0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

Relevanta dokument
(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.

Avd. Matematisk statistik

Uppgift 1 (a) För två händelser, A och B, är följande sannolikheter kända

b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)

Avd. Matematisk statistik

f(x) = 2 x2, 1 < x < 2.

(a) Avgör om A och B är beroende händelser. (5 p) (b) Bestäm sannolikheten att A inträffat givet att någon av händelserna A och B inträffat.

Avd. Matematisk statistik

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

Uppgift 1. P (A) och P (B) samt avgör om A och B är oberoende. (5 p)

b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p)

b) Beräkna sannolikheten att en mottagen nolla har sänts som en nolla. (7 p)

Lufttorkat trä Ugnstorkat trä

Bestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)

Avd. Matematisk statistik

Uppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1

b) Om vi antar att eleven är aktiv i en eller flera studentföreningar vad är sannolikheten att det är en kille? (5 p)

0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.

Avd. Matematisk statistik

Sannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

1 e (λx)β, för x 0, F X (x) = 0, annars.

Uppgift 3 Vid en simuleringsstudie drar man 1200 oberoende slumptal,x i. Varje X i är likformigt fördelat mellan 0 och 1. Dessa tal adderas.

Uppgift 1 Andrej och Harald roar sig med en standardkortlek med 52 kort uppdelade på fyra färger (spader, klöver, hjärter och ruter).

Avd. Matematisk statistik

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

b) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)

Avd. Matematisk statistik

a) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.

Del I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik

faderns blodgrupp sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I SF1906 (f d 5B1506) MATEMATISK STATISTIK GRUNDKURS,

cx 5 om 2 x 8 f X (x) = 0 annars Uppgift 4

b) Förekommer A- och B-fel oberoende av varandra? (Motivering krävs naturligtvis!) (5 p)

Avd. Matematisk statistik

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Del I. Uppgift 1 Låt X och Y vara stokastiska variabler med följande simultana sannolikhetsfunktion: p X,Y ( 2, 1) = 1

Del I. Uppgift 1 Låt A och B vara två oberoende händelser. Det gäller att P (A) = 0.4 och att P (B) = 0.3. Bestäm P (B A ). Svar:...

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik

Uppgift 1 P (A B) + P (B A) = 2 3. b) X är en diskret stokastisk variabel, som har de positiva hela talen som värden. Vi har. k s

Faderns blodgrupp Sannolikheten att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0

Avd. Matematisk statistik

Avd. Matematisk statistik

b) Teknologen Osquarulda känner inte till ML-metoden, men kom på intuitiva grunder fram till att p borde skattas med p = x 1 + 2x 2

dvs. Trots att arbetslaget arbetar tillsammans antages skadorna hos de olika medlemmarna

Avd. Matematisk statistik

Individ nr Första testet Sista testet

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 18 AUGUSTI 2017 KL

** a) Vilka värden ska vara istället för * och **? (1 p) b) Ange för de tre tillstånden vilket som svarar mot 0,1,2 i figuren.

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Avd. Matematisk statistik

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER FREDAGEN DEN 17 AUGUSTI 2018 KL

k x om 0 x 1, f X (x) = 0 annars. Om Du inte klarar (i)-delen, så får konstanten k ingå i svaret. (5 p)

e x/1000 för x 0 0 annars

Lycka till!

TENTAMEN I SF1904 MARKOVPROCESSER TISDAGEN DEN 29 MAJ 2018 KL

TENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL

FACIT för Förberedelseuppgifter: SF1911 STATISTIK FÖR BI0TEKNIK inför tentan MÅDAGEN DEN 9 DECEMBER 2016 KL Examinator: Timo Koski

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

P =

FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data

Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 2, 5p 21 januari 2006, kl

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 79 / TEN 1

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski

Jörgen Säve-Söderbergh

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

TT091A, TVJ22A, NVJA02 Pu, Ti. 50 poäng

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Uppgift 2) Datum: 23 okt TENTAMEN I MATEMATIK OCH MATEMATISK STATISTIK, kurskod 6H3000

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

b) Vad är sannolikheten att personen somnar i lägenheten? (4 p) c) Hur många gånger förväntas personen byta rum? (4 p)

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Avd. Matematisk statistik

Tentamen i Statistik, STA A10 samt STA A13 9p 24 augusti 2005, kl

Tentamen i Statistik, STA A10 och STA A13 (9 poäng) 16 januari 2004, kl

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Uppgift 1. ii) r xy = 0.5. iii) r xy = 1. iv) r xy = 1. v) Denna fråga kan inte besvaras utan att kolla data.

