Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-06-07 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: 0920-49 19 48 Examinator: Adam Jonsson Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentan består av två delar. På den första delen (del 1), som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in även lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen (del 2), som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på del 1 samt minst 13 poäng på del 2. För betyg 5 krävs godkänt på del 1 samt minst 23 poäng på del 2. Approximationer får användas då sådana är motiverade. Det går inte att kompensera underkänt på del 1 med poäng från del 2. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (7)
1. Tre komponenter, a,b och c, kan vid en given tidpunkt antingen fungera eller vara trasiga. Låt händelserna A,B och C stå för att komponent a,b respektive c fungerar. Dessa händelser antas oberoende, där P (A) = 0.25, P (B) = 0.36, P (C) = 0.14. (a) Beräkna sannolikheten för att minst en av komponent a och komponent b fungerar vid en given tidpunkt. (1 p) (b) Givet att minst en av komponent a och komponent b fungerar vid en given tidpunkt, vad är sannolikheten att a fungerar? (2 p) 2. Antag att ξ 1 och ξ 2 är oberoende och Poissonfördelade med väntevärde lika med 2. Låt ξ = ξ 1 + ξ 2. Beräkna P (ξ = 1). (2 p) 3. Anders kastar en vanlig tärning om och om igen. Låt slumpvariabeln ξ beteckna antalet kast han behöver göra för att få en sexa. De möjliga värdena på ξ är alltså de positiva heltalen 1,2,3,..., där t.ex. ξ = 5 betyder att den första sexan kom på det femte kastet. Beräkna sannolikheten P (ξ = 6). (2 p) 4. Den kontinuerliga slumpvariabeln ξ har följande fördelningsfunktion: 0 om x < 1, F (x) = x/2 + 0.5 om 1 x < 1, 1 om x 1. Bestäm variansen V (ξ). (2 p) 5. Slumpvariablerna ξ 1,ξ 2,..., ξ 100 är oberoende och har samma diskreta fördelning, vars sannolikhetsfunktion är definierad { 0.5 om x = 0, P (ξ i = x) = 0.5 om x = 1. (a) Beräkna µ = E(ξ i ) och σ = V (ξ i ). (1 p) (b) Låt ξ = 100 i=1 ξ i. Beräkna sannolikheten P (ξ 60). (2 p) 6. Antag att ξ har en exponentialfördelning vars väntevärde och standardavvikelse är lika med 10. Beräkna sannolikheten P (0 ξ 20). (2 p) 7. Antag att ξ 1, ξ 2,..., ξ 7, ξ 8 är ett stickprov från en kontinuerlig fördelning vars median m är okänd. För att bestämma en konfidensintervall för m hade man valt att använda metoden med teckenintervall. Vad blir konfidensgraden för intervallet [ξ(2), ξ(7)]? (2 p) 2 (7)
8. För att jämföra förslitningen hos bildäck av två typer, A och B, monterade man ett däck av vardera typen på bakhjulen på fem bilar. De fem bilarna var av samma märke och varje bil kördes 1000 mil, men de kördes av olika förare på olika vägar. Följande förslitningar uppmättes: Förslitning i mm hos bil nr Typ av däck 1 2 3 4 5 A 1.1 0.9 0.7 1.5 0.6 B 0.9 0.7 0.8 1.2 0.5 Bestäm ett 95% konfidensintervall för skillnaden mellan den genomsnittliga förslitningen hos däck av typ B och typ A under lämpliga normalfördelningsantaganden. (2 p) 9. Antag att man gör observationer x 1, x 2, x 3,...,x n från N(µ, 3), där µ är okänd. För att testa H 0 : µ = 10 mot H 1 : µ = 11 på 5% signifikansnivå ville man använda beslutsregeln förkasta H 0 om x > k, där k är en konstant. Denna konstant beror på n. Hur stort måste n minst vara för att testet ska få en styrka som är minst 90%? (2 p) Var god vänd. 3 (7)
