Matematisk kompetens och kompetensrelaterade aktiviteter

Examensarbete Matematisk kompetens och kompetensrelaterade aktiviteter En studie av hur elever med utländsk bakgrund löser uppgifter Anna-Maria Johansson 2011-05-15 Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad Kurskod: GO7494

Sammanfattning Syftet med detta arbete är att studera styrkor och brister i matematik hos elever med utländsk bakgrund utifrån matematiska kompetenser. Det finns flera rapporter som visar på att denna elevgrupp får sämre resultat på de nationella ämnesproven i matematik årskurs 9 jämfört med genomsnittsresultat i Sverige. För att få en djupare förståelse för elevernas kunskaper har studien en kvalitativ ansats. Nio elever har fått ett antal uppgifter att lösa, följt av en intervju där de har fått tillfälle att förklara och motivera sina lösningar. Uppgifterna var hämtade från det nationella ämnesprov i matematik årskurs 9 och valda utifrån att kunna se på olika matematiska kompetenser som speglas i svenska styrdokument. I intervjuerna fick eleverna också berätta om sin tidigare erfarenhet och kort om sin bakgrund. Transkriptionerna av intervjuerna tillsammans med elevlösningarna har analyserats utifrån ett ramverk där man kan se på tre olika matematiska aktiviteter, tolka, göra och bedöma, kopplade till varje kompetens. Studien visar att styrkan hos de flesta eleverna är att göra och använda sina kunskaper för att lösa uppgifterna. Flera elever kan tolka uppgifterna och de lösningsförslag de gett. Det är dock få av eleverna som visar att de kan reflektera och bedömer sina lösningsprocesser och procedurer. Den sistnämnda aktiviteten ingår i den bedömning av elevens kunnande i ämnet som en lärare skall göra. Studien kan utgöra en grund för att hitta infallsvinklar på vilken typ av aktivitet eleverna behöver träna på, för att därmed att ge förutsättningar att höja denna elevgrupps resultat på nationella ämnesproven i matematik. Abstract The aim of this paper is to examine strengths and weaknesses in mathematics for students in Sweden with a background in a foreign education system. There are several studies that show that this particular demographic tends to score lower than the national average on the Swedish national exams in mathematics grade nine. In order to attain a thorough understanding of the students' knowledge and proficiency, this investigation has adopted a qualitative research model. Nine students were given a series of mathematical problems to solve, followed by interviews where they were asked to explain and qualify their results and approach to solving the problems. The problems were selected to correspond to the curriculum guidelines and specified competence goals for grade nine, and were taken directly from existing national exams. During the interviews students were asked about their background and previous schooling experience. The interviews were transcribed and then analysed together with the students' problem-solving approaches. Special attention was paid to three particular activities, namely interpret, do and use, and judge, as they relate to the individual competencies. The results of this study show that the students' strengths lie primarily in the domain of doing and using and in applying their knowledge to solving problems. Several students were able to interpret both the given problem and their own approach to its solution. Few students, however, exhibited the ability to judge their own problemsolving process and approaches. The latter is part of a prescribed learning outcome that teachers must consider in evaluating the students' competence in the subject. This study is relevant in that it can contribute to evaluating and finding pedagogical approaches and activities specifically tailored to the challenges faced by this particular demographic, and thereby help to bolster their achievement on the national exams. Sökord: Elever med utländsk bakgrund, kompetensrelaterade aktiviteter, matematiska kompetenser i

Innehåll 1. Inledning... 1 2. Teori... 3 2.1 Kategorisering av matematikkompetenser... 3 2.1.1 Adding it up... 4 2.1.2 KOM- projektet... 5 2.1.3 MCRF... 6 2.1.4 NP- kompetenser... 6 2.2 Beskrivning av NP- kompetenserna med exempel... 7 2.3 Aktiviteter inom varje kompetens... 10 2.4 Jämförelse av olika ramverk... 11 2.5 En jämförelse mellan ramverk och styrdokument... 12 3. Syfte & frågeställning... 13 4. Metod... 14 4.1 Metodisk ansats... 14 4.2 Förstudie... 14 4.3 Urval av uppgifter... 16 4.3.1 Lösningsproportion och kunskapsområden... 16 4.4 Presentation av uppgifterna... 17 4.4.1 Uppgift 1... 17 4.4.2 Uppgift 2... 18 4.4.3 Uppgift 3... 19 4.4.4 Uppgift 4... 20 4.4.5 Uppgift 5... 22 4.4.6 Uppgift 6... 23 4.4.7 Uppgift 7... 24 4.4.8 Uppgift 8a, b, c... 24 4.3 Urval av kompetenser... 26 4.4 Huvudstudien... 27 4.5 Bearbetning av elevlösningar och intervjuer... 28 5. Resultat och analys... 29 5.1 Intervjuer av elever... 29 5.1.1 Eleverna och deras tidigare skolerfarenhet... 29 5.2 Algoritmkompetens... 31 5.1.1 Resultat... 31 ii

5.2.2 Sammanfattning och analys... 34 5.3 Problemlösningskompetens... 35 5.3.1 Resultat... 35 5.3.2 Sammanfattning och analys... 37 5.4 Begreppskompetens... 37 5.4.1 Resultat... 37 5.4.2 Sammanfattning och analys... 39 5.5 Resonemangskompetens... 40 5.5.1 Resultat... 40 5.5.2 Sammanfattning... 41 5.6 Kommunikationskompetens... 42 5.6.1 Resultat... 42 5.6.2 Sammanfattning... 43 5.7 Sammanfattning av resultat och analys... 43 7. Diskussion och slutsatser... 44 7.1 Vilka olika styrkor och brister går att se i elevlösningarna?... 44 7.2 Metoddiskussion... 45 7.3 Fortsatt forskning... 46 7.4 Avslutande reflektioner... 46 Referenser... 48 Bilagor 1. Elevpresentation förstudie 2. Elevpresentation för huvudstudien studien 3. En komparativ textanalys 4. Frågeformulär iii

1. Inledning Allt fler elever med utländsk bakgrund har svårt att uppnå målen i matematik årskurs 9. Skolverkets senaste rapport, som grundar sig på provresultaten från 2008 års nationella prov, visar att 26,8% av alla eleven med utländsk bakgrund inte uppnår godkänt på nationella provet. Detta kan jämföras med att det samma år var endast 4,1 % i denna elevgrupp som inte uppnådde godkänt i svenska på nationella proven. Den mest omtalade orsaken är att elever med utländsk bakgrund får svårigheter på grund av uppgifternas text och kontext. Detta resulterade i att Myndigheten för skolutveckling gav ut skriften Mer än matematik om språkliga dimensioner i matematikuppgifter (2008). Syftet med skriften var att öka medvetenheten kring språkutvecklingen som en del av matematikundervisningen och språkets betydelse i matematikuppgifterna. Skillnaden mellan resultaten av måluppfyllelse i svenska och matematik på nationella proven betyder att de flesta eleverna har grundläggande språkliga kunskaper men inte grundläggande kunskaper i matematik. Denna diskrepans mellan resultatet på nationella provet i svenska och matematik är något som glömts bort i debatten och tyder på att det kan finnas fler orsaker till denna stora skillnad i provresultat. I läroplanen för det obligatoriska skolväsendet (Lpo 94) står det följande: Undervisningen skall anpassas till varje elevs förutsättningar och behov. Den skall med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenhet, språk och kunskaper främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling. (Utbildningsdepartementet, Lpo 94) Det ligger en stor utmaning i att identifiera varje elevs förutsättningar, som också skall ligga som en grund för undervisningen. Därför kan man ställa sig frågan om det finns några andra gemensamma styrkor eller brister i denna elevgrupps matematikkunskaper. Vad är det för typ av matematikkunskap som svenskt skolväsen lyfter fram i läroplanen? Kan man genom att kartlägga denna elevgrupps styrkor och brister utveckla undervisningen på ett sätt som gör att graden av måluppfyllelse ökar? Som vikarie i matematik har jag de senaste fem åren undervisat på gymnasieskolans individuella program, där även IVIK ingår. IVIK är en introduktionskurs till svenska språket och samhället för elever 16 20 år som nyligen flyttat till Sverige. På den skolan jag arbetat får eleverna möjlighet att studera matematik och engelska när de uppnått en viss språklig nivå i Svenska. Vid undervisningen av dessa elever har det väckts frågor gällande deras generellt låga resultat på nationella proven. En första tanke var att det är naturligt, då de inte ännu har kunskaper i svenska språket. Saken komplicerades ytterligare av att även elever med lång skolbakgrund, goda matematiska kunskaper och engelska som modersmål inte uppnådde godkänt på nationella provet, trots att de fick provet på engelska. Den andra tanken var då att eleverna inte kommit i kontakt med alla de ämnesmoment och begrepp som eleven ska lära sig något om. Detta stämde inte heller, eftersom det visade sig att till exempel många elever kunde lösa mer avancerade ekvationer än vad kursen krävde, men ändå inte klara uppgifter som skulle pröva kunskaper inom detta område. Frågan utvecklades till vad som är kunskap i matematik och vad de nationella proven egentligen prövar? Det har kommit ut flera internationella rapporter där man försökt att kategorisera matematikkunskaper utifrån ett antal kompetenser. Dessa kompetenser behövs inom varje ämnesområde. 2004 kom rapporten En tolkning av målen med den svenska gymnasiematematiken och tolkningens konsekvenser för uppgiftskonstruktion, där Palm m.fl. tagit fram sex matematiska kompetenser som betonas i styrdokumenten för gymnasiekurserna i matematik. 1

I mitt examensarbete vill jag därför undersöka om man kan hitta några gemensamma övergripande styrkor och brister hos de elever som genomgått den största delen av sin matematikutbildning i ett annat land än Sverige. I min undersökning har jag valt att utgå från följande sex övergripande matematikkompetenser (Palm m.fl., 2004): problemlösningskompetens, algoritmkompetens, begreppskompetens, modelleringskompetens, resonemangskompetens och kommunikationskompetens. 2

2. Teori 2.1 Kategorisering av matematikkompetenser Kunskaper i matematik i skolan har traditionellt beskrivits som en rad ämnesmoment och metoder en elev skall kunna. I kursplanen för matematik för grundskolan är ett av målen i årskurs 3 att kunna addera och subtrahera tal med hjälp av skriftliga räknemetoder när talen och svaren ligger inom talområdet 0-200 (Lpo-94) och i mål att uppnå för årskurs 9 står det att eleven skall kunna använda begreppet sannolikhet i enkla slumpsituationer. Utifrån det här kan man hävda att eleverna förvisso får kunskaper inom fler och fler matematikområden men de kan fortfarande sakna grundläggande kunskaper, förståelse för vad matematik är och betydelsen av att ha goda kunskaper i ämnet. I kursplanen står det också att matematik kan beskrivas som en levande mänsklig konstruktion som omfattar skapande, utforskande verksamhet och intuition och att eleven i slutet av det nionde skolåret skall ha förvärvat sådana kunskaper som behövs för att kunna lösa problem. För att kunna beskriva de processer, handlingar och förmågor som är inblandade i utförandet av matematik, oavsett stoff, har en annan slags kategorisering av matematikkunskaper vuxit fram, där man klassificerar matematiska kompetenser. Några exempel på de kompetenser som beskrivs i olika ramverk är förmågan att lösa problem, resonera och kommunicera. En av de största internationella rapporterna som klassificerar matematiska kompetenser kommer från Danmark och heter Kompetencer och Matematiklæring (Niss & Höjgaard-Jensen, 2002). I denna rapport återfinns en av de få definitionerna av matematisk kompetens som finns internationellt. KOM definierar matematisk kompetens som att vara medveten om, förstå, utöva, använda och kunna ta ställning till matematik och matematisk verksamhet i en mångfald av sammanhang där matematik ingår eller kan komma att ingå. (Nämnaren 2006:3) Denna typ av matematiska kompetenser har presenterats i flera internationella och nationella rapporter har, bland annat i den amerikanska rapporten Adding it up (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001) och i den svenska En tolkning av målen med den svenska gymnasiematematiken och tolkningens konsekvenser för uppgiftskonstruktion (Palm, Bergqvist, Eriksson, Hellström & Häggström, 2004). Det gemensamma för ovanstående tre ramverk är att de beskriver mer eller mindre separerade delar av matematiskt kunnande som tillsammans utgör vad som kallas matematisk kompetens. Vidare är syftet med dessa ramverk att kunna föra gemensamma diskussioner om hur elevernas kunskaper utvecklas över tid. I rapporten Mathematical competencies: a Research Framework (Lithner, Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Palm, Palmberg, 2010) tar forskarna ytterligare ett steg för att kunna gå djupare i analysen av kompetenser. Där visar de på tre olika typer av aktiviteter som är kopplade till målen för att ha utvecklat en kompetens. Dessa kompetensrelaterade aktiviteter är att kunna tolka, göra och bedöma. I resten av uppsatsen kommer de olika ramverken för kompetenser hänvisas på följande sätt: KOM-projektet (Niss & Höjgaard-Jensen, 2002) Adding it up (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001), NP-kompetenser (Palm, Bergqvist, Eriksson, Hellström & Häggström, 2004). MCRF (Lithner, Bergqvist, Bergqvist, Boesen, Palm, Palmberg, 2010) För att uppnå syftet med denna uppsats behövs ett analytiskt ramverk som kan användas för att strukturera kompetenser i uppgifter och elevlösningar. I följande text kommer de 3

nämnda ramverken kort jämföras och diskuteras. Slutligen motiveras varför kategoriseringen av matematikuppgifterna sker utifrån NP-kompetenser och analysen av synliga aktiviteter i elevlösningarna sker med inspiration av MCRF och dess kompetensrelaterade aktiviteter, CRA. 2.1.1 Adding it up Det finns ett antal sätt att se på centralt kunnande i matematik. Flera forskare har gjort försök att systematisera denna kunskap genom att beskriva olika processer och förmågor. Från USA kommer Adding it up, ett ramverk framtaget av Mathematics Learning Committe. Ramverket är utvecklat för förskolan och grundskolan. Bakgrunden till det framtagna ramverket var att förena den rika och skiftande forskning som fanns för matematikinlärning för elever i förskola till slutet av grundskolan, att förse lärare och lärarstudenter med rekommendationer hur elevernas matematikkunskaper skulle kunna ökas och identifiera områden som behövdes utredas ytterligare. De hade också till uppdrag att ge råd och vägledning till utbildare, forskare och föräldrar. Resultatet av kommitténs arbete var ett ramverk som skulle utgöra en grund för att diskutera matematik i termer av kunskaper, förmågor, skicklighet och tilltro. De nödvändiga komponenterna för att en elev skall utveckla matematisk kompetens består av fem inbördes relaterade komponenter (eng. mathematical proficiency). Dessa komponenter är begreppsförståelse, räknefärdighet, problemlösningsförmåga, matematiskt logiskt tänkande och en positiv inställning till matematik. Dessa delar skall ses som trådar i en sammanvävd fläta där trådarna ses som olika men beroende aspekter av matematisk kompetens. Figur 3:1 De fem sammanvävda kompetenserna enligt Kilpatrick m.fl. s. 138 4

