnet Subset Sum). Uppenbarligen måste 5

6 6 lösenordslängden vara tillräckligt stor för att hindra dig från att bara prova alla möjligheter men samtidigt tillräckligt liten så att användarna kan komma ihåg sina lösenord. Med N bitar finns det 2 N olika delmängder, så man skulle kunna tänka sig att 40 eller 50 bitar borde räcka... Detaljer I stället för att använda heltal som lösenord är det brukligt att använda någon behändig översättning från det användaren skriver in till heltal. Här har vi valt att använda ett alfabet med 32 tecken (små engelska bokstäver samt de första sex siffrorna) i lösenorden och att koda dem som arrayer av 5-bitars heltal (bytes) med 0 för att koda a, 1 för att koda b och så vidare. Följdaktligen får vi N = 5 C, där C är antalet bokstäver i lösenordet. På katalogen /home/tddc91/vinjetter/password/ finns bland annat programmet Encrypt.java som systemadministratören skulle använda för att kryptera en användares lösenord. Programmet använder Key.java för att utföra addition av C-siffrors heltal i bas 32. Det läser in tabellen T och använder sedan bitarna i lösenordet för att välja ord ur tabellen att lägga samman och skriver ut det krypterade lösenordet. I katalogen finns också tabellerna easy5.txt, easy8.txt, rand5.txt och rand8.txt. Den första och tredje är för nycklar med 5 bytes (25 bitar), den andra och den fjärde är för nycklar med 8 bytes (40 bitar). De första två har mycket struktur medan de andra två är slumpmässigt genererade. Till exempel, med konstanten C definierad som 8 blir resultatet följande för lösenordet password. >javac Encrypt.java >java Encrypt password < rand8.txt password gobxmqkt qdrvjxwz joobqxtz xnoixmnk tcixtvem lqtsdtca zlptzlfp gmjuvyqw uoqrdhwp ltdkzndz btezrznq bujilqno qgaicljl yyefwcld gnvowyjk aynzobxh lxwewfhh aenipbjd vbskbezp Det skulle alltså vara fullt möjligt att använda bc eller någon annan kalkylator för att kontrollera att kolumnerna summerar till siffror motsvarande bokstäverna

7 7 i det krypterade lösenordet. Tabellen easy8.txt förenklar saken betydligt: >java Encrypt password < easy8.txt password aaaaaaac aaaaaaae aaaaaaai aaaaaaaz aaaaabaa aaaaaiaa aaaabaaa aaaaiaaa aaabaaaa aaaeaaaa aaaiaaaa aacaaaaa aaeaaaaa aaiaaaaa abaaaaaa azaaaaaa iaaaaaaa zaaaaaaa b0onjjbh En lösning Programmet Brute.java löser problemet att givet ett krypterat lösenord och en tabell hitta lösenordet; de C bokstäver som, när de konverterats till ett N- bitars tal, bestämmer delmängden som summerar till det N-bitars binära tal som motsvarar de C bokstäver som givits som indata. Med kostanten C definierad till 5, blir resultatet följande för lösenordet passw: >javac Encrypt.java > java Encrypt passw < rand5.txt exvx5 >javac Brute.java >java Brute exvx5 < rand5.txt i0ocs passw Följande lösenord har krypterats med rand8.txt, rand10.txt, respektive rand12.txt: xwtyjjin h554tkdzti uz1nuyric5u3 rpb4dnye oykcetketn xnsriqenxw5p kdidqv4i bkzlquxfnt 4l4dxa3sqwjx m5wrkdge wixxliygk1 wuupk1ol3lbq

8 8

9 Scenario 3 Försök att hitta en uppskattning av värdet på perkolationströskeln. Tillämpningar Givet ett sammansatt system bestående av slumpvis fördelade isolerande och metalliska material: hur stor andel av materialen behöver vara metalliska för att systemet som helhet skall vara en elektrisk ledare? Givet ett poröst landskap med vatten på ytan (eller olja under), under vilka omständigheter kan vattnet tränga igenom till bottnen (eller oljan tränga upp genom ytan)? Vetenskapen har tagit fram den abstrakta processen perkolation för att modellera sådana situationer. Modellen och problemet Vi modellerar ett perkolationssystem som ett N N-rutnät av platser. Varje plats är antingen öppen eller blockerad. En full vplats är en öppen plats som kan bindas samman till en öppen plats i övre raden via en kedja av närliggande (vänster, höger, upp, ner) öppna platser. Vi säger att systemet perkolerar om det finns en full plats på bottenraden. Med andra ord, ett system perkolerar om vi fyller alla öppna platser i översta raden och den processen fyller någon öppen plats i bottenraden. (I materialexemplet är de öppna platserna metalliska material och i det porösa landskapet motsvarar de öppna platserna hålrum genom vilket vatten kan flöda.) Följande har länge varit en öppen fråga: Om vi låter platser vara öppna oberoende av varandra med sannolikhet p (och därför blockerade med sannolikhet 1 p), vad är sannolikheten att systemet perkolerar? När p är 0 perkolerar 9

