Kommentarer om mandatfördelningen i riksdagen

Kommentarer om mandatfördelningen i riksdagen Jesper Carlström 7 maj 2007 Sammanfattning Vid mandatfördelningen i riksdagen används uddatalsmetoden med smärre justeringar. Här beskrivs uddatalsmetoden i dess rena form och studeras genom att några egenskaper visas, bland annat görs feluppskattningar av olika formler för att approximera utfallet. En slutsats som kan dras av dessa feluppskattningar är att uddatalsmetoden ger ett resultat nära proportionalitet om antalet mandat som fördelas är stort i förhållande till antalet partier som ska dela på mandaten. Därefter nämns den så kallade jämkningen och de andra justeringarna, såsom införande av valkretsar, fasta mandat, utjämningsmandat och 4 %-spärr, och något om vilka konsekvenser dessa justeringar får. Ett av dessa resultat är att bruket av fasta mandat gör att man inte längre kan vara säker på att få en proportionell representation. Det förklaras också hur metoden för fördelning av utjämningsmandat kunde förenklas avsevärt utan förändrat resultat. Ett alternativt system föreslås som antas ge ungefär samma utfall om dagens politiska situation inte förändras mycket, men för vilket det är lättare att formulera goda proportionalitetsegenskaper. Slutligen ges en motivering till den metod som används för att tillsätta kandidater och det visas att den är den bästa tänkbara med vissa egenskaper. Detta är en sammanställning av resultat som tidigare funnits på olika ställen, dock med vissa förbättringar. Dokumentet finns på http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se-2007-16. Innehåll 1 Uddatalsmetoden 2 2 Websters metod 9 3 Jämkningen 10 4 Fasta mandat och utjämningsmandat 13 5 Möjliga variationer 16 6 Tillsättning av kandidater 17 Referenser 21 1

1 Uddatalsmetoden Låt oss införa följande beteckningar: Låt n 2 vara ett heltal och låt P vara en mängd av n stycken element: de partier som ska dela på mandat. Vi låter variablerna i, j beteckna partier, det vill säga element av P. Med betecknar vi partiet i:s röstetal (antalet röster). Vi antar att det är ett positivt heltal. Låt R =, det vill säga R är totala antalet röster på partier som ska dela på mandat. Låt m i vara det antal mandat som parti i erhållit. Vi antar att det är ett icke-negativt heltal. Låt M = m i. Ett argument för uddatalsmetoden är följande övervägande. Då vi har delat ut M mandat och ska dela ut ett till, så ska vi fråga oss vilket parti som ä störst behov av ytterligare ett mandat. Vi mäter detta parvis. Låt i, j vara två olika partier. Antag att något av dessa ska ha nästa mandat. De blinbördes proportionellt representerade efter att det nya mandatet delats ut om de då erhållit sammanlagt + r j (m i + m j + 1) respektive r j + r j (m i + m j + 1) (1) mandat. Det är dock sällan möjligt att uppnå eftersom dessa tal sällan är heltal. Om vi däremot i stället ställer frågan vilket av de båda partierna som bör ha företräde att få det nya mandatet, så kan vi rimligen svara att det parti som saknar flest mandat för att bli riktigt representerat bör ha det nya mandatet. Vi betraktar alltså olikheten + r j (m i + m j + 1) m i > r j + r j (m i + m j + 1) m j (2) och väljer att anse parti i ha företräde framför parti j om olikheten är sann. Nu gäller det att inse att olikheten (2) är ekvivalent med 2m i + 1 > r j 2m j + 1. (3) För att se det är det bara att steg för steg förenkla (2). I olikheten (3) ser man att varje parti i har ett tal 2m i + 1, (4) det s.k. jämförelsetalet, som kan användas för att jämföra det med andra partier. Notera (den fantastiska!) egenskapen att detta tal är helt oberoende av andra partiers röstetal och utdelade mandat. Trots att vi kom fram till det under jämförelse med parti j, kommer det alltså att vara detsamma vid jämförelse med alla andra partier. Vi kan därför ordna alla partier efter deras jämförelsetal och dela ut nästa mandat till det parti som har störst jämförelsetal. Det kan hända 2

att två partier delar det största jämförelsetalet. Då ska något av dessa partier ha nästa mandat. Det valet kan ske på många sätt. Dagens lagstiftning föreskriver att situationen ska lösas genom lottning. Flera andra rimliga variationer är tänkbara: man kunde exempelvis ge mandatet till det största partiet. Strängt taget finns det alltså inte bara en uddatalsmetod, utan flera olika. De är överens om att ett parti som har mindre jämförelsetal än ett annat inte kan komma i fråga för nästa mandat, men när flera partier delar det största jämförelsetalet är de inte överens. Vi kommer att lämna det ospecificerat vad som ska göras i de fallen och håller oss till att analysera vad vi kan säga om metoderna utan att precisera detta. Vi kommer också att tillåta oss att säga uddatalsmetoden, trots att vi inte preciserar vilken av de möjliga variationerna vi syftar på. En omedelbaakttagelse är att motiveringen vi givit bara involverar proportionalitet parvis mellan partierna. Detta änte nödvändigtvis detsamma som global proportionalitet. Om vi exempelvis har fyra olika partier, varav alla utom ett har 4 % var av rösterna, så att det sista har 88 %, så kommer de första 11 mandaten att delas ut till det största partiet, varefter de tre småpartierna får varsitt mandat och de följande 22 mandaten går till det största partiet. Notera att efter 11 mandat har alltså det största partiet fått 100 % av mandaten, medan 9,68 mandat vore 88 % av de 11 mandaten. Vi får alltså, globalt sett, en överrepresentation med 1,32 mandat, om vi med global proportionell representation menar att andelen mandat ska vara lika med andelen röster. Det är alltså inte sant att uddatalsmetoden alltid kommer så nära global proportionalitet som är möjligt. Vi ska bland annat studera hur stor avvikelsen kan bli. Det är hellente sant att ett parti som har mer än hälften av rösterna nödvändigtvis får egen majoritet om man tillämpar uddatalsmetoden. Betrakta följande exempel. Antag att ett parti har 51 % av rösterna och sju partier har 7 % var. Om vi delar ut elva mandat, så får det stora bara fyra av dessa. Vi kommer dock att kunna visa att ett parti som har minst 51 % av rösterna garanteras egen majoritet om man delar ut 349 mandat bland högst 15 partier. Speciellt gäller det om alla partier som delta fördelningen har minst 3,5 % av rösterna, eftersom de då som flest kan vara 15 stycken. 1 Det är alltså inte så lätt som att vi kan säga att uddatalsmetoden ger bästa möjliga proportionalitet. Vi måste precisera i vilken mening den gör det. Vi börjar med att bevisa att antalet mandat, då partierna betraktas parvis, kan avvika från det optimala med högst 1/2, i en viss mening. När vi motiverade uddatalsmetoden antog vi inte att den ensam skulle användas för att dela ut alla mandaten, vi diskuterade bara hur uddatalsmetoden ska fungera när den tar vid i mandatfördelningsprocessen för att dela ut nästa mandat. Vi ska även bevisa vår första sats utifrån dessa premisser. Sats 1. Om uddatalsmetoden tagit vid efter att ett visst antal mandat (eventuellt 0) redan delats ut, så gäller, om parti i fått ett mandat av uddatalsmetoden, att för varje parti j. m i r j m j + r j 2 (5) 1 Denna situation liknar den i riksdagen, men i exemplet används ren uddatalsmetod, medan man i riksdagen använder jämkad uddatalsmetod, som vi återkommer till senare, och en kombination av fasta mandat och utjämningsmandat, som vi också återkommer till. De slutsatser som dras här gäller alltså inte nödvändigtvis riksdagen. Vi ska i själva verket senare se att de inte gör det. 3