2.1.2 KOM-projektet Från Danmark kommer KOM-projektet. Projektet leddes av Mogens Niss som år 2000 fick i uppdraget att utforska matematikundervisningen och inlärning med syfte att skapa en plattform för en djupgående reform av matematikutbildningen från grundskola till universitet. Resultatet av KOM-projektet presenterades 2002 och här delades den matematiska kompetensen in i åtta självständiga och rimligt avgränsade delar som tillsammans utgör den totala matematiska kompetensen. De åtta kompetenserna utifrån KOM, har delats in i två huvudgrupper. Kompetenserna i den ena gruppen kan relateras till att kunna fråga och svara på ett matematiskt gångbart sätt. Detta betyder att veta vilken typ av frågor man kan ställa t.ex. Hur många..?, Finns det..? Vidare skall man kunna ställa upp modeller och klargöra problem på ett matematiskt riktigt sätt för att till sist veta vilken typ av svar man kan förvänta sig. De kompetenser som ingår i grupp 1 här är: tankegångskompetens, problembehandlingskompetens, modelleringskompetens och resonemangskompetens (jämför Figur 2:2). Tittar man på grupp 2 kan man se att den handlar om att använda det matematiska språket och hjälpmedel på ett medvetet sätt. Ett exempel kan vara att förklara ett matematiskt begrepp för någon annan med ett naturligt språk, med olika representationer eller med hjälpmedel så att den personen förstår. De kompetenser som ingår i denna grupp 2 är Representationskompetens, Symbol- och formalismkompetens, Kommunikationskompetens och Hjälpmedelskompetens. Figur 2:2 En bild på de åtta kompetenserna utifrån Niss & Jensen (2002) 5

2.1.3 MCRF MCRF är ett ramverk framtaget för att vara ett verktyg för att kunna analysera empirisk data (text, intervjuer och observationer). Behovet av ett sådant ramverk kommer från ett forskningsprojekt vid Umeå universitet som heter Nationella matematikprov som katalysator för implementering av utbildningsreformer. I projektet analyseras bland annat nationella prov med fokus på kompetensmålen. MCRF utgår ifrån några internationella ramverk, t.ex. det danska KOM-projektet, i sin kategorisering av kompetenserna. För att underlätta analysen är det en fördel om kompetenserna är mindre överlappande än de internationella ramverk de utgår ifrån, och därför har de ytterligare separerat kompetenserna. I MCRF finns sex kompetenser definierade: problemlösningskompetens, resonemangskompetens, algoritmkompetens, representationskompetens, sambandskompetens och kommunikationskompetens. MCRF har också definierat tre kompetensrelaterade aktiviteter att tolka, göra och bedöma. Detta beskrivs närmare i avsnitt 2.3 2.1.4 NP-kompetenser Arbetsgruppen för nationella prov vid Umeå universitet har arbetat fram NPkompetenserna. Målet för den gjorda tolkningen är att ge en bild av det centrala ämneskunnandet gällande svenska gymnasiematematiken som framförs i styrdokumenten och ge en konkret beskrivning av vad det innebär att kunna ämnet matematik. Denna tolkning ligger till grund för konstruktionen av de nationella kursproven i matematik för kurs B E, vars uppgift bland annat är att implementera måldokumenten. Resultatet av analysen blev sex olika kompetenser som tillsammans ger en bild av vad centralt matematiskt kunnande är. Forskarna skriver om resultatet av sin analys: Dessa kompetenser behöver uppnås för att de övergripande syftena med den svenska gymnasieutbildningen i matematik ska uppnås och de används sedan inom de olika matematiska ämnesområdena (algebra, differentialkalkyl etc.) som ingår i respektive kurs. (s.2) Resultatet blev följande sex kompetenser: Problemlösningskompetens Algoritmkompetens Begreppskompetens Modelleringskompetens Resonemangskompetens Kommunikationskompetens 6

2.2 Beskrivning av NP-kompetenserna med exempel Här följer en beskrivning av NP-kompetenserna följt av exempel. Flera av exemplen är hämtade från rapporten Palm m.fl. (2004) Problemlösningskompetens Med problemlösningskompetens menas att kunna lösa problem. Problemlösning är en skapande aktivitet där uppgiften inte kan lösas med en färdig lösningsmetod. Att en person skall kunna visa på problemlösningskompetens beror då inte bara på uppgiften utan också på om uppgiften är ny för uppgiftslösaren. Uppgifterna kan vara ovanligt formulerade med till exempel omvänd frågeställning, informationen i uppgiften kan vara annorlunda så att eleven behöver hitta på en del själv. Exempel på problem (NKP MaB ht-98, uppgift 10) - Vid ishockeymatcher i Globen i Stockholm kan de som vill köpa ett matchprogram för 25 kr. I slutet av matchen lottas det ut vinster där matchprogrammet fungerar som en lott. Vid en match mellan Djurgården och Brynäs lottas det ut tre Helsingsforskryssningar. Beräkna sannolikheten att du vinner en av dessa kryssningar om du köper ett matchprogram. Du får själv hitta den information du behöver för att kunna utföra dina beräkningar. Algoritmkompetens Med algoritmkompetens menas att visa säkerhet i standardprocedurer. Det är en viktig förutsättning för att kunna vara effektiv i problemlösning och underlättar vidare lärandet eftersom det utgör en bas som ligger tillgrund för nya metoder och satser. Med algoritmkompetens menas här att ha algebraiska färdigheter, att kunna ekvationslösningsmetoder och att man kan lösa andra kända uppgiftstyper. Här ingår också att behärska relevanta hjälpmedel Uppgifterna kan alltså vara rena ekvationer d.v.s. rutinuppgifter som eleven kan lösa genom att använda kända satser som eleven kan förknippa med uppgiftstypen. Det kan också vara rutinuppgifter som eleven kan lösa med hjälp av en algoritmisk hantering av hjälpmedel som till exempel en grafisk miniräknare. Exempel på algoritmer (ÄpMa04, del B1, uppgift 12)och (NKP MaC vt-00, uppgift 6) - Lös ekvationen 25 5x=10 - Bestäm med hjälp av derivata eventuella maximi-, minimi- eller terrasspunkter till kurvan y=2x 3-3x 2. Begreppskompetens Med begreppskompetens menas att eleverna har förtrogenhet med innebörden av definitionerna för olika relevanta begrepp. Genom att ha en god förståelse för innebörden, och av att använda begrepp, ökar både möjligheten att lösa problem i livet utanför skolan och möjligheten att själv erfara matematikens skönhet. För att få en förståelse för en elevs begreppskompetens behövs uppgifter med flera infallsvinklar. Risken finns för att uppgifter där man ber en elev definiera ett begrepp kan lösas genom att eleven memorerat en definition men inte förstått dess innebörd. Uppgifterna kan vara i vilka eleven ombeds förklara eller tolka ett centralt begrepp eller samband eller en del av ett sådant. Det kan också vara uppgifter som ger eleven 7

viss information som sedan ska användas till att dra slutsatser, ovanliga uppgifter eller uppgifter som är öppna till sin karaktär. Exempel (NKP MaA ht-95, uppgift 7) Du ska bygga ett akvarium av glas på 160 liter. Föreslå lämpliga mått. Beskriv hur du kom fram till dessa mått och rita en skiss av akvariet med måtten angivna. Modelleringskompetens Med modelleringskompetens menas att utifrån en icke-matematisk situation skapa en modell som kan behandla situationen matematiskt. Det ingår också att kritiskt kunna granska modellens styrkor och brister liksom de resultat den ger. För att ytterligare klargöra den matematiska modelleringsprocessen kan den beskrivas i ett antal steg (Palm m fl., 2004, sid 18.) Eleven skapar sig en bild av problemet och väljer medvetet eller omedvetet ut fakta. 1. Eleven skapar en matematisk modell i form av en funktion, ekvation eller dylikt och utvärderar och granskar modellen kritiskt. 2. Eleven använder modellen och får ett resultat. 3. Resultatet tolkas i förhållande till uppgiften för att besvara frågan. 4. Eleven utvärderar om resultatet är rimligt. Uppgifterna som prövar denna kompetens kan vara uppgifter som prövar hela eller väsentliga delar av modelleringsprocessen, verklighetsnära och/eller öppna modelleringsuppgifter eller uppgifter med för lite eller för mycket information. Exempel (NKP MaA vt-97, uppgift 9c och e) - I en rapport finns följande figur och tabell som visar hur höjden av ett ungt träd förändras. Trädets höjd är 1,00 m till att börja med Tiden t i år Trädets höjd i m 0 1,00 1 1,20 2 1,44 3 1,73 4 2,07 5 2,49 6 2,99 c) Teckna en formel som kan användas för att beräkna trädets höjd, h m, efter en viss tid, t år. e) Formeln i c) är en matematisk modell för hur trädets höjd förändras. Vilken begränsning har modellen? Resonemangskompetens Med resonemangskompetens menas att kunna föra ett resonemang på logiska och matematiska grunder, där den striktaste formen av denna typ av argumentation är bevisföring. Kompetensen bör däremot tolkas vidare där det ingår såväl undersökande 8

verksamhet av att hitta mönster, formulera och förbättra hypoteser, såväl som deduktiva resonemang. Det inkluderar också olika former av kritisk granskning. Kompetensen bör kunna föras som en problemlösande aktivitet och som en algoritmisk aktivitet där eleven producerar ett redan känt bevis. Uppgifter som förknippas med denna kompetens kan vara där eleven ska ställa upp och undersöka hypoteser, analysera och dra slutsatser. Det kan vara uppgifter där eleven ska utvärdera, generalisera, styrka eller bevisa giltigheten för ett påstående. Andra uppgiftstyper är där eleven skall koppla ihop ny kunskap med existerande eller där eleven ska förklara lämpligheten i att använda en viss metod i en viss situation. Exempel (NPK MaA vt-05, uppgift 10) Martin och Johanna ska köpa en ny bil. Johanna fastnar för en bil som kostar 194 000 kr. Martin påstår att värdet på denna sorts bil sjunker med ungefär 17 % per år. De funderar på hur mycket den bilen skulle vara värd om 3 år och var och en beräknar på sitt sätt. Martins beräkning Johannas beräkning Vem har tolkat problemet rätt? Hur kan Martin och Johanna ha resonerat? Kommunikationskompetens Med kommunikationskompetens menas att kunna kommunicera med matematikens språk och symboler både skriftligt och muntligt. Det innebär att kunna ta emot och förstå information såväl som att själv förmedla information med matematiskt innehåll. Det handlar om att på ett lämpligt sätt använda begrepp och matematiska termer. För att överhuvudtaget kunna lösa en matematikuppgift krävs det av eleven att kunna toka informationen matematiskt.uppgifter som prövar den produktiva delen av kompetensen kan vara uppgifter som handlar om att förklara begrepp, lagar eller metoder. Det kan också vara uppgifter som ställer särskilda krav på redovisning och matematiskt språk. Exempel på uppgift (NKP MaC vt-97, uppgift 11) - En kompis till dig, som läser samma mattekurs som du, kommer fram till dig och säger Jag fattar inte ett dugg av det här med derivata. Hjälp din kompis genom att förklara vad derivata är. Förklara så utförligt du kan och på så många sätt du kan. Du ska inte härleda eller beskriva deriveringsreglerna. 9

2.3 Aktiviteter inom varje kompetens I KOM-projektet har man valt att resonera kring egenskaperna hos de matematiska kompetenserna. Det första är att varje enskild kompetens har två sidor, där den ena är produktiv och där det handlar om att göra och utföra beräkningar och genomföra de processer som kompetensen innefattar. Den andra, analytiska sidan, innefattar att tolka, kritiskt bedöma och analysera händelser, beräkningar och processer. MCRF har tagit avstamp i KOM-projektet för att definiera vad som är kompetensrelaterad aktivitet (CRA), All competencies have dual nature, as they have an analytical and a productive aspect. The analytical aspect of a competency focus on understanding, interpreting, examining, and assessing mathematical phenomena and processes, such as, for instance, following and controlling a chain of mathematical arguments or understanding the nature and use of some mathematical representation, whereas the productive aspect focuses on the active construction or carrying out of processes, such as inventing a chain of arguments or activating and employing some mathematical representation in a given situation. (s. 4) För att kunna se vilka aktiviteter som finns nämnda i internationella ramverk kopplade till matematisk kompetens har MCRF valt att separera den analytiska aspekten i två delar: tolka händelser och göra överväganden på metanivå. Dessa aktiviteter betecknar vi kortfattat: tolka respektive bedöma. Tillsammans med aktiviteten göra får vi så de tre CRA tolka, göra och bedöma som kan användas som undergrupper till alla kompetenser. Klassificeringen är hämtad från MCRF, där de verb som står inom parentes i uttrycken nedan är hämtade från internationella ramverk och har kopplats till en speciell CRA. Tanken med klassificeringen är att den skall vara allmängiltig för alla kompetenser. Tolka (bygga kunskap, förstå, tolka, identifiera, känna igen) Denna CRA behandlar informationsinsamling i relation till kompetenser. Eftersom ett av dess syften är att formulera specifika definitioner som är användbara vid betecknandet av data så används inte den breda och generella termen kunskapsbyggande i definierandet av aktiviteterna. Göra och använda (engagemang i uppgift, lägga fram, lösa, använda, svara, utveckla, argumentera, välja, skapa, stödja, specificera, implementera, anpassa, uppskatta). Denna CRA handlar om att använda kunskap för att lösa uppgifter (i ett brett perspektiv). Vår tolkning av distinktionen mellan vad som rör att göra och att använda är att göra rör kunskapsutveckling inom matematik som en vetenskaplig disciplin och använda handlar om tillämpa detta inom och utanför matematiken. Vi behandlar också två sidor av denna aktivitet nämligen: a) imitera och b) konstruera Bedöma (utvärdera, observera, reflektera). Denna CRA inkluderar överväganden på metanivå och berör att utvärdera, reflektera och forma uppfattningar om, och dra slutsatser av aktiviteterna som handlar om inlärning, förståelse, samt att göra och använda matematik (s. 4-5: egen översättning) 10

