TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS Datum: 18 december 2006 Tid: 14 18 Hjälpmedel: Ett A4-blad med egna anteckningar (båda sidor) samt miniräknare. Antal uppgifter: ; Vardera uppgift kan ge p. Poängkrav: För godkänt krävs 12p, betyg 4 kräver 16p, och betyg, 21p. Examinator: Clas Rydergren Jourhavande lärare: Clas Rydergren, 0709 743898 Resultat anslås senast: 4 januari 2007 Kortfattade lösningsförslag anslås vid skrivningstidens slut. Tentamensinstruktioner När Du löser uppgifterna Redovisa Dina beräkningar och Din lösningsmetodik noga. Motiveraallapåståenden Du gör. Använd alltid de standardmetoder som genomgåtts på föreläsningar och lektioner. Skriv endast på ena sidan av lösningsbladen. Använd inte rödpenna. Behandla ej fler än en huvuduppgift på varje blad. Vid skrivningens slut Sortera Dina lösningsblad i uppgiftsordning. Markera på omslaget de uppgifter Du behandlat. Kontrollräkna antalet inlämnade blad och fyll i antalet på omslaget.
(p) TENTAMEN TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 1 Uppgift 1 Pizzateknologen stå inför valet att genomföra en liten, mellan eller stor reklamkampanj inför julen. Tabellen neden ges förväntad vinst av respektive kampanj för Pizzateknologen. Storlek pånärliggande pizzeriors kampanj Pizzateknologen Liten Mellan Stor Liten 6000 000 2000 Mellan 000 6000 1000 Stor 9000 6000 0 a) Vilka är de maximin-optimala besluten för Pizzateknologen? b) Vilka är de maximax-optimala besluten för Pizzateknologen? c) Finn alla optimala beslut om Laplace-kriteriet används. Antag nu att Pizzateknologen har uppskattat att sannolikheterna för de tre kampanjutfallen (liten, mellan, stor) är (0.3; 0.4; 0.3). d) Vilka är de optimala besluten om Bayes EMV-kriterium används? e) Vad är det förväntade värdet av perfekt information för Pizzateknologen? f) Bestäm grämelsematrisen och bestäm alla optimala minimax-grämelse-beslut för Pizzateknologen. g) Vilka är de optimala besluten om det förväntade grämelse kriteriet (EOL) används? (p) Uppgift 2 En större publik inrättning ska se över sin beredskap för att ta hand om personer som får plötsligt hjärtstillestånd. De tänker sig att beredskapen ska förbätras dels genom utbildning av personal i hjärt- och lungräddning (Cardiopulmonary Resuscitation, CPR), dels utplacering av defilibratorer. Sannolikheten för attöverleva vid ett hjärtstillestånd är beroende av tiden tills hjälp ges i form av massage och defilibrering. Sannolikheten för överlevnad, baserat på tidigare statistik och approximationen att en ambulans anländer efter 10 minuter, beräknas ur uttrycket s(t CPR,t DEFIB )=max{0, 0.6 0.023t CPR 0.011t DEFIB } där t CPR är tiden innan hjärt- lungräddning påbörjas, och t DEFIB är tiden tills defilibrering görs, i minuter.
