Matematikbiennalen 31 januari 2008 403 Problemlösning för lust och lärande Göran Emanuelsson, goran.emanuelsson@ncm.gu.se Tack för senast! Som jag sa på slutet av min presentation så arbetar Lars Mouwitz och jag med en bok och vi tar gärna emot synpunkter på vad den bör innehålla. Vi arbetar med teman, exemplifierade med 1 och 2 på nästa sida. Jag gav också ett exempel på ett rikt problem i 3. Sammanfattningen 4 söker fånga några generella aspekter av problemlösning från beprövad erfarenhet och forskning. Vi vill locka till mental jogging, både som problemlösare och undervisare i problemlösning. I detta finns både elev- och lärarperspektiv, som jag försökte belysa i valda exempel. Nyfikenhet och utmaning är väsentliga drivkrafter. I problemlösning aktiveras matematikbegrepp och vi lär nya. Olika sätt att lösa problem med olika hjälpmedel och i olika representationer utvecklar förståelse och sammanhang. Samvaro, tilltro, lek & allvar, förväntningar, tillämpning, värdering ger signaler för känsla och tanke. Reflektion, omdöme, rimlighetsbedömning, kritisk granskning, värdering av metoder och resultat rundar av och sammanfattar problemlösningsarbetet. Välkommen med reaktioner!
Disposition 1 Problemkultur & kulturproblem (Bild 3-8) 2 Formgivning & geometri (9-25) 3 Ett rikt problem (26-32) 4 Sammanfattning (33-36) FOKUS EGNA UPPLEVELSER. PROBLEMLÖSNING I PRAKTIK OCH TEORI. VAD KAN VI LÄRA OSS AV PROBLEM? Källor http://ncm.gu.se Nämnaren på nätet Kängurun Månadens problem
2801 Dela äpplen Dela tre röda och ett grönt äpple med din kompis. Vilka möjligheter finns det? Nämnarens problemavdelning Du ska bygga ett akvarium på ca 160 liter. Föreslå lämpliga mått. Beskriv hur du kom fram till dessa mått och rita av akvariet med måtten angivna. Nationellt prov Ma A, ht 95, nr 7 160 = 4x40 = 4x4x10 = 4x5x8
Av en hop bin satte sig en femtedel på en kadambablomma och en tredjedel på en silindablomma. Tre gånger så många som skillnaden mellan dessa båda skaror flög till en kutajablomma. Blott ett bi var kvar och svävade fram och tillbaka, lockat av den ljuva doften av både en jasmin och en pandanus. Säg mig, hulda flicka, antalet bin. Av Bhâskara, hinduisk matematiker, född år 1114. Nämnaren 82/83, Tema Problemlösning årg9(3), s 65 Vad kostar flaska och kork var för sig? Svar 15 bin
Vad är V12 345 678 987 654 321? Ekenstam, A. (1982). Geometrin genom skolan. Nämnaren 8(3),10-21, s 11 Frigörande lösning? En diktator är en dag på gott humör. Till fånge med livstidsdom säger han: Du får chansen att bli fri. Här är två gröna och två röda kulor och två askar. Lägg kulorna i askarna som du vill. Jag väljer en ask och sedan slumpvis en kula ur asken. Om kulan är grön så är du fri. Hur ska fången lägga kulorna för att ha störst chans? Vad är då sannolikheten att han blir fri? DPL 57 efter idé Abels hjørne, Dagbladet 2 jan 2002
Chokladkaka för fem En kaka är chokladglaserad på alla sidoytor utom den kvadratiska botten. Mor ska skära kakan i fem bitar så att var och en av de fem i familjen ska få samma mängd kaka och lika mycket glasyr. Snitten ska vara vinkelräta mot kakans översida och var och ska ha en sammanhängande bit. Går det? Dialoger om problemlösning Nämnaren 4/1998 Kodlås Peter har ett lås med tresiffrig kod. Han har glömt den men minns att siffrorna är olika. Peter minns också att om man dividerar den andra siffran med den tredje och multiplicerar svaret med sig självt, så får han första siffran. Hur många kombinationer måste Peter prova för att säkert knäcka koden? (B19, C16, K05) DPL 98, Nämnaren 3/2005 Lådor med kexpaket Till en affär levereras 8 lådor med likadana paket. En av lådorna innehåller paket som väger 90 g, 10 g lättare än de andra. Hur kan expediten snabbt med en enda vägning ta reda på vilken låda som inne-håller dessa. DPL 127, Nämnaren 4/2007
Den saknade kamelen En man har 3 söner och 17 kameler. När han dör så står det i testamentet att kamelerna ska delas bland sönerna. Äldste sonen ska få hälften, mellanbrodern en tredjedel och yngste sonen ska få en niondel av kamelerna. Sönerna är förtvivlade när de inser att det inte går att dela på kamelerna utan att döda någon. En vis man går förbi, tycker synd om sönerna och säger att de kan låna hans kamel vid uppdelningen. På det sättet får den äldste 9, mellanbrodern 6 och den yngste 2 kameler tillsammans 17. Då kan vise mannen få tillbaka sin kamel! Hur gick detta till?