Då CRA är allmängiltigt för alla kompetenser och inspirerade av flera ramverk kommer CRA att användas i min analys av elevlösningar. Jag har valt att analysera matematikuppgifterna utifrån NP-kompetenserna, då de är hämtade från svenska styrdokument. Tidigare har det konstaterats att dessa båda ramverk har stora likheter och det skulle ge möjlighet att använda de mer specificerade CRA i min analys av elevernas lösningar av uppgifter. Ett exempel på detta är aktiviteten tolka för problemlösningskompetens, där det handlar om mer än att ta in information i problemlösningssituationen. Det ingår nämligen också att förstå metoderna, verktygen och målen med problemlösning. 2.4 Jämförelse av olika ramverk Som det nämndes i början av kapitlet är matematiska kompetenser ett försök att samla matematiskt kunnande utifrån förmågor och processer som är nödvändiga för att utföra matematik oavsett stoff. Adding it up och KOM-projektet växte båda fram ur nationella behov att ge matematikundervisningen en ny gemensam grund. Dessutom behövde utbildare, pedagoger och föräldrar gemensamma begrepp att diskutera matematikundervisningen utifrån. De båda svenska ramverken, NP-kompetenserna och MCRF tar sin utgångspunk i redan existerande styrdokument. Ramverkens syfte är att kunna använda dessa i implementering och analys av de kompetenser som finns synliga i svenska styrdokument. De två svenska ramverken liknar varandra. Orsaken kan förklaras i att de ovannämnda internationella ramverken har varit inspiration till båda de svenska ramverken och att flera av forskarna har ingått i båda grupperna. NPkompetenserna kan tolkas som en anpassning till svenska förhållanden av de internationella ramverken. För att tydliggöra de likheter och skillnader som fanns i de ramverk som är beskrivna ovan har jag gjort en kartläggning utifrån tematiska aspekter (se bilaga 3). Det finns stora likheter i de ovan redovisade ramverken, där flera av de delar som beskrivs som den samlade matematiska kompetensen är identiska. De delar som förekommer i alla ramverken är kompetenser som behandlar problemlösning, kommunikation och resonemang. Vidare kan man se att det samlade innehållet i kompetenserna väl överrensstämmer med varandra. På två punkter skiljer sig dock rapporten Adding it up. Den är ensam att ha en emotionell kompetens genom att ha med en positiv inställning till matematik och den också betonar att delarna i den samlade kompetensen är inbördes beroende av varandra. KOM-projektet, NP-kompetenserna och MCRF betonar kompetensernas egen identitet även om kompetenserna är något överlappande. Detta ger förutsättningar till att beskriva och förstå varje kompetens var för sig. Det ger också en möjlighet att konstruera och analysera uppgifter utifrån dessa kompetenser. Syftet med uppsatsen är att utifrån de kompetenser som är synliga i svenska styrdokument undersöka styrkor och brister hos elevgruppen. NP-kompetenserna utgår från svenska styrdokument och kompetenserna har en egen identitet. Detta gör det möjligt att analysera vilken typ av kompetens som är framträdande i en uppgift och ge förutsättningar för en elev att visa denna kompetens. 11

2.5 En jämförelse mellan ramverk och styrdokument I arbetet med att kategorisera matematikuppgifterna behövdes en komparativ undersökning mellan den analys som Palm m.fl. (2004) gjort utifrån läroplan, kursmål och betygskriterier gällande för den svenska gymnasiematematiken och grundskolematematiken. Det innebär enligt Johansson (2006) att läsa texten och skaffa sig en uppfattning och sedan noggrant kartlägga den utifrån tematiska aspekter. I den kritiska närläsningen ingår att ställa frågor som vad som står och vad som inte står. Andersson & Vernesson (2008) har i sitt examensarbete Läromedelprovens spegling av styrdokumenten ur ett matematiskt kompetensperspektiv. gjort en temasökning och jämfört dessa båda skolformers styrdokument kopplade till Umeå-kompetenserna. Andersson & Vernesson skriver i sin studie att Vi slår därmed också fast att de på förhand tolkade kompetenserna även går att urskilja i grundskolans kursplan och då matematik är ett ämne som kräver en bred grund för fortsatta studier är det viktigt att redan från början träna eleverna i samtliga kunskapsområden som lyfts fram i kursplanen. (s.26) Grundskolan står inför stora förändringar i bytet av läroplan, Lgr 11.(Skolverket, 2011) I den nya kursplanen för matematik för grundskolan återfinns en sammanfattning av de förmågor matematikundervisningen skall ge förutsättningar för. Dessa förmågor eller kompetenser är direkt jämförbara med beskrivningen av Umeå-kompetenserna med undantag att modelleringskompetens saknas i kursplanen. De fem beskrivningarna av förmågor är: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter föra och följa matematiska resonemang använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser. (s.31-32) 12

3. Syfte & frågeställning Huvudsyftet med detta arbete är att studera styrkor och brister när det gäller att lösa uppgifter hämtade från nationella ämnesprovet i matematik, hos elever med utländsk bakgrund. Detta utmynnar i följande frågeställningar: Vilka styrkor och brister i matematiska kompetenser kan man se hos elever som haft den mesta av sin matematikundervisning i annat land? Vilka styrkor och brister i förhållande till kompetensrelaterade aktiviteter kan man se hos dessa elever? För att kunna förhålla sig till kompetenser behöver man även veta vad centralt matematiskt kunnande enligt läroplanen, Lpo-94 är. En välundersökt faktor är hur elevernas språkliga förmåga är kopplad till deras förmåga att lösa matematikuppgifter. Detta är en viktig faktor, och det är även den kontext uppgiften har blivit placerad. Jag har i min undersökning varit medveten om och tagit hänsyn till den språkliga kontexten men har specifikt inte analyserat elevernas matematiska kunnande i förhållande till elevernas språkliga förmåga. Jag har valt att fokusera på att finna andra styrkor och brister utifrån kompetensbegreppet. 13

4. Metod 4.1 Metodisk ansats Detta examensarbete är tänkt att undersöka styrkor och brister i lösandet av matematikuppgifter hos elever med utländsk bakgrund. Dessa styrkor och brister ställs i förhållande till de matematiska kompetenser som är synliga i svenska styrdokument och kompetensrelaterade aktiviteter. Eftersom jag ville få en djupare förståelse för elevernas förkunskaper och lösningsstrategier valde jag en kvalitativ ansats. Intresset för studien var att studera hur eleverna som individer, uppfattar, tolkar och genomför matematikuppgifter. Backman (1998) menar att det kvalitativa synsättet riktar intresset till hur individen tolkar och formar sin verklighet i kontrast till kvantitativ där frågan riktas hur en objektiv verklighet ser ut. Kvalitativ forskning ger möjlighet att tolka de resultat som kommer fram i studien i motsats till att försöka förutsäga resultaten. Jag har vid intervjuernas genomförande använt mig av halvstrukturerade livsvärldsintervju (Kvale & Brinkmann, 2009). Det innebär att utifrån ett få antal på förväg bestämda frågeställningar samtala. Det öppnar för att under intervjuns gång kunna ställa följdfrågor och ytterligare få förståelse för elevernas tolkningar, val av lösningsstrategier och tidigare erfarenheter. Det har också till syfte att skapa ett öppet och avslappnat samtal. För att kunna utforska styrkor och brister hos elever med utländsk bakgrund i förhållande till NP-kompetenserna beskrivna i teorikapitlet, har jag valt att genomföra studien i två steg. Förstudien hade till syfte att ge underlag för att kunna välja ut ett mindre antal matematikuppgifter där det var möjligt att se styrkor och brister i elevernas lösningar. Dessa uppgifter skulle användas i huvudstudien. Förstudien gav också tillfälle att kunna förfina och utveckla metoderna efter hand. 4.2 Förstudie Studiens empiri består av ett antal av eleverna lösta matematikuppgifter hämtade från nationella ämnesprovet i matematik för årskurs 9, 2004. För att få ett relevant urval av uppgifter till huvudstudien genomfördes en förstudie med två elever som fick lösa ett stort antal uppgifter. Syftet med dessa uppgifter var att ge underlag för att kunna analysera styrkor och brister i matematiska kompetenser utifrån centralt matematiskt kunnande uttryckt i svenska styrdokument. Nationella ämnesprov i matematik för skolår 9 är avsett för att vara en konkretisering av läroplanens kunskapssyn och ämnessyn i kursplanen (Skolverket, 2004b). Uppgifter i förstudien begränsades till att omfatta två av nationella provets fyra delar, B1 och C-delen av provet. De delar som inte togs med var A och B2, för att A-delen har till syfte att pröva elevernas muntliga förmåga (på svenska), vilket redan på förväg är en begränsning i studien, och B2 och C till stor del uppfyller samma syfte. Detta syfte är enligt Skolverket (2004b) att pröva elevens förmåga att lösa problem, reflektera över och tolka sina resultat samt bedöma deras rimlighet. Inför urvalet av elever till studien satte jag upp några kriterier för att utvalda elever skulle stämma med den grupp elever jag ville forska på. Kriterierna som eleverna valdes utifrån var: att de skulle ha haft övervägande del av sin matematikutbildning i ett annat land än Sverige och de skulle ha gått runt nio år i skolan, att skolutbildningen skulle till största delen vara kontinuerlig med undantag för 14

enstaka avbrott att eleverna skulle kunna förstå och uttrycka sig på svenska att eleverna skulle komma från flera olika kulturer Kriterierna ställdes upp utifrån att eleverna i studien skulle ha gått lika länge i skolan som de svenska elever som skriver nationella prov årskurs 9 och har haft en normal skolbakgrund. Eftersom jag ville studera utländska elevers kompetenser var det viktigt att de hade haft större delen av sin matematikundervisning i annat land. Jag ville få en spridning på elevernas kulturella bakgrund för att undvika att enbart studera elever från en kultur och deras matematiska kompetenser. Elevernas kunskap i svenska var en förutsättning för att kunna genomföra intervjuerna där de skulle kunna muntligt förklara sina lösningar. De två eleverna i förstudien fanns på den skola jag arbetar på. Eleverna var kända för mig och jag för dem, då jag under en period föregående läsår hade undervisat dem. I förstudien var det viktigt för mig att inte ha elever från min egen undervisningsgrupp, då det skulle kunna upplevas som favoriserande. Det var också för att undvika att eleverna i studien skulle känna en press i att jag var betygsättande lärare. Urvalet skedde i samarbete med en kollega, då undervisande lärare kände eleverna nuvarande situation bättre och kunde hjälpa mig att så att eleverna uppfyllde ställda kriterier. Eleverna gick på gymnasieskolans IVIK-program, vilket står för Introduktionsutbildning för nyanlända elever inom ramen för gymnasieskolans individuella program. En flicka från Peru och en pojke från Somalia valdes ut och närmare presentation av eleverna finns i bilaga 1. Eleverna i förstudien blev intervjuade om sin bakgrund, hur länge de studerat matematik och deras upplevelse av matematikstudier. Förutom att ge en djupare förståelse för elevens skolbakgrund gav det en god kontakt med eleverna. Därefter började eleverna arbeta med matematikuppgifterna. De två eleverna fick vid tre olika tillfällen lösa uppgifter från nationella ämnesprovet i matematik åk 9, 2004. Eleverna jobbade med några uppgifter i taget, innan de motiverade sina lösningar muntligt i en intervjusituation, vilket gjorde det möjligt för eleverna att förtydliga sina tankegångar och val av metod. Jag träffade eleverna individuellt. Eleverna förde anteckningar på vad de gjort, men det fanns inget krav på hur de skriftliga redovisningarna såg ut, då tankegången och strategierna hos eleverna var det intressanta och de skulle muntligt redovisa dessa. Intervjuerna spelades in med en diktafon och för att försäkra mig om att ljudupptagningen skulle fungera använde jag mig även av en mobiltelefon. Intervjuerna delades upp i tre delar som varade ca 1 timme per tillfälle. Efter att eleverna motiverat sina lösningar gick vi tillsammans igenom uppgifterna och de fick se lösningar på de uppgifter de inte kunde lösa själv. Innan intervjuerna hade jag läst igenom frågorna och försökt förbereda mig på alternativa förklaringar till ord som bara förekommer i matematiken eller som har en dubbelbetydelse. Några exempel på ord jag plockade ut var beräkna (räkna ut), en motorcykel kör (åker) 18 km på, bestäm värdet (hur mycket blir) och tre prislägen (tre olika pris). I förstudien läste jag upp de flesta uppgifterna för eleverna. Jag förberedde också vissa frågor för att kunna ge eleverna frågor som kunde göra att de kunde lösa uppgifterna utan att för den skull tala om vad de skulle göra. Jag bad dem läsa om frågan för att se helheten istället för kodord. Inspiration till den extra information jag kunde ge till eleverna fick jag genom stödmaterialet Mer än matematik om språkliga dimensioner i matematikuppgifter (Myndigheten för skolutveckling, 2008). I huvudstudien fick eleverna själva läsa sina uppgifter för att undvika att jag betonade nyckelord i uppgiften. 15

