Noordhoff Uitgevers bv

Transkript

1 Hoofdstuk Matries toepassen Lesliematries ladijde a Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er, 8 in de leeftijdsgroep - jaar Van de dieren in de leeftijdsgroep van - jaar komen er 8 in de leeftijdsgroep - jaar tijdstip t t t t t t t - jaar jaar - jaar 8 8 totaal ladijde a L, Dit geeft L,,, en,,,, L L L,,,, ls voor t de aantallen in de vershillende leeftijdsgroepen ekend ijn, kun je met L de aantallen voor t erekenen, met L de aantallen voor t en met L de aantallen voor t De ontwikkeling van de populatie is periodiek met een periode van drie jaar, dat wil eggen na drie jaar ijn de vershillende leeftijdsgroepen net o groot als de groepen op t, a L,, Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

2 , t :,,, t :,,, t :,, tijdstip t t t t t t t t 7 t 8 t - jaar jaar jaar totaal In de loop van de tijd is de afname van het aantal dieren groter dan de toename Uiteindelijk al de populatie dieren uitsterven a g, h 7 h 7, g g g, 8, 7,,, 8,,, L,, h h, 7 h h, 7 h Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v 7

3 8,, 8,, 7 7, 7 88 maart :, 7, 8,, 8,, 7 77, 88 8 maart :, 7, 8 jaar aantal fator 7,77 8,78,7 88,77 Conlusie: de groei is eponentieel met groeifator,8 a Het getal linksoven etekent dat er in de leeftijdsklasse van - jaar gemiddeld, nakomeling per dier is In de derde leeftijdsklasse is de overlevingskans De derde leeftijdsklasse gaat om dieren van jaar en ouder d De kans dat een pasgeoren dier in de derde leeftijdsklasse komt is Populatiegrootte voorspellen ladijde a g, en g 78 8, 8 g : Van t tot t eslaat een periode van tien jaar De vierde leeftijdsklasse (van jaar en ouder) eslaat een periode van meer dan tien jaar Het is dus onekend hoe de aantallen in de vierde leeftijdsklasse in een periode van tien jaar veranderen Daardoor kun je g niet erekenen g : Het is onekend welk deel van de struiken elke tien jaar door rand verdwijnt Daardoor kun je g niet erekenen De Chaparral-vegetatie al estaan uit: % vegetatie van - jaar, % vegetatie van - jaar, 8% vegetatie van - jaar en % vegetatie van jaar en ouder d Leeftijdsklasse Perentage Oppervlakte in km - jaar % - jaar % - jaar 8% jaar en ouder % 8 km² 8 km² 8 km² 88 km² Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

4 7a,, Na jaar: 7,,,, Na jaar: 7,, Op de lange duur al de populatie uitsterven ladijde, 8a L, 8, 7,, 7 L 7, 7, Dee matri laat ien dat van elke leeftijdsklasse maar 7% overlijft Er is dus sprake van afname in elke leeftijdsklasse wat etekent dat de populatie op den duur al uitsterven,,,, L, dit geeft L, 8,,, Dee matri laat ien dat van elke leeftijdsklasse maar % overlijft Er is dus sprake van afname in elke leeftijdsklasse wat etekent dat de populatie op den duur al uitsterven d Reken voor vershillende waarden van het geoorteijfer (groter dan,) L uit Bij het geoorteijfer,8 ie je dat, 8, 8 L Het geoorteijfer moet dus minstens,8 ijn, 8, 8 opdat de totale populatie niet uitsterft a L L L De getallen in de matries shuiven ij elke volgende matri naar linksonder en komen rehtsoven weer terug De laatste matri heeft alleen getallen op de diagonaal staan Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

