DIAGONALISERING AV EN MATRIS

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris DIAGONALISERING AV EN MATRIS Defiitio ( Digoliserbr mtris ) Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om det fis e iverterbr mtris P och e digolmtris D så tt ( ) Amärig. Oft vill m väd smbdet som vi får ur (*) geom tt lös ut A. Med "digoliser e mtris (om möjligt )" mer vi tt sriv, om möjligt, mtrise A på forme A PDP där D är e digol mtris. I vår urs betrtr vi digoliserig över reell tl med dr ord räver vi tt både P och D hr reell elemet. När vi sriver digoliserbr mtris mer vi i de här urse tt mtrise är digoliserbr över reell tl. Sts. Stse om digoliserbr mtriser och lijärt oberoede egevetorer Låt A vr e vdrtis mtris v typ. Mtrise A är digoliserbr om och edst om mtrise hr e uppsättig v st lijärt oberoede egevetorer. Om vi hr lijärt oberoede egevetorer då bestämmer vi D och P i uttrycet (*) eligt följde: Mtrise D bygger vi upp v mtrises egevärde. Mtrise P bygger vi upp geom tt sriv egevetorsoorditer som oloer i P. T ex i fllet 3 3, om mtrise A hr tre oberoede vetorer,,, med motsvrde egevärde,, då är h. Som sgt, betrtr vi ( i de urs) edst reell egevärde och egevetorer, och därmed gäller (Mtrise A hr mist ett egevärde) (A är INTE digoliserbr ) Uppgift. Avgör om A är e digoliserbr mtris och bestäm D och P om dett är fllet. ) 4 3 3 b ) A c) A 3 d) 3 e) 4 3

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris Lösig ) Mtrise hr två lijärt oberoede egevetorer och ( se Uppgift i extr övigr Egevärde och egevetorer ) och därmed är mtrise digoliserbr. Motsvrde egevärde är, 3. h 3 och D P AP eller evivlet APD P Kotroll Vi otroller om t ex APD P Eftersom då hr vi 3 6 3 4 Alltså PD P A b) J., ;, 3 och därmed 3 h c) Nej. Mtrise hr ig reell egevärde (och därmed ige reell ege vetor). d) J. Eftersom, ;, ; 4, hr mtrise tre oberoede vetorer och därför digolisers h. 4 e) Nej. edst e egevetor som svrr mot 3, Sts. Stse om sild egevärde och lijärt oberoede egevetorer Låt A vr e vdrtis mtris dvs e mtris v typ. Egevetorer som hör till sild egevärde är lijärt oberoede. Vi bevisr stse för fllet då vi hr två oli egevärde med motsvrde egevetorer och. Vi s vis tt + h. Låt + ( ) Multiplitio med A ger

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 3 Digoliserig v e mtris ( + ) + + ( ) Om vi frå ev subtrherr multiplicerd med får vi ( ) Eftersom och ( egevetor är ) måste. Substitutio i ev, och smm resoemg, ger. Alltså + h Därmed hr vi vist tt och är lijärt oberoede. På lide sätt visr vi stse om vi hr 3, 4 eller st sild egevärde Som e diret påföljd hr vi följde vädbr sts. Sts 3. Stse om egevärde och digoliserbr mtriser Låt A vr e vdrtis mtris v typ. Om mtrise A hr st oli (reell) egevärde så hr mtrise st lijärt oberoede egevetorer och därmed är A digoliserbr (över reell tl). Amärig: Upprepr tt vi ( i de urs) betrtr digoliserig över reell tl. Uppgift. Vis tt följde mtris är digoliserbr 4 4 3 Lösig: Mtrise är v typ 3x3 och hr tre sild reell egevärde,, 3 (otroller själv) och därmed, eligt Sts 3, är mtrise digoliserbr (över reell tl). Amärig: Om mtrise A v typ ite hr sild egevärde då båd fll, digoliserbr/ ice digoliserbr mtris, föreomm: Vi ser dett i följde exempel: Uppgift 3 Avgör om följde mtriser är digoliserbr ) ) 3 3 c) 4 4 Lösig: ( ) ) ( ) ( )

