Att prioritera rätt. Hur elever i årskurs 5 går tillväga, gällande sturkturering och prioritering, när de beräknar numeriska uttryck

Transkript

1 Att prioritera rätt Hur elever i årskurs 5 går tillväga, gällande sturkturering och prioritering, när de beräknar numeriska uttryck KURS: Examensarbete för grundlärare 4-6, 15hp PROGRAM: Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6 FÖRFATTARE: Johannes Wiberg HANDLEDARE: Robert Gunnarsson EXAMINATOR: Pernilla Mårtensson TERMIN: VT17

2 JÖNKÖPING UNIVERSITY School of Education and Communication Examensarbete för grundlärare 4-6, 15hp Grundlärarprogrammet med inriktning mot arbete i grundskolans årskurs 4-6. VT17 SAMMANFATTNING Johannes Wiberg Att prioritera rätt Hur elever i årskurs 5 går tillväga, gällande struktuerering och prioritering, när de beräknar numeriska uttryck Antal sidor: 36 Forskning har visat att det finns missuppfattningar bland elever vad gäller prioriteringsregler och strukturer. Med det menas att elever missuppfattar, missbrukar, ignorerar eller är okunniga om de regler och konventioner som bygger upp det som brukar beskrivas som numeriska uttrycks strukturer. Aritmetik, det vill säga räknelära, utgör grunden för matematiken och att behärska aritmetik gör att eleverna klarar sig bättre i skolmatematiken. Men det finns också många forskare som knyter elevers förståelse och strukturer i aritmetiska uttryck till grundläggande aritmetik. Syftet med studien är att utvidga vår kunskap om hur elever i årskurs 5 strukturerar numeriska beräkningar och använder sig av prioriteringsregler i aritmetiska uttryck. Tidigare studier kring detta område har framförallt fokuserat på numeriska uttryck med två operationer, vanligtvis addition eller subtraktion och multiplikation. Man kan dock misstänka att uttryck med fler än två operationer ger möjlighet att få ytterligare insikt i hur elever strukturerar beräkningar. De uttryck vars elevlösningar analyseras i denna studie innehåller därför flera olika operationer (tre till sex operationer). Datamaterialet utgörs av elevers lösningar (från ett arbetsblad) på fyra olika uppgifter. Totalt omfattar studien 123 elever i sex olika klasser i årskurs 5, från fem olika skolor. I analysen framkom att elever strukturerar och använder sig av prioriteringsregler på kvalitativt skilda sätt. Främst strukturerar elevernade aritmetiska uppgifterna genom att göra olika former av grupperingar. I deras beräkningar visar det sig att flertalet verkar förstå att multiplikation ska räknas före addition och subtraktion, men när det gäller addition och subtraktion tycks de visa en osäkerhet vilket som ska räknas först. Sökord: aritmetik, algebra, prioriteringsregler, struktur, numeriska uttryck

3 JÖNKÖPING UNIVERSITY School of Education and Communication Degree Project for Teachers in Primary School Years 4-6, 15 hp Teacher Education Programme for Primary Education School Years 4-6 Spring semester 17 Abstract Johannes Wiberg To prioritaze right How students in grade 5 approach, regarding structure and order of operations, when calculating numerical expressions Number of pages: 36 Previous studies have shown the existence of misconceptions among students regarding the order of operations and structure of numerical expressions. This means that students misunderstand, abuse, ignore, or are ignorant of, the rules and conventions that define the structure of numerical expressions. Arithmetic is the foundation of mathematic and to master arithmetic allows students to perform better in school mathematics. There are also researchers that associate students knowledge of structure in arithmetic expressions to basic arithmetic. The aim of the study is to expand our knowledge about how students structure numerical expressions and use rules for the order of operations when calculating expressions, expressions that contain multiple operations. Previous studies about this area have focused on numerical operations with two operations, usually addition or subtraction and multiplication. One can, however, suspect that expressions with more than two operations give the opportunity to gain further insight into how students structure calculations. The expressions that have been analysed in this studie therefore contain more than two operations (three to six operations). A survey with several different tasks was used as a starting point for an analysis and the survey was handed to 123 students in grade 5 from six different classes in five schools. The result of the analysis shows that students use the order of operation and structure the arithmetic expressions in several different ways. The most common way to structure expressions was to form different groups. The students computations show that most students seem to know that multiplication should be treated before multiplication, but in addition and subtraction, the students seem to be uncertain of which should be dealt with first. Keyword: arithmetic, algebra, order of operations, structure, numerical expressions

4 Innehållsförteckning 1 Inledning Syfte och frågeställningar Bakgrund Styrdokument Aritmetik och Algebra Strukturer Prioriteringsregler Parentesers roll för elever Fenomenografi som ansats Metod Urval Arbetsbladets utformning Forskningsetiska överväganden Genomförande Materialanalys Tillförlitlighet Resultat Börja med multiplikation Grupperingar Räkna vänster till höger Kvantitativ data Diskussion Metoddiskussion Resultatdiskussion Källförteckning Bilagor