Bevis. 2 Om parti i fick ett mandat så hade inget parti större jämförelsetal. Parti i hade, när det fick sitt senaste mandat, jämförelsetalet 2(m i 1) + 1 (6) och inget annat partis jämförelsetal har ökat sen dess, så vi har (efter att föregående uttryck förenklats) r j 2m j + 1 2m i 1. (7) Genom att multiplicera båda sidor med (2m j + 1)(2m i + 1) får vi r j (2m i 1) (2m j + 1) (8) och genom att veckla ut parenteserna och lägga till r j 2 m j till båda sidor får vi 2m i r j 2m j + r j. (9) Det återstår nu bara att dela båda sidor med 2. Satsen ger en gräns för hur många mandat parti i kan få av uddatalsmetoden om vi skriver om ekvation (5) till m i ( + r j ) (m i + m j ) + r j 2 och därefter delar båda sidor med + r j : (10) m i (m i + m j ) Vi kan formulera detta som en sats på följande vis: + r j 1 2. (11) Sats 2. Om uddatalsmetoden tar vid då ett antal mandat (eventuellt 0) redan har fördelats, så gäller (11) om i är ett parti som fått mandat av uddatalsmetoden och j är vilket parti som helst. I ord uttryckt innebär detta att inget parti som får utjämningsmandat får fler mandat totalt än att det, för vart och ett av de andra partierna, har högst ett halvt mandat mer än den andel av mandaten som motsvarar partiets andel av de båda partiernas röster. I själva verket kan man se att varje metod som har den egenskapen måste ge ett resultat som stämmer överens med uddatalsmetodens bortsett från hur man gör vid lika jämförelsetal: Sats 3. Om en metod har egenskapen som nämns i förra satsen, så ger den samma resultat som någon uddatalsmetod. 2 Tack till Hans Rullgård och Jan Lanke, som tipsade mig om att detta argument kunde ersätta ett betydligt klumpigare argument som jag hade innan. 4

Bevis. Antag att en metod gav ett sådant resultat att (11) gällde för varje parti i som fått mandat av den och låt J M vara det största jämförelsetalet som något parti har när M mandat är fördelade. Betrakta nu hur resultatet skulle ha blivit om man med uddatalsmetoden delade ut mandat så länge det största jämförelsetalet var större än J M. Inget parti skulle då fått fler mandat än enligt den första metoden. Å andra sidan är, som vi sett, (11) ekvivalent med (7), så om något parti har fått färre mandat av uddatalsmetoden kan inte dess jämförelsetal vara mindre än J M, så det måste vara lika med J M. Det måste i så fall finnas flera partier med det jämförelsetalet, för det var det största när M mandat delats ut. När resten av mandaten delas ut kommer det alltså att ske till partier som har jämförelsetalet J M och hur den utdelningen blir beror på hur metoden hanterar lika jämförelsetal. Med lämpligt val av uddatalsmetod fördelas därför de sista mandaten i överensstämmelse med den ursprungliga fördelningen. De två förra satserna tillsammans visar att uddatalsmetoden och metoder som ger samma resultat som den är de bästa kandidaterna, i en viss mening, för att jämna ut en fördelning som gjorts med en annan metod. Detta är också vad man vill göra med de så kallade utjämningsmandaten i riksdagen, men när de fördelas används så kallad jämkad uddatalsmetod, vilken innebär att partier som inte fått något mandat tidigare har ett jämförelsetal som är lika med röstetalet delat med 1,4. Vi ska se senare (avsnitt 3) att den ger samma resultat vid fördelningen av riksdagens utjämningsmandat. Som en tillämpning av föregående sats får vi följande: Sats 4. Om det är möjligt att fördela mandaten så att perfekt proportionell representation uppstår, så kommer uddatalsmetoden att fördela dem så. Mer generellt: om det finns ett tal K (kallat priset) och icke-negativa heltal k i för varje parti i så att k i 1 K 2, (12) och k i = M, så kommer någon uddatalsmetod att fördela mandaten så att m i = k i. Bevis. Det räcker enligt föregående sats att visa olikheten (11) för godtyckliga partie,j. Om vi i (12) byter K mot K = + r j m i + m j (13) så sägs exakt det som behövs för att olikheten (11) ska gälla. Det återstår därför att visa att vi kan göra ett sådant byte. Om K = K är det självklart. I annat fall väljer vi k i och k j som heltal så att k i r i 1 K 2 k j r j K 1 2. (14) Vi ska visa att k i k i = 0 och k j k j = 0. Om någon av dessa differenser nämligen vore skild från noll, skulle dess tecken vara detsamma som det som differensen K K har. Men (k i k i) = (k j k j), så den andra av differenserna skulle ha ombytt tecken, vilket innebär en motsägelse. 5

Vi har däremot ingen sats som säger om ett parti att om det kan representeras perfekt proportionellt i förhållande till helheten så kommer det att göra det. Om vi exempelvis skulle ha ett parti med 50 % av rösterna och sju småpartier som delar lika på de andra rösterna, och vi delar ut 10 mandat med uddatalsmetoden utan att ha delat ut något mandat tidigare, så skulle det största partiet, för att vara proportionellt representerat, egentligen ha 5 mandat, men det kommer bara att få 4 av mandaten om uddatalsmetoden används. I fortsättningen kommer vi att studera hur resultatet blir om man uteslutande använder sig av uddatalsmetoden. Vi modifierar därför beteckningarna. Med m i (M) menas det antal mandat som parti i har tilldelats då M stycken mandat delats ut med uddatalsmetoden. Nu är alltså m i en funktion av naturliga tal (en följd). Eftersom uddatalsmetoden delar ut ett mandat i taget har vi genast att m i (0) = 0, m i är (icke-strängt) monotont växande och antar alla naturliga tal som värden, i P m i(m) = M. Vi kommer nu till den första egenskapen att verifiera. Sats 5. För alla partie, j gäller m i (M)r j m j (m) + r j 2. (15) Bevis. Det räcker att bevisa olikheten utan absolutbelopp, eftersom vi sedan kan byta namn på partierna i,j och därmed byta tecken i vänsterledet. Enligt sats 1 gäller olikheten då m i (M) > 0. Men att den gäller även då m i (M) = 0 följer av att vänsterledet då inte kan vara positivt (utan absolutbelopp). Detta ger som omedelbar konsekvens att man kan uppskatta antalet mandat som ett parti får om man känner ett annat partis antal mandat och båda partiernas röstetal: Sats 6. Vi har med ett fel som är högst ri+rj 2r j. m i (M) r j m j (M), (16) Bevis. Utgå från olikheten i föregående sats och dela båda sidor med r j. Speciellt följer att om < r j så är felet i approximationen mindre än ett mandat. Satsens approximation är alltså mycket god i detta fall. Som en tillämpning av satsen kan nämnas fallet med de fyra partierna som vi betraktat tidigare. Satsen säger exempelvis att då det största partiet har tilldelats 22 mandat, så har de små partierna fått 1 22 = 1 (17) 22 6

