Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (12 uppgifter) Tentamensdatum 2012-12-19 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson och Ove Edlund Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: 0920-491948 Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om flerdimensionella fördelningar Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. Om det ifyllda svarsbladet saknas bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen, som är valfri och gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (8)
1. I en textilfabrik kontrollerar de två kontrollanterna Adam och Berit alla plagg efter att de sytts ihop. De ska båda två granska alla plagg, och de ska också genomföra granskningarna så att de är oberoende av varandra. Anta att en viss typ av plagg är defekt, och att sannolikheten att Adam missar detta är 13 % och motsvarande för Berit är 7 %. Hur stor är sannolikheten att båda två upptäcker defekten? (1p) 2. Vid tillverkning av detaljer till en maskin är felfrekvensen 5 %. För att begränsa antalet reklamationer beslutar man att alla detaljer ska passera en kontroll. Vid denna kontroll kasseras felaktiga detaljer med sannolikheten 0.9, och felfria kasseras med sannolikheten 0.03. Du tar en detalj ur högen med kasserade detaljer. Hur stor är sannolikheten att den detaljen är defekt? 3. Vid etsning av kretskort är andelen defekta ofta hög, och därför kontrolleras de färdiga korten. Kort läggs ihop i förpackningar om 25 kort. 11 av dessa ska tas ut för undersökning. Om det bland de 25 korten finns 6 defekta kort, hur stor är sannolikheten att det i urvalet finns exakt 4 defekta kort? Ange ditt svar i procent med minst två decimaler. 4. En forskargrupp vill bestämma medianen i en kontinuerlig fördelning med hjälp av ett stickprov ξ 1,..., ξ 15 av storlek 15. Bestäm konfidensgraden för intervallet [ξ(4), ξ(12)]. Här betecknar ξ(1) < ξ(2) <... < ξ(15) det ordnade stickprovet. (3p) 5. Den stokastiska variabeln ξ har frekvensfunktionen { ce 2x om 0 x 1, f(x) = 0 annars, där c är en viss konstant. (a) Bestäm konstanten c. (b) Bestäm väntevärdet E(ξ). (1p) 6. En statistikintresserad snickare har undersökt kapning med en viss utrustning och funnit att felet vid en kapning hade väntevärdet 0 och standardavvikelsen 0.7 (enhet: mm). Om snickaren nu ska kapa upp 10 brädor, vad blir variansen för det genomsnittliga felet? 7. I en viss bank samlas uppgifter in om handläggningstiden av olika slags ärenden från alla lokalkontor. För ett givet rutinärende har det visat sig att handläggningstiden kan beskrivas med en normalfördelning där den förväntade handläggningstiden är 7 timmar och standardavvikelsen 1.2 timmar. Hur lång är den längsta tiden för de 4.00 % kortaste handläggningstiderna? 2 (8)
8. Är det för lite chips i chipspåsarna? De är märkta med vikten 200 gram, men Evert tycker att de känns mycket lätta. Han beslutar att undersöka vikten. En fredagskväll laddar han med 10 påsar chips av ett visst känt märke, som han då väger innan han öppnar dem. Han får medelvärdet 184 gram, och stickprovsstandardavvikelsen 18 gram. Beräkna den övre gränsen till ett 90 % konfidensintervall för väntevärdet µ. Utgå från att påsvikten kan beskrivas med en normalfördelning. 