5 1 Inledning Aritmetik, alltså räknelära, är till stor del grunden för all matematik. En del av aritmetiken handlar om lagar och regler för hur vi räknar. Man kan hävda att skolans aritmetik till stor del handlar om att eleverna ska lära sig talens och operationernas egenskaper och i vilken ordning operationer ska räknas (Kiselman & Mouwitz, 2008). Tidigare studier visar att många elever har svårt att uppfatta sådana egenskaper och operationsordning (Karlsson, 2011; Linchevski & Livneh, 1999). Operationernas egenskaper och de konventioner som omgärdar numeriska uttryck bildar en form av struktur. Vi sammanfattar dem ofta i termer av räknelagar och räkneregler, som exempelvis prioriteringsregeln, att multiplikation måste föregå addition och subtraktion. Det är alltså denna struktur, dessa regler, forskningen (ibid.) pekar på att elever ofta har svårt att uppfatta och tillämpa. Den bilden av elevers svårigheter stämmer även med mina egna erfarenheter. I kursplanen för matematik står det att elever i årskurs 1-3 ska lära sig de fyra räknesättens egenskaper och samband (Skolverket, 2016). Dessa egenskaper och samband förväntas sedan elever i årskurs 4-6 känna till och kunna tillämpa. Dessa centrala metoder samt de fyra räknesättens egenskaper och samband handlar om aritmetikens grunder. Att förstå hur räknesätten förhåller sig till varandra och veta hur man räknar ut aritmetiska uttryck utgör en viktig bas för en fortsatt matematiklärande. Att vi redan i årskurs 1-3 ska lära oss om egenskaper och samband tyder på att det är en viktig del i aritmetiken och det gör att eleverna borde vara säkrare i äldre årskurser. Men hur kommer det sig då att flera elever inte klarar av att räkna ut exempelvis på ett godtagbart sätt? När elever blir äldre ska de kunna beräkna mer komplexa uppgifter innehållande fler operationer och då behöver eleverna kunna tillämpa prioriteringsreglerna på ett fungerande sätt. Enligt min erfarenhet finns ofta prioriteringsreglerna uppklistrade på tavlan längst fram i klassrummet med en fallande ordning från multiplikation, division, addition till subtraktion. Men forskningen har visat att genom att projicera den ordningen så finns det en risk att elever använder prioriteringarna i den ordningen som de sätts upp. Det gör att reglerna ses som statiska och räknas på det sättet även i uppgifter där t.ex. subtraktion kommer före multiplikation. För att kunna förstå hur räknesätten förhåller sig till varandra behöver eleverna alltså förstå aritmetikens strukturer och när de har den kunskapen kan de enklare generalisera aritmetiken. Enligt Anna Ekström, tidigare generaldirektör på Skolverket, är det oroande att många elever inte kan generalisera sina kunskaper tillräckligt efter årskurs 4 (Hallonsten, 2013). För att förstå strukturer och kunna generalisera sina kunskaper i matematik måste eleverna kunna använda sig av symboler och regler. Bell (1995) skriver att algebra kan ses som generaliserad aritmetik. Även fler forskare påpekar att algebra kan ses som, eller 1

6 till och med är, generaliserad aritmetik (Carraher, Schliemann & Brizuela, 2000; Van Amerom, 2003). Algebra kan även användas för att studera strukturer (Van Amerom, 2003). Inom algebran krävs det att elever kan hantera strukturer och regler, för det är när elever lär sig algebra som det blir tydligare med hanteringen av strukturen (Liebenberg, Linchevski, Olivier & Sasman, 1998). Om elever inte förstår hur de ska handskas med strukturer och regler blir det ett problem i fortsatt undervisning. Att kunna tillämpa sina kunskaper tillräckligt för att kunna hänga med i undervisningen krävs för att elever inte ska tappa intresset för matematiken. Det kräver alltså att eleverna har olika kunskaper gällande hur man strukturerar och beräknar aritmetiska uttryck. Om eleverna inte har tillräckliga kunskaper kring strukturer och olika regler och konventioner blir det svårare för eleverna när de börjar med algebra och så småningom mer komplexa uppgifter. Därför anser jag att det är intressant att försöka förstå hur elever strukturerar och prioriterar numeriska beräkningsuppgifter. 2

7 2 Syfte och frågeställningar Syftet med studien är att utvidga vår kunskap om hur elever i årskurs 5 strukturerar och använder sig av prioriteringsregler i en uppgift innehållande fyra deluppgifter. Syftet vill jag uppfylla genom att besvara följande frågor: Vilka kvalitativt skilda tillvägagångssätt använder elever när de beräknar numeriska uttryck? Vilka tillvägagångssätt är mest förekommande? 3

8 3 Bakgrund 3.1 Styrdokument I många länder ses matematik som ett statusämne vilket inte är konstigt eftersom att matematik kräver kognitiva kunskaper. De kunskaper och förmågor som elever lär sig i skolan ska finnas med genom hela livet. Skolans styrdokument säger att matematikämnet finns till för att lära eleverna lösa vardagliga problem och delta i samhällets beslutsprocesser (Skolverket, 2016). Ett av skolmatematikens syften är därför att elever ska lära sig att välja och använda lämpliga metoder för att göra beräkningar (ibid). Med metod menas här det tillvägagångssätt eleven väljer. I viss litteratur benämns detta istället som räknestrategier. Med metod menar jag alltså inte sådant som syftar till vilka redskap som används, som t.ex. miniräknare. Istället tolkas här ordet metod som en betäckning för minnesregler, eller genvägar, så som exempelvis talkamrater eller prioriteringsregler. Men för att kunna välja en lämplig metod behöver eleven kunna se övergripande mönster, strukturer, i de numeriska uttrycken. Det centrala innehållet i kursplanen för matematik har som en rubrik taluppfattning och tals användning (Skolverket, 2016). Under den rubriken beskrivs att undervisning i årskurs 1-3 ska omfatta de fyra räknesättens egenskaper och samband samt hur de ska användas i olika situationer. Det innefattar också centrala metoder för beräkningar med naturliga tal, vid huvudräkning och överslagsräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder (Skolverket, 2016). Vilka dessa de centrala metoderna är, är sedan upp till varje enskild lärare att välja ut. I årskurs 4-6 antar man sedan att eleverna kan de fyra räknesättens egenskaper och samband,åtminstone står det inte något om det i det centrala innehållet för de åren. Däremot ska eleverna fortsätta lära sig om centrala metoder för beräkningar med naturliga tal vid överslagsräkning, huvudräkning samt vid beräkningar med skriftliga metoder (Skolverket, 2016). Styrdokumentens text för årskurs 4-6 är alltså mycket likt det eleverna lär sig om i årskurs 1-3, men med antydan till att det i årskurs 4-6 är mer komplexa beräkningar. Motsvarande skrivning för årskurs 7-9 anger att eleverna ska lära sig centrala metoder för beräkningar med tal i bråk- och decimalform. Vidare kan man läsa i kommentarmaterialet att taluppfattning och tals användning är att eleverna ska lära sig om tal och hantering av tal, beräkningsmetoder samt hur dessa kunskaper kan användas i matematiska och vardagliga sammanhang (Skolverket, 2011). Om eleverna får möta tal och beräkningar av tal i ett utvidgat talområde, fördjupar deras förståelse och uppfattning av tal och olika räknesätt (Skolverket, 2011). Eftersom centrala metoder för beräkningar finns med i skolan alla stadier kan man kanske utgå från att det utgör en viktig del av den matematik man vill att elever skall tillägna sig. 4