Efter varje delintervju lyssnade jag på banden och gick igenom elevernas anteckningar. Detta hade till syfte att hitta några uppgifter som var intressanta att gå vidare med. 4.3 Urval av uppgifter Huvudsyftet i urvalet av uppgifter var att de skulle ge möjlighet för eleverna att visa på sina styrkor och brister i förhållande till de matematikkompetenser som finns speglade i svenska styrdokument. Som tidigare har nämnts har det nationella ämnesproven till uppgift att vara en konkretisering av läroplanens kunskapssyn. Då uppgifterna skulle göras på fler elever behövdes uppgift antalet begränsas med hänsyn till den tid eleverna kunde lägga ner och tid för analys av uppgifterna. Ett antal urvals kriterier sattes upp för att begränsa men ändå möjliggöra studiens syfte. Uppgifter där lösningsproportionen hos eleverna i förstudien skilde sig åt från elever nationellt (Skolverket, 2004a), för att kunna hitta styrkor och brister hos eleverna i studien. Någon uppgift skilde sig i positiv bemärkelse och någon i negativ. Detta gjorde uppgifterna intressanta för att kunna arbeta utifrån kvaliteter som eleverna i studien påvisar och inte påvisar. Jag ville ha en spridning på uppgifterna utifrån de kunskapsområden som PRIMgruppen gjort (Skolverket, 2004c). Detta gjordes för att inte pröva kompetenserna inom ett och samma kunskapsområde till exempel inom enbart geometri Uppgifterna skall spegla de flesta av de sex kompetenser som ingår i NPkompetenserna, för att få med det centrala ämneskunnandet oavsett stoff. Därefter valdes åtta uppgifter ut och elevernas muntliga redovisningar av sina lösningar av dessa uppgifter transkriberades. Detta gjordes för att ytterligare kunna analysera uppgifterna och samspelet mellan lärare och elev. Med hjälp av detta material kunde metoderna förfinas inför huvudstudien. 4.3.1 Lösningsproportion och kunskapsområden Som ett första steg i att hitta lämpliga uppgifter för huvudstudien jämfördes lösningsproportionen på uppgifterna nationellt som Skolverket (2004a) tagit fram med den lösningsproportion som eleverna i förstudien uppvisade. Uppgifter där resultaten skilde sig åt var intressanta för att titta med på. Som ytterligare en dimension för att få spridning i stoffet tog jag med PRIM-gruppen klassificering av uppgiften. Detta resulterade i fyra uppgifter från B1-delen och två från C-delen plockades ut. Ett par uppgifter tillkom för att få till den spridningen i kunskapsområden och någon för att ta med den språkliga dimensionen. När jag tittade närmare på de utvalda uppgifterna krävde en av uppgifterna att information från ytterligare en uppgift fanns med. Detta redovisas närmare i presentationen av uppgifterna. Lösningsproportion och klassificering presenteras i tabell 4.1. Kunskapsområdena i tabellens nedersta rad är: 1. Taluppfattning, 2. Mätning, rumsuppfattning och geometriska samband, 3. Mönster och samband, 4. Statisktik och sannolikhetslära. 16

Uppgifter NÄP, 04 B1 5 B1 8 B1 9 B1 12 B1 18 C 2 C 4 C 5a C 5b C 5c Lösningsproportion Förstudien 2/2 0/2 2/2 0/2 2/2 1/2 1/2 1/2 1/2 0/2 (Antal rätt/ antal elever) Lösningsproportion Skolverket (2004a) 0,6 0,65 0,42 0,62 0,87 0,69 0,93 0,51 0,43 0,21 Kunskapsområden Skolverket (2004c) 1 1 2 3 4 1 1 3 3 3 Tabell 4.1 Sammanställning av lösningsproportioner och kunskapsområden. 4.4 Presentation av uppgifterna Här följer en presentation av uppgifterna med en kort kommentar vad eleverna i förstudien visade och varför denna uppgift fanns med i huvudstudien. Det finns ytterligare en dimension nämligen att uppgifterna skulle spegla NP-kompetenserna. Därför gjorde jag en sammanställning av några lösningsförslag i syfte att kunna kategorisera vilken av kompetenserna som var mest framträdande. Utifrån detta kunde man se om de flesta av de kompetenser som senare skulle analyseras fanns med. Om kriterierna inte hade uppfyllts hade jag i detta skede kunnat byta uppgifter. Bland de åtta uppgifterna fanns de flesta kompetenserna främst i uppgiften vid något eller några tillfällen. 4.4.1 Uppgift 1 Beräkna 0,2 140 Svar: 17 (del B1 uppgift 5) Kommentar: I förstudien använde båda eleverna skriftliga metoder och fick rätt svar. Skillnaden i lösningsfrekvens gjorde att uppgiften var intressant att ta med. Lösningsstrategier: 1. Automatisera beräkning - en decimal i uppgiften, en decimal i svaret 0,2 140 = 28,0 2. Algoritm (uppställning) 3. Förläng med 5 0,2 5 140 140 = 1 5 5 = 28 4. Förståelse för 140 som 14 10 0,2 140 = 0,2 10 14 = 2 14 = 28 5. Förståelse för 0,2 = 2/10

0,2 140 = 2 140 10 6. Förståelse för 0,2 =20% = 2 14 = 28 0,2 140 = 20%!" 140 = 20 140 100 7. Förståelse för 0,2 = 1/5 0,2 140 = 1 5 140 = 140 5 = 28 = 20 1,4 = 28 Matematisk kompetens: I lösningsstrategierna ett till tre kan man se Algoritmkompetens vilket här betyder att rutinmässigt kunna använda procedurer i ett eller flera steg. I lösningsstrategierna fyra till sju finns såväl Algoritmkompetens i formen av att känna till och kunna använda för kursen relevanta algoritmer och Begreppskompetens som förståelse för talbegreppet och förstår kopplingen mellan olika representationer av samma begrepp. I denna uppgift kan man alltså främst se algoritmkompetens men även inslag av begreppskompetens. Utifrån CRA analyserades elevernas aktivitet i uppgiften utifrån algoritmkompetens Tolka: Då eleverna skall lösa uppgiften måste de förstå multiplikation, tal i decimalform och någon slags förståelse för positionssystemet. Göra och använda: Här kan eleverna utifrån vad ramverket kallar imitera eller konstruera genomföra uppgiften på olika sätt. Genomförandet kan vara automatiserat. Detta visar sig först i intervjusituationen och då sammanfaller det med metareflektionen. Bedöma: I intervjusituationen kan eleverna visa om de kan bedöma sin lösning och motivera varför de valt denna lösning. 4.4.2 Uppgift 2 Ange ett tal i bråkform som är större än 4 3 men mindre än 1. Svar: ( ur del B1, uppgift 8) Kommentar: Eleverna i förstudien använde sig av olika strategier men ingen löste uppgiften korrekt. Återigen var skillnaden i lösningsfrekvens intressant att studera vidare. Lösningsstrategier: 1. Omvandling mellan bråk och decimalform 3/4 = 0,75 (automatiserat), omvandla ett mellan liggande tal i decimalform till bråkform t.ex. 0,9= 9/10 2. Att ha en uppfattning av bråkets värde i förhållande till andra bråk. (förståelse för bitarnas storlek ) 3 4 < 4 5 < 5 6 < 6 7 18

3. Rita 4. Att skriva det mellanliggande bråket som!,! och sedan förlänga till!!! 5. Förlänga bråken tills det är möjligt att välja ett mellanliggande bråk!!!! =!! 1 =!! Mellanliggande bråk:!! 6. Divisionsalgoritm för att beräkna! = 0,75 Sedan som ovan! Matematisk kompetens: I lösningsförslagen ett till fem kan man främst se begreppskompetens, vilket betyder att det är en uppgift som kräver förståelse mellan olika representationsformer och kunskaper om talbegreppet. I lösningsförslag sex finns även algoritmkompetens. Det gäller att känna till och kunna använda för kursen relevanta algoritmer. I uppgiften kan man främst se begreppskompetens men även spår av algoritmkompetens beroende på vilken strategi eleven väljer. Utifrån CRA analyserades uppgiften utifrån begreppskompetens Tolka: Förstå och tolka talet ¾ och att det finns tal emellan ¾ och 1. Detta kan ske på olika sätt beroende på val av metod. Göra och använda: Välja och använda lämplig metod. Bedöma: Om eleverna har ställt flera metoder mot varandra och utifrån det valt den metod de tycker verkar lämpligast. Kontrollerat sitt svar med hjälp av annan metod. 4.4.3 Uppgift 3 Vilken av dessa figurer är en likbent och trubbvinklig triangel? Ringa in ditt svar (ur del B1, uppgift 9) Kommentar: Det som gav en intressant aspekt på uppgiften är ordet och som kan ställa till det även om eleverna kan begreppen likbent och trubbvinklig. Båda eleverna i förstudien förstår begreppen och väljer triangeln som uppfyller villkoren. Både skillnaden och språkförståelsen är intressanta aspekter att titta vidare på. Lösningsstrategi: 1. Använda metoden att utesluta de trianglar som inte uppfyller villkoren likbent och trubbvinklig 19

2. Använda metoden att se vilka trianglar som uppfyller givna villkor Matematisk kompetens: I lösningsförslagen kan man se att uppgiften prövar begreppskompetens vilket innebär förståelse av begreppen likbent och trubbvinklig. Dessutom kan man se problemlösningskompetens, där informationen i uppgiften är annorlunda än i de uppgifter eleverna är vana vid. Uppgiften prövar främst begreppskompetens men har inslag av problemlösningskompetens. Utifrån CRA analyserades uppgiften utifrån begreppskompetens Tolka: Förstå och tolka begreppen var för sig. Förmågan att kunna definiera och använda innebörden av ett begrepp. I detta fall handlar det om att kunna begreppen likbent och trubbvinklig. Göra och använda: Välja ut rätt figur Bedöma: Reflektera över att vald triangel uppfyller kraven för innehållet av begreppen liksidig och trubbvinklig triangel. 4.4.4 Uppgift 4 Lös ekvationen 25 œ5x =10 Svar: x = (ur del B1, uppgift 12) Kommentar: Båda eleverna i förstudien använder sig av skriftlig metod och kommer fram till ett felaktigt svar på uppgiften. Ingen av eleverna kontrollerar sitt svar. Uppgiften kan ge en bild av om eleverna reflekterar och prövar sina svar. Lösningsstrategi 1. Likhetstecknets betydelse och prioriteringsregler 25 5 = 10 25 15 = 10 25 5 3 = 10 2. Ekvationslösning automatiserat flytta tal 25 5! = 10 25 = 10 + 5! 25 10 = 5! 15 = 5! 15/5 =! 3 =! 3. Förkorta hela uttrycket med 5 25/5 5!/5 = 10/5 20

5! = 2 5 2 =! 3 =! 4. Ekvationslösning genom att göra lika på båda sidor likhetstecknet, två alternativ positivt x eller negativt 25 5! + 5! = 10 + 5! 25 25 5! = 10 25 25 10 = 10 10 + 5! 5! = 10 25 15 = 5! 5! = 15 15/5 = 5!/5 5x/(-5)= 15/ 5 3 = x x=3 5. Lösning genom prövning av olika x-värden Matematisk kompetens: Ekvationslösningen i denna uppgift tillhör rutinuppgifter och prövar algoritmkompetensen vilket syns i lösningsförslagen ett till fyra, det finns ett inslag av att kunna visa på begreppskompetens av ekvationsbegreppet som främst kommer fram i det sista lösningsförslaget. I uppgifter går det alltså främst att se algoritmkompetens. Utifrån CRA analyserades uppgiften utifrån algoritmkompetens Tolka: Innebär att förstå ekvationens uppbyggnad, att man söker x, 5x betyder 5 x och likhetstecknets betydelse. Göra och använda: Genom att lösa uppgiften med en lämplig metod. Bedöma: Det kan betyda att lösa uppgiften på flera sätt och välja ut den mest lämpliga metoden. Det kan också innebära att kontrollera att likheten stämmer med uträknat värde på x. 21

4.4.5 Uppgift 5 Till Åshöjdens IF:s hemmamatch sålde Martin vimplar i tre prislägen. Diagrammet visar hur många olika vimplar han sålde. Hur många kronor fick han in? Svar: kr (ur del B1, uppgift 18) Kommentar: Båda eleverna löste uppgiften korrekt. Uppgiften valdes dels ur ett språkligt perspektiv, där textläsningen innebar svårigheter men bilden förtydligade texten, dels pröva elevernas koppling mellan text och diagram. Det var därför av intresse om den bredare studien skulle ge samma resultat som förstudien gav. Det är också den enda uppgiften som faller under kunskapsområdet statistik och sannolikhetslära. Lösningsstrategi 1. Beräknar i flera led 10 4 = 40 20 5 = 100 30 2 = 60 40 + 100 + 60 = 200!" 2. Beräkning i ett led 10 4 + 20 5 + 30 2 = 200!" Matematisk kompetens: Uppgiften kan visa på problemlösningskompetens, då det inte finns någon färdig lösningsmetod tillgänglig. Eleven måste själv koppla ihop diagrammet med texten, förståelse för diagrammets båda axlar och utföra beräkning. Det finns dimensioner av begreppskompetens, där det gäller att förstå kopplingen mellan olika representationer av samma begrepp t.ex. diagrammets representation av summan av intäkterna. Uppgiften kräver både avläsning av diagrammet på rätt sätt och 22

en beräkning. Eleven har säkert arbetat med uppgifter där de läst av diagram, men oftast bara ena axeln. Denna uppgift kräver information från båda axlarna för att lösa uppgiften. Detta gör uppgiften ovanlig och pekar främst på problemlösningskompetens. Utifrån CRA analyserades uppgiften utifrån problemlösningskompetens Tolka: Förstå att problemsituationen kräver en tolkning av diagrammet. Kopplingen mellan text och diagrammet Göra och använda: Rätt beräkning Bedöma: Rimlighet (svårt att se om eleverna reflekterar över svaret efter de gjort sina beräkningar) 4.4.6 Uppgift 6 I Åshöjdens IF håller 192 medlemmar på med fotboll. Det är 40 % av alla som är med i föreningen. Hur många medlemmar har föreningen? (ur del C, uppgift 2) Kommentar: Eleverna i förstudien använde sig av olika metoder. Ena eleven förstod den omvända frågeställningen och använde metoden att dubblera och halvera för att söka helheten. Den andra eleven visade på procentberäknings kunskaper men hade inte förstått den omvända frågeställningen. I uppföljande intervju löste även han uppgiften korrekt. Uppgiften visar vikten av intervjun för att kunna kartlägga elevernas kompetenser bortom den språkliga förståelsen. Lösningsstrategi 1. 40 %!" h!"# ä! 192 1 %!" h!"# ä!!"# 2.!"#$%!""!""! ä!!!" 100 %!" h!"# ä!!"#!" 100 0,4! = 192! = 192 0,4 = 480 3.!"#!"#$"! 60 %!"## 100% 40 %!"!""! ä! 192!" 20 %!"!""! ä!!"# 100 % är 192 + 192 + 96 = 480 medlemmar! = 96!" 4. Förhållande 192/40 =!/100 (140 100)/40 =!! = 480!"#$"!!%& Matematisk kompetens: Uppgiften prövar främst problemlösningskompetens med sin omvända frågeställning. Detta gäller alla lösningsförslag. Det går även att visa algoritmkompetens och begreppskompetens, då eleven måste kunna använda innebörden 23

