Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 14:E AUGUSTI 2017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), hjälpreda för miniräknare, miniräknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 10 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 24 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med, preliminärt, 22 23 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift 1 En läkare har följande praxis gällande operation vid en viss sjukdom: Om hon är 80% säker på att en patient har sjukdomen rekommenderar hon operation. Om hon är mindre säker än så rekommenderar hon istället ytterligare test, vilka är dyra och kan vara smärtsamma för patienten. För en specifik patient är läkaren 60% säker på att patienten har sjukdomen - baserat på diverse test och tidigare liknande fall - och beställer därmed test A. Patienten i fråga är diabetiker och test A är sådant att det alltid ger ett positivt resultat om patienten har sjukdomen, men för diabetiker som inte har sjukdomen ger det ett positivt resultat i 30% av fallen. Antag nu att test A ger ett positivt resultat för patienten i fråga. Vad bör läkaren göra, ska hon rekommendera operation eller utföra ytterligare test? Motivera ditt svar. (10 p) Uppgift 2 Den trendiga badbutiken Poolen och Plurret vill i slutet av säsongen bli av med de 2 000 badbyxorna som är kvar av årets kollektion. Därför anordnar man en realisation på de kvarvarande badbyxorna. Av erfarenhet vet man att antalet badbyxor som en kund köper på sådana realisationer dels är oberoende av hur många badbyxor andra kunder köper, dels kan betraktas som en stokastisk variabel X med sannolikhetsfunktionen 0.2 om k 0, 0.5 om k 1, p X (k) 0.2 om k 2, 0.1 om k 3, 0 om k > 3.
forts tentamen i SF1901 2017-08-14 2 Beräkna med lämplig och välmotiverad approximation det minsta antalet kunder som måste komma till butiken om sannolikheten ska vara 90% att butiken ska få samtliga kvarvarande badbyxor sålda. (10 p) Uppgift 3 I så kallade extremvärdesmodeller (av intresse i försäkringsbranschen) förekommer en kontinuerlig stokastisk variabel X som har fördelningsfunktionen 1 1, för x 1, F X (x) x2 0, annars. a) Beräkna för varje reellt tal x sannolikheten G(x) P (X 5 x X > 5). (7 p) b) Är G(x) definierad i deluppgift (a) en fördelningsfunktion? Motivera Ditt svar noggrant. För att få poäng i (b) krävs rätt svar i (a). (3 p) Uppgift 4 Ett flygbolag hävdar sig ha en av de bättre punktligheterna från en specifik större flygplats jämfört med konkurrerande flygbolag. Punktlighet mäts här i andelen flyg som avgår inom 20 minuter från utsatt tid. Bolaget påstår att färre än ett av 15 flyg är mer än 20 minuter försenat, vilket skulle bekräfta deras påstående om hur bolaget står sig gentemot sina konkurrenter. Flygbolaget har nyligen tecknat ett avtal med ett stort möbelföretag vilket innebär att flygbolaget får monopol på de flygresor som de anställda vid möbelföretaget gör i tjänsten i utbyte mot lägre biljettpriser. Ledningen för möbelföretaget tvivlar dock på flygbolagets påstående om sin punktlighet och ber sina anställda att under en månads tid notera om deras flyg från flygplatsen avgår i tid, det vill säga inom 20 minuter från utsatt tid, eller ej. Av de totalt 250 flygresor som möbelföretagets anställda gör under denna månad, avgår 20 av flygen senare än de tillåtna 20 minuterna. Genomför ett statistiskt test som på (möjligen approximativa) nivån 5% prövar bolagets påstående om dess punktlighet. Var noga med att ange dina hypoteser och motivera dina slutsatser. (10 p) Uppgift 5 Den trendiga badbutikskedjan Poolen och Plurret säljer bl.a. badbyxor. Badbyxorna finns i fyra olika färger. För att kunna planera produktionen vill man undersöka om de fyra färgernas popularitet fördelar sig på ungefär samma sätt som året innan eller inte. Undersökningen går till på följande sätt. När innevarande års försäljning börjar så noterar man vilken färg var och en av de 2 000 först sålda badbyxorna har. Om de fyra färgerna fördelar sig på ungefär samma sätt i årets undersökning som de gjorde i förra årets så ställs produktionen inte om. Om däremot de fyra färgernas proportioner i föregående års undersökning skiljer sig tilläckligt mycket åt från hur deras proportioner är i innevarande års undersökning så ställs produktionen om. Tabellen nedan visar antalet sålda badbyxor av respektive färg i respektive års undersökning.