9 3.2 Aritmetik och Algebra Aritmetik kan beskrivas som den gren av matematiken där man studerar addition, subtraktion, multiplikation, division, potenser och rotutdragning av tal (Kiselman & Mouwitz, 2008). Inom aritmetiken finns det även flertalet räkneregler och lagar som beskriver i vilken ordning en operation ska utföras och vilka egenskaper de olika talen har. De olika räknesätten hänger ihop med varandra, exempelvis är multiplikation och division motsatsen till varandra. De fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division) är binära när man utför operationer. En binär operation är när något utförs med hjälp av två tal, till exempel addition. När addition skall genomföras så innebär det att två tal lägga ihop, som exempelvis Men om man vill addera tre tal, så som så måste detta ske stegvis eftersom addition är binär kan inte tre tal adderas på en gång, de kan bara parvis adderas, steg för steg. Först adderas, förslagsvis 5 + 3, sedan lägga tvåan till den summan. Med det menas att uttryck som a + b + c beräknas med två tal åt gången, a + b = ab, ab + c = abc. Sådana egenskaper, som att addition är en binär operation, är exempel på vad som kan sägas utgöra aritmetikens algebraiska struktur. Nu är det ju inte meningen att elever ska behöva gräva djupt inne i den abstrakta algebran för att kunna välja rätt metod för beräkning. Studier visar att för att förstå algebra måste eleverna ha förstått kopplingen mellan aritmetik och algebra (Philipp & Schapelle, 1999). Även svenska studier pekar på samma samband. Persson (2005) gjorde en studie som visade att gymnasieelevers svårigheter med algebra har att göra med elevers bristande kunskaper i aritmetik. Han delade upp elevers svårigheter med algebra i tre kategorier. Den första kategorin är direkt kopplad till aritmetikens struktur och utgörs av prioriteringsregler för räknesätten, parentesers betydelse och osynliga parenteser, bråktal och bråkräkning, negativa tal och minustecknets betydelse. De andra kategorierna är matematisk abstraktionsnivå respektive logiskt tänkande, där logiskt tänkande handlar om logiska strukturer och övergripande algebraiska begrepp. Genom ett komplext tänkande kring förståelse och färdigheter kan eleverna uppnå ett algebraiskt tänkande (Drouhard & Teppo, 2004). 3.3 Strukturer Strukturell kunskap handlar exempelvis om att kunna identifiera alla likheter i ett uttryck (Kieran, 1988). För att kunna förstå konventioner och regler för hur man ska manipulera matematiska uttryck måste man ha en förståelse för strukturer (Linchevski & Livneh, 1999). En god förståelse av strukturer i olika uttryck ger i sin tur eleverna bättre förståelse av de matematiska räknereglerna (Banjeree & Subramaniam, 2012). För att utveckla en god förståelse om matematiska strukturer måste eleverna ha en aritmetisk kunskap kring matematik, eftersom aritmetiska uttryck ger en bakgrund till förståelse av algebraiska uttryck. Enligt Banjeree och Subramaniam (2005) tar det tid för elever att förstå relationen mellan struktur och beräkning av numeriska uttryck. Att utveckla en förståelse av strukturer kräver att eleverna ständigt använder olika procedurer och regler i olika situationer/kontexter och skapar en egen förståelse av relationen mellan komponenter i ett uttryck (Banjeree & Subramaniam, 2005). Eleverna behöver därför en 5

10 god kunskap i att utvärdera aritmetiska uttryck för att skapa en stark grund för att förstå algebra. För att manipulera algebraiska uttryck krävs att elever har kunskap om regler, egenskaper och konventioner när det gäller siffror och operationstecken. Har eleven bristande kunskaper om operationernas egenskaper kan det leda till hinder i förståelsen av att kunna generalisera och se mönster mellan siffror och tal (Williams & Cooper, 2001). Enligt Linchevski och Livneh (1999) visar flera elever att en uppfattning om likhetstecknet, som inte stämmer med den gängse (statiska) uppfattningen av vad = innebär. Anledningen till det kan vara att eleverna inte förstår i vilken ordning de ska räkna ut tal. Banjeree och Subramaniam (2012) lät eleverberäkna uttrycket Flertalet elever räknade ut talet såhär; = = 10, vilket ger ett felaktigt resultat och kan tolkas som att elever inte har kunskap om operationsordning eller om hur sådana uttryck skall uppfattas och beräknas (Banjeree & Subramaniam, 2012; Linchevski & Livneh, 1999). Det tyder på att eleverna tillämpar en aritmetisk mall på algebraiska uttryck (Linchevski & Livneh, 1999). Många elever använder dock godtyckliga sätt att förenkla algebraiska uttryck och begår därför samma misstag som i aritmetiska sammanhang (Banjeree & Subramaniam, 2012). Det visade sig även i Banjeree och Subramaniams (2005) studie att elever har svårt för uttryck där både addition och subtraktion ingår. När elever skulle beräkna uttrycket var det flera elever som gjorde additionen först och sedan räknade Detta uttryck har samma struktur som de tidigare, a b + c, och det finns framförallt tre olika möjligheter till elevers felräkning. Ett möjligt alternativ är att elever är benägna att koppla ihop talkamrater som de har lättare för. I det här fallet kan det vara lättare för elever att räkna istället för Det medför att eleverna alltså väljer att utföra den enklare operationen först (Banjeree & Subramaniam, 2005). Det kan också ha att göra med att minustecknet kopplar loss den sista delen av uttrycket. Linchevski och Livneh (1999) kallar denna losskoppling för detachment. De testade också sin hypotes på andra uttryck, t.ex för att se om eleverna svarade 20 eller 60. Om eleverna svarade 20 visade det på en detachment, att eleverna då lösgjorde från 50. Minustecknet skulle alltså ge upphov till starkare detachment hävdar de. Linchevski och Livneh (1999) kan se samma typ av beräkningar gällande uttryck med addition eller subtraktion och multiplikation som operationer. När det kommer till uttryck som beräknar eleverna addition före multiplikation för att, som en elev sa, jag måste veta vad jag ska multiplicera med (egen översättning, Linchevski & Livneh, 1999). När det gäller uttryck som så släpper de istället tanken om vänster till högerprincipen och kopplar bort minustecknet och beräknar multiplikationen före subtraktionen (ibid.). 6