av procentbegreppet i denna uppgift. Dessa kompetenser kan man se även om eleven tolkar uppgiften fel och beräknar 40 % av 192. Syftet med uppgiften är just den omvända frågeställningen och därför prövar den främst problemlösningskompetens. Tolka: Förstå den omvända frågeställningen Göra och använda: Finns flera metoder att välja på. Välja en metod och utföra beräkningen på rätt sätt. Uppgiften prövar även förmågan att kunna procentberäkningar. Bedöma: Kontrollera och reflektera, om 40 % av medlemmarna är 192 måste helheten vara fler. Pröva flera lösningsmetoder och ställa de mot varandra och välja den de tycker är lämpligast. 4.4.7 Uppgift 7 Medlemsavgiften i Åshöjdens IF är 80 kr för barn och 150 kr för vuxna. I familjen Kvist är båda föräldrarna och de tre barnen medlemmar. Hur mycket betalar familjen sammanlagt i medlemsavgifter till föreningen? (ur del C, uppgift 4) Kommentar: Uppgiften valdes främst utifrån att den var nödvändig för uppgift 8. Lösningsstrategier 1. Vuxna: 150+150=300 kr Barn: 80+80+80= 240 kr Totalt: 300+240=540 kr 2. Barn: 80 3=240 kr Vuxna: 2 150= 300 kr Totalt: 240+300=540 kr 3. Teckna: 80 3+150 2=540 kr Matematiska kompetenser: I alla lösningsförslag är algoritmerna enkla. Uppgiften prövar främst problemlösningskompetens, då eleven tillämpar sina kunskaper i en ny situation. Då eleven visar på förståelsen är beräkningen enkel och därför är det problemlösningskompetensen som är avgörande om eleven skall klara uppgiften. Tolka: Kunna förklara sin lösning, upprepad addition eller multiplikation Göra och använda: löser uppgiften Bedöma: Reflektion över de mest effektiva sätt att lösa uppgiften 4.4.8 Uppgift 8a, b, c Kassören i Åshöjdens IF har fått in totalt 51 000 kr på medlemsavgifter. Hon ställer upp följande ekvation: 80 x + 150 (480 x) = 51 000. 24 (ur del C, uppgift 5a, b, c)

a) Vad står x för i denna ekvation? Endast svar krävs. Kommentar: En av eleverna i förstudien börjar lösa ekvationen direkt med hjälp av prövning. I intervjun visade sig det att hon inte förstått begreppet medlemmar utan kopplade det ordet till medaljer och hade då inte fått hjälp av uppgift sju. Den andra eleven kopplar direkt denna fråga till den tidigare. Uppgiften kräver att man tolkar och reflekterar. Detta har inte prövats i någon av de tidigare uppgifterna. Det är också intressant att se om eleverna kan söka information i andra uppgifter än den aktuella. Lösningsstrategi: 1. Tolkar x utifrån 80!, där 80 förekommer i uppgift 7 som avgiften för barnen 2. Tolkar x utifrån 150 (480!) utifrån den information som förekommer i svaret på uppgift 6 och i texten i uppgift 7 Matematiska kompetenser: Resonemangskompetens då det handlar om att börja på att utvärdera en matematisk idé. Tolka: Uppgiften kräver endast svar vilket gör det möjligt att veta om eleven har förstått och tolkat uppgiften och fört ett inre resonemang om x:ets betydelse. Göra och bedöma: I intervjusituationen måste eleverna resonera och motivera och då finns det möjlighet att höra hur de resonerar muntligt. Bedöma: Hur väl resonerar eleven, har de använt sig av båda möjligheterna att tolka x. b) Vad står 480 för? Endast svar krävs. Kommentar: Den ena elever såg direkt uttrycket 150 (480 x) och sa att det handlade om alla medlemmar, då x var barn. Den andra eleven har fortfarande inte släppt kopplingen till medaljer och att hon inte ska lösa ekvationen. Lösningsstrategier: 1. Kopplar ihop denna uppgift med svaret i uppgift 6 2. Analysera ekvationen 150 (480!) där 150 står för medlemsavgiften för de vuxna och x för barnen. Detta ger att 480 måste vara antal medlemmar Matematiska kompetenser: I båda förslagen på lösningsstrategier kan man se Resonemangskompetens i formen av början på att koppla ihop ny kunskap med redan existerande. Tolka: Uppgiften kräver endast svar vilket gör det möjligt att veta om eleven har förstått och tolkat uppgiften och fört ett inre resonemang om vad 480 betyder Göra och använda: I intervjusituationen måste eleverna resonera och motivera och då finns det möjlighet att höra hur de resonerar muntligt. Hur resonerar de, vilken av den tidigare informationen använder sig eleven av och hur resonerar eleven. Vilka argument väljer eleven för att stödja hans eller hennes slutsats Bedöma: Döma och bedöma sitt eget resonemang. Hur väl resonerar eleven, har de använt de båda möjligheterna till information i syfte att pröva och motivera sitt argument. 25

c) Hjälp kassören att lösa ekvationen. Kommentar: Den ena eleven försöker lösa ekvationen genom prövning, men han kommer inte ihåg prioriteringsreglerna. Hon kommenterar när hon kommit fram till ett tal att det inte kan vara rätt. Denna reflektion finns också hos den andra eleven. Han tappar bort när han skall multiplicera in 150 i parentesen. Det är intressant att båda dessa elever gör seriösa försök att lösa ekvationen. De använder gångbara metoder men ekvationen är för svår för dem. Uppgiften är intressant då det finns inslag av reflektion hos eleverna och att uppgiften kräver Lösningsstrategier: 1. Ekvationslöningen 80 x + 150 (480 x) = 51 000. automatiserad, multiplicera in 150 i parentesen sedan flytta tal till andra sidan likhetstecknet och byta tecken. 2. Lösa ekvationen och prövar lösningen 3. Pröva olika x värden tills likheten stämmer 4. Ekvationslösning genom att göra lika på båda sidor likhetstecknet Matematiska kompetenser: Lösning ett och två visar på algoritmkompetens känna till och kunna använda för kursen relevanta algoritmer. Förslagen tre och fyra visar på begreppsförståelse då det gäller att visa på förståelse för innebörden av ekvation. Ekvationslösningen i denna uppgift tillhör rutinuppgifter och prövar algoritmkompetensen, det finns ett inslag av att kunna visa på begreppskompetens av ekvationsbegreppet som främst kommer fram i strategin att pröva olika värden på x tills likheten stämmer. Tolka: Att förstå ekvationens uppbyggnad, att man söker x, likhetstecknets betydelse och parentesuttryck. Göra och använda: lösa uppgiften korrekt Bedöma: Lösa uppgiften på flera sätt och välja ut det mest effektiva, kontrollera 4.3 Urval av kompetenser Uppgifterna som valdes ut prövar i första hand: algoritmkompetens, problemlösningskompetens, begreppskompetens och resonemangskompetens. Kommunikationskompetens prövas inte i en enda uppgift utan är en kompetens som blir synlig i redovisningen av alla uppgifter. I intervjuerna blir eleverna ombedda att förklara sina lösningar, vilket gör det möjligt för eleverna att visa förmåga att kommunicera om matematiska idéer. Svenska språket är en begränsning hos eleverna i studien, därför väljer jag att främst titta på elevernas skriftliga redovisningar av uppgifterna. Modelleringskompetensen valdes bort av två anledningar: (1) För att modelleringskompetens är svår att hitta i NÄP då det innebär att från en utommatematisk situation kan skapa en matematisk modell som beskriver denna 26

situation (s.5). (2) Även om det går att pröva delar av modelleringskompetensen i öppna problem eller i problem med för lite eller för mycket information, återfinns dessa typer av uppgifter oftast i del B2 som jag redan vid förstudien valt att inte ta med. 4.4 Huvudstudien I huvudstudien valdes 10 eleverna utifrån samma kriterier som i förstudien. Dessa elever kom ifrån två olika skolor i Stockholmsregionen och studerade på gymnasieskolans IVIK-program. Fem av dessa elever kommer från den skola jag arbetar på och av dessa elever undervisar jag två. Av dessa elever kommer två från Irak, två från Thailand och en från Polen. Eleverna i mina undervisningsgrupper skulle fortsätta matematikkursen under hösten och var inte i situationen att jag var betygsättande lärare, vilket var en situation jag ville undvika. De fem andra eleverna gick på en annan gymnasieskola. Dessa elever valdes ut av biträdande rektorn på den skolan i samspråk med mig, utifrån givna kriterier. I den grupp elever som biträdande rektorn valt ut fanns tio elever och av dessa skulle jag välja ut fem. Några dagar innan studien skulle ske var jag på besök för att presentera mig och studien. Vid tillfället för studien fanns bara fem elever på plats varav fyra kom från Kina och en från Ukraina. Detta gav en överrepresentation av elever från Kina men då studien har en kvalitativ ansats att titta på matematiska kompetenser hos individer med invandrarbakgrund, använde jag mig av dessa elever som var på plats. Hur det påverkade resultatet diskuteras i slutdiskussionen. En presentation av eleverna i huvudstudien finns i Bilaga 2. Eleverna är numrerade 1 till 9. Den tionde eleven föll bort då han inte var på plats vid tillfällena för intervjuer och därmed blev tiden för lång mellan genomförandet av uppgifterna och möjligt intervjutillfälle. På skolan jag arbetar tillfrågades eleverna om de vill delta i studien individuellt av mig. På den andra skolan tillfrågades först gruppen av sin ordinarie lärare och de ställde sig positiva till att vara med i studien. För att ytterligare försäkra mig om att eleverna ville vara med ställde jag frågan till dem individuellt när jag mötte dem. Inför huvudstudien var upplägget mer strukturerat då det fanns ett behov av detta utifrån erfarenheterna i förstudien, där metoden att låta eleven lösa en uppgift i taget inte liknar ordinarie provsituation. Planen var att eleverna i grupper om 5 skulle lösa de 8 uppgifterna i mer än provliknande situation. De skulle få ha tillgång till ordböcker och de uppmanas att redovisa sina lösningar och spara anteckningar. Tiden för provet var en timme. Denna tid hade beräknats utifrån att fem uppgifter var hämtade från B1-delen, nationella provets kortsvarsdel, och tre uppgifter från C-delen, uppgifter där redovisning krävs. Dessutom behövdes extra för eleverna på grund av språkbristerna. Till provet fanns i slutet några frågor om de själva som stöd för den kommande intervjun (Bilaga 4). Tanken var att prov och intervjuerna skulle följa direkt på varandra under samma dag. Intervjuerna beräknades ta 30 minuter per elev. Berörda lärare talades vid och lokaler ordnades. Intervjuerna påbörjades med att eleven fick berätta lite om sig själva utifrån de frågor som de sett tidigare för att få en djupare förståelse för elevens bakgrund. I intervjuerna utgick vi från frågorna men följdfrågor kring elevernas skolbakgrund var en viktig del i att säkerställa att bristande skolbakgrund eller stora brister i språket inte var huvudanledningen till svårigheter. Eleven informerades om att han/hon skulle få ta del av och ha möjlighet att korrigera den presentation som skrevs om dem och som skulle ingå i studien. Eftersom alla elever var över 16 år behövdes inget tillstånd för intervjuerna från målsman, enligt Etiska rådet (2003). Därefter fick eleven läsa uppgiftsfrågorna en och en och redovisa sin tankegång. På samma sätt som vid 27

förstudien hade jag alternativa ord om den språkliga förståelsen av ovanliga ord skulle behövas förklaras. Flest ordförklaringar behövdes i uppgift fem, där flera av eleverna inte förstod ordet vimplar, detta förklarades med små flaggor och genom att peka på bilden som fanns i uppgiften. I samma uppgift förklarades ordet prislägen med olika pris och Åshöjdens IF att det var ett namn på ett lag. Under denna intervju ställdes frågor som gjorde att bilden av elevens matematiska kompetenser skulle visas ur så många perspektiv som möjligt. Frågorna som ställdes var vanliga lärarfrågor av typen: Kan du ge fler exempel på? Hur gjorde du? Vad menar du? Intervjuerna spelades in på diktafon och transkriberades innan analys. På skolan jag undervisar kom tre elever i tid för utsatt test, en var sjuk och den andra kom lite senare. Den frånvarande ersatte jag med en elev jag frågat tidigare om eleven kunde tänka sig. Men då jag begränsade urvalet till fem föll eleven bort då elevens språkkunskaper inte var lika utvecklade som den andra eleven med samma kulturella bakgrund. Då en elev kom sent hann inte alla intervjuerna ske under samma dag utan två elever fick vänta till följande dag. Då var en av dessa båda frånvarande och kom aldrig att genomföra intervjun och plockades bort från studien. Den andra gruppen elever gjorde alla fem testen vid samma tillfälle. Intervjuerna gjordes under påföljande dagar. Intervjun med den elev som varit kortast tid i Sverige hade svårt att uttrycka sig på svenska. Intervjun genomfördes ändå med hjälp av att delvis kommunicera på engelska. Eleven hade ett annat modersmål men hade under flera år gått på en skola med engelsk profil. 4.5 Bearbetning av elevlösningar och intervjuer De skriftliga elevlösningarna rättades efter mallen för det nationella provet. Information sammanställdes utifrån vilken kompetens som var synlig i uppgiften och gav ett mått på hur eleverna enskilt och som grupp visade på styrkor eller brister i den enskilda kompetensen. Detta gav också ett jämförelsetal till den lösningsproportion som Skolverket(2004a) hade sammanställt nationellt för detta prov. Transkriptionen av den del av intervjuerna där eleverna förklarade, motiverade och reflekterade över sina lösningar sammanställdes uppgift för uppgift. Detta för att underlätta i analysen av CRA som eleverna visade. Transkriptionerna tillsammans med elevlösningarna utgjorde grunden för analysen av CRA. Analysen av aktiviteterna gjordes främst utifrån den allmänna beskrivning som MCRF gjort angående vad aktiviteterna tolka, göra och bedöma innebär, men också från de mer specifika beskrivningarna av CRA. Intervjuerna transkriberades kort efter att de hade genomförts. Den mer personliga delen av intervjun där eleven berättade om sig själv och sin tidigare skolgång sammanställdes till presentationerna. Presentationen av varje elev skickades till henne/honom via e-mail för att ge dem möjlighet att korrigera det jag missuppfattat. Flera elever bekräftade mailet och endast en ville att jag skulle ändra en uppgift angående hans skoltid i det land han kom ifrån. 28