mandat var, med ett fel på högst 23 44. Eftersom antalet mandat är ett heltal måste de därmed ha fått exakt ett mandat var. Ett annat sätt att uppskatta antalet mandat får vi av att sats 2 nu på motsvarande sätt gäller för alla partie,j. Sats 7. För alla partie,j gäller med ett fel som är högst 1/2. m i (M) (m i (M) + m j (M)) + r j (18) Bevis. På samma sätt som att olikheten (11) var ekvivalent med olikheten (5), är resultatet vi nu vill ha ekvivalent med olikheten (15). Vi är nu redo att uppskatta hur många mandat varje parti får, enbart med kunskap om det totala antalet mandat och varje partis röstetal. Sats 8. Vi har generellt att m j (M) M rj R (19) med ett fel som är högst 3 1 2 + n 2 rj 2 R. (20) Bevis. Om vi summerar över alla partier för vart och ett av leden i olikheten (15) får vi m i (M)r j m j (m) + r j. (21) 2 j P i P Högerledet kan förenklas till n 2 + R (22) 2 och dessutom minskas med eftersom termen då i = j i vänstra summan i (21) är 0 medan motsvarande term i den högra summan är. Om vi dessutom använder triangelolikheten (den som säger att en summa inte växer av att man flyttar ut absolutbeloppen utanför summeringen) får vi m i (M)r j m j (m) n 2 + R 2 (23) j P och genom att förenkla varje led och dela med R får vi m i (M) M ri 1 R 2 + n 2 ri 2 R (24) 3 I [2, Appendix E, sidan 193], har jag funnit ett felaktigt påstående om att uddatalsmetoden garanterar m i (M) s om /R > (2s 1)/2M. För att se att det är fel, tag s = 5, m = 11, så att formeln säger att det räcker med 9/22 av rösterna för att få fem av mandaten, men vi har redan visat att i exemplet med ett parti som har 51 % av rösterna och sju partier med 7 % var, så erhåller det stora partiet bara fyra mandat av elva. Den aktuella satsen ger liknande, men korrekta, gränser. 7

Detta är en generalisering av Sats 7. Om n = 2 så säger de exakt samma sak. Notera att summan av (20) taget över alla partier är n 1. I genomsnitt är felet alltså mindre än ett mandat i approximationen (19). Om vi åter betraktar vårt exempel med fyra partier, så att n = 4, och antar att j är vårt största parti, så att r j /R = 0,88, så blir feltermen enligt satsen 1 + 0,88 = 1,38. (25) 2 Det är en mycket god uppskattning: vi har sett att då 11 mandat delats ut var felet i själva verket 1,32. Mer allmänt kan vi säga att så länge r j /R < 1/2 och n 8 så kommer felet att vara mindre än 1 2 + 8 2 1 2 2 = 2. (26) och det sammanlagda felet för alla partier kan inte överstiga 7. Dessa förutsättningar stämmer väl med den nuvarande politiska situationen i Sverige. Feltermen i Sats 8 ä en viss mening bästa möjliga: om vi betraktar situationen med n exakt lika stora partier, så blir feltermen lika med 1 1/n. Detta fel uppstår redan vid utdelandet av det första mandatet och uppkommer sedan igen vart n:te mandat som delas ut. Låt oss nu se vad Sats 8 kan säga om situationen då ett parti har 51 % av rösterna och det finns högst 15 partier som ska dela på mandaten. Om vi delar ut 349 mandat med uddatalsmetoden, så säger Sats 8 att det stora partiet kommer att få minst 349 0,51 1 2 15 2 2 0,51 = 174,175 (27) mandat. Eftersom det minsta heltalet däröver är 175 måste det stora partiet få egen majoritet. På samma sätt kan man visa att om högst 15 partier delar på mandaten så kan inget parti med som mest 49 % procent av rösterna få egen majoritet. Satsen kan också användas till att uppskatta hur stora jämförelsetalen är efter att ett antal mandat delats ut: Sats 9. Efter att M mandat delats ut med uddatalsmetoden änget jämförelsetal större än R 2M n + 2. (28) Bevis. Enligt Sats 8 har vi så att 2m i (M) + 1 m i (M) M rj R 1 2 n 2 rj 2 R (29) 2(M rj R 1 2 n 2 2 rj R ) + 1 = R 2M n + 2. (30) 8

2 Websters metod Daniel Webster föreslog en mandatfördelningsmetod 1832 som användes av kongressen i USA 1842 1852 och 1901 1941 [1]. Detta avsnitt visar att den metodens resultat alltid är detsamma som uddatalsmetodens, även om metoden i sig är mycket annorlunda. (Man kan hoppa över detta avsnitt om man vill.) Websters metod grundar sig i följande idé. Låt K = R/M kallas priset för ett mandat. Tilldela nu varje parti ett antal mandat som beräknas av /K. Problemet är att dessa kvoter sällan är heltal. Därför måste de avrundas. Vi avrundar alltså varje kvot till det närmaste heltalet. I fallet då två heltal är lika nära väljer vi något av dem. Problemet är nu att summan av dessa avrundade kvotente alltid är M. Man korrigerar därför K en aning uppåt eller nedåt tills summan av de avrundade kvoterna /K är M. Det änte helt uppenbart att K kan korrigeras på detta sätt i alla lägen. Det kan det inte heller om man bestämmer sig för att alltid avrunda åt det ena eller andra hållet då två heltal är lika nära. Om man däremot är beredd att avgöra detta (exempelvis genom lottning) i varje enskilt fall, så kan man se till att summan därigenom blir M genom att välja K på rätt sätt. Hur K beräknas anges av följande sats, som säger att K exempelvis kan tas som J M + J M 1, där J M är det största jämförelsetalet efter M utdelade mandat och J M 1 är det största jämförelsetalet i steget innan. Att man verkligen får ett resultat som stämmer med uddatalsmetoden ges av sats 4. Sats 10. Om M 1 mandat delas ut av uddatalsmetoden så är ekvivalent med att det för varje parti i gäller att Olikheterna kan också bytas mot <. Bevis. För varje parti i gäller 2J M K 2J M 1 (31) m i (M) 1 K 2. (32) 2m i (M) + 1 J M J M 1 Alltså är (31) ekvivalent med att följande gäller för alla i: 2m i (M) + 1 K 2 2m i (M) 1. (33) 2m i (M) 1. (34) Genom att dela /2 med allt detta erhålls följande ekvivalenta uttryck: m i (M) 1 2 K m i(m) + 1 2. (35) Notera också att alla olikheterna i (31), (34) och (35) kan bytas mot stränga olikheter. Det följer speciellt att om J M < J M+1 så kommer (32) att gälla med sträng olikhet om K = J M + J M 1. 9