11 3.4 Prioriteringsregler Bay-Williams och Martinie (2015) skriver att när lärare lär ut prioriteringsregler som statiska regler, alltså regler som inte kan ändras utan är fasta, missar eleverna effektiva metoder att använda vid beräkning av numeriska uttryck. Forskarna använde sig av uppgifter som 5! , där eleverna först räknar och sedan lägger ihop 4 16 och sist 24 4 för att sedan addera allt, = 285. Men det finns andra sätt att göra uttrycket enklare och således även operationen. Eftersom att både 16 och 24 multipliceras med 4 kan eleven använda sig av distributiva lagen och multiplicera 4 med 40 eftersom att = 40. Då kan eleverna räkna istället vilket ger resultatet 285. Med detta menas att eleverna bör se på uttrycket med en överblick och bestämma vilken beräkning som är enklast att använda (Bay-Williams & Martinie, 2015). Istället för att förklara för elever att reglerna är som de är och att de har satts för länge sen bör lärare engagera eleverna att leta och försöka förstå likheter och se varför uttryck är ordnade som de är (Bay-Williams & Martinie, 2015). Två vanliga sätt att lära ut prioriteringsregler i USA är dels ramsan Please Excuse My Dear Aunt Sally och dels förkortningen PEMDAS/PEDMAS (Bay-Williams & Martinie, 2015; Dupree, 2016), eller förkortningen BOMDAS/BODMAS (Linchevski & Livneh, 1999), vilket står för parentes (brackets), exponent (order), division/multiplikation (beroende på förkortning), addition och subtraktion. Men många elever utgår från att förkortningar skall följas ordagrant och att addition därför föregår subtraktion. När det gäller multiplikation och division gäller samma sak beroende vilken förkortning läraren har använt. Uttryck som 45/5 9 blir olika om division skall föregå multiplikation än om det är tvärtom; 45/(5 9) = 45/45 = 1, respektive 45/5 9 = 9 9 = 81. Ramsor eller förkortningar är inte ett bra sätt att lära ut om prioriteringsregler eftersom det ofta uppkommer missuppfattningar (Bay-Williams & Martinie, 2015; Dupree, 2016). Enligt Dupree (2016) finns det fyra vanliga missuppfattningar om prioriteringsreglerna. (1) Att addition kommer före subtraktion, (2) att multiplikation kommer före division, (3) att beräkningar måste utföras från vänster till höger och (4) att parenteser ska räknas först. Om vi lär eleverna dessa statiska regler missar de viktiga uppfattningar kring uttryck och tal (Dupree, 2016). Uttrycket kan enkelt förkortas till 10 eftersom att +3 3 och tar ut varandra. Om vi som lärare endast ger eleverna statiska regler kommer de börja räkna 3 8 = 5, 10 3 = 7 och slutligen = 10. Det finns också en riskatt elever vänder på 3 8 till 8 3 och kommer fram till det felaktiga talet 20. Därför bör lärare ge eleverna bättre verktyg till att se strukturer och lära dem att reglerna inte är statiska signaler som måste följas till punkt och pricka (ibid.). 7

12 3.5 Parentesers roll för elever Enligt Okazaki (2006) är det viktigt att ge eleverna en riktig uppfattning av parentesers roll eftersom den är djupt relaterad till den strukturella uppfattningen av uttryck. Svårigheten är att många elever endast ser parenteser som en statisk signal som visar vilken operation som ska utföras först (Linchevski, 1995). Det Linchevski (1995) skriver är att elever måste förberedas på en mer flexibel användning av parenteser, vilket även krävs i algebran, genom att utöka elevers uppfattningar samt ge en mer dynamisk dimension till användandet av parenteser. Elever behöver alltså förmågan att använda och hantera parenteser på ett korrekt sätt, annars kommer parentesen ses som en statisk signal och det blir svårare för elever vid uträkningar av mer komplexa aritmetiska strukturer. Även Gunnarsson, Hernell och Sönnerhed (2012) påpekar betydelsen av förståelse av parenteser som används i prioritetsregler. Gunnarsson et al. (2012) skriver att förståelsen har en grundläggande betydelse, inte bara för numeriska beräkningar, utan också för att skapa en förståelse av algebraisk struktur. 3.6 Fenomenografi som ansats Det finns olika sätt att undersöka elevers uppfattning om struktur i numeriska uttryck. En ansats som ofta använts för att beskriva hur begrepp uppfattas är fenomenografin. Fenomenografin tar sin utgångspunkt i hur människor uppfattar saker och ting i en viss situation, i situationen är det uppfattade innehållet det centrala (Kroksmark, 2007). Fenomenografin är en beskrivande ansats, metoden visar inte hur något egentligen är, utan intresserar sig för att förstå hur något uppfattas vara, vilket ibland refereras till som ett andra ordningen perspektiv (Kroksmark, 2007). Fenomenografin är induktiv (Kroksmark, 2007), och i och med att man samlar in information som analyseras och sedan dras en slutsats av analysens utfall. En fenomenografisk studie leder typiskt till en kategorisering i kvalitativt skilda uppfattningar. Fenomenografi brukar inte tillämpas på undersökningar innehållande enkäter, men i min studie vill jag inte fastna i rätt och fel genom att titta på elevers lösningar. Istället försöker jag utgå ifrån ett andra ordningens perspektiv där jag försöker se hur eleverna har gått tillväga när de har beräknat de fyra uppgifterna. Vad är det eleverna har gjort och hur har de gjort när de beräknat olika numeriska uttryck. Inom fenomenografin talar man om första och andra ordningens perspektiv. Första ordningens perspektiv handlar om att den objektiva världen pekar ut en verklighet. En verklighet som kan observeras utifrån för att tala om för oss hur något är (fakta). Utifrån andra ordningens perspektiv är det den subjektiva erfarna världen som påpekar en annan beskrivningsnivå som utgör en annan central del av fenomenografin (Kroksmark, 2007). Det är uppfattningar av världen som utgör denna nivå. Det betyder att ett accepterande av att människor uppfattar, urskiljer, handlar och orienterar sig i världen på kvalitativt olika sätt (Kroksmark, 2007). En fenomenografisk studie försöker inte ta reda på om något är sant eller falskt, utan om det som individen uppfattar i relation till något fenomen. 8

13 Inom fenomenografin finns uttrycken vad och hur som ska besvaras. Det kan handla om vad eleverna gör och hur de tänker när de gör som de gör. Vad-aspekten kan vara både materiell och ickemateriell i den meningen att elever exempelvis tänker på materiella saker och tanken är då riktad mot den saken, eller ickemateriell i den meningen att om en person berättar om en upplevelse av elevers lärande är tanken riktad mot elevers lärande (Alexandersson, 1994). Hur-aspekten handlar i sin tur om hur personer pratar och tänker kring hur personer lär, den skillnaden skiljer sig från person till person eftersom att alla tänker olika (Alexandersson, 1994). 9