5. Resultat och analys I följande avsnitt redovisas resultaten av intervjuer och skriftligt material. Efter en kort presentation av de nio eleverna i studien, följer en redovisning av uppgifterna grupperade utifrån vilken kompetens uppgiften fångar i första hand. Av varje uppgift görs en analys utifrån de kompetensrelaterade aktiviteterna, CRA. Resultatet av de aktiviteter som eleverna visade presenteras per uppgift. Efter sammanställning av resultaten följer analysen av elevernas visade kompetenser och aktiviteter utifrån frågeställningen vilka styrkor och brister man kan se i elevernas lösningar av uppgifterna. 5.1 Intervjuer av elever Syftet med intervjuerna var tudelat, dels att lära känna eleverna och deras tidigare erfarenhet av matematikstudier, dels att eleverna skulle få tillfälle att motivera och förklara sina lösningar av uppgifterna. Nedan följer en kort presentation av de nio elever som deltog i studien. 5.1.1 Eleverna och deras tidigare skolerfarenhet Elev 1 är 17 år och kommer från västra Kina. Hon flyttade till Sverige för drygt ett år sedan och har studerat på IVIK ett år. Eleven berättar att hon och hennes mamma kom hit för att hon skulle kunna öka möjligheterna att studera. I Kina gick hon nio år i skolan och avslutade därmed motsvarande grundskolan. De sista två åren hon gick var en skoldag mellan 07.30 och 19.30, då studerade man åtta ämnen och var ungefär 60 elever i varje klass. Förutom lektioner fanns det möjlighet att få ämneshandledning ett par timmar om dagen. Elev 2: Elev 2 är 18 år och kommer från Kina. Hon flyttade till Sverige för ett år sedan för att bo med sin pappa och sina syskon som redan bodde i Sverige. Eleven ville slutföra sina grundskolestudier i Kina innan hon flyttade. När det var dags för gymnasiet valde eleven flytta till Sverige för att ha möjlighet att lära sig fler språk. Eleven beskriver att hon aldrig fick öva på att tala engelska utan bara skriva och läsa. Eleven berättar att hon började skolan som 8-åring och gick 9 år i grundskolan. De sista tre åren bodde hon på skolan. En vanlig skoldag på internatskolan började 6.30 och slutade inte förrän 20.00. De två sista timmarna på dagen var läxläsningstid då det fanns lärare tillgängliga för att svara på elevernas frågor. Eleven säger att hon inte tycker om matematik men tycker att hon kan matematik. Eleven har nu studerat på IVIK ett år och kommer gå vidare till PRIVIK, programinriktat IVIK. Elev 3 är 16 år och kommer från Kina. Han har varit i Sverige i sex månader. Han kom till Sverige tillsammans med sin mamma som är affärsman. Eleven har gått i skolan i nio år och på dagis i tre år. Han berättar att de hade flera lärare redan från årskurs ett, där varje lärare var specialiserad på sitt ämne. De sista tre åren var skoldagen från 7.30 till 17.30 utöver det fick han lägga många timmar på läxläsning. De hade matematiklektioner varje dag och prov varje vecka. Eleven gick i en skola där mycket av undervisningen skedde på engelska. Han lägger ner mycket tid på skolarbete och tycker matematik är roligt. Till hösten kommer han fortsätta på PRIVIK. Elev 4 är 19 år och kommer från Irak. Hon har varit i Sverige ett år och två månader. Hon började i skolan när hon var sex år. Sedan gick hon nio år i grundskolan och ett år på motsvarande gymnasium innan hon kom till Sverige. Eleven berättar att grundskolan 29

i Irak är nio år uppdelade på två stadier, där första stadiet är sex år och sedan tre år. Redan från början hade man flera lärare som var specialiserade på sitt ämne och man har fyra matematiklektioner i veckan. Hon har kunnat gå i skolan alla år med kortare avbrott då skolan var stängd för att det var stridigheter i närheten. Hon säger att hon inte var bra på matematik och därför studerade hon inte hemma. Under året har hon studerat svenska och de senaste månaderna utökades studierna till att omfatta även matematik och engelska. Till hösten kommer hon fortsätta på IVIK. Elev 5 är 18 år, kommer från Polen och varit i Sverige ett år och tre månader. Hon flyttade hit för att familjen skulle återförenas, då hennes pappa arbetat och bott i Sverige i några år. Barnen börjar i skolan när man är 6 eller 7 år, då går man 6 år i grundskolan efter det går man på gymnasium i tre år därefter är det ytterligare 3-4 år. Alla måste gå till man är 18 år. Första tre åren han man samma lärare men från år fyra blir det fler specialiserade lärare. De studerar matematik fem timmar per vecka och varje fredag har man veckoprov. En normal klass har 24-35 elever men denna elev gick en klass med endast tolv elever. Detta beror på att på hennes skola fyller man på klasserna tills det är ca 30 elever. Efter det startar men upp en ny klass/grupp. En skoldag varar från 8 till 15 och varje lektion är 45 min och sedan 10 min rast. Hon har gått 10 år i skolan. Hon gillar matematik och har aldrig haft problem med matematik i Polen. Hon upplever det svårt i Sverige främst på grund av språket. Hon harr under året gått IVIK där hon studerat främst svenska men de senaste månaderna har studierna utökats med matematik och engelska. Eleven kommer fortsätta IVIK till hösten. Elev 6 är 16 år och kommer från Irak. Han har varit i Sverige ett år, då han återförenades med sin familj. Hans föräldrar har varit i Sverige sedan 2007. Barnen börjar skolan när de är 7 år gamla. Innan kriget var det obligatoriskt att gå i skolan men nu måste många barn jobba. Först läser man i sex år, därefter följer gymnasium i tre år. I en klass var det ungefär 30 elever i varje grupp och redan från början hade man en matematiklärare. När eleven började gymnasiet (åk 7) ökade elevantalet till 60 elever per klass. Eleven gick i skolan i nästan tio år i Irak. De sista fyra åren fungerade skolan inte på tillfredsställande sätt då krig och stridigheter gjorde att skolan var stängd ibland och de bytte lärare ofta. Han fick gå om det nionde året på grund av att han inte klarade examensproven. Eleven trivdes jättebra de första sex åren och skolan fungerade bra och han gillade matematik. Sedan föll intresset men nu tycker han det är roligt med matematik igen. Eleven har under året studerat på IVIK och kommer fortsätta där till hösten. Elev 7 är 17 år och kommer från Thailand. Eleven har varit i Sverige fyra år. Eleven kom hit för att hennes mamma redan bodde i Sverige. Eleven säger själv att det ger chansen till ett bättre liv. I Thailand börjar man i skolan när man är sju år. Grundskolan är nio år. De första två åren hade eleverna en lärare men från åk tre får man olika och specialiserade lärare. När man är 13 år byter man skolform och denna sträcker sig från åk sju till tolv. Det går ca 40 45 elever i varje klass. Eleven berättar att en skoldag pågår från 8.30 till 15.00 och man studerar matematik varje dag. Hon tror att Thailand saknar skolplikt och att skolan kostar pengar. Eleven tycker det är roligt med matematik. Hon har under senaste året studerat på ett IV-program och till hösten söker eleven till omsorgsprogrammet. Elev 8 är 16 år och kommer från Ukraina. Hans pappa har bott här i åtta år och för ett år sedan flyttade resten av familjen till Sverige. I Ukraina börjar i skolan när man sex eller sju år. De första tre åren har man en lärare, ibland två. Efter de tre första åren får man lärare som är specialiserade på sitt ämne. Efter nionde året kan man gå två år och 30

därefter kan man ansöka till högskolan/universitetet. Eleven studerade matematik tre till fyra gånger i veckan och hade läxor varje dag. Eleven har gått nio år i skolan, men då han hoppade över en årskurs hade han hunnit börja på motsvarande gymnasiet i Ukraina. Eleven tyckte inte om matematik när han var i Ukraina, men tror att det berodde på läraren. Han tycker att det blivit lite bättre men fortfarande tycker han inte att han är bra på det. Eleven har studerat på IVIK under detta år och kommer söka till ett nationellt gymnasieprogram till hösten. Elev 9 är 17 år och kommer från Kina. Hon har varit i Sverige ett år. Hon kom hit för att hennes familj flyttat hit några år tidigare då hennes styvfar är svensk. Hon berättar att grundskolan i Kina är nio år. De första 6 åren kallas primary school och efter det kommer junior school i tre år. I junior school studerar man matematik varje dag och har läxor varje dag. En skoldag började kl 8.00 till 12.00 sedan var det vila fram till 15.00 då återupptogs lektionen fram till 17.00. Från 20.00 21.30 var det läxläsning. I primary school var det ungefär 40 elever och i junior school runt 50 elever per grupp. Eleven började skolan när hon var 7 år och gick nio år innan hon kom till Sverige. Redan från 7 års ålder hade man flera specialiserade lärare. Eleven gick på internatskola. Hon har också tagit extra lektioner i matematik, fysik och engelska för att förbättra sina betyg. Eleven tycker det är kul med matematik när det är svåra problem att lösa. 5.2 Algoritmkompetens Algoritmkompetens handlar om att känna till och kunna använda för kursen relevanta algoritmer. Inom ramen för algoritmkompetens kan man se på de tre aktiviteterna tolka, göra och bedöma. Tolka innebär att förstå och tolka egna och andras procedurer. Inom aktiviteten göra måste man använda sina kunskaper för att lösa sin uppgift och visa sin räknetekniska färdighet. Den sista aktiviteten handlar om att bedöma och värdera metoden eller resultatet av egna och andras procedurer. De uppgifter som prövade denna kompetens i första hand var uppgift 1,4 och 8c. 5.1.1 Resultat Uppgift 1. Beräkna 0,2 140 Tolka: För att lösa uppgiften måste eleverna förstå multiplikation, tal i decimalform och ha någon slags förståelse för positionssystemet. Alla elever hade tolkat uppgiften och gett förslag på en lösning. Fem av nio elever tolkade uppgiften helt rätt och kunde berätta vad de gjort. Elev 7 löste uppgiften på två sätt och kunde tolka sin egen process: Elev 7: Beräkna 0,2 gånger 140. Jag svara 28, för att jag tar 140 del.. gånger 2 blir det 280. Men sen så flyttar jag komma Lärare: Hur långt då? Varför då? Elev 7: Ett steg då blir det 28 Lärare: Om det skulle vara 0,02 gånger 140. Hur hade du gjort då? Elev 7: Flyttat två steg. Lärare: Du har gjort något intressant här, tycker jag. Du har delat på 10. Elev 7: Jag gjorde olika sätt, men jag tror att den är rätt. Så ta gånger och flytta komma istället. För tre elever låg svårigheten i tolkningen av decimaltal och en elev kunde inte förklara sin tolkning alls. Ett exempel på bristen i tolkning av decimaltal är från elev 5 Elev 5: Beräkna 0,2 140 svar 70 31

Lärare: Hur tänker du? Elev 5: För 140 delat på två är samma som 0,2 Göra och använda: Här kan eleverna utifrån vad ramverket kallar imitera eller konstruera genomföra uppgiften på olika sätt. Genomförandet kan vara automatiserat. Åtta av eleverna visade på aktiviteten göra när det gäller att multiplicera med decimaltal, där hälften av dessa ställde upp multiplikationen. Två elever hade flera beräkningsstrategier, där de valde den de tyckte var lämpligast eller lättast att använda. Bedöma: I intervjusituationen kan eleverna visa om de kan bedöma sin lösning och motivera varför de valt denna lösning. Tre elever bedömde och visade att de reflekterade över uppgiften. Två av eleverna gjorde medvetna val av lösningsmetod och motiverade den under intervjun. Elev 3: Beräkna 0,2 gånger 140 Lärare: Hur tänker du när du får det till 28? Hur gör du din beräkning? Elev 3: Först 140, kan bli 14 minus 10 (skriver 14 10) där kan bli we can.. Lärare: Om du har lättare att uttrycka det på engelska, så är det helt ok med mig. Jag förstår engelska, så det är inga problem. Elev 3: Ten times...zero times zero komma två (pekar på att ta 10 gånger 0,2) Elev 3: It become two, it easier for people to use that. 14 times 2 En elev reflekterade över sitt svar direkt i intervjun och korrigerade det felaktiga svaret. Uppgift 4. Lös ekvationen 25 œ5x =10 Tolka: Det innebär att känna igen en ekvations uppbyggnad och förstå sin egen process att lösa ekvationen, att tolka 5x som 5 x samt att förstå likhetstecknets betydelse. Alla elever känner igen uppgiftstypen och förstår hur de ska närma sig en ekvation. Elev 1: Jag har tänkt 25-10 är lika med 5x och 15 är lika med 5x och x det är tre. Elev 6: Ja har gjort -25 till -25 också på andra sidan. Det blir -5x..eh är lika med - 5. Jag delar på -5. Jag tar bort minus här det blir 15 gånger tre, eh, 15 delat med 5 det blir 3.Det är 5 x bara Elev 7: Ämmm jag tar 5x =25-10, o då 5x är lika med 15, x är lika med 15 delat på fem, x lika med tre De flesta eleverna förstår också sitt tillvägagångssätt. Det är endast en elev som inte kan tolka sin procedur. Elev 4: Lös ekvationen.x lika med 7 Vi har fyr 25 minus..ja..vi måste plus 25 minus 25 vi måste ta bort dem. Här 10 plus 25. 5x lika med10 plus 25 det är 35. Sen vi måste dela med 5. Ååå det ska bli.. Lärare: Det blir 7. Jag undrar en sak. Du har provat där. Elev 4: Ja, jag har provat 25 minus 5 gånger 7, är x, är lika med 10. Men här 25 minus 35 är tio men jag vet inte då det är större. Lärare: Ja 32