10. Man vill använda regressionsanalys för att studera hur Y =pris för lägenheter i en stad (enhet: tusentals kronor) berodde på följande variabler: X 1 =lägenhetens yta, X 2 =balkong, där X 2 = 1 om lägenheten har balkong, X 2 = 0 annars, X 3 =lägenhetens våning (1,2,3,...). Modellen var alltså inte definierad för lägenheter på nedre botten. Uppgifter om 32 sålda lägenheter som inte låg på nedre botten studerades för att få den skattade regressionsmodellen Ŷ = b 0 + b 1 X 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3. Skattade regressionskoefficienter samt deras standardavvikelser anges nedan. b 0 = 1143 s b0 = 215.3 b 1 = 24.86 s b1 = 3.94 b 2 = 248.86 s b2 = 209.58 b 3 = 68.86 s b3 = 52.26 (a) Förklaringsgraden för modellen blev 81.17 %. Vad är den justerade förklaringsgraden? (b) För lägenheter på våning fyra, finns det genomsnittlig skillnad i pris mellan lägenheter som har balkong och lägenheter som inte har balkong? För att undersöka detta kan man genomföra ett hypotestest där man utgår från en lämplig t-kvot. Vad är värdet på den t-kvoten? Vilket värde ska t-kvoten jämföras med om testet ska ha 1% signifikansnivå? Ett annat sätt att genomföra testet är att utgå från ett lämpligt P-värde. Är detta P-värde större eller mindre än 0.005? (1p) För att få poäng på denna uppgift krävs att du på svarsbladet anger korrekt t-kvot, korrekt tabellvärde och rätt svar (STÖRRE eller MINDRE) på frågan om P-värdet. (2 p) (c) För lägenheter i staden i fråga som är på 60 kvm och har balkong, hur mycket dyrare är i genomsnitt lägenheter på våning 4 jämfört med lägenheter på våning 1? Besvara frågan genom att beräkna ett 99 % konfidensintervall. (2 p) Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 4 (7)
Tabell för svar till del 1 Lägg detta blad först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Sannolikheter anges som ett tal mellan 0 och 1 i decimalform om inget annat anges. Fråga Svar Poäng 1 a Sannolikhet (tre decimaler) 0.520 1 b Betingad sannolikhet (tre decimaler) 0.481 2 2 Sannolikhet (tre decimaler) 0.073 2 3 Sannolikhet (tre decimaler) 0.067 2 4 Varians (tre decimaler) 0.333 2 5 a Väntevärde (två decimaler) 0.5 standardavvikelse (två decimaler) 0.5 1 b Sannolikhet (fyra decimaler) 0.98 2 6 Sannolikhet (tre decimaler) 0.864 2 7 Konfidensgrad (två decimaler) 0.9296 2 8 Intervallgränser (tre decimaler) 0.0483, 0.328 2 9 Antal observationer n (heltal) 78 2 10 a Justerad förklaringsgrad (två decimaler) 79.15 1 b Värde på t-kvot (tre decimaler) 1.187 Värde från tabell (tre decimaler) 2.763 STÖRRE ELLER MINDRE STÖRRE 2 c Intervallgränser (två decimaler) 639.76, 226.60 2 Totalt antal poäng 25 5 (7)