14 4 Metod I detta kapitel presenteras studiens tillvägagångssätt och hur data har analyserats. 4.1 Urval Urvalsgruppen för studien var elever i årskurs fem och ett stickprov gjordes på 123 elever fördelade på sex klasser. De sex klasserna är utspridda på fem skolor belägna i en medelstor kommun på omkring invånare i Västsverige. Eftersom att prioriteringsregler vanligtvis introduceras i årskurs fyra eller fem ansågs elever i årskurs fem vara en lämplig målgrupp då eleverna kunde förväntas ha viss kännedom om hur uttryck med flera operationer bör beräknas. På så vis kan man anta att eleverna uppvisar en tillräcklig spridning avseende förståelse. De fem skolorna som valdes ut har inte valts ut baserat på ett sannolikhetsurval utan är utvalda efter praktiska och ekonomiska aspekter. De fem skolorna har dock valts ut för att erbjuda en spridning gällande etnicitet, språkbakgrund och socioekonomisk bakgrund. Det var 63 flickor och 60 pojkar som deltog i studien. Stickprovets utformning för med sig begränsningen att en generalisering av resultaten till en nationell nivå är omöjliga att göra. Dock kan det finnas en tillräcklig substans gentemot urvalet som säger att flertalet elever i Sverige gör såhär om det är flertalet elever som gjort samma sak i undersökningen. För en generalisering statistiskt säkerställd hade det krävts ett sannolikhetsurval (Bryman, 2011). Det är dock inget mål i sig med att generalisera, utan målet är att försöka förstå hur elever strukturerar, uppfattar och använder sig av prioriteringar vilket gör att ett bekvämlighetsurval är en godtagbar metod i valet av undersökningsgrupp. Eftersom det är en spridning i klasserna gällande de tidigare nämnda faktorerna anses möjligheten att fånga upp fler uppfattningar vara god. 4.2 Arbetsbladets utformning Den studie som presenteras i denna uppsats är en del av en större studie. I den större studien samlas data in i form av elevlösningar på ett arbetsblad. Arbetsbladet utformades i samråd med handledare och en annan forskare, Ioannis Papadopoulos, Aristotle University, Thessaloniki, Grekland. Jag och min handledare hade möten under tiden som arbetsbladet utformades och diskuterade uppgifter som skulle vara med. Samtidigt hade handledaren tät mailkontakt med Papadopoulos eftersom alla delar av arbetsbladet kommer användas till vidare forskning i det större projektet. Det, i sin tur, gjorde att handledaren utförde en pilotstudie i årskurs 5 för att kunna verifiera och korrigera frågorna till uppgifterna och spetsa till dem så att eleverna bättre skulle förstå uppgifterna. För min studie har jag valt att endast analysera en uppgift av sex möjliga. Den uppgiften består av fyra deluppgifter som kan visa på olika fenomen av elevers uppfattningar. Anledningen till beslutet att endast analysera en uppgift, som bestod av fyra deluppgifter, var att det fanns tillräckligt med underlag för en analys samt att det var den uppgiften som bäst motsvarar mitt syfte och frågeställningar. Arbetsbladet omfattar 10

15 alltså fler uppgifter (se bilaga 1) än den jag analyserat för att få med fler delar som kan analyseras. Delar som exempelvis prioriteringsregler, parenteser och strukturer finns med i den större studien. I den större studien görs det insamling av data både i Sverige och i Grekland, med likalydande arbetsblad. Jag har dock bara analyserat den svenska datan. Arbetsbladet utformades utifrån forskarnas diskussioner och erfarenheter. Det utformades för att kunna ge en bredare blick kring hur och vad elever svarar för att kunna analyseras vidare och inte endast fokusera på en speciell punkt, t.ex. parenteser. I uppgift tre finns det fyra deluppgifter som ska ge en syn på hur elever strukturerar aritmetiska uttryck. Två av uppgifterna på arbetsbladet, uppgift 4 samt uppgift 3d (se bilaga 1), har tidigare använts i forskning kring hur elever i årskurs 8 uppfattar och använder sig av parenteser i samband med prioriteringsregler (Karlsson, 2011). 4.3 Forskningsetiska överväganden När jag utförde studien följde jag de forskningsetiska principer som vetenskapsrådet har ställt upp (Vetenskapsrådet, 2002). Principerna är formulerade som informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet (Vetenskapsrådet, 2002). I enlighet med informations- och samtyckeskravet skickades ett brev ut till de som är berörda av studien, se bilaga 2. I brevet tog vårdnadshavare ställning till ifall deras barn fick medverka i studien. Eleverna tillfrågades dessutom ytterligare en gång i direkt anslutning till datainsamlingen, och i anslutning till det informerades de också om att de när som helst hade rätt att avbryta sitt deltagande. När det gäller konfidentialitetskravet, handlar det om att deltagarnas personuppgifter ska förvaras så att obehöriga inte kan ta del av dem (Vetenskapsrådet, 2002). Enligt Vetenskapsrådet (2002) får insamlade personuppgifter endast användas för forskningsändamål, vilket påpekas i den fjärde principen, nyttjandekravet. I studien behöver deltagarna inte lämna ut några personuppgifter, men det insamlade materialet förvaras ändå skyddat från obehöriga. Inga namn kommer heller samlas in utan det är endast elevernas ålder och kön som kommer användas i studien för att karaktärisera spridningen i stickprovet. 4.4 Genomförande Sex olika klasslärare på sex olika skolor kontaktades och av dessa gav fem klasslärare klartecken att delta. Det gjorde att fem olika skolor deltog och därför ansågs spridningen tillräcklig. Jag valde att kontakta sex klasslärare för att kunna få fram en spridning av elever. De lärare som kontaktades arbetade på sex olika skolor, de skolorna har en geografisk spridning vilket även bidrar till att det blir en spridning gällande etnicitet och socioekonomisk bakgrund. De lärare i årskurs 5 som var intresserade fick sedan informationsbrevet som skickades med eleverna hem så att de forskningsetiska principerna kunde uppfyllas. Studien genomfördes i elevernas vanliga klassrum på ordinarie lektionstid. Eleverna arbetade med arbetsbladet enskilt och inga hjälpmedel, exempelvis miniräknare, var tillåtna. Under tiden som eleverna arbetade med arbetsbladet befann sig forskaren i klassrummet hela tiden som eleverna arbetade. Det 11