Sju dagar före viral exponering med echinacea därefter Efter viral exponering med echinacea därefter Placebo (ingen echinacea) 58 30

Avd. Matematisk statistik

Transkript:

Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta, Hjälpreda för miniräknare, räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 24 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med, preliminärt, 22 23 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Poäng från kontrollskrivning och laborationer under kursomgång period 2 HT 24 tillgodoräknas. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift a En stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen om x <, F X (x x 3 om x, om x >. Beräkna E(X och D(X. (5 p b A och B är två oberoende händelser med sannolikheterna.5 resp..4. Beräkna den betingade sannolikheten för att både A och B inträffar, då man vet att minst en av händelserna A och B har inträffat. (5 p Uppgift 2 Ett flygplan av viss typ tar passagerare. Passagerarnas vikter kan ses som oberoende stokastiska variabler med väntevärde 75 (kg och standardavvikelse. Vikterna på passagerarnas bagage är också oberoende stokastiska variabler men med väntevärde 5 och standardavvikelse 5. Korrelationskoefficienten mellan en passagerares vikt och vikten av hans bagage är.. Det finns alltså ett visst beroende mellan en passagerares vikt och vikten av hans/hennes bagage. a Beräkna väntevärde och varians för den sammanlagda vikten av en passagerare och hans/hennes bagage. (5 p b Beräkna sannolikheten att den sammanlagda vikten för de passagerarna och bagaget överstiger 93 kg. Rimliga och väl motiverade approximationer får göras. (5 p

forts tentamen i SF9 25--2 2 Uppgift 3 De stokastiska variablerna X och Y är oberoende och Poissonfördelade; X har väntevärdet och Y väntevärdet /2. Bilda Z X 2Y. a Beräkna väntevärde och varians för Z. (5 p b Beräkna sannolikheten att Z antar värdet 2. (5 p Man har observerat följande mätvärden Uppgift 4 x 5, x 2 2, x 3 5, x 4 4, x 5 9. De är oberoende observationer från den diskreta fördelningen med sannolikhetsfunktionen p X (k θ( θ k, k, 2,, 3... där < θ < a Bestäm Maximum Likelihood-skattningen (ML-skattningen av θ. (5 p b Bestäm Minsta Kvadrat-skattningen (MK-skattningen av θ. (5 p Uppgift 5 Följande data visar antalet genomsnittliga förluster i arbetstimmar per vecka på grund av olyckor från tio olika industrianläggningar före respektive efter att ett säkerhetsprogram implementerats. före : 45 73 46 74 33 57 83 34 26 7 efter: 36 6 44 69 35 5 77 29 24 Man kan anta att antalet förlorade arbetstimmar i en given industrianläggning är (approximativt normalfördelad (både med och utan säkerhetsprogram. a Bestäm ett relevant konfidensintervall med konfidensgraden 99% som beskriver effekten av säkerhetsprogrammet. (7 p b Testa på nivån % om säkerhetsprogrammet har någon effekt. (3 p Uppgift 6 Vid ett tillfälle önskade man undersöka hur småföretagare av olika typ förhöll sig till vissa EUfrågor. Ett slumpmässigt urval om 4 företagare togs ur en viss stor population och av dessa hade 32 åsikten A och 8 åsikten B. Ur en annan stor population togs på motsvarande sätt 39 ut varav 23 tyckte A och 6 B. Ger detta belägg för att de båda typerna av småföretagare är olika i sin benägenhet att stödja A eller B eller kan olikheten förklaras som en slumpens skörd? Besvara frågan genom att utföra ett lämpligt signifikanstest på (approximativ nivå 5%. ( p Lycka till!

