TAMS17/TEN1 STATISTISK TEORI FK TENTAMEN ONSDAG 1/1 18 KL 8.-13.. Examinator och jourhavande lärare: Torkel Erhardsson, tel. 8 14 78. Tillåtna hjälpmedel: Formelsamling i matematisk statistik utgiven av matematiska institutionen (utan egna anteckningar). Ett A4-ark med egna anteckningar på båda sidor. Räknedosa med tömda minnen. Tentamen består av 6 uppgifter värda 3 poäng vardera. Betygsgränser: 8 poäng för 3, 11.5 poäng för 4, 15 poäng för 5. Resultatet meddelas via e-post. Uppgift 1 Låt X U(,θ), där θ > är en okänd parameter. En statistiker avser att genomföra en Bayesiansk analys, där θ betraktas som en stokastisk variabel Θ med apriorifördelningen Γ(, 1). Det observerade värdet på X är x. Bestäm aposteriorifördelningen för θ, samt Bayesskattaren (den Bayesskattare som svarar mot den vanliga kvadratiska kostnadsfunktionen) av θ. Uppgift Låt {X t ;t = 1,,...} vara oberoende Po(µ)-fördelade stokastiska variabler, där µ > är okänd. För varje n = 1,,..., låt X = (X 1,...,X n ) T. MLskattaren av µ baserad på X är µ = X = 1 n i=1 X i (detta behöver inte visas). (a) Ange ML-skattaren τ(µ) av τ(µ) = µ 1 baserad på X. Härledning krävs ej. (b) Bestäm ett deterministiskt tal c(µ) > (OBS: deterministiskt = inte stokastiskt), som eventuellt beror av µ, så att n( τ(µ) τ(µ)) c(µ) konvergerar i fördelning mot Z N(, 1) då n. Ledning: utnyttja centrala gränsvärdessatsen och deltametoden. (c) Ange ett konfidensintervall för τ(µ) baserat på X med asymptotisk konfidensgrad.95 då n. Härledning krävs ej.
Uppgift 3 Låt X = (X 1,...,X n ) T, där X 1,...,X n är oberoende likafördelade stokastiska variabler. X 1 har täthetsfunktion i familjen {f X1 (x β);β > }, där { 1 Γ(β) f X1 (x β) = xβ 1 e x, för x > ;, annars. (a) Bestäm en endimensionell tillräcklig statistika för β. (b) Visa med hjälp av lämplig sats att det existerar ett likformigt starkaste test (UMP) av H : β 1 mot H 1 : β < 1, samt ange dess testfunktion. Uppgift 4 Låt X = (X 1,...,X n ) T, där X 1,...,X n är oberoende Be(θ)-fördelade stokastiska variabler, och parametern θ (,1) är okänd. X 1 har alltså sannolikhetsfunktionen { θ x (1 θ) 1 x, för x {,1}; f X1 (x θ) =, annars. ML-skattaren av θ baserad på X är θ = X = 1 n i=1 X i (detta behöver inte visas). Man vill testa hypotesen H : θ =.5 mot H 1 : θ.5 med ett likelihoodkvottest på den asymptotiska (d.v.s., då n ) signifikansnivån.5. (a) Härled testfunktionen för detta test. (b) Antag att n = 75, och att det observerade stickprovsmedelvärdet är x = 1 75 75 i=1 x i =.64. Genomför testet och redovisa resultatet. Uppgift 5 Låt X vara en stokastisk variabel med täthetsfunktion { θx θ 1, för < x < 1; f(x θ) =, annars, där θ > är en okänd parameter. (a) Visa att Y = X θ är en pivotvariabel för θ. Vilken täthetsfunktion har Y? (b) Härled ett ensidigt uppåt begränsat konfidensintervall för θ baserat på X, med (exakt) konfidensgrad 1 α. Utnyttja pivotvariabeln Y.
Uppgift 6 Låt X = (X 1,...,X n ) T, där X 1,...,X n är oberoende N(µ,σ)-fördelade stokastiska variabler, med väntevärde µ R och standardavvikelse σ > (båda okända). X har alltså täthetsfunktion i familjen {f(x µ,σ);µ R,σ > }, där f(x µ,σ) = 1 (πσ ) n/ exp( n(x µ) (n 1)s σ ) x R n, och där x = 1 n i=1 x i och s = 1 n 1 i=1 (x i x) (detta behöver inte visas). (a) Bestäm en tvådimensionell tillräcklig och fullständig statistika för (µ, σ). Svaret måste motiveras. (b) Visa att σ n := Γ(n 1 Γ( n) ) n 1 S, därs = 1 n n 1 i=1 (X i X) ochγ( )ärgammafunktionen,ärenväntevärdesriktig skattare av σ. Är σ n också den bästa väntevärdesriktiga skattaren (UMVUE) av σ baserad på X? Svaret måste motiveras. Ledning: Utnyttja formelsamlingen, och det faktum (som inte behöver visas!) att σ n = Γ(n 1) T Γ( n) σ, där T = n 1 σ S χ (n 1).