Websters metod kan tyckas enkel, men en svårighet är just att finna priset K som gör att man får det önskvärda antalet mandat utdelade. Ett sätt är att använda uddatalsmetoden, men då kan man nöja sig med den för att lösa problemet. Allra enklast är kanske att kombinera Websters metod med uddatalsmetoden. Om exempelvis 349 mandat ska delas ut bland sju partier, så sätter man K = R/346, där 346 har valts därför att avrundningsfelen gör att man på detta sätt får högst 349 mandat utdelade. Man delar nu till varje parti ut /K mandat, avrundat till närmsta heltal, och avrundat uppåt då två heltal är lika nära. På detta sätt kommer mellan 343 och 349 mandat att bli utdelade. Resterande mandat delas ut med uddatalsmetoden. I efterhand kan man se hur man skulle ha justerat K för att få 349 mandat utdelade från början: man skulle ha valt K = J 348 + J 349. 3 Jämkningen Jämkade uddatalsmetoden är som uddatalsmetoden utom att varje partis första jämförelsetal är dess antal röster delat med 1,4. I detta avsnitt studerar vi denna metod, men återanvänder beteckningarna vi infört tidigare för uddatalsmetoden. Följande sats ger att sats 9 gäller också för jämkade uddatalsmetoden. Sats 11. Efter M utdelade mandat är det största jämförelsetalet inte större med jämkade uddatalsmetoden än det skulle vara med ren uddatalsmetod. Bevis. Låt J M vara det största jämförelsetalet efter M utdelade mandat enligt uddatalsmetoden och J M motsvarande för jämkade uddatalsmetoden. Vi ska visa att J M J M. Antag att det inte vore så. Då skulle något parti fått färre mandat med jämkade uddatalsmetoden än med rena uddatalsmetoden, alltså skulle också något parti i fått fler mandat. Men strax innan det fick sitt sista mandat hade det ett jämförelsetal som inte var större än J M, för uddatalsmetoden delade aldrig ut det sista mandatet till partiet. Å andra sidan var det inte heller mindre än J M, så J M J M. Ofta är det mer användbart att veta när jämkningen helt slutar spela roll. Vi ska utreda detta här. Resultatet i specialfallet då alla partier som deltar har minst 4 % av rösterna sammanfattas i en tabell på sidan 12. Låt oss först betrakta ett exempel. Antag att vi har två partier med knappt 10 % var av rösterna och tjugo partier med drygt 4 % var. Den rena uddatalsmetoden börjar mandatfördelningen med att dela ut ett mandat till vart och ett av partierna, varefter de två största får varsitt. Den jämkade uddatalsmetoden börjar däremot med att dela ut två mandat var till de största partierna, varefter varje litet parti får varsitt. Fortfarande efter 23 mandat ger de två metoderna alltså olika mandatfördelning, men skillnaden upphör efter det 24:e mandatet. Vi ska visa att detta är typiskt: efter 24 utdelade mandat måste jämkningen ha slutat spela roll om alla partier som deltar har minst 4 % av rösterna. Sats 12. Då parti i får sitt första mandat, så att m i (M 1) = 0 och m i (M) = 1, gäller för varje parti j att m j (M) r j /, (36) där likhet endast kan inträffa om r j =. 10

Bevis. Påståendet är uppenbart om m j (M) < 2, vi antar därför för beviset att m j (M) 2, varur speciellt följer att vi måste ha r j / > 2. När parti j fick sitt senaste mandat hade det inte ett mindre jämförelsetal än parti i, så Det följer att varur man löser ut m j (M): r j 2m j (M) 1 1,4. (37) (2m j (M) 1) 1,4r j (38) m j (M) 0,7 r j + 0,5 < r j. (39) Sats 13. Om m i (M) = 0, så M m j(m)>0 j r j. (40) där likhet endast kan inträffa om för alla j med m j (M) > 0 gäller r j =. Bevis. Föregående sats ger, om vi summerar över alla partier j med m j (M) > 0, att M = m j (M) r j (41) med likhet endast om r j = för alla partier som summeras över. Speciellt är satsens förutsättningar uppfyllda om parti i har förlorat på jämkningen efter M utdelade mandat. Om har minst 4 % av rösterna kan kvoten i satsen inte överstiga 24, så vi ha så fall M < 24, där den stränga olikheten kan väljas eftersom inte alla partier kan vara lika stora om jämkningen gör någon skillnad. Det följer att vid 24 utdelade mandat hanget parti med minst 4 % av rösterna förlorat på jämkningen. Därmed spelar den inte längre någon roll om det finns en 4 %-spärr. Detsamma gäller om jämkade uddatalsmetoden tar vid då mandat redan delats ut på annat sätt. De partier som fått mandat tidigare får nämligen sänkta jämförelsetal på grund av dessa, vilket gynnar de partier som inte fått fasta mandat, så även i detta fall måste olikheten (40) gälla. Man kan fråga sig vad som händer om antalet partier antas vara färre. Vid väsentligt färre partier kan satserna 11 och 9 tillsammans användas för att konstatera att jämförelsetalen snabbt blir så små att alla partier måste ha fått mandat. Om n = 2 får man exempelvis då M = 18 att R 2M n + 2 = R 36 < R 35 1,4 (42) om R 25, så efter 18 utdelade mandat måste jämkningen ha slutat spela roll. Den spelar fortfarande roll efter 17 utdelade mandat om ett parti har 4 % av rösterna och ett annat har resten. 11

Antalet partier Antal mandat där jämkning Antal mandat där jämkning slutat spela roll slutat spela roll om alla partier om alla partier får max två mandat får max två mandat utom det minsta och största 25 0-24 23 22 21 20 24-19 18 17 16 15 14 23-13 12 11 21 22 10 19 9 17 21 8 15 7 13 20 6 11 5 9 19 4 7 3 5 18 2 3 1 0 0 Figur 1: Gränsen för hur många mandat som måste fördelas för att man ska vara säker på att jämkningen har slutat spela roll, förutsatt att alla partier som delta fördelningen har minst 4 % av rösterna. Som argumenteras i texten räcker det att studera dessa två typfall, eftersom inget fall kan vara extremare än dem. Som syns i tabellen leder ena typen till extrema fall vid minst 12 partier och andra typen till extrema fall vid färre partier. 12

