(a) Undersök om A och B är oberoende. (b) Vad är den betingade sannolikheten P (A B)? F (x) = 1 e λx

Transkript

1 TNTAMN: Matematisk statistik för K (TMA073 och TMA072) Torsdagen den 16 januari 2014, kl 14:00-18:00 Lärare och jour: Staan Nilsson, telefon Hjälpmedel: Formelsamling, tabeller (även BTA, Physics Handbook, skoltabeller, t ex T- FYMA, valfri miniräknare med tömda minnen. Betygsgränserna för 3,4,5 är 12,18, Vi har två händelser A och B. Om dessa vet vi att A sker med sannolikheten 0.2 och B med sannolikheten 0.5. Sannolikheten att varken A eller B händer är 0.4. (a) Undersök om A och B är oberoende. (b) Vad är den betingade sannolikheten P (A B)? 2. n exponentialfördelad stokastisk variabel är positiv och har fördelningsfunktionen F (x) = 1 e λx Parametern λ kallas intensiteten. Väntevärdet är 1/λ. xponentialfördelning används ofta som modell för livslängd av komponenter. Anta att du har 10 sådana komponenter och att deras livslängder är oberoende. Fördelningen för X min, tiden tills den första komponenten går sönder, är då också exponentialfördelad, men med större intensitet. Bestäm intensiteten genom följande steg: (a) Bestäm P (X > x) (b) Utnyttja oberoendet för att bestämma P (X min > x) (c) Bestäm fördelningsfunktionen för X min (d) Vad är alltså intensiteten för X min? 3. I en studie där kortväxta friska pojkar behandlades med tillväxthormon uppmättes testosteronhalten för en av pojkarna kl 18 till 10 nmol/l. I den fortsatta analysen vill man egentligen använda värden kl 6 på morgonen då testosteronhalten är som högst. För att uppskatta vad värdet kunnat vara klockan 6 utnyttjar man referensdata (tabellen nedan) från pojkar med lika testikelvolym som mätts regebundet över dygnet. Notera att eftersom testosteron har en skev fördelning är referesdata framtagit för logaritmerade testosteronvärden. Tid 02:00 06:00 10:00 14:00 18:00 22:00 log 10 testosteron (medel) log 10 testosteron (sd) (a) Beräkna en Z-score för testosteronvärdet klockan 18. (b) Använd resultatet i (a) för att skatta ett testosteronvärde kl 6 uttryckt i nmol/l. 4. Viktandelen calcium i vanlig cement jämfördes med viktandelen i blyblandad cement. Man tog 10 prov från vanlig cement och 15 prov från blyblandad cement, med följande resultat. Legering n medel (viktprocent) sd Blyblandad Vanlig (a) Ange ett 95%-igt kondensintervall för skillnaden i viktprocent calcium i de båda cementsorterna (b) Kan vi förkasta H 0 på signikansnivå 0.01? 1

2 5. n tillverkare (A) av insektsbekämningsmedel för druvor (Pinot noir) vill demonstrera att deras produkt är överlägsen en annan produkt tillverkad av konkurrenten (B). De gör 16 försök med sin egen produkt och 9 med konkurrentens. I alla försök mäter man förändringen δ av skördeutfallet jämfört med obesprutade plantor. (δ > 0 betyder förbättring) Tillverkare n δ sδ A B Därefter hävdar de att deras produkt är överlägsen konkurrentens eftersom den visade en signikant förbättring, men det gjorde inte konkurrentens. (a) Veriera påståendet att A var signikant bättre än obesprutat och att B inte var det. (b) Förklara varför detta trots allt var ett dumt sätt att resonera och gör en relevant jämförelse mellan de två produkterna. 6. Vid ett test av H 0 : µ = 0 mot H 1 : µ > 0 av en normalfördelad variabel med känd varians σ 2 var stickprovsstorlekn n 1 = 20 och man lyckades precis få signikans på signikansnivå α = Tyvärr ck man (obefogad) kritik för att ha använt en ensidig mothypotes och tvingades därför utöka sin studie till total stickprovsstorlek n 2. Hur stor behöver n 2 vara för att klara samma signikansnivå med en tvåsidig mothypotes om vi antar att man får samma medelvärde? 7. n kartongfabrikant ville undersöka hardwoodkoncentrationens betydels för kartongens draghållfasthet (tensile strength). I analysen anges medelvärdet för hardwoodkoncentrationen x = och för draghållfastheten ȳ = 129.7, samt ett 95%-igt kondensintervall för lutningen β 1 ( ) (5p) Figur 1: (a) Vilken draghållfasthet predikterar modellen om pappen inte innehåller ngn hardwood alls? (b) Bestäm t-statistikans värde för test av H 0 : β 1 = 0 mot H 1 : β 1 0. (c) Är korrelation signikant på signikansnivå 0.01? (d) Förklara varför korrelationen inte är ett vettigt mått att ange i detta sammanhang (5p) 2