10 10 inte systmet; när p är 1 perkolerar systemet. Bilden nedan visar perkolationssannolikheten som funktion av p för slumpmässiga rutnät (vänster) och slumpmässiga rutnät (höger). När N är tillräckligt stort finns ett tröskelvärde p sådant att när p < p perkolerar ett slumpmissigt N N-rutnät nästan aldrig och när p > p perkolerar ett slumpmässigt N N-rutnät nästan alltid. Ingen har hittills lyckats härleda en analytisk lösning som bestämmer värdet på perkolationströskeln p. Monte Carlo-simulering Betrakta följande beräkningsexperiment för att uppskatta perkolationströskeln: Låt alla platser vara blockerade. Upprepa följande till systemet perkolerar: Välj en plats (rad i, kolumn j) med likformig sannolikhet bland alla blockerade platser. Öppna plats (rad i, kolumn j). Andelen platser som är öppna när systemet perkolerar är en uppskattning av perkolationströskeln. Genom att upprepa ovanstående experiment T gånger och ta medelvärdet får vi en bättre uppskattning av perkolationströskeln. Exempelprogram och data På katalogen /home/tddc91/vinjetter/percolation/ finns ett program som modellerar ett perkolationssystem (Percolation.java), men det fattas en viktig bit. Vidare finns programmet PercolationStats.java som använder modellen för att utföra Monte Carlo-simuleringen som skissats ovan. Slutligen finns också PercolationVisualizer.java, med tillhörande datafiler och stödprogram, för att visualisera ett perkoleringsförlopp.

11 Scenario 4 Givet en mängd av N distinkta punkter i planet, hitta alla (maximala) linjesegment som innehåller en delmängd av 4 eller fler av punkterna. Tillämpningar Viktiga komponenter i datorseende är att använda mönsteranalys av bilder för att rekonstruera de verkliga objekt som genererat bilderna. Denna process delas ofta upp i två faser: feature detection och pattern recognition. I feature detection väljs viktiga områden hos bilden ut; i pattern recognition försöker man känna igen mönster i områdena. Här får ni chansen att undersöka ett särskilt rent mönsterigenkänningsproblem rörande punkter och linjesegment. Den här typen av mönsterigenkänning dyker upp i många andra tillämpningar som t.ex. statistisk dataanalys. Exempeldata och -program På katalogen /home/tddc91/vinjetter/pattern/ finns flera filer med exempeldata. Där finns också programmet Brute.java som löser mönsterigenkänningsproblemet. 11

12 12

13 Scenario 5 Dagbrott AB vill bryta malm för att maximera sin nettovinst. Området där dagbrottet ska anläggas är indelat i block och för enkelhets skull antar vi en endimensionell layout. Från den geologiska prospekteringen är bedömningen att brytning av block i ger nettovinst (värdet av malmen minus utvinningskostnaderna) a i miljoner kronor. Vissa miljörelaterade restriktioner gör att Dagbrott AB endast får bryta malm i en sammanhängande grupp av block. Vilka block bör Dagbrott AB välja? Med andra ord, givet en sekvens av N (möjligen negativa) heltal, bestäm den största möjliga summan bland alla sammanhängande sekvenser. Problemet är lätt om alla tal är positiva: välj hela sekvensen. Svårigheten är när det förekommer negativa tal: borde man ta med ett negativt tal i hopp om att närliggande positiva tal kompenserar för detta? För indatat nedan är den maximalt möjliga summan 104, vilken erhålls genom att ta med block 2 till 6. Notera att summan alltid är minst 0, eftersom Dagbrott AB kan välja att inte gräva alls. block nettovinst Tillämpningar I verkliga tillämpningar behöver gruvoperatörer lösa en tredimensionell variant av problemet. Dessutom kan det förekomma ytterligare geologiska begränsningar, t.ex. att det inte går att bryta ett område 100 meter under marken utan att först frilägga några av de omgivande områdena. Den tvådimensionella varianten av problemet förekommer även som del av bildbehandling, där målet är att bestämma maximum likelihood-skattningen för ett visst sorts mönster. Exempeldata På katalogen /home/tddc91/vinjetter/pitmining/ finns flera filer med exempeldata. 13