Som synes minskar gränsen något, men inte mycket, när man går ner till bara två partier. Man kan få klarhet i vad som händer däremellan genom att leta efter extremfall. Det räcker att studera två typer: 1. När det sista partiet i får sitt första mandat har alla andra partier maximalt två mandat var. 2. När det sista partiet i får sitt första mandat har alla andra partier exakt två mandat var, utom ett som har fler. Exemplet med 23 partier ovan var av den första typen, exemplet med två partier var av den andra. För att se att det är tillräckligt att betrakta dessa typer kan man gå tillväga på följande sätt: betrakta situationen då i får sitt första mandat. Antag att situationen inte är av någon av ovanstående typ. Om inte är delbart med 7 multiplicerar vi alla röstetal med 7. Om det finns fler än två partier som får mer än två mandat, flyttar vi röster från ett av dem i block om 2 /1,4 till något av de andra, tills bara så många återstår att partiet får två mandat. Detta upprepas tills högst ett parti har så många röster att det får mer än två mandat. Om nu alla andra (utom i) får två mandat är vi klara, i annat fall flyttar vi röster från det största partiet till de små i block om 2 /4 röstegen, tills vi har någon av de två typsituationerna ovan. Hur många mandat som krävs för att jämkning ska sluta spela roll i dessa två typsituationer är enkelt att beräkna. Resultatet redovisas i tabellen på sidan 12. 4 Fasta mandat och utjämningsmandat Sverige ädag indelat i 29 valkretsar. Dessa får ett visst antal fasta mandat var, sammanlagt 310 stycken. Resterande 39 mandat i riksdagen är utjämningsmandat. Hur många fasta mandat varje valkrets ska ha bestäms på följande sätt, med den s.k. Hamiltons metod. Antalet röstberättigade i landet delas med 310. Det erhållna talet kallas priset för ett mandat. Antalet röstberättigade i varje valkrets delas nu med priset och avrundas nedåt. Resultatet är det antal fasta mandat som valkretsen får. Om inte 310 mandat blir utdelade på detta sätt 4 delas resterande av dessa mandat ut ett och ett till de valkretsar som fick störst rest vid divisionen. Man kan säga att man rear ut resterande mandat till sänkt pris. I utdelningen av de fasta mandaten får partier som klarat 4 %- spärren delta, men även partier som inte gjort det får delta i de valkretsar där de erhållit minst 12 % av rösterna. Notera att det inte finns något krav på att man fått minst 4 % av rösterna i den aktuella valkretsen, utan bara i landet som helhet. Därför kan vi inte använda resultatet från avsnitt 3 som sa att jämkningen slutar spela roll efter ett visst antal mandat när det finns en 4 %-spärr: även i valkretsar med många mandat kan jämkningen spela roll. Indelningen i valkretsar gör också att resultaten om den rena (och vid många mandat även jämkade) uddatalsmetodens goda proportionalitetsegenskapente kommer till användning. För den rena uddatalsmetoden kunde vi exempelvis bevisa att om antalet partier är maximalt åtta, så kommer avvikelsen från perfekt proportionalitet vara som mest två mandat för varje parti och summan 4 På grund av avrundning nedåt får man i praktiken aldrig alla mandaten utdelade. Det blev 14 mandat öve valet 2006. 13

av dessa avvikelser som mest sju. Något sådant resultat är omöjligt att bevisa när vi kombinerar uddatalsmetoden med idén om fasta mandat. I vissa extrema situationer skulle rentav de fasta mandaten kunna leda till en kraftig felrepresentation i riksdagen. Om vi exempelvis föreställer oss att vi bara fick ett fåtal röste varje valkrets och att alla dessa röstade på Anti- Gotlandspartiet, men att just Gotlands län var undantaget, dä stället tusentals människor röstade, samtliga på Gotlandspartiet, så skulle Anti-Gotlandspartiet få alla fasta mandat utom Gotlands två (enligt 2006 års fördelning av de fasta mandaten). Anti-Gotlandspartiet skulle alltså få 308 mandat, en klar egen majoritet i riksdagen, även om det fick mindre än 1 % av rösterna i landet och resterande 99 % gick till Gotlandspartiet. Detta är givetvis en extrem situation, men det visar principen: att vi inte kan garantera att riksdagen blir ens i närheten av proportionellt sammansatt av det system vi hadag. Anledningen till att denna sneda fördelning kan uppstå är att en valkrets fasta mandat bestäms av antalet röstberättigade, inte av antalet som faktiskt röstar. Om du rösta en valkrets där valdeltagandet är ovanligt lågt är din röst därför ovanligt mycket värd. Man skulle åtminstone önska ett resultat som sa att under normala omständigheter så blir resultatet proportionellt i någon viss mening, men det är oklart vilka omständigheter som här ska anses vara normala. När de fasta mandaten delats ut delar man ut 39 utjämningsmandat för att kompensera för de avrundningsfel som uppstått. Lagen föreskriver följande förfarande (SFS 2005:837, 14 kap., 4 & 5 ): För att avgöra hur många mandat som ett parti skall ha sammanlagt i riksdagen för att vara proportionellt representerat i hela landet skall den jämkade uddatalsmetoden tillämpas på hela landet som en valkrets. Varje parti skall tilldelas så många utjämningsmandat som behövs för att partiet skall få en representation som svarar mot dess andel av samtliga giltiga röste landet. Om ett parti vid fördelningen av de fasta valkretsmandaten har fått fler mandat än vad som behövs för att det skall vara proportionellt representerat i riksdagen, skall man vid fördelningen av utjämningsmandaten bortse från partiet och de mandat det har fått. Detsamma gäller för ett parti och de mandat partiet fått, om det fått mindre än 4 procent av rösterna i landet. Av de utjämningsmandat som ett parti har fått tillförs det första den valkrets där partiet efter fördelningen av de fasta valkretsmandaten har större jämförelsetal än i övriga valkretsar. Återstående mandat tillförs ett efter ett den valkrets där partiet för varje gång har störst jämförelsetal vid en fortsatt tillämpning av den jämkade uddatalsmetoden på partiets röstetal i valkretsarna. I en valkrets där partiet inte har fått något fast valkretsmandat skall dock jämförelsetalet vid tilldelningen av det första mandatet vara lika med partiets röstetal. När de 310 fasta mandaten har delats ut ska man alltså räkna om hela riksdagens sammansättning från början, upp till 349 mandat. Låt oss kalla detta för en utjämningsberäkning. Man ska sedan jämföra antalet mandat som varje parti ska ha enligt utjämningsberäkningen med det antal fasta mandat som partiet redan har fått sig tilldelat. Det stånte explicit i lagen att en omräkning ska ske, men det framgår av förarbeten. I exemplet med Gotlandspartiet och 14

