TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 7 april 2010 Tid: 8 12 Hjälpmedel: Ett A4-blad med text/anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: 5; Vardera uppgift kan ge 5p. Poängkrav: För godkänt krävs 12p, betyg 4 kräver 16p, och betyg 5, 21p. Examinator: Clas Rydergren Jourhavande lärare: Clas Rydergren, 0709 743898. Salsbesök c:a 9:30 och 10:30. Resultat anslås senast: 21 april 2010. Tentan kan hämtas ut hos Åsa Dahl, plan 6 hus Täppan. Kortfattade lösningsförslag anslås vid skrivningstidens slut. Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motivera alla påståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 1 Uppgift 1 Ett företag tänkter sig att rangordna ett antal utvalda figursågningssystem. Rangordningen ska göras i samband med ett eventuellt inköp. En av cheferna på företaget har sitt upp tre kriterier för att göra rangordningen. De är inköpspris, hastighet och kvalitet. Data för fem utvalda system finns i tabellen nedan. Inköpspriset är angivet i miljoner kronor, hastigheten i produkter per tidsenhet och kvaliteten på en skala mellan 0 och 10; där 0 är dåligt och 10 är perfekt, bedömt av samma chefen. Sågsystem Pris Hastighet Kvalitet A 1.7 25 4 B 2.5 20 5 C 2.1 18 4 D 4.5 33 9 E 1.8 21 6 a) Transformera tabellen ovan till en nyttomatris och eliminera sågsystem som dominas av andra. Ange den reducerade nyttomatrisen. b) Använd den reducerade nyttomatrisen för att göra en rangordning av föreläsningarna baserat på MCDM. Använd vikterna w = (0.5 0.3 0.2) för pris, hastighet respektive kvalitet. c) Chefen blir lite osäker på viktningen w, speciellt på hur avvägningen mellan hastighet och kvalitet bör vara. Låt viktningen för pris vara w 1 = 0.5. I vilket intervall kan viktningen för hastighet ligga för att ge samma rangordning, givet att vikterna ska vara icke-negativa och summera till 1? Uppgift 2 Ett bussbolaget ser över sin säsongsplanering inför sommaren. De ska planera in minst två dagliga avgångar från Stockholm till Sundsvall, Karlstad, Kalmar och Linköping vardera. De möjliga avresetiderna är 07:00, 09:00 och 10:30. Bolaget leasar bussar och chaufförer till en kostnad av 20.000:- per avgång för tiderna 07:00 och 09:00, och 15.000:- för tiden 10:30; bolaget kan inte använda mer än fyra bussar för tiden 07:00, tre bussar för tiden 09:00 och fyra bussar för tiden 10:30. Intäkten i kilo kronor per avgång (leasingkostnad oräknad) framgår av nedanstående tabell. (3p) a) Formulera, men lös ej, en vektoroptimeringsmodell för bussbolaget som: Maximerar totala nettovinsten (z1); Minimerar antalet avgångar för tiden 09:00 (z2);
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 2 Stad 07:00 09:00 10:30 Sundsvall 50 50 30 Karlstad 50 40 35 Kalmar 20 30 30 Linköping 40 30 40 Minimerar absoluta skillnaden i antalet avgångar för tiderna 07:00 och 09:00 (z3). b) Formulera det linjära programmeringsproblem som erhålles med viktmetoden, ovan målen z1, z2, z3 och z4, från deluppgift a) sammanvägs med viktvektorn w. c) Beskriv processen för att analysera (lösa) problemet med billvillkorsmetoden för att lösa vektoroptimeringsproblem, givet att endast målet i z 1 bibehålls i målfunktionen. Uppgift 3 Ett företag har tagit from en tillverkningsprocess för en ny produkt som de eventuellt vill lansera. Företaget uppskattar att de kan tjäna 180000 kronor under det första året om produkten blir framgångsrik, men att de förlorar 70000 kronor om lanseringen blir misslyckad. Företaget egna bedömning är att produkten blir framgångsrik med sannolikhet 0.75. Bortse från eventuella kostnader för framtagandet av tillverkningsprocessen. Företaget har en nyttofunktion, u, för monetära intäkter (kronor), x, som ges av (x + 70000) u(x) = 500 vilken speglar företagets nyttovärdering av pengar. Till en kostnad av 5000 kronor kan marknadspotentialen hos den nya produkten testas av ett externt företag innan lanseringen. Det externa företagets statistik från liknande lanseringar visar att en framgångsrik lansering har positivt (till skillnad från negativt) utfall i testet med sannolikhet 0.8. På samma sätt visar den att det blir negativt utfall med sannolikhet 0.2. En misslyckad lansering visar statistiken att testet ger ett negativt utfall i förväg med sannolikhet 0.7. På samma sätt visar den att det blir postivt utfall med sannolikhet 0.3. (4p) a) Rita ett beslutsträd över situationen, bestäm företagets optimala strategi och det maximala belopp (i kronor) som företaget bör vara villiga att betala för testet. b) Visa att företaget är (i stort sätt) indifferent mellan att göra ingenting (göra inget, vinna inget) och lotteriet att med sannolikhet 2/3 få 36375.1 kronor och med sannolikhet 1/3 förlora 50000 kronor.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 3 Avgör om företagets nyttofunktion indikerar risk-rädd (risk averse), riskneutral, eller en risksökare (risk seeking). Uppgift 4 (3p) a) Betrakta följande matris som en avkastningsmatris för radspelaren i ett tvåpersons nollesummespel med en rad- och en kolumnspelare [ ] 2 3 1 4 4 2 7 1 Använd Likgiltighetsprincipen för att visa att lösningen där radspelaren använder sina två strategier med sannolikhetern ( 2, 1 ) och kolumnspelaren använder sina 3 3 fyra strategier med sannolikheterna ( 1, 2, 0, 0) är en optimal blandad strategi. 3 3 b) Betrakta följande matris som en avkastningsmatris i ett två-persons nollesummespel med en rad- och en kolumnspelare [ ] 1 3 2 6 2 4 Bestäm de optimala blandade strategierna för rad och kolumnspelaren. Använd gärna grafisk lösning som hjälpmedel för att bestämma lösningen. Vilket är värdet på spelet för respektive spelare? Uppgift 5 Ett störrre post-bolag vill göra en enklare analys av mängden och placeringen av utlämningsställen för privatpaket ur ett samhällskostnadsperspektiv. Bolaget tänker sig att regionen indelas i n zoner, i = 1, 2,..., n. I respektive zon finns h i boende som antas hämta ut p i paket per dag, vilket antas kunna räknas om till a i m 3 paket per dag. Antalet är angivet som en frekvens, strikt större än noll, men oftast inte större än ett. Alla tänkbara placeringar av paketutlämningsplatser är numrerade j = 1, 2,..., m. Transportkostnaden för en tur-och-retur-resa mellan respektive hushåll i och utlämningsplats j är c ij. Kostnaden för en utlämningsplats i läge j består av en fast del f j och en rörlig del vilken är v j per m 3 paket och dag. Paketen fraktas till respektive utlämningsplats j från en central sorteringscentral med lastbilar med kapacitet b m 3 till en kostnad av g j per leverans. (4p) a) Formulera en matematisk modell för att minimera summan av hushållens transportkostnader och bolagets kostnader att driva utlämningsplatserna och att leverera paket till utlämningsplatserna en dag.
TNK047 [TEN1] OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 4 b) Antag att ett nytt krav uppkommer som säger att varje boende inte får ha en högre transportkostnad än C ij till sitt utlämningsställe. Modifiera modellen för att spegla detta krav.