16 gjorde att alla elever fick samma förutsättningar och att de när som helst kunde ställa frågor som forskaren eventuellt kunde svara på utan att eleven lotsades till ett rätt svar. När eleverna var färdiga hämtades deras arbetsblad vid deras arbetsplats för att minimera störningen i klassrummet. Det tog ungefär 30 minuter för samtliga elever att bli färdiga med arbetsbladet. Om någon elev var färdig tidigare så fick de elever som var färdiga tidigare i uppgift att läsa tyst i en bänkbok eller sitta och rita, allt för att eleverna skulle få så bra arbetsro som möjligt. 4.5 Materialanalys När datainsamlingen var genomförd skrev jag upp nummer på varje arbetsblad för att kunna särskilja vem som hade skrivit det arbetsbladet, innan jag kopierade och klippte isär varje deluppgift i arbetsbladet. Det gjordes även för att kunna individualisera men också anonymisera data. Totalt var det 123 elever som deltog. När samtliga arbetsblad var numrerade kopierades arbetsbladen för att kunna struktureras efter egen analys men ändå spara rådata. I alla arbetsblad klipptes alla deluppgifter i uppgift tre upp. Det gjordes för att lättare kunna se vad varje elev hade gjort på just den deluppgiften, hade jag låtit alla fyra deluppgifter vara kvar på samma sida hade det varit svårt att analysera varje enskild deluppgift på det sättet som jag gjorde. På så vis möjliggjordes att varje elevs deluppgift kunde analyseras och kategoriseras separat. Totalt blev det alltså 492 papperslappar med elevlösningar som skulle analyseras. Inspirationen till analysen kommer från fenomenografin. Men jag har tillämpat den lite annorlunda här än hur fenomenografi brukar beskrivas. Fenomenografi (se kap 3.6) brukar användas för att beskriva kvalitativt skilda uppfattningar om ett fenomen (andra ordningens perspektiv). Resultatet av en fenomenografisk studie är oftast en kategorisering av vilka uppfattningar som finns. Studiens data visar ju inte elevers egentliga uppfattning, utan snarare elevers tillvägagångssätt när de beräknar de fyra deluppgifterna. Det blir ett sorts andra ordningens perspektiv av elevers tillvägagångssätt. När jag hade analyserat klart uppgift a) gjorde jag samma sak med uppgift b), c) och d). Under tiden som jag analyserade materialet tillkom nya metoder/kategorier och några uppgifter fick en egen kategori, något annat?, som senare analyserades en gång till för att se om de passade in under någon tidigare kategori. Speciellt noterades de olika tillvägagångssättens kvalitativa skillnader. Materialet är så omfattande (492 elevlösningar) att den kvalitativa analysen till viss del kunde kompletteras med en kvantitativ analys. Så när samtliga delar av den kvalitativa analysen var klar kvantifierades de olika kategorierna för att få en överblick över vilka metoder som användes flitigast. Efter att en del av resultatet var skrivet gjorde jag en omanalys av hela materialet. Anledningen till att ytterligare en till analys gjordes var för att se om jag missat något i den första analysen. Under den andra analysen framkom det att jag hade fått en annan syn på en del av tillvägagångssätten, vilket gjorde att några kategorier behövde revideras och nya kategorier tillkom. Genom att göra en till analys 12

17 gav det mig bättre överblick över samtliga elevers sätt att strukturera och uppfatta prioriteringsregler. 4.6 Tillförlitlighet I kvantitativ forskning kan forskaren beskriva kvaliteten i en undersökning genom att beskriva dess tillförlitlighet och äkthet (Guba & Lincoln, 1994). Tillförlitligheten består av fyra delkriterier; trovärdighet, överförbarhet, pålitllighet och en möjlighet att styrka och konfirmera (Bryman, 2011; Guba & Lincoln, 1994). Trovärdigheten i studien styrks av att studien har följt de regler som finns kring forskning. Efter arbetet bör även de som berörs av studien (lärare och elever) få tillgång till att se vad forskaren fick för resultat. Min studie kommer finnas tillgänglig för respondentvalidering (Bryman, 2011). För att uppnå trovärdighet gäller det även att det som forskaren har beskrivit i resultatet är acceptabelt för andra människors ögon (Bryman, 2011), eftersom att studien är så pass stor som 492 elevsvar visar det på en trovärdighet gällande resultatet till skillnad mot att endast analysera exempelvis 100 elevsvar. Med det stora antalet hävdar jag att det går se att vissa delar som skiljer sig i elevernas uppfattningar och som borde gå att överföra på en större population elever. Tillförlitligheten bör även vara helt konsekvent och det gjordes genom att varje deluppgift analyserades för sig. Analysen skedde även två gånger vid två olika tillfällen för att öka tillförlitligheten. Genom att låta en utomstående person, som har tidigare erfarenhet av matematikundervisning, vara med vid ett tillfälle av analysen ökar det tillförlitligheten genom att kunna se på elevernas tillvägagångssätt ur olika synvinklar. Genom att låta flera vara med i analysen används en forskartriangulering (Bryman, 2011; Langemar, 2012) vilket ökar trovärdigheten av resultatet. För att ytterligare öka tillförlitligheten presenteras kategorierna i resultatet tillsammans med elevexempel. Uppgifterna på arbetsbladet är utformade specifikt för att svara på syftet och vissa frågor har återanvänts från tidigare forskning, om än något modifierade. Genom att en pilotstudie har genomförts ökar det giltigheten på så sätt att pilotstudien gjordes på samma åldersgrupp som målgruppen. Pilotstudien genomfördes för att säkerhetsställa att frågorna kunde ligga till grund för en kvalitativ analys och pilotstudien visade även om frågorna var tvungna att skrivas om för att minimera risken för misstolkningar. Tillförlitligheten ökade i och med att jag var med på datainsamlingen, då jag kunde förbereda eleverna genom att ge alla elever samma information. Även om det gjordes ansträngningar för att öka tillförlitlighet finns det alltid risk för felkällor. Det finns elever som kan ha misstolkat uppgifterna, skrivit fel eller elever som inte har svarat alls. Det finns även en risk till felkälla att elever har gett uttryck för uppfattningar som de egentligen inte har genom att de hittat på svar eller gissat (Gomm, 2004). 13