A common version of this is called The 17 Camels. Originally this problem was solved by dividing the camels in the proportion 1/2 : 1/3 : 1/9 and the fact that the fractions did not add up to 1 was ignored. Such problems occur already in the Rhind Papyrus and in the Bakhshali MS (200-400 AD). Tartaglia (ca 1500) is claimed to be the earliest to borrow an 18th camel, but I can't find it there. The problem in this form is often claimed to be of Arabic or Hindu origin. David Singmaster, 1996 Rhind mathematical papyrus 2000 BC I vårt arbete ingår att lista, att gå igenom och kommentera kända problemsamlingar i papper och på nätet.
Med vilka figurer kan vi täcka en yta utan hål? Vilka regelbundna polygoner tessellerar? Välj en form åt gången eller flera och göra olika mönster. Figurerna ska inte överlappa varandra och det ska inte bli något utrymme kvar mellan dem. Kombinera figurer med olika form och olika färg. Formge mönster för användning i kakel, golvplattor eller mosaik. Vad beror det på att går med vissa figurer och inte med andra? Gör en genomgång av olika möjligheter.
Reguljära tesselleringar
Semireguljära tesselleringar
Platonska kroppar
FoF, 2007, nr 5 Nämnaren 2007, nr 1
2 x k (kvadratens sida) + b (rektangelns bredd) = l (rektangelns längd)
Escher är känd för sina geometriska konstverk. Hans konst utvecklades mer och mer mot matematik. Escher lekte med tesselationer och perspektiv. Han skapade otaliga motiv som upprepas och går in i varandra.
FoF, 2007, nr 5
PLATONS KROPPAR TESSELLATIONS Översikt kring tiling och tesselleringar http://mathworld.wolfram.com/topics/tiling.html Historiska notiser http://mathforum.org/sum95/suzanne/historytess.html Exempel från M.C. Escher http://mathforum.org/sum95/suzanne/tess.intro.html POLYHEDRA making models with scissors, glue, and cardstock with nifty plastic polyhedra that snap together (Polydrons) watch movies like Key Curriculum's StellaOctangula (activity book too) and Dance of the Platonic and Archimedian Solids (Olaf Holt/ Geometry Center) and Mad about Mirrors (Anna Gardberg/Geometry Center) more info on polyhedra at http://mathforum.org/sum95/math_and/poly/polyhedra.html
Malin och Johanna hittar flera paket med likadana rektangelformiga kakelplattor (åk 5). De är 1 dm breda och 2 dm långa. Plattorna läggs i en rad från vänster till höger. Med två och tre plattor kan det se ut så här: Hur kan plattorna läggas om du har 4, 5, 6, 7 plattor osv?