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR ( ), (dubbelrot) 4 Digoliserig v e mtris Mtrise hr ite två oli egevärde ut edst. Vi bestämmer egevetorer: ( ) ( ) ( ä ) ( ) ( ), h Därmed får vi tillhörde egevetorer ( ). Motsvrde egerummet är sp{ } och hr dimesio. Med dr ord: Vi INTE bild e bs v lijärt oberoede vetorer och därför är mtrise INTE digoliserbr. b) Mtrise hr ite två oli egevärde ut edst 3 me i det här fllet är mtrise uppebrt digoliserbr ( de är red e digol mtris). Egevetorer: (3 3) (3 3),, st för ll x,y. Vi t xt, ys och motsvrde egevetorer: +, (, ) (,). Därmed är egerummet(för 3 ) sp{, } R, och hr dimesio. c) Mtrise v typ 3 3 hr edst oli egevärde och dubbelrot,. (otroller själv) Egevetorer: i) För hr vi motsvrde egevärde ( ä ) och egerummet sp{ }. ii) För λ får vi 4 4 + ( ) 4 4 + 4 + ( å )

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 5 Digoliserig v e mtris / / +,, (, ) (,) / Därmed är egerummet sp{, } och hr dimesio. De här gåge vi välj oberoede egevetorer som svrr mot egevärde. Frå i) och ii) hr vi totl tre lijärt oberoede egevetorer ( vi bild iverterbr mtris P v typ 3 3) och därmed är mtrise A v typ 3 3 digoliserbr. Beräig v poteser med hjälp v digoliserig Om mtrise A är digoliserbr dvs om A srivs på forme då beräs på reltivt eelt sätt: Noter tt ( ) ( ) ( ) Uppgift 4 Avgör om följde mtriser är digoliserbr Låt 3 4 3 ) Digoliser mtrise A ( om möjligt) b) Berä Lösig: ) Mtrise hr två lijärt oberoede egevetorer svrr mot, och ; svrr mot och är därmed digoliserbr. Vi bildr, och berär. Därmed är

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 6 Digoliserig v e mtris ( ) 3 4 3 Uppgift 5. Avgör om följde mtriser är digoliserbr Låt 3 4 Berä Lösig: Eftersom, ;, ; 4, hrmtrise 3 oberoede egevetorer och därför är mtrise A digoliserbr med h. 4 Vi bestämmer iversmtris ( otroller själv) Nu vi berä 4 ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( 4 + 4 4 Uppgift 6. (KS 9) Låt A. ) Bestäm mtrises egevärde och egevetorer. b) Aväd ) och bestäm mtrise A 7. Svr ) λ, λ 3. Egevetorer: u t och u t. Lösig: b)

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 7 Digoliserig v e mtris Låt P. Då gäller P 3 A PDP där D. 3 7 7 A PDP PDP L PDP PD P 7 7 69 69 3 3 3 3 7 3 7 7 69 69 3 3 3 3 3 3. 69 69 3 3 b) Svr 69 69 3 3 Någr tillämpigr: Reursiv smbd. Oft vi besriv ett problem med ett smbd v typ (ett reursivt smbd) x( + ) x( ) x( + ) x( ) x( + ) x( ) + + + x ( ) x ( ) x ( ) + L+ + L+ + L+ x ( ) x ( ) x ( ) där,,3,. (sys ) Evtioer i (sys ) lls differesevtioer ( ej differetilevtioer). System (sys ) är ett lijärt homoget differesevtiossystem med ostt oefficieter Om vi betecr x( ) r x ( ) ( ) och x( ) A då vi sriv systemet på mtrisform ( + ) ( ) ö,,,. ( ) Vi förel och lös problemet geom tt strt med idex och uttryc ( ) som e produt v och strtvetor (). Eligt (*) hr vi ( ) ( ) ( ) ( 3). ()

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 8 Digoliserig v e mtris lltså ( ) () Om mtrise A är digoliserbr då vi berä geom tt väd Uppgift 6. Låt ( ) vr e oäd mtris som uppfyller ( + ) ( ) ö,,,. ( ) där A / 3/ och (). ) Bestäm ( ) b) Vd häder med ( ) om? Lösig: ( ) () Mtrise A hr två lijärt oberoede egevetorer svrr mot, och ; svrr mot / och är därmed digoliserbr med, D /. Vi berär (/) ( ) () () (/) ( ) (/) (/) b) Om då ( ) ( eftersom (/). ). Uppgift 7. (KS 8) Betrt vetorföljde b + + 3b + 3b + och. Bestäm vetor 5. Lösig: b,,,,. där följde defiiers v det reursiv smbdet