5 t : 8 t : t : t : t : In elke leeftijdsklasse is sprake van een golfeweging: toename wordt gevolgd door afname en afname wordt weer gevolgd door toename d tijdstip t t t t t t totaal e a ,, 88, 8, Na jaar is het totaal aantal salamanders gelijk aan 88,, 88, 8, 7, Invullen van de formule 7, 7 levert hetelfde aantal salamanders Op de diagonaal van de matri staan de perentages klanten die ij hun eigen supermarkt lijven Voor elke supermarkt geldt dat minder dan % van hun klanten van supermarkt is veranderd Voor het totaal aantal klanten geldt dan ook dat minder dan % van supermarkt is veranderd Er ijn geen aantallen ekend, dus het preiee perentage kun je niet erekenen, 8,,, 7,, 88,, 7, Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

6 Eén maand later heeft supermarkt I klanten, supermarkt II 88 klanten en supermarkt III 887 klanten Op de lange duur (vul ijvooreeld jaar maanden in) ontstaat er een staiele verhouding in het aantal klanten: supermarkt I heeft dan 7 klanten, supermarkt II klanten en supermarkt III 7 klanten Lineaire stelsels ladijde a ( ) ( ) 7 en dus ( ) ( ) Uit opdraht a volgt Invullen in het resultaat van opdraht geeft ( ) Hieruit volgt d De tweede vergelijking geeft e () 7 klopt () klopt () klopt a ( ) ( ) 7 geeft Uit opdraht a volgt Invullen in de tweede vergelijking geeft ( ) Hieruit volgt Invullen in de derde vergelijking geeft en dus Controle: () 7 klopt () klopt () klopt Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

7 ladijde a ( ) ( 7) Hieruit volgt met de eerste vergelijking 7, 7 en dus Uit de tweede vergelijking volgt Lineair omineren geeft ( ) ( ) 8 Hieruit volgt met de eerste vergelijking 8, 8 en dus ( ) ( ) d e Hieruit volgt met de eerste vergelijking, en dus Comineren van de eerste en derde vergelijking geeft ( ) ( ) () Invullen in de tweede vergelijking geeft ( ) 8 Hieruit volgt met () en met de eerste vergelijking volgt, en dus Comineren van de eerste en tweede vergelijking geeft ( ) ( ) 8 () Comineren van de eerste en derde vergelijking geeft ( ) ( ) ( ) Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

8 Invullen van () in () geeft ( ) Hieruit volgt met () en met de eerste vergelijking volgt, a geeft,,,, dus en 8 geeft 8,,,, dus en geeft 8,,,,,,,,, 8 dus, en d p q r s 7 geeft p q r s 7,,, 8 8 7,,,,,,,,,, 8 7,,, dus p, q, r en s Het stelsel vergelijkingen a a is te shrijven als 8 a 8 8 Hieruit volgt a dus roer eit 87 euro, roer B eit euro en roer C eit 7 euro Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

9 Bijondere stelsels ladijde a De oëffiiëntenmatri van dit stelsel is ls je de inverse van de matri proeert te erekenen geeft de GR een error: singular matri () klopt () klopt () 7 klopt d De tweede vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) 7 ( ) Dee vergelijking klopt voor elke waarde van We kieen, dit geeft met () en met de eerste vergelijking en dus 7a De oëffiiëntenmatri van dit stelsel is ls je de inverse van de matri proeert te erekenen geeft de GR een error: singular matri ( ) ( ) 7 7 geeft, dit is strijdig met de derde vergelijking Conlusie: dit stelsel vergelijkingen heeft geen oplossing 8a De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) () Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

10 De derde vergelijking omineren met de tweede vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) ( ) Dit geeft met () 7 en met de derde vergelijking 7 en dus 7 Conlusie: dit stelsel heeft preies één oplossing De tweede vergelijking omineren met de eerste vergelijking geeft ( ) ( ) 8 () De derde vergelijking omineren met de eerste vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) 7 7 ( ) Dee vergelijking klopt voor elke waarde van We kieen, dit geeft met () en met de eerste vergelijking, en dus Conlusie: dit stelsel is afhankelijk en ovenstaande oplossing is één van de mogelijke oplossing De eerste vergelijking omineren met de derde vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking geeft ( ) Invullen van () en () in de tweede vergelijking geeft Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