Anti-Gotlandspartiet skulle det alltså gå till så här: vi konstaterar först att endast Gotlandspartiet klarar 4 %-spärren och har rätt till utjämningsmandat. Vi beräknar nu 349 mandat och finner att Gotlandspartiet borde ha alla dessa mandat. Men Anti-Gotlandspartiet har redan besatt 308 av dessa, så vi bortser nu från det och dess mandat och gör en ny beräkning av 41 mandat. Vi finner att Gotlandspartiet ska ha alla dessa mandat. Eftersom det redan erhållit två fasta mandat är det alltså berättigat till 41 2 = 39 utjämningsmandat. Följande förenklade metod skulle dock alltid ge exakt samma resultat som om man gör (eventuellt upprepade 5 ) utjämningsberäkningar: Vid fördelning av utjämningsmandat betraktas landet som en valkrets. De fasta mandaten betraktas som redan utdelade, så att det första utjämningsmandatet betraktas som det 311:e som delas ut. Varje partis jämförelsetal beräknas i varje steg som dess röstetal delat med 2m + 1, där m är det antal mandat det redan erhållit. Det parti som har det största jämförelsetalet erhåller nästa mandat. Processen fortsätter sedan på samma sätt för det 312:e mandatet och så vidare, tills samtliga 349 mandat är utdelade. Att denna metod verkligen ger samma resultat kan inses så här. Antag att man använder metoden med utjämningsberäkning. Notera att eftersom vi beräknar 349 mandat så överskrider vi 24, så att jämkningen inte påverkar resultatet och därför kan slopas. Om ett visst parti på det sättet får färre mandat än det redan fått som fasta mandat, så kommer det, efter jämförelseberäkningen, att ha ett större jämförelsetal än det hade baserat på det antal fasta mandat det fått. Att bortse från partiet under en ny omräkning svarar därför mot att sänka dess jämförelsetal till det som det bör ha på grund av sina fasta mandat. När vi slutligen har bortsett från alla överrepresenterade partier har vi en situation där resterande partier är med och delar på utjämningsmandat. Varje parti ska få det antal utjämningsmandat som anges av differensen mellan det antal som det ska ha enligt utjämningsberäkningen och det antal fasta mandat det fått. Denna differens motsvaras av att man under utjämningsberäkningen inledningsvis sätter partiets jämförelsetal till det som det har efter det att de fasta mandaten delats ut. Ett byte till denna nya metod skulle alltså medföra en förenkling som inte någonsin leder till någon skillnad i resultatet. Låt oss avsluta detta avsnitt med att studera jämkningens inverkan. Som vi redan kommenterat kan den inte alls påverka utjämningsmandatens sammansättning, men väl de fasta mandaten. Man kan förvänta sig att den oftast bidrar till att förbättra riksdagens proportionalitet, av följande skäl: varje parti få genomsnitt 3,1 mandat för varje procentenhet röster det har fått, räknat bland rösterna på sådana partier som klarar 4 %-spärren, och under förutsättning att inget parti kommen på grund av 12 %-regeln (hittills har det aldrig hänt). Antalet mandat enligt utjämningsberäkningen är däremot 5 Jag har utgått från att lagen medger en sådan tolkning av 5 att man kan göra upprepade utjämningsberäkningar vid behov. Jan Lanke har dock påpekat för mig, och får stöd av jurister jag varit i kontakt med, att lagen som den är skriven knappast är formulerad som att man tänkt sig upprepade utjämningsberäkningar. Valmyndigheten har tolkat lagen som jag gjort, vilket ligge deras intresse eftersom det är enda sättet att undvika att partier kan få ett negativt antal utjämningsmandat. En situation med negativa utjämningsmandat skulle lagen inte kunna hantera: det gånte att uttyda vilka valkretsar som i så fall skulle lämna tillbaka mandat. Lagen är alltså otydlig på denna punkt. 15

3,49 per procentenhet. Om ren uddatalsmetod användes skulle partiernas avvikelse från de förväntade mandatantalen vara ungefär lika stora oberoende av partiets storlek. Det betyder att det skulle vara betydligt större risk att ett litet parti tilldelas färre mandat av utjämningsberäkningen än det redan fått som fasta mandat. Med jämkning diskrimineras däremot de små partierna vid utdelning av de fasta mandaten, varför risken för att de får färre vid utjämningsberäkningen minskar. Det finns dock inga garantier för att jämkningen förbättrar proportionalitetsegenskaperna och inte heller för att den bara har en liten inverkan. I en liknande extrem situation som den vi betraktat tidigare kan den både förbättra och försämra proportionaliteten. Antag nämligen att vi har två partier: A och B, varav A har 96 % av rösterna och B har 4 %, och att A i varje valkrets tilldelas alla fasta mandat, men att det sista fasta mandatet i varje valkrets skulle ha gått till B om jämkning inte tillämpats. 6 Då skulle parti A tilldelas 310 fasta mandat och 25 utjämningsmandat, sammanlagt alltså 335 mandat, men om jämkningen inte användes skulle det bara få 281 fasta mandat och samtliga utjämningsmandat, det vill säga sammanlagt 320 mandat; 15 färre än med jämkningen. I detta läge ger alltså fördelning enligt vårt nuvarande system en i det närmaste perfekt proportionalitet, medan en borttagning av jämkningen skulle leda till en överrepresentation av parti B. Situationen kan dock också vara den omvända. Om vi modifierar ovanstående exempel genom att anta att valdeltagandet öka mindre valkretsar på bekostnad av de större, så skulle proportionerna inom varje valkrets kunna vara oförändrade men parti B bli större i landet som helhet. Om parti B på detta sätt fick 19,5 % av rösterna i hela landet, så skulle fördelningen av de fasta mandaten inte påverkas alls, men parti B skulle få alla utjämningsmandat. Det skulle leda till att fördelning med jämkning gav en kraftig underrepresentation (drygt 11 % av mandaten) medan fördelning utan jämkning skulle ge en i det närmaste perfekt proportionalitet. 5 Möjliga variationer Man skulle kunna ta bort de fasta mandaten helt och endast dela ut utjämningsmandat. Då skulle resultatet kunna förändras, bland annat skulle man garanteras egen majoritet om man hade minst 51 % av rösterna, som vi sett, till skillnad från dagens system (kom ihåg exemplet med partiet som hade mer än 99 % av rösterna men fick få mandat). Däremot kan man misstänka att det i normala fall skulle bli en mycket liten, om ens någon, skillnad. Detta kunde undersökas med simuleringar. Ett mellanting vore att ha två fasta mandat för varje valkrets. Då skulle varje valkrets garanteras representanter från de två största partierna i valkretsen (utom i fallet då det största partiet är betydligt större än det näst största, i vilket det största får båda fasta mandaten) men det skulle inte bli möjligt att genom fasta mandat få en oförtjänt egen majoritet i riksdagen, eftersom de bara vore 58 till antalet. Med så få fasta mandat skulle jämkningen inte längre vara önskvärd. Man skulle också kunna ta bort småpartispärrarna från fördelningen av de fasta mandaten, eftersom de knappast längre skulle vara relevanta. Man skulle alltså kunna använda följande enkla system: 6 Partiet B skulle alltså behöva ha 25 31,8 % av rösterna på Gotland, som bara har två fasta mandat, och betydligt mindre andel röste övriga riket. 16