Elev 4: Så det blir minus, men jag vet inte Göra och använda: Här handlar det om att lösa ekvationen. Alla utom en av eleverna löser ekvationen och kommer fram till att x=3. De använder dock olika metoder, både skriftliga och huvudräkningsmetoder. En kort exempel är av elev 8. Elev 8: Man gör bara så Man tar 25 och tar den till höger och då får man minus 15 och minus 5 x är lika med, som x lika med 3. Så! Lärare: Mmm Bedöma: Eleven kan lösa uppgiften på flera sätt och sedan medvetet välja ut den mest lämpliga metoden. Eleverna kan också kontrollera svaret genom att sätta in värdet i ekvationen. Utav de nio eleverna som genomförde uppgifterna var det tre som reflekterade över sin metod. Det tog sig uttryck i att ett par prövade sin lösning genom att se om likheten stämde om de satte in det värde på x de fått fram. Elev 7: Här jag är osäker på om svaret är rätt så jag gjorde en gång till, 25 5*3= 10, 25 15 =10 Lärare: Så du har prövat din lösning här? Elev 7: mmm En elev reflekterade över sitt val av metod då hon hade flera metoder att välja mellan. Uppgift 8c. Kassören i Åshöjdens IF har fått in totalt 51 000 kr på medlemsavgifter. Hon ställer upp följande ekvation: 80 x + 150 (480 x) = 51 000. Hjälp kassören att lösa ekvationen. Tolka: Uppgiften innehåller en lite mer komplex ekvation, som också kräver förståelse av ett parentesuttryck. Fem av nio elever gör det. De förstår och kan tolka sin egen procedur och redogöra för hur de löste ekvationen steg för steg. Göra och använda: Fyra elever både utför beräkningen på korrekt sätt och vet hur de ska tillämpa resultatet. Två andra elever visar att de kan lösa ekvationer men får inte ut korrekt svar då de antingen skrivit av uppgiften fel eller slarvat i beräkningen. Ingen av de eleverna med felaktiga förutsättningar kan tillämpa svaret. Bedöma: Ingen av eleverna ger uttryck för att de bedömer sin procedur. Det är endast en elev med felaktig lösning som reflekterar, prövar sin lösning och drar slutsats att svaret är felaktigt. Elev 7: C..Jag är inte säker på hur man gör det..jag har alltså inte svarat Lärare: Du har ju börjat här (pekar på lösningsförslag) Elev 7: Hjälp kassören lösa ekvationen. Lärare: Vad är det du tycker du blir osäker på? Elev 7: För att jag fick svaret x=266 Lärare: Och det kan inte stämma? Elev 7: Nej Lärare: Varför inte då? Elev 7: För om jag tar x=266 då stämmer inte svaret. Det blir inte 51000 33

5.2.2 Sammanfattning och analys Alla eleverna i studien gör försök och visar att de har metoder för att lösa uppgifter som faller under ramen för att visa algoritmkompetens. Lösningsproportionen på de båda uppgifterna som innehåller ekvationslösning är högre än det nationella snittet. I uppgift 1 är den något lägre än snittet. De flesta eleverna uppvisar ändå en säkerhet i standardprocedurer som enligt NP-kompetenserna underlättar lärandet avsevärt då dessa ofta ligger till grund för att använda nya metoder och begrepp. Detta utgör en styrka att bygga vidare på. Många elever kan förklara sin lösningsprocess men en del av eleverna har automatiserat strategierna utan att kunna tolka vad de gör. Eleverna i studien visade alla goda kunskaper i att använda algoritmer, vilket faller under aktiviteten göra. Eleverna förde ofta stödanteckningar. I kursplanen i matematik (Lpo-94) beskrivs denna aktivitet redan från målen i årskurs tre där eleverna skall kunna göra vissa beräkningar i huvudet. I målen för årskurs nio är målen skärpta och beskrivs som att eleven skall ha goda färdigheter i och kunna använda överslagsräkning och räkning med naturliga tal och tal i decimalforn samt procent och proportionalitet i huvudet, med hjälp av skriftliga metoder och med tekniska hjälpmedel. Ett exempel på detta är vid uppgift 1 där elev 6 använder metoden 0,2 140 = 2 14, därefter gör eleven en uppställning av 14 2 = 28. Eleverna använde ibland huvudräkning men då liknade huvudräkningen de skriftliga metoderna. I intervjun förklarade elev 5 uppgift 4 så här: Elev 5: Lös ekvationen Jag svarade x är lika med 3. Lärare: Och hur kom du på det? Elev 5: För att jag gjorde 25 10 är lika med 15, och x 5x lika med 15, delat med fem. Fem delat blir tre. x lika med 3 Lärare: Gjorde du det i huvudet? Så du tänkte att man kunde byta Elev 5: Ja Flera av eleverna har rutin på att lösa denna typ av algoritmer, men de varken bedömer, kontrollerar eller reflekterar över resultaten av sina beräkningar. Många av eleverna föredrog att använda skriftliga uppställningar även när de hade tillgång till miniräknare. De elever som visade på störst rutin i frågan om att lösa ekvationer hoppade över ett eller flera led i sin redovisning. Elev 9 redovisade sin ekvationslösning för uppgift 8c på följande sätt. Det är först i intervjun hon förklarar att x = 300 barn. 34

5.3 Problemlösningskompetens Med problemlösningskompetens menas att kunna lösa problem. Problemlösning är en skapande aktivitet där uppgiften inte kan lösas med en färdig lösningsmetod. Aktiviteterna kopplade till denna kompetens handlar om att kunna tolka och förstå problemsituationen och ha en förståelse för de metoder och verktyg som behövs för att uppnå målet med problemlösningen. Vidare handlar aktiviteten att göra och använda om att lösa olika problem matematiskt inom matematiken men också i andra sammanhang. Det innefattar även att kunna anpassa och tillämpa strategier och metoder på ett lämpligt sätt. Att bedöma och värdera inom denna kompetens kan bestå av att skanna av och reflektera över problemlösningsprocessen, om den är tillförlitlig och rimlig. Uppgifter som prövade problemlösningskompetens i första hand var 5, 6 och7. 5.3.1 Resultat Uppgift 5. Till Åshöjdens IF:s hemmamatch sålde Martin vimplar i tre prislägen. Diagrammet visar hur många olika vimplar han sålde. Hur många kronor fick han in? Svar: kr Tolka: För att förstå problemsituationen krävs en tolkning av diagrammet. Det är viktigt att eleven tolkar situationen mellan texten och diagrammet. Alla utom en elev kopplar ihop och kan tolka bild, text och diagram i uppgiften. Eleverna kan redovisa sina beräkningar och val av metod både skriftligt och muntligt. Elev 2:.. sålde Martin vimp..vimplar i tre prislägen. Diagrammet visar hur många olika vimplar han sålde. Hur många kronor fick han in? Ähh vi kan titta så här, det finns tre (pekar på stolparna) När det är 10 kr vi tittade det är 4..4 st så vi kan ta 10 gånger 4 stycken, sen plus 20 gånger 5 stycken plus 30 gånger 2. Sen blir alla Hur många kronor fick han? Då blir 200 Lärare: Hade du räknat ut det eller räknade du det i huvudet, eller? Elev 2: Ja har skrivit det (pekar på sitt papper) Göra och använda: Här handlar det om att utföra beräkningen. Alla de åtta elever som tolkat uppgiften rätt väljer också en lämplig metod och utför beräkningen korrekt med samma metod som elev 2. Bedöma: I uppgiften kan man göra en rimlighetsuppskattning för att visa att man reflekterar kring sin process eller över sitt svar. Det är ingen av eleverna som ger uttryck för reflektion. Eleven som inte tolkat diagrammet rätt reflekterar sin osäkerhet men inte val av metod eller sitt svar. 35

Uppgift 6. I Åshöjdens IF håller 192 medlemmar på med fotboll. Det är 40 % av alla som är med i föreningen. Hur många medlemmar har föreningen? Tolka: Här måste eleverna förstå den omvända frågeställningen. Tre av eleverna tolkar uppgiften rätt. Elev 3:Först vi vet att det har 192 medlemmar på fotboll och de säger att 40% av alla. Vi vet inte vad, hur många medlemmar betyder alla så måst alla x. Vi vet inte så 192 är 40 % av alla. Det har ähhh att alla är 480 Göra och använda: Välja en lämplig metod och utföra beräkningen på rätt sätt. De tre elever som från början tolkat uppgiften rätt väljer lämpliga metoder. Ytterligare tre elever som först tolkar uppgiften som 40 % av 192, förstår uppgiften i intervjusituationen. De väljer då lämplig metod och löser problemet. Lärare: Nu läser jag för dig. Får du lyssna noga I Åshöjdens IF håller 192 medlemmar på med fotboll. Kom ihåg 192 håller på med fotboll. DET ÄR 40 % av alla DET ÄR 40 % av alla som är med i föreningen. Elev 2: Det är 40 (hahahaha) Lärare: Hur många medlemmar har föreningen? Nu kan du räkna Elev 2: (hahahaha) okej, jag förstår nu Lärare: Om du vill nu kan du räkna uppgiften. Elev 2: Okej Lärare: Men gör det här under Elev 2: Kan jag få miniräknare...jag brukar inte använda den Lärare: Vad vill du ha? Kladdpapper? Elev 2: Ja, papper Lärare: Kan du inte skriva på baksidan? Elev 2: Okej! 480. Därför att om andra elever kan inte tänka. Vi kan göra det lättare, det är lättare att förstå. Det är 192, det finns fyra stycken så vi måste göra så här. Det blir varje stycke det blir 48.aaa.. Det är.100% minus 40% det bli 60. Så vi kan tänka det är 100, vi kan gångra 10 stycken, det ska bli 100. Bedöma: Uppgiften går att lösa med många metoder vilket öppnar för möjligheter att pröva giltigheten av en lösning. Reflektionen kan också göras genom att bedöma rimligheten i svaret. Ingen av eleverna prövade flera metoder eller reflekterade över sina svar. Flera elever svarade i sina skriftliga redovisningar att medlemsantalet var 76,8. Uppgift 7. Medlemsavgiften i Åshöjdens IF är 80 kr för barn och 150 kr för vuxna. I familjen Kvist är båda föräldrarna och de tre barnen medlemmar. Hur mycket betalar familjen sammanlagt i medlemsavgifter till föreningen? Tolka: Här kan man se om eleven förstår problemsituationen och förstår vad frågan är. Alla nio eleverna kan förklara sin lösning och därmed visar de att de förstått frågan. Elev 1: Det är 80 gånger 3 plus 150 gånger 2. Det är 240 plus 300 det är 54 hundra Lärare: Femhundra Elev 1: Femhundrafyrtio Lärare: Varför tar du 80 gånger tre? Elev 1: Jag har tre barn Lärare: Och varför tar du 150 gånger två Elev 1: Det är båda föräldrarna, de är två, pappa och mamma 36

Göra och använda: Har eleverna förstått uppgiften är beräkningen enkel. Alla nio eleverna väljer samma metod. De multiplicerar antalet barn respektive antalet vuxna med rätt avgift och adderar därefter. Bedöma: Eleverna skulle kunna göra överslagberäkning för att se att svaret blir rimligt. Ingen av eleverna visar att de reflekterar över sin process eller över svarets rimlighet. 5.3.2 Sammanfattning och analys Eleverna i studien visar lika god problemlösningskompetens som elever nationellt, när det gäller enklare problem och där frågeställningen är rak. Uppgift 6 skiljer sig markant, där lösningsproportionen är 0,33 jämfört med den nationella lösningsproportionen på 0,63. De flesta eleverna visar på en vana att tolka och förstå frågeställningen och sedan använda lämpliga strategier. I uppgift 6 var det få elever som förstod problemet från början, men i intervjusituationen då eleverna först fick läsa frågan högt och med viss betoningshjälp på orden det är kunde de flesta av eleverna välja lämpliga strategier. Det är intressant att nämna att bland de sex elever som visade på att kunna använda lämpliga metoder användes fyra olika lösningsstrategier. Det visar att uppgiften öppnar upp för den skapande aktivitet som problemlösning är och att eleverna skulle kunna lösa uppgiften på olika sätt. Många redovisar och förklarar uppgifterna 5 och 6 tydligt och korrekt. Ett exempel på det visar elev 2 i uppgift 5 som redovisades ovan. Inte på någon av problemlösningsuppgifterna visar eleverna att de bedömer eller motiverar att deras lösning eller val av strategi är tillförlitlig eller rimlig. I kursplanen för matematik under rubriken Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det tredje skolåret att eleverna skall kunna uppskatta och reflektera över lösningar och dess rimlighet. Detta att ha ett metareflekterande förhållningssätt är något som återfinns i kursplaner för alla ämnen på grundskolan. Denna brist hos eleverna är markant och kommer följas upp i diskussionen. Ett exempel på detta är att i uppgift 6 svarar flera av eleverna att det finns 76,8 medlemmar utan att reagera på att det är ett orimligt svar på uppgiften. 5.4 Begreppskompetens För att påvisa begreppskompetens skall eleven kunna använda innebörden av ett begrepp. Det kan betyda att definiera ett begrepp eller förstå kopplingen mellan olika representationsformer. Aktiviteten tolka handlar här om att förstå och tolka egna och andras representationer och känna igen kopplingar mellan enheter och representationsformer. Att göra handlar om att använda representationsformer och kopplingarna där emellan på ett organiserat sätt så det kan användas både utanför och inom matematiken. Det kan också betyda att lösa uppgiften så att förståelsen av begreppet blir synligt. Den tredje formen av aktivitet kan man visa genom att bedöma och värdera funktionen av sambanden och representationsformerna och vilken roll de spelar. Uppgifter som prövar begreppskompetens i första hand är uppgift 2 och 3. 5.4.1 Resultat Uppgift 2 Ange ett tal i bråkform som är större än 3 4 men mindre än 1. Svar: 37