3 Standard normalfördelningen P(Z z) z

4 T-fördelningen P(T γ x) γ

5 T T T!""!"$#&% ('*) '+,.-/0" :;6<>=@?1AB<DCF AB8HGABIKJL8MAB<LNPO*QSR A T OVUWI" A =X=Y:;6NR A =6ZX8[ AB\]\B<L^M<L\`_acbD_]ZN<L^M<L\BIb0 AB<IXde< T OgfO7hjik3l>l>lmfnOPh 4poqik5I" A1==@r=sAB<tR A1=s6ZX8[ AB\B\]<L^M<\u_acbD:;6NP_]ZN<L^M<L\BIb0 AB<IXde< v O 4$w I A ==xr=sab<yr A =s6!z8[ A \]\]<L^9<L\z_acbP_]ZXNL<L^9<L\]Ib AB<LIXde< { L 1L/B2~} 5 ƒ > Lfˆ kš q ŒŽfn h k V zœh.x h " LN ABZ@ Œ š z, nn#&% œ0 e es 0ž ŸšO fno3 š k 2 y fn VkŠ v O tw Lëf i@h kª «m ] Œ, qo ` > fn k O fªixh k + 1 n#&% 1œ e/0, eš 3 f g }0k 2 7 ƒ ib 9 Ž Ž so t fˆ VkŠ > D mhp «mº ²!³ µ ¹ ²j» Œ, q g > Lfˆ k } X¼ h¾½ ½ À Á,  Ã1Ät eœ eˆåš% L 1œ0 Š2 Œ ÆoÇ V q Œ eo ŒÈÇp š ŒÈ ] V q > ŒH š N0 A Z@. ABZK6<D?B_B<LIX=sAB<>= yé _"C ABZ^MAB<LI¾Ê ËÌFfˆ cç`k@ Í Œ9fˆ ÎhÏ FÐ5kfÇÑhÏ Ò/kª N0 ABZY FЃ Ó Œ g_eacb. Ò ŒÔÇ m f ] kx Õ >& ` > Lfˆ k FN0 ABZW ABZ¾6<*? _]<LIX=sAB<>= uöw: ABZx m fn ÆoÏÇzk Ø m fn *k oy ` > fçuk& _acb Ç A Z¾_]J,6Z_e6<NL6 Ö¾:Ù 9 Ž Ž ABZY6!=X=WIX=^Mac?mQLZ_"CDÚnZ>R AB<+ÚX _]ZNL6!8M<L^9<L\]6!<.AC+ Û:;6N ŒH Ó _eacb m fn *ks } x\ AB8M896Z~ÚX _BZK:Â6!NL68ŽC A ZNL6 =ƒ T zœ V g, > f3 k q} &Ý O ABZ@ f g s} ÝmÞ O k~_]:ß ABZ@ fn g s}0k ABZ@ABQQLZ_à^M:ÂA =s^žcm=@ fn g s}0ý Þ O0k~_]:ßO áqâbã tä r:â:;_]zkac7_]j,6zx_6!<lnl6p<l_]zx:(a 89ÚX _]ZXNL68MABNL6YC ABZX^åABJ8M6ZW ABZK<L_]ZX:(AB8ŽÚX _]ZN68åA NL6B