11 a d a ladijde 7 Bij de matrivergelijking hoort het stelsel vergelijkingen 8 7 De derde vergelijking geeft 7 () De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking en invullen van () geeft ( ) ( ) Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing 8 klopt 8 8 klopt 88 klopt 7 λ λ λ λ Invullen in de matrivergelijking van opdraht geeft λ λ ( λ) ( λ) λ λ λ λ ( λ) ( λ) ( λ) λ λ 8 λ λ ( λ) ( λ) ( λ) λ λ λ Bij dee matrivergelijking hoort het stelsel vergelijkingen a Er is een oplossing als het stelsel de vergelijkingen niet afhankelijk of strijdig is Dit is het geval als de de ijehorende lijnen niet evenwijdig ijn of samenvallen De normaalvetoren a en moeten dus vershillende rihtingen heen, dit is het geval als a Voor a en heeft het stelsel geen oplossingen ls a is de linkerkant van de eerste vergelijking gelijk aan anderhalf keer de linkerkant van de tweede vergelijking ls je er dan voor orgt dat ongelijk is aan, heeft het stelsel geen oplossingen Voor a en heeft het stelsel oneindig veel oplossingen De eerste vergelijking is dan namelijk gelijk aan anderhalf keer de tweede vergelijking Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

12 a a en geeft het stelsel vergelijkingen De vlakken U en V ijn gelijk aan elkaar en vlak W is de spiegeling van vlak U in het -vlak De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft De vlakken U en W snijden elkaar dus in de lijn a en geeft het stelsel vergelijkingen De eerste vergelijking omineren met de derde vergelijking geeft ( ) ( ) Hiermee volgt met de eerste vergelijking De oplossingen van het stelsel vormen een lijn in R en heen de vetorvoorstelling a en geeft het stelsel vergelijkingen De eerste vergelijking met de tweede vergelijking omineren geeft ( ) ( ) () De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft ( ) ( ) ( ) Invullen van () en () in de eerste vergelijking geeft en dus Conlusie: de drie vlakken snijden elkaar in het punt (,, ) d ls a ijn de drie vlakken hetelfde Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v 7

13 a De eerste vergelijking geeft () De tweede vergelijking geeft met ehulp van () ( ) De derde vergelijking geeft met ehulp van () en () Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking geeft ( ) ( ) () De derde vergelijking geeft met ehulp van () ( ) De vierde vergelijking geeft met () en () Dee vergelijking geldt voor alle waarden van Ehter de vijfde vergelijking geeft met () en () 7 7 Conlusie: dit is een strijdig stelsel en heeft dus geen oplossing feeldingen ladijde 8 a (,, ) B (,, ) C (,, ) d X (,, ) a Spiegelen in de -as Spiegelen in het punt (,, ) Vermenigvuldiging met fator ten opihte van de oorsprong d Translatie in over de vetor 8 Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

14 a d ladijde a P dus P (,, ) Q dus Q (,, ) R dus R (,, ) d S a a a dus S a a (,, ) 7a Roteren om de -as over een hoek van waarij de -as de -as als eeld heeft Meetkundige etekenis: loodreht projeteren op het vlak 8a Het eeld van (,, ) is 7 Het eeld van (,, ) is 7 Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

15 Het eeld van (,, ) is 7 7 Het eeld van (,, ) is 7 De eeldvetoren van de vetoren (,, ), (,, ) en (,, ) vormen respetievelijk de eerste, tweede en derde kolom van de afeeldingsmatri De eeldvetor van de vetor (,, ) is ihelf a Omdat vlak V niet door de oorsprong gaat wordt het eeld van de nulvetor niet, dus kun je geen afeeldingsmatri op stellen, want voor elke matri geldt W : Nu geldt wel dat (,, ) op (,, ) wordt afgeeeld d Om de afeeldingsmatri S w op te stellen he je de eelden van de eenheidsvetoren nodig (,, ) spiegelen in W: l : λ snijden met W geeft: ( ) λ λ λ λ λ λ λ λ Het snijpunt krijg je dus voor λ, het eeldpunt dan voor λ Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 8 (,, ) spiegelen in W: m : m snijden met W geeft: m m m m m m m m ( ) Het snijpunt krijg je dus voor m, het eeldpunt dan voor m Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 7 (,, ) spiegelen in W: n : ν snijden met W geeft: ν ν ν ν ν ν ν ν ( ) Het snijpunt krijg je dus voor ν, het eeldpunt dan voor ν Het eeldpunt van (,, ) is dus (,, ) 8 De afeeldingsmatri wordt dus: S w Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