forts tentamen i SF1901 2017-08-14 3 Färg Blå Svart Grön Röd Föregående år 943 357 498 202 Innevarande år 860 347 476 317 Avgör utgående från ovanstående data om produktionen bör ställas om eller inte. Använd risknivån 5%. Var noga med att ange dina hypoteser och motivera dina slutsatser. (10 p) Uppgift 6 I signalbehandling används ofta en procedur som på engelska kallas dithering. Ett mycket enkelt och rudimentärt exempel på dithering är följande. Låt m vara ett okänt tal ( en analog signal ), om vilket vi vet att 0 m 1. Den stokastiska variabeln X är likformigt fördelad på (0, 1). Vi bildar en ny stokastisk variabel (dithering av m) Y m X, där x är den s.k. heltalsdelen, dvs. det största heltalet som är mindre än eller lika med x. a) Enligt denna konstruktion är Y en binär stokastisk variabel, dvs. den har två möjliga värden 0 och 1. Bestäm sannolikhetsfunktionen för Y. (5 p) b) Låt y 1 1, y 2 1, y 3 1, y 4 0, y 5 1, y 6 0, y 7 1, y 8 0 vara slumpmässiga nollor och ettor, som ses som utfall av Y 1, Y 2,..., Y 8, respektive, där Y i m X i och alla X i är oberoende, U(0, 1)-fördelade stokastiska variabler. Skatta m på basis av y 1, y 2,..., y 8 med hjälp av maximum-likelihood-metoden (ML). (Den som inte har löst deluppgift (a) kan använda sannolikhetsfunktionen P (Y 0) 1 p, P (Y 1) p, 0 p 1 och skatta p med hjälp av ML.) (5 p) Lycka till!
Avd. Matematisk statistik LÖSNINGSFÖRSLAG TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK. MÅNDAGEN DEN 14 AUGUSTI 2017 KL 08.00 13.00 Uppgift 1 Låt S beteckna händelsen att patienten har sjukdomen och A händelsen att testet visar positivt (det vill säga indikerar att patienten har sjukdomen). Det är givet att P (S) 0.6 - läkarens uppfattning baserat på tidigare patienter och diverse test - samt att, på grund av patientens diabetes, P (A S) 1, P (A S c ) 0.3. Vi söker sannolikheten att patienten har sjukdomen givet ett positivt testresultat, P (S A). Om denna sannolikhet överstiger 0.8 bör läkaren rekommendera operation, annars bör hon utföra ytterligare test. Med Bayes sats fås P (A S)P (S) P (S A) P (A) P (A S)P (S) P (A S)P (S) P (A S c )P (S c ) 1 0.6 1 0.6 0.3 0.4 0.833 Med ett positivt testresultat är läkaren alltså mer än 80% säker på att patienten har sjukdomen och bör därmed rekommendera operation. Svar: Läkaren är nu mer än 80% säker och bör rekommendera operation. Uppgift 2 Låt X i vara en stokastisk variabel som betecknar antalet badbyxor som kund nr i köper. Vi får då µ E[X i ] 3 k p Xi (k) 0 0.2 1 0.5 2 0.2 3 0.1 1.2, k0 och där Detta medför att σ D(X i ) V (X i ) E(X 2 i ) E(Xi 2) (E(X i)) 2 E(Xi 2) 1.22, 3 k 2 p Xi (k) 0 2 0.2 1 2 0.5 2 2 0.2 3 2 0.1 2.2. k0 σ 2.2 1.2 2 ) 0.76.
forts tentamen i SF1901 2017-08-14 2 Låt nu Y n X i. i1 där n är det antal vi söker. Vi antar nu att X i :na är många och oberoende. Eftersom de dessutom är likafördelade gäller då enligt Centrala Gränsvärdessatsen att Y N(nµ, σ n) N(n 1.2, 0.76 n). Det ska gälla att P (Y 2000) 0.90, där Y är det totala antalet badbyxor som n kunder köpt, men eftersom vi har approximerat en summa av diskreta stokastiska variabler med en kontinuerlig så kan vi göra halvkorrektion och löser då P (Y 1999.5) 0.90. Vidare gäller P (Y 1999.5) 0.90 P (Y 1999.5) 0.10. För att kunna använda kvantiler för den standardiserade normalfördelningen, så gör vi omskrivningen P ( Y n 1.2 1999.5 n 1.2 1999.5 n 1.2 ) P (Z ) 0.10, 0.76 n 0.76 n 0.76 n där Z N(0, 1). På grund av symmetri gäller då att P (Z n 1.2 1999.5 0.76 n ) 0.10, d.v.s. n 1.2 1999.5 0.76 n λ 0.10 1.2816. Sätter vi nu n m fås en andragradsekvation med lösning m 0.46553040717±40.8223801188. Kvadrering av den positiva roten m 0.4655304071740.8223801188 ger n 1704.6915556, vilket avrundas uppåt till 1705. Svar: Det krävs att det kommer 1705 kunder för att sannolikheten ska vara 90% för att alla badbyxor skall säljas. Uppgift 3 a) Vi definierar först händelserna Definitionen av betingad sannolikhet ger nu A {X 5 x} och B {X > 5}. G(x) P (X 5 x X > 5) P (A B) P (A B), P (B) där A B {5 < X 5 x}. Vi uttrycker P (A B) med hjälp av fördelningsfunktionen för X som P (A B) P (5 < X 5 x) F X (5 x) F X (5).