18 Pålitligheten i studien påverkas av att det ska finnas en fullständig och tillgänglig redogörelse av hela forskningsprocessen (Bryman, 2011). Pålitligheten styrks när det sker en kvalitativ granskning av studien, i detta fall blir studien granskad under flera tillfällen av kollegor och handledare. Det sker även en opponering där en objektiv person granskar studien vilket styrker pålitligheten. 14

19 5 Resultat I detta avsnitt presenteras resultatet av analysen. Resultatet är uppdelat i olika kategorier som beskriver olika metoder som visar på elevernas tillvägagångssätt. Resultatet presenteras genom att visa hur eleverna har gått tillväga när de har beräknat olika uppgifter. De uppgifter som är analyserade är uppgift 3 a), b), c) och d) (se bilaga 1). I slutet av resultatet visas även, i procent, hur stor andel av eleverna som använt vilket tillvägagångssätt. 5.1 Börja med multiplikation Att börja med multiplikation var det vanligaste tillvägagångssättet bland eleverna. Kategoriseringen börja med multiplikation är uppdelad i två underrubriken, börja med multiplikation - räkna vänster till höger och börja med multiplikation räkna från multiplikationen åt höger Börja med multiplikation, räkna vänster till höger Den enskilt vanligaste metoden sammanlagt på alla uppgifter (a, b, c och d) var att börja räkna multiplikation innan man räknade från vänster till höger, eller räknade varje del för sig från vänster till höger. Samtliga uppgifter innehåller endast multiplikation och subtraktion eller addition, det gör att det är svårt att veta om eleverna hade haft samma uppfattning och tillvägagångssätt om det hade funnits division i uppgifterna. Men utifrån de uppgifter där eleverna har visat sina tillvägagångssätt, var det multiplikation före addition och subtraktion som visar elevernas uppfattningar. När eleverna skulle förenkla uttrycket började de att beräkna multiplikationen i mitten och sedan sätta in produkten i hela uttrycket och räkna från vänster till höger, se figur 1. Figur 1.Exempel på en lösning däreleven först räknar ut multiplikationen och sätter in produkten i uttrycket för att därefter räkna från vänster till höger (Elev 82). Elevens uppfattning (elev 82) antyder en grundläggande förståelse för att multiplikation ska beräknas före subtraktion. Elevens tillvägagångssätt i det här fallet visar även att man inte kan bryta ut multiplikationen, räkna ut produkten och sedan sätta det först, 2 3 = 6, 6 2 = 4, 9 4 = 5, vilket en del elever har gjort. Det finns fler elever som visar på uppgattningen att räkna multiplikationen först och sedan räknat från vänster till höger, men alla har inte satt in produkten av multiplikationen i uttrycket igen, utan räknat varje del för sig för att få fram en förenkling av uttrycket, se figur 2. 15

20 Figur 2. Eleven räknar först multiplikationen och sedan räknar eleven ut varje del för sig från vänster till höger (Elev 42). Elevens tillvägagångssätt i figur 2 tyder på att hen har kunskaper kring prioriteringsregler genom att eleven räknar ut varje del för sig. Det som eleven visar i sin uppfattning är att hen börjar med multiplikation och sedan sätter in produkten i uttrycket igen genom att beräkna 9 6. Figur 3. Här har eleven börjat med multiplikation genom att bilda par runt varje multiplikation och sedan satt in produkterna av multiplikationerna i uttrycket (Elev 13). Att börja med multiplikation och sedan räkna från vänster till höger kan här ses i uppgift d). Utifrån min tolkning av elevens beräkning har eleven börjat med multiplikationerna (figur 3), och sedan satt in produkterna i uttrycket för att kunna beräkna uppgiften. Elevens tillvägagångssätt tyder på att eleven har en förståelse för både prioritering och strukturering. Figur 4. Metoden att räkna multiplikation först för att sen sätta in svaren i uttrycket användes här av en elev, men här har eleven vänt på uttrycket, vilket kan ses som en förenkling eller att använda den kommutativa lagen (Elev 103). Det som är intressant i fallet med figur 4, är att tillvägagångssättet visar på förståelse gällande räknelagar där eleven använder sig av den kommunitativa lagen när personen vänder på ordningen för att förenkla uttrycket , kan lika gärna beräknas som , vilket många andra elever gjort. Att använda sig av olika räknemetoder och räknestrategier visar att eleverna kan tänka på olika sätt när de förenklar uttryck. Det är inte bara olika metoder (multiplikation först, 16

21 bilda par, etc.) som används utan även olika räknemetoder och räknestrategier som eleverna använder för att beräkna de olika uttrycken Börja med multiplikation, räkna sedan från multiplikationen åt höger. Det finns elever som i uppgift a) börjar med multiplikation men sedan inte verkar veta vad de skall utföra för operation efter det. Det resulterade i att de från multiplikationen räknade åt höger och avslutade med det första talet i uttrycket. Sex elever har gjort så på första deluppgiften, a), och det visar på någon form av förståelse av multiplikation. Eftersom många har lärt sig att man ska räkna multiplikation först gör flera elever på det sättet, men sedan verkar de inte veta hur de ska fortsätta uträkningen och väljer således den operationen eller det talet som kommer efter multiplikationen. Figur 5. Tillvägagångssättet här är att börja med multiplikation men sedan räknat talet efter, 2 3 och sedan 6 2, på så vis börjar eleven med operationen och räknar sedan åt höger innan hen avslutar med det första talet i uttrycket (Elev 18). Att göra på det här sättet visar att eleven, se figur 5, har förstått prioriteringsordningen genom att räkna multiplikationen först. Det eleven sedan inte verkar ha förstått är att produkten av multiplikationen ska sättas in i uttrycket där multiplikationen har utförts. 5.2 Grupperingar Att elever bildar olika grupper var en vanlig metod. Följande visar på olika tillvägagångssätt som eleverna använde när de bildade olika sorters grupperingar Bilda par En vanlig (den näst vanligaste) metod kan sammanfattas med att bilda par. Bilda par gjorde en del elever även innan de beräknade exempelvis multiplikation och sedan räkna från vänster till höger. Men bilda par som kategori visar att eleverna bildade par så långt det gick oavsett operation. Figur 6. Tillvägagångssättet eleven har använt kan ses som att eleven har bildat par i ordning och succesivt bildat par efter varandra (Elev 70). 17