16 Lineaire afeeldingen ladijde Lv w L v w ( ) L v v w w v w v w v w ( v w ) ( v w ) ( v w ) ( v w ) v w v w v v w w v v w v w v v w w w v w L v v L w Lv () w Lw ( ) a L L L L L L 8 L L L L 8 d L L L 8 a De normaalvetor van het vlak V is (,, ) De punten P, Q en R worden in dee rihting op het vlak V geprojeteerd Dus de eelden van P, Q en R ijn de snijpunten van elk van de lijnen (,, ) λ (,, ), (,, ) λ (,, ) en (,, ) λ (,, ) met het vlak V (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft ( λ) λ λ λ λ λ λ λ λ Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft λ( λ) λ λ λ λ λ λ λ v λ L( λv) L λ L v v λv λv λv λv λv λv λv λ( v v ) v v λ λ( v v ) v v λ v λ L v v v λ Lv () Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

17 a a 8 Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) (,, ) λ(,, ) ( λ, λ, λ ) invullen in de vergelijking van het V geeft λ λ ( λ) λ λ λ λ λ λ Het snijpunt van de lijn (,, ) λ (,, ) met het vlak V is dus (,, ) 8 De eelden van opdraht a vormen samen de afeeldingsmatri De lijn door (,, ) loodreht op V is λ Vul ( λ, λ, λ ) in ij de vergelijking van V: ( λ) ( λ) ( λ) dus λ λ λ λ waaruit volgt λ λ Het eeldpunt is dus (,, ) Omdat L een lineaire afeelding is mag je ook geruiken dat het eeldpunt van (,, ) de optelling van de eelden van (,, ), (,, ) en (,, ) is 8 Controle: 8 klopt ladijde Neem de punten (, ) en (, ) op de lijn l De eeldpunten worden dan os π sin π sin π os π en ls je dee punten in een assenstelsel et, kun je een lijn a formuleren Hier wordt dat Dit geeft voor de lijn l de vergelijking De lijn l kun je in een assenstelsel weergeven Het resultaat van de rotatie kun je, aan hand van de omshrijving draaien over een hoek van π om O tegen de wijers van de klok in, eveneens in het assenstelsel weergeven Dee lijn voldoet aan de vergelijking a waarij je a en aan de hand van de tekening uit kunt rekenen Met ehulp van een tegenvooreeld Het punt (, ) wordt afgeeeld op het punt (, ) Het punt (, ) wordt afgeeeld op het punt (, ) ls de afeelding lineair is, moet gelden R((, ) (, )) R(, ) R(, ) dat wil eggen R(, ) R(, ) R(, ) R(, ) (, ) en dat is ongelijk aan R(, ) R(, ) (, ) (, ) (, 7) Dus roteren om het punt P(, ) over een hoek van π is geen lineaire afeelding De afeeldingsmatri van (waarij voor π is ingevuld) is os π sin π sin π os π Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

