Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FREDAGEN DEN 8 MAJ 010 KL 14.00 19.00. Eaminator: Gunnar Englund, tel. 79074 16. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik. Räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 10 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 4 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med 3 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre veckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på elevepeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift 1 En tillverkad enhet kan uppvisa A- och B-fel och i genomsnitt har 1 av 00 tillverkade enheter båda slagen av fel. Endast 94% av alla tillverkade enheter är felfria. Av enheterna med fel har 75% A-fel. a) Bestäm andelen av de felaktiga enheterna som har B-fel. (5 p) b) Förekommer A- och B-fel oberoende av varandra? (Motivering krävs naturligtvis!) (5 p) Uppgift Vid en läkarmottagning kallas 5 patienter till ett visst klockslag. Behandlingstiden för en patient betraktas som ett utfall av en eponentialfördelad stokastisk variabel med väntevärde m minuter. Patienterna behandlas en i taget och olika patienters behandlingstider är oberoende stokastiska variabler. Av erfarenhet vet man att läkaren 1 gång på 10 klarar av att inom en timme behandla samtliga 5 patienter. Tolka detta som en sannolikhet och bestäm m. Rimliga och välmotiverade approimationer är tillåtna. (10 p) Uppgift 3 Enligt boken Vänster hjärna, höger hjärna av Springer och Deutsch är sannolikheten att en högerhänt person har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva 95 %, medan sannolikheten att en vänsterhänt person har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva är 70 %. 10 % av alla personer är vänsterhänta. a) Beräkna sannolikheten för att en slumpmässigt vald person har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva. (5 p) b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p) Ledning: Bayes sats kan vara användbar.
forts tentamen i SF1901 (f d 5B1501) 10 05 8 Uppgift 4 Olika värphönsraser värper ägg av olika vikter. En bonde funderar på att skaffa fler höns, nu av typ Lohmann White-LSL, och vill därför undersöka om de värper ägg med samma vikter som hans gamla höns. Han jämför vikterna, 1,..., 15, av 15 ägg från sina gamla höns med vikterna av 15 ägg, y 1,...,y 15, från de nya hönsen. Mätningarna gav [enhet gram]: i 49.9 50. 50.3 50.5 50.7 51.3 51.7 5.0 5.5 53. 56.3 57.0 57.1 57.3 57.8 y i 61.4 60. 58.3 58. 57.3 56.3 56.1 55.0 54.8 54.4 54.3 54.1 53.8 53.1 5.4 som sammanfattas i följande mer eller mindre relevanta hjälpsummor i = 797.8 yi = 839.7 i = 4559 i y i = 44566 y i = 47103. Är det någon signifikant systematisk skillnad (nivå 5%) i vikterna producerade av de olika typerna av höns? Formulera alla modellantaganden ordentligt! (10 p) Uppgift 5 Antalet snödagar under ett år beskrivs av en Poissonfördelad stokastisk variabel, och antalet snödagar under olika år beskrivs av oberoende stokastiska variabler. Åren 1980 1989 var det i medeltal 134.8 snödagar per år. a) Bestäm ett konfidensintervall för det genomsnittliga antalet snödagar under ett år med konfidensgrad (approimativt) 95%. (5 p) b) Bestäm approimativt sannolikheten att det skiljer mer än 40 snödagar mellan två olika år. (5 p) Uppgift 6 I modern djurhållning ger man inälvsmaskgifter till husdjuren. Man vill undersöka ifall dessa gifter även skadar dyngbaggar som lever på att bryta ner gödseln husdjuren producerar. Spillning från husdjur, vars foder innehåller resp. inte innehåller inälvsmaskgift, undersöks och sammanfattas av Förekomst dyngbaggar Foder utan inälvsmaskgift 8 5 1 5 Foder med inälvsmaskgift 15 7 3 5 Testa på nivå 5% ifall förekomsten av dyngbaggar är densamma oavsett fodertyp. (10 p)