6 ô Ò Ò O ý ê ê tä?m^98m8m<labnl6<¹:â6!8m8åa <¹=CgR AK_]J,6Z_e6<NL6 <L_]ZX:(AB8ŽÚX _]ZN68åA NL6C ABZX^åABJ8M6Zg ABZ <L_BZ:ÂAB89ÚX _]ZXNL68MABN ¹ à æ Å 27çxR A =` 9 Ž Ž C ABZsA+6!==uIX=s^9ac?mQLZ_"CÚnZ>R AB< ÚX _]ZXNL689<L^M<L\B6< AC :Â6!N Œ 5 Ù y_acb m fn *k` è} épr A ABZÕ ëíì ë _eacb î fn «ëïì ë h k CF AB<>=s6 C A ZNL6!IZ^9?>=s^M\]A;IX? A1==s<^M<L\>A Z@A"Cð ZX6IQ,6?>=^9C]6 } ñö¾:èiq,6a!^m6!8m89=p ABZK òø f g s} k \ AB898M6!Z óh$ h$ òø f i"k~_acb ò ô }0Ý Þ O î Ý Þ O «õ ÅYö D - m e/œ0 7!"à æ 1 eå 2SçYR A = 9 Ž Ž C ABZsAW6 ==SIX=^Mac?mQLZ_"CzÚnZ>R AB<zÚX _]ZNL6!8M<L^9<L\]6!< AC I_B: ABZW f Fй s}0k¹_eacb Ç Ž Ž 9 cç "ø C ABZAð6!=X=pIX=s^9ac?mQLZ_"C.ÚnZ>R A < ÚX _]ZNL6!8M<L^9<L\]6!<*A"C.Ç I_B:ù ABZ@ fn ÒŠ s}0k& ŠéDR A+ A Z hß ÇØhqfn FÐ$h$ Òk î5ú o ø û ø «e T ÚX _]ZXNL68MABN N0 ABZYî Þ î _eacb î fo hjikxîg Ð oƒfno htikxî Ò oïo hïâ üð m,š2 Ç ë òø fnýþ oïý ë s}0k~_eacb+_bjv6!z_e6<lnl6 Ÿ/ ÿi] Ž Ž 9 so/ ý ê å«ê ê Ò ê ø «ê ø _eacb ýþ5 ÇØh } xi?1a =X=cABI@:;6N+îg5 ê n««å ø 1«e «ê ø ABZ5ô «e T ÚX _]ZXNL68MABN ê ø «Þ ABZ5ô ê ˆ«ø «e T ÚX _]ZNL6!8åABNF '+ e",š2 çyr A =Kfˆ cç k Ž Ž 9 fˆ sç k C ABZAY6 ==gi =s^9ac?eqz_"c`qšr Aufn cçzksf Œ, q Fй ` > fn k } Ð ŒÔÇ, q Ò, ` > LfÇuk } Ò k& É _BZZ6!8åA =^M_]<6<7:;68M8MAB<ð _acb+ç ŒŽfn h k!fçøh$ Òk[ Ê Ë1ÌVfˆ cç`k! }LÐ~}Ò }LÐ~}Ò I?1A =X=cABI@:;6NP?B_BZZ6!8åA =^M_]<I?B_e6";a!^M6<>=6< O ê ë$# ë h ê ë ê # ë ú fno ê ë hqf ê ë k kfno ê # ë hjf ê # ë k k

7 r n 2 1 r 2 är T n 2 fördelad Kondensintervall för µ, µ 1 µ 2 och β 1 Kondens intervall för en skattning ˆθ som testas med ˆθ θ 0 S(ˆθ) bildas som ˆθ fraktils(ˆθ) där fraktilen bestäms genom kondensgrad och teststatistikans fördelning 7