Varje valkrets har två fasta mandat, som besätts med uddatalsmetoden baserat på valresultatet i valkretsen. Resterande mandat är utjämningsmandat, som besätts med uddatalsmetoden baserat på valresultatet i hela landet. Endast partier som fått minst 4 % av rösterna får delta. Min hypotes är att ett byte till detta enkla system inte skulle förändra riksdagens sammansättning mer än möjligen ytterst marginellt i dagens politiska situation. Det änte undersökt, men skulle kunna undersökas med simuleringar. Systemet har dock den fördelen att man mycket precist kan tala om vilka egenskaper det har, dels i allmänhet, dels i normalfall. Notera att inga av de egenskaper som nämns i följande sats gäller för den nuvarande metoden. Sats 14. Det modifierade systemet har följande egenskaper, där procentenhet avser procent av de röster som avgetts på partier som fått minst 4 % av rösterna. 1. Varje parti som fått minst 4 % av rösterna i landet får minst 2,8 mandat per procentenhet, om detta värde avrundas till närmsta heltal. 2. Ett parti som fått maximalt 16 % av rösterna kan inte få mer än 58 mandat. 3. Ett parti som fått mer än 16 % av rösterna kan inte få mer än 3,6 mandat för varje procentenhet, om detta värde avrundas till närmsta heltal. 4. I normala fall (då varje parti, som har högst 20 % av rösterna men som ändå är störst eller näst störst i någon valkrets, har minst 4 % av rösterna och tar högst 3,38 fasta mandat för varje procentenhet röster) så får varje parti en representation som avviker från det proportionellt riktiga med högst ett halvt mandat mer än procentenheten multiplicerad med 0,11. Om antalet partier som får mandat är högst 8 kan 0,11 bytas mot 0,03. Summan av alla fel är högst ett mindre än antalet partier. Bevis. 1. Eftersom varje parti får minst så många mandat som det skulle fått av ren uddatalsmetod tillämpad på 349 58 = 291 mandat, så följer resultatet av uppskattningarna för uddatalsmetoden. 2. Ett sådant parti kan inte få utjämningsmandat om det har fått så många mandat som det skulle ha av ren uddatalsmetod tillämpad på 349 mandat. 3. Ett parti kan inte få fler mandat än det skulle ha av ren uddatalsmetod tillämpad på 349 mandat. 4. Under dessa normala omständigheter fånget parti fler fasta mandat än det skulle ha mandat enligt ren uddatalsmetod tillämpad på 349 mandat. 6 Tillsättning av kandidater När det bestämts vilka partier som ska ha vilka mandat och vilken valkrets mandaten ska placeras i (detta är självklart för de fasta mandaten men bestäms på ett särskilt sätt för utjämningsmandaten jag avstår från att kommentera 17

detta), ska man bestämma vilka kandidater som ska ta plats. Man använder en variant av D Honts metod, även kallad heltalsmetoden, för detta, men i själva verket är det inte ofta heltal inblandade. Jag har försökt att tänka ut en motivering av den metoden och redovisar den här. Vi bortser från särskilda personröster. 7 Varje röstsedel innehåller en lista med kandidater. Vi förutsätter att alla sådana är giltiga och att alla inblandade kandidater är valbara. Sedlarna kan ha olika listor, vi förutsättente att den ena är den andre lik. Vi godtar också att listor kan innehålla delvis samma kandidater, men i olika ordningar. Mandaten ska tillsättas stegvis. I varje steg gäller en sedel för den kandidat på listan som står först bland de otillsatta kandidaterna. Om ingen sådan finns gällente sedeln för någon kandidat. Efter varje tillsatt mandat ska varje sedel tilldelas ett platstal, som mäter hur många mandat just den sedeln har tillsatt. Summan av alla sedlars platstal ska vara lika med antalet tillsatta mandat. Vi kräver också att en sedels platstal bara beror på det tillsatta initiala segmentet på sedeln. Med detta menar vi mängden av de kandidater som har tillsatts och som förekommer på sedelns lista före alla eventuella otillsatta kandidater. Det följer att en sedels platstal bara kan öka i steg då den kandidat för vilken sedeln gäller tillsätts. Slutligen kräver vi att platstalen växer (icke-strängt) monotont med det tillsatta initiala segmentet. Med andra ord, att om en sedels tillsatta initiala segment är en delmängd av en annan sedels, så är den förstas platstal mindre än eller lika med den andras. Notera nu att om en sedel gäller för en kandidat X som tillsätts i ett visst steg, så är det rimligt att sedelns nya platstal inte ska bero på vilka kandidater som kommer efter X på listan det har ju inte påverkat sedelns inflytande. Alltså ska alla sedlar som gäller för X få samma platstal efter att X har tillsatts. Platstalet skulle nämligen inte bli annorlunda om det efter X på listan stod alla de kandidater som redan tillsatts, men som inte stått före X på listan. Om summan av sedlarnas platstal innan X har tillsatts är P, så ska summan efteråt vara P + 1, alltså ska varje sedel tilldelas platstalet 1 + P R X, (43) där R X är antalet sedlar som gällde för X. Hur avgör vi då vilken kandidat som ska erhålla nästa mandat i en följd? Målet är att varje intressegrupp ska få ungefär samma inflytande. Låt oss ordna alla valsedla grupper efter vilka kandidater de gäller för. Betrakta en grupp, vars sedlar gäller för X i ett visst steg. Gruppens röstetal R X är antalet valsedlar i gruppen. Gruppens platstal P X är summan av alla dess sedlars platstal, så att platstalet mäter hur många platser som gruppen tillsammans tillsatt. Om X tillsätts, skulle gruppens platstal öka med 1. Det pris den då betalat för varje mandat den tillsatt är dess jämförelsetal: J X = R X 1 + P X. (44) Den grupp som har högst jämförelsetal är den som fått betala högst pris för sina mandat, alltså flest röste relation till antalet tillsatta mandat. Den gruppen bör få nästa mandat. 7 I själva verket tycker jag att motiveringen kan behöva ändras om särskilda personröster används. Därmed är kanske denna metod mindre lämplig i kombination med personröster. 18