forts tentamen i SF1901 2017-08-14 3 och på samma sätt gäller Insättning av F X ger nu G(x) Således har vi för x 0 att P (B) P (X > 5) 1 P (X 5) 1 F X (5). P (A B) P (B) F X(5 x) F X (5) 1 F X (5) 1 1 5 2 (5x) 2 5 2 1 1 (5 x). 5 2 2 G(x) 1 25 (5 x) 2. 1 1 (5x) 2 ( 1 1 5 2 ) 1 ( 1 1 5 2 ) Dessutom har vi att G(0) 1 25 (5) 2 0 och G(x) 0 för x < 0, ty om x < 0, fås att A B och således gäller G(x) P (X 5 x X > 5) P (A B) P (B) 0. Svar: G(x) 1 25 (5x) 2, för x 0 och G(x) 0 annars. b) En funktion G är en fördelningsfunktion om den uppfyller villkoren (1) lim x G(x) 1, (2) lim x G(x) 0, (3) G(x) är en icke-avtagande (höger)kontinuerlig funktion. Från deluppgift (a) vet vi att 25 lim G(x) 1 lim x x (5 x) 1 0 1, 2 så (1) är uppfyllt. Från deluppgift (a) gäller dessutom att G(x) är lika med konstanten 0 för negativa x eller med andra ord att lim G(x) lim 0 0, x x vilket verifierar (2). Genom att derivera G(x) en gång med avseende på x fås att ( ) 25 2 (5 x) 50 G (x) (5 x) 4 (5 x). 3 För x > 0 gäller alltså att G (x) > 0, vilket innebär att G(x) är (strängt) växande. En deriverbar funktion är som bekant alltid kontinuerlig. Med hänvisning till (1) (3) drar vi sålunda den slutsatsen att G(x) är en fördelningsfunktion. Svar: G(x) är en fördelningsfunktion.
forts tentamen i SF1901 2017-08-14 4 Uppgift 4 Låt X 1,..., X 250 vara oberoende Bernoulli-fördelade stokastiska variabler med sannolikhet p för en 1:a: P (X i 1) p, P (X i 0) 1 p, i 1,..., 250. Varje X i svarar mot en av de n 250 flygresorna som möbelföretagets anställda tar under månaden i fråga; X i 1 tolkas som att det i:te flyget var mer än 20 minuter försenat. Sannolikheten p svarar i sin tur mot flygbolagets punktlighet. Vi är intresserade av att genomföra ett statistiskt test av mot H 0 : p 1 15 H 1 : p > 1 15, på (approximativa) nivån 5%. Notera att vi tar flygbolagets påstående om ett av 15 bokstavligt när vi väljer H 0. Låt x 1,..., x 250 vara utfallet av de anställdas resor under en månad. Det gäller att Y n i1 X i har en Bin(n, p)-fördelning och y n i1 x i 20 kan ses som ett utfall från denna fördelningen. En punktskattning av sannolikheten p ges därför av p obs y n 20 250 0.08. Vi tar fram ett approximativt ensidigt konfidensintervall för p och använder konfidensmetoden för att pröva H 0 mot H 1. Då p obs 0.08 och n 250 gäller np obs(1 p obs) 250 20 250 230 250 18.4 > 10, varför normalapproximationen till binomialfördelningen är tillämpbar. Vi har därmed approximativt att n i1 Y X ( ) i p(1 p) N p, n n Valet av H 1 gör att vi söker ett nedre begränsat konfidensintervall. Med normalapproximationen för Y har vi P Y p < λ 0.05 0.95, p(1 p) n vilket ger konfidensintervallet, med approximativ konfidensgrad 95%, ( ) p p obs λ obs (1 p obs ) 0.05,, n