När jag prövade med fem plattor blev det mycket svårare. Till slut hittade jag 8 sätt. Då såg jag något jag kände igen 2, 3, 5, 8... Nu blev jag nyfiken att se om min hypotes stämde. Jag skulle hitta 13 sätt att sätta 6 plattor. Det var jobbigt men det stämde. Det är Fibonaccis talföljd. Med 7 plattor finns det 21 sätt osv. Bergius & Emanuelsson (2008). Hur många prickar har en gepard? Göteborg: NCM, s 99
TIMSS 1995 Praktiskt kunskapsprov åk 7, internationellt åk 8
Paket för fyra bollar Problem till 15 klasser L Gy Ta fram modeller eller skisser på förpackningar för 4 bollar åt en förpackningsfirma. Hur kan bollarna förpackas på ett attraktivt sätt? Förbered er på att presentera era idéer för firmans produktchef och marknadsförare. Att tänka på: Form, materialåtgång och design. MINNESBILD Fyra klot vardera med radien R är inskrivna i en parallellepiped så att de tangerar varandra. Bestäm arean av polyederns totala begränsningsyta i möjliga fall. Realskoleuppgift för 55 år sedan Hur ska ni packa in fyra bollar så att det går åt så lite material som möjligt?
Exempel åk 3
Paket för 4 bollar I utvärderingen säger eleverna att det var en rolig och spännande uppgift. De blev intresserade att göra olika lådor och utvecklade också praktiskt kunnande att mäta, klippa och klistra under tiden. Först tänkte vi ut en enkel form på en låda: vi trodde vi skulle göra samma form hela tiden, men så kom vi på att vi kunde göra olika former och då fick vi tänka om. Vi gjorde ett rätblock och sen en cylinder. Sen la vi två och två bollar mot varandra och ritade runt om Det blev vågiga linjer och vi klippte ut en lång remsa som vi satte runt botten. Det var inte lätt att få det att passa. Men det gick! Vi konstruerade ett lock på samma sätt som botten. Erik, Anna, Amadeus Först la vi bollarna så att det såg ut som ett L. Vi gjorde en ritning på cm-rutat papper och överförde den till teckningspapper, som håller bättre. Vi gjorde ett fel. En för liten kvadrat först. Men vi fixade det till slut, när vi räknade på rutorna och ändrade från 4 till 6 rutor. Maria, Beata, Felicia, Jonathan
Först ville vi göra en pyramid men den blev för liten. Då gjorde vi en mall på en tetraeder. Vi gjorde ett lås som såg ut som ett kors. Vi gjorde två hål i hörnen så att dom två flikarna skulle få plats i dom två hålen. Sen gjorde vi den riktiga lådan efter mallen. Och vi målade de fula blyertstecknen blå, så att det skulle bli lite finare. Nathalie, Christoffer, Jenna
Eko problem december 2003 i samband med intervju om Matematikdelegationens arbete Problemet finns nu som 5 C Ta fram modeller eller skisser på förpackningar för 4 bollar åt en firma. Hur ska du packa de 4 bollarna så att det går åt så lite material som möjligt? Gavs ekosändningar från kl 11, lösning 16.45 & 17.45 Låg också ute på NCM-webben med kommentar. formulera, gestalta, lösa problem... geometriska begrepp, egenskaper, relationer...
Lust och lärande Problem lockar genom text och kontext, utmanar, fascinerar pröva idéer i nya situationer, ger lust att söka kunnande, tänja gränser leder till kommunikation, samarbete och lärande Problemlösning ger mental jogging, ibland euforiska upplevelser utvecklar tänkande, känslighet för väsentligheter, kreativ uthållighet ger självförtroende att kontrollera och strukturera tänkandet utvecklar kunnande i nya sammanhang är meningsfull i betydelsen nyttig är meningsfull, ger befriande förståelse för begrepp, idéer och sammanhang
Problemlösningsförmåga funktion av ett antal faktorer t ex kunnande styrning, kontroll uppfattningar av matematik affekter socio-kulturella sammanhang Se t ex Lester i Matematik ett kommunikationsämne, NämnarenTEMA (1996).
EXEMPEL PÅ STRATEGIER rita en figur gissa och pröva lösa ett enklare problem först göra upp en tabell eller diagram använda laborativa metoder / modeller arbeta baklänges ställa upp en ekvation eller ett uttryck... Laborativa modeller Omvärldssituationer Bilder Skrivna symboler Talade symboler Representationer Uttrycksformer
GRUNDLÄGGANDE PRINCIPER I Viktigt att lösa många olika problem för att förbättra sin förmåga II Problemlösningsförmåga utvecklas långsamt, behöver hållas levande III Elever måste tro att läraren ser problemlösning som viktig IV De flesta tjänar på systematisk undervisning