Grafritning och Matriser Analys och Linjär Algebra, del B, K1/Kf1/Bt1, ht11 1 Inledning Vi fortsätter under läsperiod och 3 att arbete med Matlab i matematikkurserna Dessutom kommer vi göra projektuppgifter tillsammans med kemikursen som går samtidigt För att handledning och redovisning skall fungera effektivt kräver vi att all redovisning görs via sammanhållande skriptfil tillsammans med nödvändiga funktionsfiler Vi kräver också att ni har en Matlab desktop layout av det slag vi använde förra läsperioden Denna studio-övning är i viss utsträckning en repetition och består av två skilda delar, dels grafritning där vi skall göra lite snyggare/bättre grafer än tidigare, dels matriser där vi skall påminna oss matriser i Matlab samtidigt som vi börjar se på matriser i matematiken Nästa veckas studio-övning kommer vi helt ägna åt linjär algebra, dvs linjära ekvationssystem och liknande Grafritning För att konstruera en bra (användbar) graf som beskriver både kvalitativa och kvantitativa egenskaper så måste man i möjligaste mån först bestämma maxima, minima och både sneda och lodräta asymptoter och kanske till och med inflexionspunkter I Adams beskrivs detta på ett utförligt sätt i kapitel 46 Som exempel skall vi rita grafen till funktionen y = x +x+4, se exempel 466 i Adams (sid 48) I x det här exemplet så är y = x +1 en sned asymptot och x = 0 (y-axeln) utgör en lodrät asymptot Vidare är punkterna (, 1) och (, 3) är lokala maximum respektive minimum Planen är nu att rita en graf i Matlab som innehåller funktionskurvan i lämplig färg och lagom tjock lämplig skala (här får man ofta prova sig fram en del) asymptoterna markerade som röda streckade linjer och angivna med ekvationer extrempunkterna markerade och angivna med värden De kommandon som behövs för att klara av detta, axis, axis equal, figure, grid on/off, hold on/off, legend, linspace, pause, subplot, text, title, xlabel, ylabel, finns beskrivna främst i avsnitt 51-5 i Moore Dessutom behöver egenskapsparametrar bestämmas för tex plot som val av linje-typ, färg och tjocklek ( LineWidth ) 1
Nedan följer ett förslag på hur det skulle kunna se ut %% Graf och axlar xa=-8; xb=8; s=001; ya=-6; yb=6; % Med s>0 undviker vi singulariteten i x=0 xv=linspace(xa,-s); xh=linspace(s,xb); f=@(x)(x^+*x+4)/(*x); plot(xv,f(xv), blue,xh,f(xh), blue, LineWidth,) axis([xa xb ya yb]), axis equal, grid on xlabel( x ), ylabel( y ), title( y = (x^ +x +4) / x ) hold on %% Asymptoter x=[xv xh]; y=x/+1; plot(x,y, --red,[0 0],[ya yb], --red ) text(3,17, y = x/ + 1 ), text(-17,3, x = 0 ) %% Max och min plot(-,-1, oblack,,3, oblack ) text(-18,-07, (-,-1) ), text(18,36, (, 3) ) hold off Uppgift 1 Skriv en skriptfil av liknande slag som i exemplet ovan och återskapa figurerna 440-44 i Adams (sid 49)
Uppgift Konstruera figur 444 (sid 51) med hjälp av kommandot subplot i Matlab Lös uppgift 463 i Adams genom att titta på din egen figur har du rätt skalning? 3 Snygga formler med L A TEX Detta avsnitt handlar om hur man i Matlab med ett visst besvär kan göra snygga formler i figurer med L A TEX Vi ser detta som överkurs så lägg inte för mycket tid på det L A TEX kan kännas lite primitivt att använda, men det blir snyggt Många som skriver vetenskapliga texter inom matematik och fysik använder L A TEX, detta gäller även en del teknikområden Samma gäller även många läroböcker, liksom alla studio-texterna Man kan söka på nätet och finna mycket om L A TEX vid behov eller gå till den officiella hemsidan http://wwwlatex-projectorg/ Här är några exempel som fås med respektive 5 i, i=1 45, 7, 0 π e x dx = $$\sum_{i=1}^5 i^$$, $$\sqrt{45}$$, $$\frac{}{7}$$, $$\int_{0}^{\infty} e^{-x^} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{}$$ Svenska bokstäver å, ä, ö skrivs med \aa, \"a, \"o och Å, Ä, Ö med \AA, \"A, \"O Vi placerar ut formlerna med text eller gtext Som exempel ser vi på följande bild 3 sin(ax) lim = a x 0 x 1 0 1 3 1 0 1 3 som vi får med >> a=3; x=linspace(-pi,pi); y=sin(a*x)/x; plot(x,y, r ) >> axis equal, axis([-pi pi -1 3]) >> text(1,, $$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(ax)}{x}=a$$, color, blue, fontsize,14, interpreter, latex ) Utelämnar vi color, blue så blir texten svart istället, med fontsize,14 får vi större text och interpreter, latex behövs för att det inom de dubbla dollartecknena skall tolkas som en formel Det finns en funktion glatex på studiohemsidan, som kan användas för att placera ut text och formler (skrivna i L A TEX) i grafikfönstret 3
4 Matriser En matris är som ni vet ett rektangulärt talschema: a 11 a 1n A = (1) a m1 a mn Matrisen ovan har m rader och n kolonner, vi säger att den är av typ m n Ett matriselement i rad nr i, kolonn nr j tecknas a ij, där i är radindex och j är kolonnindex I Matlab skrivs detta A(i,j) och [m,n]=size(a) ger matrisens typ Indexeringen i Matlab är alltid som i (1), dvs rad- och kolonnindex börjar alltid på ett och vi kan inte ändra på det En matris av typ m 1 kallas kolonnmatris (kolonnvektor) och en matris av typ 1 n kallas radmatris (radvektor): a 1 a = a m, b = [ ] b 1 b n Du kommer att se att vi använder oftast kolonnvektorer för att representera kvantiteter som vi beräknar Element nr i ges i Matlab av a(i) och antalet element ges av m=length(a) Även för vektorer gäller att indexeringen alltid börjar på ett Motsvarande gäller för radvektorn b Som exempel tar vi Vi skriver in detta i Matlab enligt >> A=[1 4 7 10; 5 8 11; 3 6 9 1] >> a=[1; 3; 5] >> b=[0 4] 1 4 7 10 1 A = 5 8 11, a = 3, b = [ 0 4 ] 3 6 9 1 5 Uppgift 3 Skriv in följande matriser i Matlab 1 5 9 A = 6 10 4 5 6 1 3 7 11, B = 3 1, x = 1, a = [ 1 0 1 ] 1 1 1 1 4 8 1 Skriv ut matriselementen a 3, b 3, x Prova size och length Ändra b 3 genom att skriva B(,3)=5 En matris kan betraktas som en kollektion av kolonner: a 11 a 1j a 1n A = = [ ] a 1 a j a n a m1 a mj a mn () 4
med kolonnerna a 1 = a 11 a m1, a j = a 1j a mj, a n = Man kan även betrakta den som en kollektion av rader, men vi använder oftast kolonnrepresentationen I Matlab plockar man ut kolonn nr j med A(:,j) Här är j kolonnindex medan radindex i = 1,,m representeras av tecknet kolon : På liknande vis ges rad nr i av A(i,:) Det är läge att repetera Moore avsnitt 41 nu! Uppgift 4 Skriv ut kolonn nr 1, och 3 ur matrisen A i uppgift 3 Sätt in kolonnvektorn x som första kolonn i B genom att skriva B(:,1)=x Uppgift 5 Radera matrisen B (clear B) och skriv in den igen genom att först bilda kolonnerna 4 b 1 = 3, 5 b =, 6 b 3 = 1 1 1 1 och sedan sätta in dem i matrisen B = [b 1 b b 3 ] a 1n a mn 5 Redovisning Denna vecka skall uppgifterna 1-5 redovisas för handledaren 6 Inför nästa veckas studio-övning Inför nästa veckas studio-övning är det viktigt att man i förväg läser igenom texten för studioövningen Kommande veckor kommer studio-övningarna behandla matematik som har förelästs nära det att vi skall göra studio-övningen Det gör att ni vid genomläsning av texten kanske inte känner till all matematik, men det är ändå nyttigt och viktigt att läsa vidare Förståelse kommer alltid gradvis och vi måste alltid möta det okända någon gång Det är också mycket viktigt att vi blir klara med studio-övningarna under respektive vecka eftersom vi i läsvecka 5 skall göra ett kemiprojekt Projektet bygger på den matematik och de studio-övningar vi gjort fram tom läsvecka 4 I läsvecka 5 kommer kemister till studion och då skall ni kunna prata med dem om kemin i projektet 5