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 2 Antag att tiderna t CPR och t DEFIB står i direkt proportion till avståndet mellan platsen där personen med hjärtproblemet befinner sig och var personal med kunskap om hjärtlungräddning respektive platsen där en defilibrator finns utplacerad. Defilibratorutrustningarna kräver inte utbildning för att användas. Antag att varje person med hjärtproblem servas av närmsta personal och defilibrator. Den publika inrättningen finns beskriven i form av ett nätverk med noder och bågar. Varje nod beskriver ett rum eller samlingsplats i byggnaden och varje båge beskriver förflyttning mellan noder. Modellen innehåller 42 noder. Mellan varje par av noder i, j finns en båge; för varje båge ges ett avstånd mellan nod i och nod j, a ij.för varje nod finns en parameter d i,i=1,..., 42 som anger det uppskattade antalet hjärtproblem som uppstår (en uppskattning som gjorts utifrån antalet personer som förväntas vistas på respektive plats). Defilibrator och utbildad personal måste placeras i rum/samlingsplatser. Formulera en matematisk modell i form av ett linjärt heltalsproblem som: tillordnar rum för de 4 resurspersoner med hjärt- och lungräddningsutbildning samt föreslår en placering av 2 defilibrator-utrustningar, så att sannolikheten för dödsfall på grund av hjärtstillestånd i lokalerna minimeras (sannolikheten för dödsfall för varje plats summerad, minimeras). Definiera variabler och parametrar som ingår i modellen noggrannt. Motivera eventeulla ytterligare antaganden som du gör för modellen. Ange också hurmånga variabler och bivillkor som din formulerade modell omfattar. Uppgift 3 a) Betrakta följande matris som en avkastningsmatris för en radspelare i ett tvåpersons nollesummespel med en rad- och en kolumnspelare 2 7 4 9 2 3 1 7 1 0 2 Genom att utgå från kraven för en optimal blandad strategi för de två spelarna, visa att lösningen där radspelaren använder sina tre strategier med sannolikhetern ( 1, 1, 1 ) och kolumnspelaren använder sina fyra strategier med sannolikheterna 3 3 3 ( 1, 1, 1, 1 ) inte är en optimal blandad strategi. 4 4 4 4 (3p) b) Betrakta följande matris som en avkastningsmatris i ett två-persons nollesummespel med en rad- och en kolumnspelare [ 2 7 ] 4 9 2 7 Bestäm de optimala blandade strategierna för rad och kolumnspelaren. Använd gärna grafisk lösning som hjälpmedel för att bestämma lösningen. Vilket är värdet på speletför respektive spelare?
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 3 Uppgift 4 (3p) a) En beslutsfattare har en nyttofunktion, u, för monetära intäkter (kronor), x, som ges av u(x) = (x + 10000). i) Avgör om beslutsfattaren är risk-rädd (risk averse), riskneutral, eller en risksökare (risk seeking) ii) Visa att beslutsfattaren är indifferent mellan att göra ingenting (göra inget, vinna inget) och lotteriet att med sannolikhet 1/3 få 80000 och med sannolikhet 2/3 förlora 10000. b) Företaget Blommanurå utvecklar en ny blomgödning. Om Blommanurå sätter sin nya produkt på marknaden och den är framgångsrik förväntas de få envinst på 00000kr, men om den inte blir lika framgångsrik (floppar) kommer de att istället förlora 30000kr. Tidigare erfarenheter visar att liknande produkter blir framgångsrika med sannolikhet 0.6. Till en kostnad av 0000 kan marknadspotentialen hos den nya blomgödningen testas innan en lansering. Om testet visar ett positivt utfall så är sannolikheten för en framgångsrik lansering 0.8. Om testet visar ett negativt utfall så är sannolikheten för en framgångsrik lansering ändå 0.3. Testet ger positivt utfall med sannolikhet 0.6 och negativt utfall med sannolikhet 0.4. Rita ett beslutsträd för Blommanurås lansering, och bestäm deras optimala strategi. Uppgift Tre lantgårdar (A, B och C) ligger lokaliserade utmed en större bilväg. Lantgårdarna är sammanbundna med varandra och med den större bilvägen med ett antal små grusvägar med relativt dålig beläggning. Var och en av lantgårdarna ser ett värde med att få en asfalterad anslutning mot den större vägen. Värdet av en anslutning för respektive lantbruk ges av siffrorna inom parentes i figuren nedan. Var och en av de mindre grusvägssträckorna kan asfalteras till en kostnad som anges intill varje sträcka i figuren. Av kostnaderna i figuren framgår att det inte är lönsamt för något lantbruk att på egen hand asfaltera en egen anslutning, men att en gemensam insats skulle kunna vara det. Lantbruken har krav på lönsamhet på investeringen. a) Definiera en uppsättning variabler somkananvändas förattbeskriva kostnadsdelningsproblemet för vägasfalteringsproblemet, definiera den karaktäristiska funktionen samt bestäm dess värde för varje möjlig koalition i spelet.
TNK047 OPTIMERING OCH SYSTEMANALYS 4 (10) 8 (9) 3 (7) A B C 6 7 2 2 6 (1p) b) Teckna kärnan som beskriver den kostnad som kan debiteras lantbruken för att alla ska få en asfalterad anslutning mot den större vägen. c) Bestäm Shapley-värdet för spelet.