Avd. Matematisk statistik LöSNINGAR TILL TENTAMEN I SF1901 (f d 5B1501) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FREDAGEN DEN 8 MAJ 010 KL 14.00 19.00. Uppgift 1 Låt A och B vara händelserna att en tillverkad enhet har A- respektive B-fel. Rita ett Venndiagram för händelserna! Givet är att P (A B) = 0.005 och P (A B ) = 0.94, dvs P (A B) = P (Något fel) = 1 P (A B ) = 0.06. Nu är P (A) = P (A A B)P (A B) = 0.75 0.06 = 0.045. Alltså är P (A B ) = P (A) P (A B) = 0.045 0.005 = 0.04 och P (B) = P (A B) P (A B ) = 0.06 0.04 = 0.0. Slutligen b) Eftersom P (B A B) = är händelserna A och B beroende. P (B (A B)) P (A B) = P (B) P (A B) = 0.0 0.06 = 1 3. P (A B) = 0.005 0.045 0.0 = P (A)P (B) Uppgift LåtX 1,...,X n beskrivaden = 5patienternasbehandlingstider.Modell:X 1,...,X n äroberoende och eponentialfördelade med väntevärde m och varians m. Den totala behandlingstiden har väntevärde och varians Y = X 1 +X + X n E(Y) = E(X 1 +X + X n ) = E(X 1 )+E(X )+ E(X n ) = nm V (Y) = V (X 1 +X + X n ) = {oberoende} = V (X 1 )+V (X )+ V (X n ) = nm och är enligt Centrala gränsvärdessatsen approimativt normalfördelad, dvs Y är approimativt N(nm, nm). Givet är att P (Y 1) = 0.10, vilket ger ( Y nm 0.90 = P (Y > 1) = P > 1 nm ) ( ) 1 nm 1 Φ nm nm nm dvs 1 nm nm = λ 0.90 = λ 0.10 = 1.816. Alltså, m = eller 3 minuter och 13.6 sekunder. 1 n λ 0.10 n = 1 = 0.0538 [tim] 5 1.816 5
forts tentamen i SF1901 (f d 5B1501) 10 05 8 En eakt bestämning kan fås genom att bestämma m så att P (X 4) = 0.90 där X är Poissonfördelad med väntevärde 1/m. Detta ger m = 0.053066 timmar (dvs 3 min och 11.0 sek) Uppgift 3 Vi inför följande händelser: V = personen är vänsterhänt. H = personen är högerhänt. L = personen har sitt språkcentrum i vänster hjärnhalva. R = personen har sitt språkcentrum i höger hjärnhalva. a) P(L) = { Lagen om den totala sannolikheten } = P(V)P(L V)+P(H)P(L H) = 0.10 0.70+0.90 0.95 = 0.95. SVAR: Sökt sannolikhet är 0.95. b) P(V L) = { Bayes sats } = SVAR: Sökt sannolikhet är 7.6%. P(V)P(L V) P(L) Uppgift 4 = 0.10 0.70 0.95 = 0.0757 7.6%. Låt X beskriva vikten av ett ägg värpt av en gammal höna, där X är N(m,σ), och Y motsvarande för ett ägg från den nya typen av höns, Y är N(m y,σ). Mätresultaten modelleras med två oberoende stickprov av storlek n = 15 från X och Y. Vi skattar m, m y, σ och σ med = 1 n ȳ = 1 n n i = 53.187 n y i = 55.980 s = (n 1)s +(n 1)s y n+n s = s =.839, = s +s y = 7.9743 där s = 1 n 1 (( ) i ) n = 9.061 s y = 1 n 1 (( ) y i ) nȳ = 6.8874. Ett konfidensintervall med konfidensgrad 1 α = 0.95 för skillnaden m m y ges av m m y ( X 1 Ȳ)±t α/s n + 1 n. Ur t(n )-tabell fås att t 0.05 =.0484 och det observerade intervallet blir m m y ( ȳ)±t α/ s /n =.79±.11 = [ 4.90, 0.68]. Eftersom m m y = 0 inte är ett rimligt värde enligt konfidensintervallet drar vi slutsatsen att m m y och det finns en systematisk skillnad i äggvikterna mellan de två typerna av höns på nivån 5%.
forts tentamen i SF1901 (f d 5B1501) 10 05 8 3 Uppgift 5 Under n = 10 år erhölls i medeltal = 134.8 snödagar per år, där 1,..., n är utfall av oberoende Po(m)-fördelade stokastiska variabler. Väntevärdet m skattas med m ( 1,..., n ) = där m (X 1,...,X n ) = X = 1 n n X i }{{} Po(nm) Eftersom nm skattas med 10 = 1348 vilket är större än 15 (med råge!) kan Poissonfördelningen approimeras med normalfördelningen. Alltså är X approimativt N(m, m/ n) och ett konfidensintervall för m, med konfidensgrad 1 α = 0.95 ges av m m m ( 1,..., n ) ( 1,..., n )±λ α/ n = ±λ 0.05 n = 134.8±1.96. 134.8 10 = 134.8±7. ( 95%) b) Låt X 1 och X beskriva antalet snödagar olika år. Eftersom m skattas med = 134.8 vilket är större än 15 så är X 1 och X approimativt normalfördelade och X 1 X är approimativt N(0, m). Sålunda är ( X1 X P ( X 1 X > 40) = P > 40 ) ( ( )) 40 1 Φ m m m dvs knappt 1.5%. Inför beteckningarna: ij = (1 Φ(.44)) = 0.0147, Uppgift 6 Förekomst dyngbaggar Foder utan inälvsmaskgift 8 5 1 5 = n 1 Foder med inälvsmaskgift 15 7 3 5 = n m 1 = 3 m = 1 m 3 = 15 N = 50 Om förekomsten av dyngbaggar inte förändras så skattas dyngbaggsfördelningen med p j = m j/n och det förväntade antalet observationer med n i p j: n i p j Förekomst dyngbaggar Foder utan inälvsmaskgift 11.5 6 7.5 5 Foder med inälvsmaskgift 11.5 6 7.5 5 3 1 15 50 En hypotes H 0 om en oförändrad dyngbaggsfördelning förkastas för stora värden på q = i,j ( ij n i p j ) n i p j = 7.8638 somomh 0 ärsannärettutfallfrånenapproimativtχ ((3 1)( 1))-fördeladstokastiskvariabel. Ur χ ()-tabeller fås att χ 0.05 = 5.99 < q och hypotesen H 0 förkastas på nivå 5%. Förekomsten av dyngbaggar är inte densamma för foder med resp. utan inälvsmaskgifter (avmaskingsmedel).