18 a t t t t 8 t t 8t t t t t t t t t t Een lijn die evenwijdig is met de lijn l heeft deelfde rihting als de lijn l, maar gaat niet door het punt (,, ) In plaats van door (,, ) gaat dee lijn door een ander punt (dat niet op de lijn l ligt), eg het punt ( a,, ) Dee lijn heeft dan de a t vetorvoorstelling t lle punten op dee lijn worden op het punt t 8 a t (a t) 8( t) ( t) a t 8 8t t t a t ( t) ( t) a t t t t a t t t a a 8 a afgeeeld a In woorden: de lineaire afeelding T heeft deelfde werking op een lijn die evenwijdig is aan de lijn l, dus het eeld van dee evenwijdige lijn is ook één punt 8 λ ( λ) 8( λ) ( λ) λ 8λ λ λ λ ( λ) ( λ) λ λλ λ λ λλ d Punten in het vlak ijn van de vorm (,, ) Het eeld van dit punt onder de 8 8 afeelding T is Bij dit eeld hoort een lijn met de vetorvoorstelling ( ) λ 7 feeldingen samenstellen ladijde a Het eeldpunt van Pa (, ) heeft oördinaten ( a, ) Je shuift de spiegellijn en ook het punt Pa (, ) vier eenheden naar eneden De nieuwe spiegellijn heeft dan de vergelijking en het nieuwe punt noemen we even R Dit punt heeft oördinaten ( a, ) Het spiegeleeld van R ij spiegeling in de lijn heeft de oördinaten (, a) Nu shuiven we het spiegeleeld van R weer vier eenheden omhoog en dit geeft Q(, a ) Het eeldpunt van Pa (, ) is Q(, a ) Het eeldpunt van Q(, a ) is Ra (, ) d Een translatie naar rehts en naar eneden Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

19 7a De afeelding S m is spiegelen in de lijn m: S m (, ) (, ) en S m (, ) (, ) leveren samen de afeeldingsmatri B Een lijn die loodreht op de lijn staat, heeft rihtingsoëffiiënt Voor het punt (, ) levert dit de lijn met en dus Dit geeft Hiermee is het snijpunt met de lijn te erekenen: ( ) en dus Het punt (, ) spiegelen in de lijn levert dus het eeld (, ) (, ) Voor het punt (, ) levert dit de lijn met en dus Dit geeft Hiermee is het snijpunt met de lijn te erekenen: ( ) en dus Het punt (, ) spiegelen in de lijn levert dus het eeld (, ) (, ) Dee kentallen kloppen met de afeeldingsmatri S S (, ) S (, ) n m n d 8a S S (, ) S (, ) n m n De afeeldingsmatri C is dus klopt e S S (, ) S (, ) (, ) m n m S S (, ) S (, ) (, ) m n m De afeeldingsmatri ij S S is dus m n, dee is niet hetelfde als de afeeldingsmatri van S S, dus de afeeldingen ijn niet hetelfde ladijde n m os sin sin os Eerst over radialen draaien en daarna over a radialen draaien is hetelfde als in een keer over een hoek van a draaien Dit levert de afeeldingsmatri os( a ) sin( a ) sin( a ) os( a ) Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

20 a d De matries van opdraht en ijn gelijk aan elkaar Dus de uitdrukkingen links ovenin elk van dee matries is gelijk aan elkaar: os( a ) osaos sin asin e De andere goniometrishe formules ijn sin( a ) sinosa sin aos en sin( a ) sin aos sinos a f De afeelding S R etekent dat je eerst over a radialen draait en daarna over draait Dit is hetelfde als eerst over radialen draaien en daarna over a draaien Dus S R is deelfde afeelding als R S De afeeldingsmatri van V is De meetkundige etekenis hiervan is spiegelen in het vlak a S(,, ) (,, ), S(,, ) (,, ) en S(,, ) (,, ) Dit levert de afeeldingsmatri R(,, ) (,, ), R(,, ) (,, ) en R(,, ) (,, ) Dit levert de afeeldingsmatri osa R S sina sin a os osa sin De afeeldingsmatri van W is Neem het punt als eginpunt van de lijn l Dee lijn heeft de rihting λ Dit geeft voor de lijn l de vetorvoorstelling l λ λ λ Voor de eeldlijn l levert dit de vetorvoorstelling λ λ λ λ λ λ λ sin a a a a os os os sin sin sin os sin os sinaos sinosa sinasin osaos Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