9. Antag att du har ett stickprov ξ 1,..., ξ 10 från N(µ, 1.5). För att genomföra ett test av H 0 : µ = 4 mot H 1 : µ = 3.5 så kan man utgå från medelvärdet ξ och förkasta H 0 om ξ k. (a) Bestäm k så att testet får 1% signifikansnivå. (b) Om man har ett större stickprov så får testet samma form, men det kritiska värdet för testet med 1% signifikansnivå beror på n. Hur stort måste stickprovet vara för att detta test ska få en styrka på 90%? (1p) 10. Joel och Maja har pluggat till en tenta som de skall skriva för överbetyg. Sannolikhetsfördelningen för betygen (3,4 eller 5) ges nedan. Om Joel skriver tentan först och meddelar Maja att han fick en fyra, vad är då sannolikheten att Maja får betyg fem? J\M 3 4 5 3 0.28 0.11 0.03 4 0.02 0.25 0.14 5 0.01 0.03 0.13 11. Majas och Joels utgifter för kursmaterial (enhet: kr) kan betraktas som slumpmässiga, där Majas utgifter/månad har väntevärdet 550 kr och standardavvikelsen 35 kr medan Joels utgifter/månad antas ha väntevärdet 465 kr och standardavvikelsen 27 kr. Antag att Majas och Joels utgifter för kurslitteratur är beroende, med korrelation lika med 0.95, samt att de kan beskrivas med en tvådimensionell normalfördelning. Givet att Joels utgifter för en viss månad är lika med 450, beräkna Majas förväntade utgifter för kurslitteratur under samma månad. Ange ditt svar med två decimaler. (1p) 12. Positionen för ett partikel är slumpmässig, med likformig fördelning på det klot som har sitt centrum i origo och vars radie lika med 4. Beräkna sannolikheten att partikelns avstånd från orgio är mindre än 2. Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 3 (8)
4 (8)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Fråga Svar Poäng 1 Sannolikhet (två decimaler) 80.91 1 2 Sannolikhet (två decimaler) 61.22 2 3 Sannolikhet (två decimaler) 16.95 2 4 Konfidensgrad (fyra decimaler) 0.9648 3 5 a Konstanten c 2.3130 1 b Väntevärde (två decimaler) 1 0 2.313xe 2x dx 2 6 Varians (två decimaler) 0.05 (0.049) 2 7 Den längsta tiden (tre decimaler) 4.9 (4.899 exakt) 2 8 Övre gräns (fyra decimaler) 194.4336 2 9 a kritiskt värde k (fyra decimaler) 2.8965 1 b antal observationer (heltal) 118 2 10 Betingad sannolikhet (tre decimaler) 0.341 1 11 Betingat väntevärde (tre decimaler) 531.528 2 12 Sannolikhet (tre decimaler) 0.125 2 Totalt antal poäng 25 5 (8)
6 (8)
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 2 2012-12-19 Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden. 13. Om slumpvariabeln ξ har frekvensfunktion f(x) och a, b är postitiva konstanter så ges frekvensfunktionen för η = aξ + b av g(x) = 1 a f(x b a ) (1) Bestäm fördelningsfunktionen för η och visa att frekvensfunktionen för η ges av (1). Lösningsskiss: Fördelningsfunktionen för η är F ((x b)/a), där F är fördelningsfunktionen för ξ. Så frekvensfuntionen är (F ((x b)/a)) = 1 a f(x b a ). (10p) 14. En gruvingenjör vill ta reda på den genomsnittliga tiden mellan stopp efter att en ny arbetsrutin införts. En normalfördelningsplot för stopptiderna x i, i = 1,..., 20, gav följande resultat. Figur 1: Normalfördelningsplot Ingenjören väljer mellan två metoder. Metod A går ut på att ett intervall som baseras på ordningsvärden beräknas medan Metod B baseras på intervallet [ x t α/2 (19)s/ 20, x + t α/2 (19)s/ 20], där s är stickprovsstandardavvikelsen. Ge gruvingenjören en rekommendation när det gäller metodval. Motivera tydligt. Diskutera även konsekvensera av ett felaktigt metodval. Lösningsskiss: Hon bör välja teckentestet eftersom stopptiderna inte tycks vara normalfördelade. Intervallet (10p) har inte konfidensgrad 1 α. [ x t α/2 (19)s/ 20, x + t α/2 (19)s/ 20] 7 (8)
Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, S0008M, del 2 2012-12-19 15. Antag att 1000 punkter väljs från en likformig fördelning på den kvadrat som har sidlängd 2 och centrum i origo. Låt η beteckna antalet punkter som hamnar innanför cirkeln som har sitt centrum i origo och vars radie är lika med 1. Beräkna sannolikheten P (η 800). Lösningsskiss: η Bin(1000, p), där p = π/4. Då np(1 p) > 10 har vi η N(785, 13) approximativt. Det ger P (η 800) 0.13. (10p) 8 (8)