Notera nu att det nya platstalet för en sedel som gäller för tillsatta mandatet X är 1 + P X = 1. (45) R X J X Om gruppen efter valet delas i nya grupper, kommer därför varje sådan grupp att få följande platstal, om R Y är gruppens nya storlek: R Y J X. (46) Det ä överensstämmelse med den i vallagen angivna beräkningen. 8 Notera att vi ännu inte visat att vallagens procedur verkligen uppfyller de kriterier vi ställt upp ovan, men däremot att alla som gör det måste vara ekvivalenta med vallagens procedur. Vi återkommer till detta men betraktar först några exempel. Antag att vi har två listor med en röst på varje: AB BA Antag att två mandat ska tillsättas. Första mandatet måste tillsättas med lottning, säg att det tillfaller A. Då kommer sedeln med listan AB att få platstalet 1 och den andra listan få platstalet 0. Då andra mandatet har tillsatts kommer båda sedlarna att ha platstalet 1. Notera att trots att första sedeln röstar för kandidat B så ökante dess platstal. Vi betraktar nu följande exempel, med tre listor med vardera en röst: AB BC CA Återigen ska två mandat tillsättas, och återigen måste det första tillsättas genom lottning, eftersom situationen är helt symmetrisk med avseende på A, B, C. Säg att A får det första mandatet. Nu kunde man tycka att även valet mellan B och C rimligtvis skulle ske genom lottning, men metoden vi betraktat kommer att ge B det andra mandatet. Är det rimligt? Man kan försvara det hela så här: vi har krävt att metoden inte ska ta hänsyn till vad som kommer efter B på listorna. Vår uppfattning om symmetri beror dock på det. Om sedeln BC byts mot BA så är det även intuitivt klart att de två mandaten ska gå till A och B, eftersom 2/3 tycker att dessa två ska ha mandaten. Vi övergår nu till att kontrollera att den föreskrivna metoden verkligen har de egenskaper vi krävt. Sats 15. Summan av platstalen ä varje steg lika med antalet utdelade mandat. Bevis. Från början är alla platstal 0, därefter växer summan med 1 för varje steg. Sats 16. En sedels platstal bero varje steg bara på dess tillsatta initiala segment. 8 Bortsett från detaljen att vallagen föreskriver avrundning. 19

Bevis. Det bero själva verket bara på den kandidat som sedeln senast var med om att tillsätta. Om sedlar har samma tillsatta initiala segment har de också samma senast tillsatta kandidat. Sats 17. Jämförelsetalen för de kandidater som erhåller mandat avtar (ickesträngt) och de utdelade platstalen (per sedel) växer (icke-strängt). Bevis. Notera först att de två påståendena i satsen är ekvivalenta, eftersom de utdelade platstalen är reciproka med jämförelsetalen. Låt J beteckna jämförelsetalet som kandidat A hade när det tilldelades ett mandat. Låt B vara nästa kandidat som tilldelas mandat och beteckna dess röstetal och platstal i den situationen med R B respektive P B (dessa är alltså summorna av de deltagande sedlarnas tal). Dela upp gruppen av sedlar som gäller för B i två grupper B respektive B, där B är de sedlar som gällde för B redan innan A erhöll mandat och B är de sedlar som gällde för A men som nu gäller för B. Vi har Jämförelsetalet för B är J B = R B P B + 1 = R B = R B + R B (47) P B = P B + P B = P B + R B J. (48) R + R B B P B + R B J + 1 = J R B + R B J(P B + 1) + R B. (49) Vi ska visa att det inte kan vara större än J, det vill säga att sista bråkets täljare inte kan vara större än dess nämnare. Vi behöver för detta bara kontrollera att R B P B + 1 J, (50) men detta är sant eftersom vänsterledet är jämförelsetalet som B hade när A tilldelades mandatet, vilket inte kunde ha skett om J varit mindre än B:s jämförelsetal. Sats 18. Om en sedels tillsatta initiala segment är en (inte nödvändigtvis äkta) delmängd av en annan sedels, så är den förras platstal ickesträngt mindre än den senares. Bevis. Den förra sedeln vante med om att dela ut ett mandat efter den senare sedeln och kan därfönte ha ett större platstal. Idén om att få jämförelsetal genom att dela med summan av av alla platstal kan verka suspekt, eftersom man kan misstänka att sedlar med höga platstal kan ge ett negativt bidrag till en kandidats jämförelsetal, så att kandidaten förlorar sin plats. Det kan dock inte ske, vilket följande sats visar: Sats 19. Dela upp sedlarna i grupper, så att varje grupp består av sedlar som gäller för en och samma kandidat men anta att A och A är två grupper av sedlar som gäller för samma kandidat A. Antag också att för varje grupp X av sedla uppdelningen gäller R X P X + 1 R A P A + 1 = J (51) 20

så att A skulle få nästa mandat om inte sedlarna i A gällde för A. Då är R A + R A P A + P A + 1 J (52) det vill säga A ska få mandatet även när man tar hänsyn till sedlarna i A. Bevis. Olikheten (52) är ekvivalent med vilket i sin tur ekvivalent med så att det vi ska visa är att R A (P A + P A + 1) (R A + R A )(P A + 1), (53) R A P A R A (P A + 1), (54) P A R A 1 J. (55) Men vi har sett att platstalen är reciproka med jämförelsetalen, och därför aldrig varit större än 1/J, så att (55) följer. Denna sats är kanske lite svårtolkad. Betrakta en situation där ett mandat går till kandidaten B och vi frågar oss om det hade varit möjligt för A att få mandatet om det inte vore för vissa röster på A. Vi delar därför sedlarna för A i två grupper: A är gruppen av de sedlar som A vill räkna med och A resten. Vi antar nu att om bara A togs hänsyn till så skulle A haft ett bättre jämförelsetal än B och därmed erhållit mandatet. Med andra ord skulle (51) gälla för varje grupp X av sedla vår uppdelning. Men det följer av satsen att A:s jämförelsetal inte skulle ha vuxit av att man bortsåg från A. Ingen kandidat har därför någonsin en anledning att inte vilja ta med alla sina röster i beräkningen. Som ett tidigare exempel visar 9 kan det dock hända att vissa sedlar som gäller för en kandidat inte höjer dess jämförelsetal. Olikheterna i satsen kan därfönte göras stränga. Referenser [1] A. Bogomolny. Apportionment: Webster s method. webbsida, september 2006. http://www.cut-the-knot.org/curriculum/socialscience/webster.shtml. [2] D. W. Rae. The Political Consequences of Electorial Laws. Yale University Press, revised edition, 1971. Jag har sökt men ännu inte funnit fler relevanta referenser. Referenslistan kommer så småningom förhoppningsvis att kompletteras. 9 På sidan 19 ges ett exempel med två sedlar AB respektive BA där man antar att A redan tillsatts. Då är B:s jämförelsetal inte beroende av att B förekommer på den första sedeln. 21