Avd. Matematisk statistik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK I MÅNDAGEN DEN 2 JANUARI 25 KL 4. 9.. a Vi har Detta ger f X (x Uppgift { 3x 2 om x, annars. vilket ger E(X x 3x 2 dx [ ] 3 4 x4 3 4 och E(X 2 x 2 3x 2 dx [ ] 3 5 x5 3 5, V (X E(X 2 (E(X 2 3 5 9 6 3 8 och således D(X 3 8.94. b Vi har ( P ((A B (A B eftersom P (A B A B P (A B (A B (A B ( P (A B eftersom A och B P (A P (B P (A B är oberoende.5.4.5.4.5.4 2 7. Uppgift 2 P (A B P (A B P (A P (B P (A P (B P (A P (B a Låt X j person j:s vikt och Y j vikten av person j:s bagage. Låt vidare Z j X j Y j. Vi får E(Z j E(X j E(Y j 75 5 9 för j, 2,,. Vi får V (Z j V (X j Y j V (X j V (Y j 2C(X j, Y j 2 5 2 2ϱ(X j, Y j D(X j D(Y j 25 2. 5 35 Totala vikten blir S Z Z 2 Z som är approximativt normalfördelad enligt Centrala gränsvärdessatsen ty Z,, Z är oberoende och likafördelade. S är approximativt N( 9, 35 och vi får ( S 9 P (S > 93 P > 35 93 9 35

forts tentamen i SF9 25--2 2 Φ(3/ 35 Φ(2.58.9956 4.94 3. a Ur antagandet om Poissonfördelning Uppgift 3 E(Z E(X 2E(Y 2 /2 2, V (Z V (X 4V (Y 4 /2 3. b Ur oberoendet och Poissonfördelningen P (Z 2 P (X 2Y 2 P (X, Y P (X 2, Y P (X P (Y P (X 2P (Y e! (/2 e /2! 2 e 2! (/2 e /2! e 3/2.22. Uppgift 4 a Låt x,..., x 5 vara observationerna. Log-likelihood-funktionen är LnL(θ 5 [ i ln(θ (xi ln( θ ] Vi söker maximum och sätter derivatan map. θ : 5 Detta ger θ obs 5 Σx i x 5. ( ( (x θ i 5θ ( 5 θ x i 5 5 θ θ 5 θ 5 θ x i. b Vi känner igen att X är ffg-fördelad (se formelsamlingen, och följaktligen E(X θ. Vi skall minimera och får som ger Q(θ dq dθ 2 θ 2 5 (x i θ 2 5 (x i θ θ obs / x /5. Uppgift 5 a Vi har observationer i par, och antar att differensen Z före efter är N(µ, σ. Observationerna av Z är 9, 3, 2, 5, 2, 6, 6, 5, 2, 6. Vi får z 5.2 och s z 4.77.

forts tentamen i SF9 25--2 3 Nu är alltså z µ s z / 5.2 µ 4.77/ en observation ur en t(9-fördelning, dvs som ger 5.2 µ 4.77/ ±3.2498 µ 5.2 ± 4.9 b Eftersom intervallet för µ bara innehåller positiva tal drar vi slutsatsen att säkerhetsprogrammet minskar risken för olyckor. Använd ett χ 2 homogenitetstest. Bilda Uppgift 6 Q (32 55 4/792 55 4/79 (23 55 39/792 55 39/79 (8 24 4/792 24 4/79 (6 24 39/792 24 39/79 4.3 > χ 2.5((2 (2 χ 2.5( 3.84. Hypotesen att benägenheten är densamma kan därmed förkastas på nivån 5%. Uppgiften skulle kunna lösas som en jämförelse mellan två binomial-parametrar, men villkoret för att approximera med normalfördelning (np( p är inte uppfyllt.