21 Test jeelf ladijde, T- a L, an dee matri valt op dat er alleen op de diagonaal getallen, ongelijk aan nul staan T-a Voor een aantal tijdstippen de eeldvetor uitrekenen:, t :, t :, en t :, 7, Conlusie: De populatie al op den duur uitsterven, is de overlevingskans in de leeftijdsgroep volwassenen,,, 7, 8, 7 In vijf jaar ijn de aantallen in elke klasse sterk afgenomen, dus al dee diersoort op de lange duur uitsterven T-a ( ) ( ) 8 () ( ) ( ) ( ) Vergelijking () geeft 8 en dus () Invullen in () levert ( ) T-a d levert met () e () klopt () klopt () klopt De eerste en tweede vergelijking omineren geeft ( 8) ( ) 7 7 () en met de tweede vergelijking Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

22 T-a De eerste en derde vergelijking omineren en invullen van () geeft ( 8) ( 8) ( ) ( ) 8 Met ehulp van () geeft dit Met de derde vergelijking volgt 8, hieruit volgt 8 en dus Uit de eerste vergelijking volgt en dus 8 Invullen in de tweede vergelijking geeft ( 8 ) en dus 8 De eerste vergelijking omineren met de tweede vergelijking geeft ( ) ( ) () Invullen van () in de tweede vergelijking geeft ( ) Invullen van () en () in de derde vergelijking geeft ( 8 ) 8 8 en dus 8 8 De derde vergelijking geeft 7 7 () De eerste en tweede vergelijking omineren en invullen van () geeft ( ) ( ) ( ) 7 7 Conlusie: dit stelsel is strijdig Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v 7

23 8 De derde vergelijking geeft () De eerste en tweede vergelijking omineren en invullen van () geeft ( ) ( ) 8 7 ( ) Dee vergelijking geldt voor alle waarden van, dus dit is een afhankelijk stelsel ladijde 7 T-a Dee vetoren ijn gelijk aan hun eeldvetor Bijvooreeld:, of V : T-7a 7, dus 7 dus Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

24 Uit de eeldpunten van opdraht a volgt de afeeldingsmatri De tweede vetor min de eerste vetor levert de derde vetor: Dit etekent dat de drie gegeven vetoren samen een vlak vormen Met lineaire ominaties van dee vetoren kun je dus alleen vetoren uit dit vlak krijgen Je het meer informatie over de lineaire transformatie B nodig om over de eelden van alle vetoren uit de ruimte iets te kunnen eggen T-8a Het linkerlid van de tweede vergelijking moet dan een lineaire ominatie van de eerste en de derde vergelijking ijn: 8 a p q ( ) ( ) Hieruit volgt p q en p dus q Maar dan moet gelden 8 8 a a Nu moet ook worden aangetoond dat dit ook geldt voor het rehterlid van de vergelijkingen: 8 8 a en dit klopt dus er ijn oneindig veel oplossingen Uit het gegeven dat het stelsel oneindig veel oplossingen heeft, is af te leiden dat de drie vlakken een snijlijn heen (in plaats van een snijpunt) T-a De eerste vergelijking met de tweede vergelijking omineren geeft en dus De tweede vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft en dus De eerste vergelijking met de derde vergelijking omineren geeft ( ) ( ) en dus Conlusie: de punten die op de oorsprong worden afgeeeld liggen op de lijn l : Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v

25 L Conlusie: L L L ( ) wordt afgeeeld op, wordt afgeeeld op en wordt afgeeeld op Met dee eeldvetoren kunnen twee rihtingsvetoren van het vlak W epaald worden rv rv Met dee rihtingsvetoren kan een normaalvetor van het vlak W epaald worden n W, want en De vergelijking van het vlak W is dus Invullen van het punt geeft Dus de vergelijking van het vlak W is ( ) L L Noordhoff Uitgevers v Noordhoff Uitgevers v