Korta lösningsskisser till del 1 1. (a) P (A B) = P (A)+P (B) P (A B) = P (A)+P (B) P (A)P (B) = 0.25 + 0.36 0.25 0.36 = 0.52. (b) P (A A B) = P (A)/P (A B) = 0.25/0.52 = 0.4807. 2. P (ξ = 1) = P (ξ 1 = 0)P (ξ 2 = 1) + P (ξ 1 = 1)P (ξ 2 = 0) = e 2 2e 2 + 2e 2 e 2 = 2e 2 2e 2 = 0.07326. 3. P (ξ = 6) = (5/6) 5 1/6 = 0.0669796. 4. Frekvensfunktionen är f(x) = F (x) = 1/2 på intervallet ( 1,1) och 0 utanför intervallet. Alltså är ξ R( 1,1). Det betyder att V (ξ) = 2 2 /12 = 1/3 = 0.333. 5. (a) Vi har µ = 0.5 och σ = 0.5 0.5 = 0.5. (b) Vi har ξ N(50,5) approximativt enligt CGS. Det ger P (ξ 60) = Φ(2) = 0.9772499. Alternativ exakt lösning: Vi har η =antal variabler bland de 100 som är 1 Bin(100,0.5). Med miniräknaren fås exakt P (ξ 60) = 0.9823999. 6. Vi har ξ Exp(0.1) så F (x) = 1 e 0.1x och P (ξ 20) = F (20) = 1 e 2 = 0.8646647. 7. Vi har att m ligger i intervallet om och endast om 2 η 6, där η =antal variabler som är mindre än m. Här är η Bin(8,0.5) så vi får P (2 η 6) = 0.9296. 8. Stickprov i par. Differensserien är 0.2,0.2, 0.1,0.3,0.1. Medelvärdet är 0.14 och sd= 0.1516575. Intervallgränser: 0.04830767, 0.32830767 9. Villkoret för 5% signifikansnivå ger k = 10 + λ 0.05 3/ n. Villkoret för 90% styrka ger k = 11 λ 0.1 3/ n. Det ger ekvationen 10 + λ 0.05 3/ n = 11 λ 0.1 3/ n, dvs n = (3λ 0.05 +3λ 0.1 ) 2 = (3(1.28+1.65)) 2 = 77.2641. Svar: 78. 10. (a) Vi har R 2 = 0.8117 enligt uppgift. Här är K = 4 och n = 32. Det betyder att R 2 a = 1 1 (1 0.8117) (n 1)/(n K) = 1 1 (1 0.8117) (31/28) = 0.791525. (b) t kvoten b 2 /s b2 = 1.187422. ska jämföras med t 0.005 (28) = 2.763 P -värdet är större än 0.005. (Värdet på t-kvoten ger att H 0 inte kan förkastas på 1%. Alltså är P -värdet större än 0.01.) (c) Vi söker ett konfidensintervall för 3β 3. Intervall för β 3 blir 68.86± 52.26 t 0.005 (28) = [ 213.2544,75.53438]. Ett 99% konfidensintervall för 3β 3 blir 639.76, 226.60 6 (7)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2019-06-07 Till uppgifterna på del 2 krävs fullständiga lösningar. 11. Antag att A och B är oberoende händelser. (a) Visa att P (A c B c ) = 1 (P (A) + P (B) P (A) P (B)). (2 p) (b) Visa att A c och B c är oberoende händelser, dvs visa att P (A c B c ) = P (A c ) P (B c ). (8 p) 12. Slumpvariablerna ξ 1,ξ 2,ξ 3,...,ξ 10 är oberoende och samma diskreta fördelning, vars sannolikhetsfunktion är definierad 1 5θ/6 om x = 0, P (ξ i = x) = θ/2 om x = 1, θ/3 om x = 2, där 0 < θ < 1 en okänd konstant. Låt ξ beteckna medelvärdet 10 i=1 ξ i/10. Bestäm en konstant c sådan att θ = c ξ är väntevärdesriktig skattning av θ. (10p) 13. Torsten är intresserad av övernaturliga förmågor hos människor. Han anser att en person har en sådan förmåga om denne eller denna fem gånger i rad kan förutsäga utfallet av ett tärningskast. Torsten utsätter 10000 personer för experimentet, varav 3 stycken klarar det. Han drar därför slutsatsen att förekomsten av övernaturliga förmågor har bevisats. Håller du med Torsten när det gäller hur resultatet skall tolkas? Besvara frågan genom att genomföra ett hypotestest. (10p) 7 (7)