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR 9 Digoliserig v e mtris Eftersom + + 3b, b + + 3b och b vi sriv smbdet på mtrisform + A (*) 3 där A. 3 A A A( A ) A A. ( * ) Egevärde: ( λ) 3 det(a λi) λ 4λ (3 λ) λ, λ 4. 3 Egevetorer: u t och u t ( ) 3 och v och digoliser mtrise A. 3 Låt P. Då gäller P 4 3 4 3 A PDP där D. 4 5 5 A PDP PDP L PDP PD P 5 5 3 4 3 4 5 4. 5 5 4 3 4 4 3 4 Frå A. hr vi 5 5 5 49 5 4 3 4 5 4 5 4 5 A 5 5 4 5. 49 4 3 4 4 5 4 5 4 Uppgift 8. (KS 8) Betrt vetorföljde b där följde defiiers v det reursiv smbdet

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris b + + 4b + 4b +,,,,. och. 3 Bestäm vetor 4. Lösig: Eftersom + + 4b, b + + 4b och b vi sriv smbdet på mtrisform 3 + A (*) 4 där A. 4 A A A( A ) A A. ( * ) Egevärde: ( λ) 4 det(a λi) λ 5λ (4 λ) λ, λ 5. 4 Egevetorer: u t och u t. 4 Vi välj två lijärt oberoede egevetorer t ex v och v och digoliser mtrise A. 4 Låt P. Då gäller P 5 4 5 4 A PDP där D. 5 4 4 A PDP PDP L PDP PD P 4 4 4 5 4 5 4 5. 4 4 5 4 5 5 4 5

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR Digoliserig v e mtris Frå A. hr vi 4 4 4 5 4 5 4 A 4 4 5 5 4 5 4 39 3 5 3 5 4. 39 3 5 3 5 3 5 Speciellt fll: Mrovmtris (eller stostis mtris) Om mtrise A i reursiv smbdet + A hr följde två egesper:. Elemet i A är ice egtiv tl.. Summ v elemet i vrje olo är li med då lls A för e Mrovmtris (eller stostis mtris). (Såd mtriser väds oftst i solihetslär och öteori. Om A är e Mrovmtris och e solihetsvetor då smbdet + A defiierr e s.. Mrovedj:,, 3, ) E Mrovmtris hr ett egevärde λ (me h dr egevärde förutom )..4.3 Exempel: A är e Mrovmtris..6.7 Uppgift 9. I ett företg med 3 ställd fis två luchresturger A och B, där ll ställd äter luch vrje dg. De ställd byter oft resturg eligt följde möster: Av de ställd som går till A e dg, går (pproximtivt) % till B äst dg. Av de som går till B e dg, går (pproximtivt) % till A äst dg. Vi vet tt (idg dvs dg ) hr resturge A 5 besöre ( och därmed hr B 5 besöre). Låt och b betec tlet besöre dg till resturge A respetive B. ) Bestäm och b b) Bestäm pproximtivt tlet besöre i resturge A respetive B efter 8 dgr (dvs 8) c) Bestäm pproximtivt tlet besöre i resturge A respetive B efter 5 dgr (dvs 5) Lösig. Frå uppgifte får vi följde smbdet.8 +.b b + +. +.9b Vi sriv dett på mtrisforme: +.8. b +..9 b.8. eller, om vi betecr och A b, hr vi..9 + A (ev ). Frå (ev ) hr vi

Armi Hlilovic: ETRA ÖVNINGAR A A A( A ) A A. ( * ) där 5 5 Digoliserig v e mtris Kvr står tt berä A Metod..8. Mtrise A hr egevärde λ. 7 och λ..9 med motsvrde egevetorer v r och v r (otroler själv). 5 För tt berä A på ett (reltivt) eelt sätt uttrycer vi som e lijär 5 ombitio v egevetorer v r och v r. 5 Frå x + y 5 Alltså hr vi x 5 och y. r r 5v + v och därför r r r r r r A A ( 5v + v) 5A v + A v 5λ v + λv 5.7 + + 5.7 Alltså A 5.7 +. 5.7 Svr ) + 5. 7 b 5. 7 8 b) För 8 hr vi 8 + 5.7 ( eftersom.7 8 ) och b 8 5.7 c) Smm som i b dvs 5 och b 5 Amärig: Vi berä A geom tt först digoliser mtrise sed berä A PD P, och slutlige berä A PD P metode räver mist tre gåge mer beräigstid. A PDP me de här