KORTFATTADE LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I TAMS17 STATISTISK TEORI FK, ONSDAG 1/1 18 KL 8.-13.. 1. f X,Θ (x,θ) = 1 θexp( θ) = exp( θ) för < x < θ, vilket ger: θ f X (x) = x 1 θexp( θ)dθ = exp( x) x >. θ Alltså är aposteriorifördelningens täthetsfunktion: f Θ X=x (θ) = f X,Θ(x,θ) f X (x) = exp( (θ x)) θ > x. Bayesskattaren av θ är aposteriorifördelningens väntevärde: E(Θ X = x) = θexp( (θ x))dθ = x (t+x)exp( t)dt = x+1.. (a) ML-skattarens invariansegenskap ger att τ(µ) = X 1. (b) Centrala gränsvärdessatsen ger att n(x µ) µ d Z N(,1) då n. Enligt deltametoden fås den önskade konvergensen om c(µ) = τ (µ) µ, där τ (µ) = µ. Vi väljer således: c(µ) = µ 3/. (c) Ett konfidensintervall av Wald-typ för τ(µ) med asymptotisk konfidensgrad.95 är: C(X 1,...,X n ) = X 1 ±1.96 X 3/ n. 3. (a) X har täthetsfunktionen f(x β) = n f X1 (x i β) = 1 n Γ(β) n( x i ) β 1 e i=1 x i I{x (, ) n }, i=1 i=1
såenligtfaktoriseringssatsenärt(x) = n i=1 X i entillräckligstatistika för β. (b) Låt < β 1 < β. Då gäller: f(x β ) f(x β 1 ) = Γ(β 1) n n Γ(β ) n( i=1 x i ) β β 1, vilket är en strängt växande funktion i T(x), så familjen har monoton likelihoodkvot (MLR). Det likformigt starkaste testet av H : β 1 mot H 1 : β < 1 ges därför av: φ(x) = I{ n i=1 X i < k}, där k väljs så att testet får rätt signifikansnivå. 4. (a) Likelihoodkvotteststatistikan är: lnλ(x) = ln ( f X (x.5)) (.5 n ) = ln f X (x x) x nx (1 x) n(1 x) = n(ln.5 xlnx (1 x)ln(1 x)). Testet φ(x) = I{ lnλ(x) > χ.5(1)} (där χ.5(1) 3.84) har asymptotisk signifikansnivå.5 då n. (b) Med data givna i uppgiften fås: lnλ(x) = 15 ( ln.5.64ln.64 (1.64)ln(1.64) ) 5.96. Slutsatsen av testet blir att H avvisas. 5. (a)y ärenfunktionavx ochθ,ochviserdirektattp( < Y < 1) = 1. För < y < 1 fås: F Y (y) = P(Y y) = P(X θ y) = P(X y 1/θ ) = y 1/θ f(x θ)dx = [ x θ] x=y 1/θ x= = y. Alltså är Y U(,1), vilket inte beror av θ. (b) Välj a > så att P(Y a) = 1 α. Detta åstadkoms då a = α, eftersom Y U(, 1). En omskrivning ger sedan: 1 α = P(Y α) = P(X θ α) = P(θlnX lnα) = P(θ lnα lnx ), så det sökta konfidensintervallet är: C(X) = [, lnα ]. lnx
6. (a) Utvecklas kvadraten (x µ) i det givna uttrycket, så ser man att {f(x µ, σ); µ R, σ > } är en exponentialfamilj, med naturlig tillräcklig statistika (X,S ) och viktsfunktioner w 1 (µ,σ) = nµ och w (µ,σ) = (n 1). Eftersom {(w σ 1 (µ,σ),w (µ,σ);µ R,σ > } = {(u,v);u R,v < } är en öppen delmängd av R, så är (X,S ) även fullständig. (b) Det gäller att E( σ n ) = Γ(n 1 ) Γ( n )σe( T), där E( T) = = n/ Γ( n ) (n 1)/ Γ( n 1 ) t 1/ f T (t)dt = t n/ 1 e t/ n/ Γ( n ) dt = t n/ 1 e t/ (n 1)/ Γ( n 1)dt Γ( n ) Γ( n 1), så E( σ n ) = σ. Eftersom σ n är en funktion av den fullständiga och tillräckliga statistikan (X,S ), så är den UMVUE av σ.