forts tentamen i SF1901 2017-08-14 5 för sannolikheten p. Insättning av n 250, λ 0.05 1.64 och p obs 0.08 ger intervallet ( ) 0.08 0.92 0.08 1.64, (0.052, ). 250 Eftersom intervallet innehåller p 0 0.067 förkastar vi ej H 0 på den approximative nivån 5%. Svar: Vi kan ej förkasta flygbolagets påstående på nivån 5%. Uppgift 5 Vi gör här ett homogenitetstest (avsnitt 14.3 i formelsamlingen) eftersom vi ska undersöka om sannolikheterna för färgerna är desamma i de båda försöksserierna. Nollhypotesen H 0 är då att fördelningen av färgerna är oförändrad mellan de båda undersökningstillfällena. Mothypotesen H 1 är då att det skett en sådan förändring. Teststorheten blir ( 2 4 xij n im j N Q i1 j1 Vi gör här en tabell med observerade antal enligt Observerade antal Blå Svart Grön Röd Totalt Föregående år 943 357 498 202 2000 Innevarande år 860 347 476 317 2000 Totalt 1803 704 974 519 n i m j N 2000 519 (202 ) 2 2000 519 2000 974 (476 ) 2 2000 974 ) 2 2000 1803 (943 ) 2 2000 1803 2000 1803 (860 ) 2 2000 1803 (317 2000 519 ) 2 2000 519 2000 704 (357 ) 2 2000 704 (347 2000 704 ) 2 2000 704 29.94. (498 2000 974 ) 2 2000 974 Om H 0 är sann och n i m j /N 5 så är 29.94 ett utfall från en stokastisk variabel som approximativt har en χ 2 -fördelning med (4 1)(2 1) 3 frihetsgrader. n i m j /N 259.5 > 5 så villkoret är uppfyllt. Eftersom χ 2 0.05(3) 7.81 < 29.94 så kan H 0 förkastas på nivån 5%. Alternativt kan vi beräkna sannolikheten att en χ 2 (2)-variabel är större än eller lika med 29.94 (X2cdf på en TIräknare). Denna sannolikhet, dvs p-värdet för testet, är 1.4 10 6. Detta p-värde är så lågt att vi förkastar H 0 på risknivån 5%. Både teststorheten och p-värdet fås direkt med funktionen X2-Test på en TI-räknare. Svar: Vi drar slutsatsen att förändringen i kundernas färgval är statistiskt säkerställd på risknivån 5% och att produktionen därför skall ställas om. Uppgift 6 a) Om 0 m 1 och den stokastiska variabeln X är U (0, 1)-fördelad, så vet vi om summan m X att dess värden alltid ligger mellan 0 och 2 och inom detta intervall gäller 0, för 0 m X < 1, m X 1, för 1 m X < 2, 2, för m X 2,
forts tentamen i SF1901 2017-08-14 6 Fallet m X 2 inträffar med sannolikhet noll, ty X är kontinuerlig, och kan därför försummas. Det gäller att p Y (0) P (Y 0) P (0 m X < 1) P ( m X < 1 m) 1 m 0 dx 1 m, ty X U(0, 1) implicerar att P ( m X < 1 m) P (0 X < 1 m). Komplementsatsen ger sedan p Y (1) 1 p Y (0) 1 (1 m) m. Svar: Sannolikhetsfunktionen för Y ges av p Y (0) 1 m och p Y (1) m. b) Sannolikheten för att få observationerna är p.g.a oberoendet y 1 1, y 2 1, y 3 1, y 4 0, y 5 1, y 6 0, y 7 1, y 8 0 P (Y 1 y 1, Y 2 y 2,..., Y 8 y 8 ) P (Y 1 y 1 ) P (Y 2 y 2 ) P (Y 8 y 8 ) P (Y 1 1) P (Y 2 1) P (Y 8 0) m m m (1 m) m (1 m) m (1 m) m 5 (1 m) 3. Vi maximerar likelihoodfunktionen L(m) m 5 (1 m) 3 genom att maximera l(m) ln L(m) 5 ln m 3 ln(1 m). Vi deriverar en gång och sätter derivatan lika med noll: vilket ger d dm l(m) 5 1 m 3 1 1 m 0, 5 1 m 3 1 1 m 5(1 m) 3m 5 5m 3m m obs 5 8. Svar: ML-skattningen av m är m obs 5 8. Kommentar: Det framgår av deluppgift (b) att den digitala informationen y 1 1, y 2 1, y 3 1, y 4 0, y 5 1, y 6 0, y 7 1, y 8 0 kan användas för att rekonstruera den analoga signalen m. Rekonstruktionen förbättras (enligt de stora talens lag), om antalet bitar y i växer, vilket är en av de ingenjörsmässiga motiveringarna till dithering.