Matematiska institutionen Optimeringslära TENTAMEN TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y Datum: 27 augusti 2013 Tid: 14-19 Hjälpmedel: Inga Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad. För godkänt krävs 8 poäng. Examinator: Torbjörn Larsson Jourhavande lärare: Torbjörn Larsson, tel 013-282435. Resultat meddelas per e-post Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påstående Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
Uppgift 1 Sköterskor vid ett sjukhus arbetar tre dagar per vecka enligt något av fem olika veckoscheman, vilka ges i tabellen nedan. Varje veckoschema har en given kostnad per sköterska och för varje dag finns ett minimibehov av sköterskor som måste uppfyllas. Dessa uppgifter ges också i tabellen. Schema Dag 1 2 3 4 5 Behov måndag x x 20 tisdag x x 25 onsdag x x 26 torsdag x x 26 fredag x x x 32 lördag x x 30 söndag x x 35 Kostnad 525 470 550 500 425 Det finns totalt 90 sköterskor tillgängliga, varav 70 är villiga att arbeta på lördagar och söndagar. a) Formulera en linjär heltalsmodell för problemet att fördela sköterskor på veckoscheman så att totalkostnaden för bemanningen minimeras. (2p) b) Antag att man förutom med veckoschemana ovan även kan bemanna helgen med hjälp av inhyrda sköterskor, till en kostnad av 300 per helg (lördag och söndag) och sköterska. Andelen inhyrda sköterskor får dock varken lördag eller söndag överskrida 20% av det totala antalet sköterskor som arbetar respektive dag. Hur modifieras modellen i deluppgift a av denna ytterligare möjlighet att bemanna, givet att modellen ska förbli linjär?
Uppgift 2 Betrakta följande linjära optimeringsproblem. min z = 2x 1 + x 2 då x 1 + x 2 5 (1) x 1 + x 2 11 (2) x 1 + 2x 2 4 (3) x 1 9 (4) x 1, x 2 0 Följande frågor kan besvaras oberoende av varandra. a) Låt s 1, s 2, s 3 och s 4 vara slackvariabler i bivillkoren (1) (4). Bestäm optimallösningen till problemet med hjälp av simplexmetoden. Utgå från baslösningen x B = (x 1, x 2, s 1, s 4 ). Inversen till motsvarande basmatris är B 1 = 1 3 0 2 1 0 0 1 1 0 3 3 0 0 0 2 1 3. (2p) b) Använd dualitet får att avgöra om x = (9, 2) T är en optimallösning.
Uppgift 3 Om heltalsproblemet max z = 5x 1 2x 2 då 3x 1 + 2x 2 19 x 1 + 3x 2 9 x 1, x 2 0 och heltal LP-relaxeras och löses med simplexmetoden så fås den ekvivalenta beskrivningen z 17 7 s 1 16 7 s 2 = 179 7 x 1 + 3 7 s 1 + 2 7 s 2 = 39 7 x 2 1 7 s 1 3 7 s 2 = 8 7 x 1, x 2, s 1, s 2 0 i optimalbasen (x 1, x 2 ). Här är s 1 och s 2 slackvariabler i de ursprungliga villkoren. a) Tag fram ett Gomory-snitt från x 1 -raden och uttryck det i endast variablerna x 1 och x 2. b) Tag fram ett Gomory-snitt från målfunktionsraden och uttryck det i endast x 1 och x 2. c) Studera problemet grafiskt och konstruera en fasett till konvexa höljet av de tillåtna heltalslösningarna. Uppgift 4 a) Visa med hjälp av ett motexempel att mängden {x R 2 x 2 1 x 2 2 1} inte är konvex. b) Undersök om funktionen f(x) = ( x 1) 2, x R, är konvex eller konkav, eller ingetdera, på hela R. c) För vilka x R 2 är funktionen f(x) = ln(e x 1 + e x 2 ) konvex?
Uppgift 5 Betrakta det olinjära optimeringsproblemet min f(x) = 3x 2 1 + x 2 2 då 1 x 1 x 2 0 x 2 1 x 2 0 x 1, x 2 0 och den tillåtna punkten x = (1, 1) T, samt de tre riktningarna d 1 = (1, 3) T, d 2 = ( 1, 2) T och d 3 = (1, 2) T. a) Vilken eller vilka av de tre riktningarna är avtaganderiktningar i x? b) Vilken eller vilka av de tre riktningarna är tillåtna i x? c) Använd resultaten i deluppgifterna a och b för att, om så är möjligt, avgöra om x är optimal eller ej. Om det inte är möjligt att avgöra detta utifrån resultaten i a och b: motivera varför! Uppgift 6 Betrakta det linjära problemet z = max z = 3x 1 x 2 3x 3 + 7x 4 då x 1 2x 2 x 3 + 5x 4 15 ( ) x 1 + x 2 5 x 1 3 2x 3 + x 4 4 x 4 6 x 1, x 2, x 3, x 4 0. Om villkoret ( ) relaxeras med multiplikator v 0 så fås Lagrangefunktionen L(x, v) = 3x 1 x 2 3x 3 + 7x 4 + v(15 x 1 + 2x 2 + x 3 5x 4 ). a) Beräkna Lagrange-duala målfunktionsvärden för v = 1 och v = 1, 5. Vilken starkaste slutsats kan dras om z utifrån dessa beräkningar? (2p) b) Visa att det Lagrange-duala problemet löses av v = 1, 4.
Uppgift 7 Avgör för vart och ett av följande påståenden om det är sant eller falskt. Motivera svaret! a) Betrakta problemet att finna en billigaste väg från nod 1 till nod 5 i ett riktat nätverk med bågkostnader enligt tabellen nedan (där ett streck betyder att bågen inte finns). till från 1 2 3 4 5 1-2 - 2-2 - - 1-4 3-1 - - 1-4 - -3 - - 1 5 - - -1 - - Då gäller att en lösning till Bellmans ekvationer ges av de fem nodpriserna y 1 = 0, y 2 = 2, y 3 = 3, y 4 = 2 och y 5 = 3. b) För ett billigaste uppspännande träd (minimalträd) i ett oriktat nätverk med bågkostnader gäller för varje nod i nätverket att bland de bågar som ansluter till noden så ingår en billigaste båge i trädet. c) Antag att x är en optimallösning till problemet min f(x) då g i (x) b i, i = 1,..., m, och låt I = {i = 1,..., m g i (x ) = b i }. Då gäller att x optimallösning till problemet även är en min f(x) då g i (x) b i, i I.