Tolka: För att visa att man kan tolka talbegreppet handlar det om att förstå och tolka talet tre fjärdedelar och att det finns tal emellan tre fjärdedelar och1. Detta kan ske på olika sätt beroende på val av metod. Alla elever tolkar uppgiften rätt. Här följer några exempel: Lärare: Hur tänkte du där? Elev1: Jag tänkte först tre fyra noll...(ställer upp en variant av trappan) det är 0,75 och sen mindre än en och det är 0,9 (skriver 9/10 på pappret) Lärare: ok. Hur vet du att 0,9 är 9/10? Elev1: mm..till exempel det är.. Vi bestämmer det är 10 (pekar på nämnaren) då 10/10 och sen 0,9 är 9/10 Lärare: ja, tack..så det du gjorde Gjorde du så här igår att du delade upp.. ähh alltså ställde upp det så här. Eller vet du att Vet du att 3/4 är 0,75? Elev1: nej det kan jag inte men det kan jag (pekar på 0,9) Elev 5: tre fjärdedelar men mindre än 1.jag svarade fem delat på sex Lärare: Hur tänkte du då, när du kom på det? Elev 5: Ähh..jag vet inte hur jag ska förklara det. Men om jag till exempel har tårta och jag ska dela det på sex, jag ska ta fem. Jag ska få mer än om jag tar tre delat på fyra. Göra och använda: Aktiviteten kan här innebära att välja och använda lämplig metod att lösa uppgiften. Åtta av nio elever löser uppgiften. Fyra av eleverna ser tre fjärdedelar som bitar och resonerar sig fram till vilka tal som finns emellan. En av dessa elever konkretiserar svaret genom att ge exempel. En annan av dessa elever har inte formen på bråk klart för sig utan svarar. Tre av eleverna går från bråkform till decimalform och tillbaka till bråkform. Två av dessa elever ställer upp tre fjärdedelar för att få fram decimaltalet. Ytterligare en elev har löst uppgiften rätt men kan inte förklara sin lösningsmetod. Bedöma: För att visa på denna aktivitet kan eleven reflektera över metodvalet och ställa metoder mot varandra och utifrån det val av metod de tycker verkar lämpligast. Det går till exempel att kontrollera sitt svar med hjälp av annan metod. De kan också visa att de reflekterar över att samma värde på ett tal kan skrivas i olika former och att talen mellan tre fjärdedelar och 1 är oändligt många. I intervjun reflekterar två elever. En elev reflekterar över att han inte förstår hur man byter representationsform från bråkform till decimalform för att försäkra sig om att 0,8 är större än tre fjärdedelar. Den andra eleven har i sin skriftliga lösning prövat att göra om flera bråk till decimalform för att hitta ett bråk som finns emellan. I intervjun byter hon strategi och konkretiserar och reflekterar kring bråk som bitar och förklarar varför fyra femtedelar finns emellan tre fjärdedelar och 1. Uppgift 3. Vilken av dessa figurer är en likbent och trubbvinklig triangel? Ringa in ditt svar. 38

Tolka: Här kan man se om eleverna kan tolka begreppen likbent och trubbvinklig var för sig. Fyra elever kan begreppen på svenska, ytterligare två elever kan begreppen på sina hemspråk och kan tolka begreppen i intervjun. Elev 2: Vilken av dessa figurer är en likbent och trubbvinklig tri tri..? Lärare: Triangel Elev 2: Triangel. Ringa in ditt svar. Ähh. Trubbvinklig det betyder det måste störra än 90 ja Lärare: 90 Grader Elev 2: 90 Grader. Så vi bara titta vilka störra. Det finns två, men det finns lika ben. Det betyder det finns två bena samma grad. Så det är den Elev 8: Ok, vilken av dessa figurer är en likbent och trubbvinklig triangel. Likbent är som en som har lika sidor, så här. Och trubbvinklig jag vet inte hur ska jag förklara vilken är trubbvinklig.det här är likbent triangel. Jag vet det!..är det så? Lärare: Mmm Elev 8: Men trubbvinkel den som har trubbvinkel Lärare: Ja kan du visa med händerna en trubbig vinkel? Eller kan du rita? Elev 8: Då kollade jag i lexikon vad trubbvinklig betydde men nu glömde jag.trubbvinklig jag kan säga med grader Lärare: Ja Elev 8: Trubbvinklig är ungefär 70 eller 50, men mindre än 90 Är det?...jag gör fel jag glömde. Göra: Genom att eleven använder sina kunskaper om begreppen innebär det att eleven väljer ut den triangel eller trianglar som stämmer överens med begreppen. Alla de elever som förstår begreppen kan välja ut lämpliga trianglar. Två elever väljer endast ut en triangel som uppfyller bägge villkoren. Bedöma: Det går inte att se denna aktivitet hos eleverna. 5.4.2 Sammanfattning och analys I uppgift 2 där talbegreppet prövas är lösningsproportionen hos eleverna i studien 0,78 jämfört med den nationella proportionen på 0,65. I uppgift 3 prövas ordförståelse inom begreppskompetensen är samma lösningsproportion 0,22 i förhållande till 0,42. I uppgift 3 kan bristen på förståelse av begreppen förklaras med språkliga hinder för eleverna. Även om det är enbart språkliga hinder, så behöver eleverna en god förståelse för innebörden av relevanta begrepp på svenska. Detta för att de ska ha en möjlighet att utveckla nya begrepp, som enligt Palm m.fl.(2004) ofta är beroende av begrepp som tidigare har introducerats. Eleverna i studien kommer fortsätta sin utbildning i Sverige och skolan har som uppdrag att i sin undervisning sträva efter att eleven utvecklar sin förmåga att förstå och utveckla grundläggande begrepp. Alla elever kan tolka uppgift två medan fyra av nio elever kan tolka båda begreppen i uppgift 3. Samma fyra elever, med ett undantag, kan använda begreppen och visar i uppgiften på aktiviteten göra. Det var svårt att se om eleverna bedömde och reflekterade över begreppens innehåll och innebörd. Varken i intervjun eller i de skriftliga lösningarna framgick det att eleverna reflekterade. I uppgift två kan man se att elev 4 inte reflekterar över formen på sitt svar. 39

Elev 4: Ange ett tal i bråkform som är större än vänta.. men mindre än 1.Här jag tror så här. Jag har ritat dom. Lärare: Mmm Elev 4: Ja, det är tre fjärdedelar och ett. Men..jag vet inte Lärare: Jo, vad har du gjort här? Elev 4: Det är en fjärdedel (pekar på en del av den bild eleven ritat) Lärare: Ja, det är en fjärdedel Elev 4: Om vi ska göra större än tre fjärdedel, men mindre än ett. Ähh, vi måste ta halva mmm vänta...halv från en fjärdedel. Det blir större än tre fjärdedel men mindre än ett Lärare: Ja Elev 4: Men jag vet inte, jag har skrivit så här Lärare: Vad har du skrivit? Elev 4: 3,5 fjärdedelar 5.5 Resonemangskompetens Inom ramen för resonemangskompetensen ingår olika former av kritisk granskning. I dessa uppgifter handlar det om att resonera kring och granska någon annans uppställda ekvation. Aktiviteterna eleverna kan visa inom denna kompetens är att förstå och tolka egna och andras resonemang, göra som handlar om att använda argument som stödjer resonemanget och till sist bedöma som handlar om att eleven prövar sitt och andras resonemang. Uppgifterna som prövar resonemangskompetens i första hand är 8a och 8b. 5.5.1 Resultat Uppgift 8 består av tre delar varav endast 8a och 8 b redovisas här. Resultat för 8c redovisas under delen 5.2 Algoritmkompetens. Uppgift 8a och 8b kommer endast att analyseras utifrån aktiviteterna tolka och göra eftersom det är först i uppgift 8c som det öppnas upp för reflektion över hur någon annan resonerat kring uppställningen av ekvationen och prövning utifrån hur de själva resonerade när de tolkade uppgifterna 8a och 8b. Kassören i Åshöjdens IF har fått in totalt 51 000 kr på medlems avgifter. Hon ställer upp följande ekvation: 80 x + 150 (480 x) = 51 000. Uppgift 8 a. Vad står x för i denna ekvation? Endast svar krävs. Tolka: I denna CRA kan man se om eleven förstår och tolkar. Fyra av nio elever kan tolka och granskar den uppställda ekvationen direkt, de andra har svårigheter att förstå frågan. Under intervjun kunde ytterligare två elever tolka uppgiften på rätt sätt. Elev 7 är ett exempel på när en elev under intervjun förstår och tolkar uppgiften. Elev 7: Aha.. Kassören i Åshöjdens IF har fått in totalt 51 000 kr på medlems avgifter. Hon ställer upp följande ekvation: 80 x + 150 (480 x) = 51 000.ja frågan var: Vad står x för i denna ekvation?.mmm jag svar x är antal medlemmar i fotboll. Lärare: Ok, hur tänker du då? Elev 7: Jag förstår inte riktigt frågan. Vad står x för i denna ekvation? Lärare: Var finns x någonstans? Elev 7: x är här. (pekar i ekvationen) 80 är ju priset för barnen om man skulle bli medlem. x är ju antal barn. 40

Göra: Här kan man se om eleven använder hållbara argument som stödjer valet av tolkning. Sex av de nio eleverna kan argumentera med hållbara argument för varför de tolkade x till antal barn. Elev 7 och 8 har hållbara argument när de i intervjun tolkar uppgiften rätt. Här följer två exempel på hur eleverna resonerade. Elev 3: Vad står x för i denna ekvation? Absolut barn Lärare: Hur ser du det? Elev 3: Det säger i uppgift, 80 kronor för barn gånger x så det kanske räknar hur många kronor för barn totalt Lärare: Hur ser du det? Elev 8: För att liksom här räknade jag 80 gånger med äh...de barn som man får 240..Här står x för barn. Som man fick från den sjunde uppgift. Uppgift 8 b. Vad står 480 för? Endast svar krävs. Tolka: Sex av nio elever granskar och tolkar vad 480 står för. Göra: Tre av eleverna använder hållbara argument ifrån ekvationen för att resonera kring sin lösning. De använder den information de har fått i andra uppgifter tidigare om att x är antalet barn och 150 är kostnaden per vuxen. Lärare: Och vad står 480 för? Elev 9: Nej..det är alla medlemmar Lärare: Hur kom du på det? Elev 9: För det är barn äh.. alla minus barn blir vuxen. Totalt. Lärare: Varför måste det här vara den vuxna? Elev 9: För det är 150 Två som har tolkat uppgiften rätt hänvisar till att de i en tidigare uppgift räknat ut att det finns 480 medlemmar i föreningen men argumenterar inte för varför 480 i denna uppgift representerar samma 480 medlemmar i tidigare uppgift. 5.5.2 Sammanfattning Resonemangskompetensen kan kopplas till Lpo-94:s beskrivning av inriktningen på bedömningen av elevens kunnande i matematik som förmågan att följa, förstå och pröva matematiska resonemang. Eleverna har vissa svårigheter att tolka frågeställningen i 8a och argumentationen är kortfattad. I uppgift 8a är det 0,44 hos eleverna i studien och 0,51 nationellt. Motsvarande siffra för 8b är 0,67 mot det nationella snittet på 0,43. I uppgift 8a blir lösningsfrekvensen högre när eleverna i intervjusituationen kan tolka uppgiften. Några elever uttrycker att de inte förstår typen av fråga. Argumentationen sker på logiska grunder men är ofta väldigt kort som här hos elev 1: Lärare: Hur kom du på att x betyder barn? Elev 1: mmmmm...åhh barn kostar 80 kronor, så x betyder barn och kanske 48 öhhh Lärare: 480 Elev 1: 480 betyder hur många personer som det är, 150 kostar per vuxen För på x: 480 x det är hur många vuxna personer 41

5.6 Kommunikationskompetens Kommunikationskompetens handlar om att kunna förstå och förmedla matematiska tankar och idéer såväl muntligt som skriftligt. Inom ramen för detta arbete kommer fokus ligga på elevernas skriftliga kompetens. CRA som tittas närmare på inom denna kompetens är om eleven kan förstå och tolka informationen från en sändare, i detta fall uppgifterna. Att göra handlar här om eleverna skriftligt redovisar sina lösningar så de går att följa och om de tolkar och reflekterar över funktionen av att kommunicera. De uppgifter som prövar kommunikationskompetenser ur ett skriftligt perspektiv är uppgifterna 6,7 och 8 som kräver skriftliga redovisningar. 5.6.1 Resultat Alla elever kunde tolka informationen i uppgift 7. Syftningen i uppgift 6 ställde till det för flera av eleverna och i uppgift 8a uttryckte flera elever att de inte förstod frågan. Elev 1 och 2 löser ekvationen först i uppgift 8 och sedan svarar på frågorna 8a och 8b. Elev 7: Aha.. Kassören i Åshöjdens IF har fått in totalt 51 000 kr på medlems avgifter. Hon ställer upp följande ekvation: 80 x + 150 (480 x) = 51 000.ja frågan var: Vad står x för i denna ekvation?.mmm jag svar x är antal medlemmar i fotboll. Lärare: Ok, hur tänker du då? Elev 7: Jag förstår inte riktigt frågan. Vad står x för i denna ekvation? Lärare: Var finns x någonstans? Elev 7: x är här (pekar i ekvationen) 80 är ju priset för barnen om man skulle bli medlem. x är ju antal barn. I den CRA som handlar om att göra visar elevernas skriftliga redovisningar av uppgifterna om hur de kan formulera information till en mottagare. Uppgift 7 redovisar alla själva beräkningen korrekt men saknar förklaring på vad de olika talen representerar. I uppgift 6 och 8c liknar många elevers redovisningar stödanteckningar med kortfattade lösningar. Elev 1 och 2 uttrycker att mottagaren är läraren som förstår lösningen även om den är korfattad. Följande lösning är gjord av elev 2. Den kompetensrelaterade aktiviteten att bedöma är två delad dels att bedöma sin egen kommunikation dels andras kommunikation. Den egna kommunikationen, att bedöma sin egen redovisning, kommer fram vid några tillfällen i intervjuerna när elev 1 och 2 tycker att redovisningarna är tillräckliga (se ovan). Flera elever uttrycker att de inte förstår relevansen i uppgift 8. Tydligast görs detta av elev 2 som säger: Elev 2: Och det finns inga frågor som det står (pekar på ekvationen) vi måste lösa. Vi bara samma som första papper vi bara skriver det och räkna. Alla frågor vi måste tänka ekvation själva, sen skriva samma som den (pekar på redovisningen av ekvationen) 42