22 Figur 6 visar, att elevens uppfattning om strukturering grundar sig i att bilda par från vänster till höger genom att ta två tal och para ihop dem. Eftersom uppgiften innehåller ett jämnt antal tal blir det enkelt att bilda par om två. Det visade sig att i de uppgifter som innehåller jämnt antal tal, är det vanligare att eleverna bildar par, se tabell 2 i kapitel 5.6. Det visade sig att i uppgift a), där uttrycket endast innehåller fyra tal med tre operationer är det vanligare med succesiv parbildning än i de andra uppgifterna. När det blir fler operationer blir det färre som använder sig av metoden att bilda par. Figur 7. Här har eleven bildat par kring 9 2 och 3 2 för att sedan multiplicera differensen med varandra för att på så sätt få fram produkten (Elev 52). I figur 7 kan man se att eleven har bildat par kring subtraktionerna. Att bilda par på det sättet tyder på att eleven verkar vilja få fram två tal som de sedan kan multiplicera med varandra istället för att räkna multiplikationen först och exempelvis sätta in produkten i uttrycket. Att beräkna subtraktionerna först ger eleven två nya tal att beräkna istället för tre, vilket kan ses som en enklare operation att göra för eleven. Figur 8. Här har eleven visat hur hen har bildat par genom att använda sig av parentestecken för att slutligen få fram sin summa (Elev 43). Att exakt veta hur eleverna har tänkt är svårt eftersom att de inte har intervjuats. Men i figur 8 kan man antyda en förklaring till tillvägagångssättet genom att eleven har satt ut parenteser kring de par som hen har bildat. Eleven visar sonika hur hen bildar två par och sedan beräknar subtraktionerna för att kunna få fram tal till multiplikationen. Samma elev (Elev 43) har även använt ett liknande tillvägagångssätt, genom att sätta ut parenteser på fler uppgifter. Det fanns även fler elever som valde att lägga till parenteser, möjligtvis på grund av att tidigare uppgifter i arbetsbladet innehöll parenteser. Figur 9. Här bildar eleven först ett par kring första multiplikationen, därefter bildar eleven par kring tal om tre, trots att eleven redan använt talen tidigare (Elev 25) 18

23 Vissa elever bildade par kring multiplikationerna och delade sedan in paren med att lägga till en addition (a b + c). På så sätt började alltså elever med multiplikation genom parbildning men när det kom till dubbelmultiplikationen i deluppgift b), la eleven till en addition och räknade sedan på samma tal igen. Uttrycket , blev uppdelad såhär, se figur = 20, = 18, = 13, = 41. Här har eleven (figur 9) alltså lagt till +6 och +1 till multiplikationen som eleven räknat på först istället för att endast ta multiplikationen först. Eleven använder också 6 och 4 två gånger i talet och har inte förståelsen att när hen använt ett tal är det förbrukat Bilda par kring varje operation Det finns även elever som visar på en uppfattning om att bilda par kring varje operation, inte bara två och två från vänster till höger utan vid varje enskilt operationstecken. Att bilda par runt varje operation gör att eleven får med alla tal två gånger. Det fanns elever som gjorde såhär på varje deluppgift, men det vanligaste var att eleverna använde olika metoder vid varje deluppgift. Figur 10. Här har eleven bildat par kring samtliga operationer (Elev 64). Genom att bilda par kring varje operation får eleven, se figur 10, med varje tal två gånger, utom första och sista talet. Det tyder på att eleven försöker räkna på varje operationstecken genom att få med det kring varje tal istället för att exempelvis bilda par om två och sedan räkna med kvarvarande operationstecken Bilda par men bortse från sista talet I uppgift a), b) och c), finns det ett jämnt antal tal i varje uttryck. I uppgift a), finns det fyra tal, i uppgift b) och c) finns det sex. Det gör att i de uppgifterna var det lättare att bilda jämna par och det märktes att parbildningsmetoden var vanligare i de uppgifterna jämfört med uppgift d). I uppgift d) fanns det sju tal vilket gjorde att eleverna inte kunde bilda jämt antal par utan var tvungna att utesluta något tal från paren om de inte bildade par runt varje operation. Det vanligaste sättet när eleverna bildade par på det sättet var att bilda par från vänster till höger och på så sätt avsluta med multiplikationen i uttrycket Det flera elever då gjorde var att bilda par succesivt från vänster till höger, (5 3), (2 4), (5 + 3) och sedan lägga ihop dessa tal med de operationer som blev över, se figur

24 Figur 11. Eleven har bildat par från vänster till höger och lagt ihop paren och avslutar med 2 (Elev 38). Det fanns även de elever som bildade par från vänster till höger men när de kom till det avslutande talet så skapade de ett par med föregående tal fast att de redan använt det talet till ett annat par. Då gjorde eleverna såhär 5 3, 2 4, 5 + 3, 3 2, detta trots att de redan använt sig av 3an i föregående par. Det visar att eleverna använder metoden bilda par men att de inte verkar veta exakt hur de ska göra när det finns ett uttryckt med udda antal siffror. Det fanns även de elever som bildade par succesivt och sedan avslutade med en grupp om tre, , likt eleven i figur Bilda grupp kring term Det fanns de elever som inte bildade par succesivt utan bildade par kring enskilda termer. Anringen kring addition, subtraktion eller multiplikation. Det går att se figur 1, som att eleven har skapat grupper kring termer (subtraktion) men jag räknar det endast som parbildning. I figur 12 verkar det som att eleven har bildat par kring additionerna. Det gör att eleven får fram tal som hen multiplicerar för att få fram en produkt. Det kan även tolkas som om eleven använder någon sorts omvänd prioritering där eleven räknar addition före multiplikation. Figur 12. Eleven har bildat par kring additionerna (Elev 116). Det fanns de elever som gjorde olika sorters grupperingar. En del gjorde olika slags grupper eller par kring operationer, vanligast syntes det i deluppgift a) där många bildade par kring subtraktionerna. Men det fanns även de elever som bildade par kring addition, se figur 12, eller par kring multiplikationerna. Sedan fanns de elever som bildade par kring operationenstecknet i mitten av uttrycket, vilket var vanligt i uppgift c), se figur