Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik, Mathematics Handbook (Beta), Hjälpreda för miniräknare, räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 10 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt 24 poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med, preliminärt, 22 23 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre arbetsveckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på studentexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift 1 a) För de två händelserna, A och B gäller att P (A B) = 0.4, P (A) = 0.5 och P (A B) = 0.1. (A betyder komplement till A). Bestäm P (A B). (4 p) b) En kurs på KTH innehåller ett obligatoriskt moment som består i att en inlämningsuppgift skall göras. Dock får teknologerna välja bland tre olika inlämningsuppgifter. Resultat från tidigare år visar att teknologerna väljer att göra den första inlämningsuppgiften med sannolikheten 0.41, den andra med sannolikheten 0.34 och den tredje med sannolikheten 0.25. Sannolikheten att klara tentan om man har gjort inlämningsuppgift k är respektive 0.37, 0.45 och 0.63 för k = 1, 2, 3. En teknolog som väljs på måfå från gruppen visar sig klara tentan. Vad är sannolikheten att denne teknolog hade gjort inlämningsuppgift 3? (6 p) Uppgift 2 Ett datorprogram skall provköras i ett datornätverk bestående av ett stort antal datorer som kan få fel oberoende av varandra och där driftpersonal måste ingripa i de fall fel uppstår. En dag rapporteras en sådan typ av fel från 112 datorer. Antag att driftpersonalen, Lukas, ägnar sig enbart åt att åtgärda dessa fel och att det tar honom X i minuter att åtgärda fel i, där E(X i ) = 4 och V (X i ) = 2 antas vara samma för alla i. Beräkna med hjälp av lämplig och välmotiverad approximation a) sanolikheten att Lukas hinner åtgärda alla 112 fel innan hans 8 timmars arbetsdag är slut. (3 p) b) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst 0.95. (3 p) c) maximalt antal fel som Lukas med sannolikhet 0.99 hinner åtgärda under en 8 timmars arbetsdag. (4 p)
forts tentamen i SF1901 2014-10-27 2 Uppgift 3 Den stokastiska variabeln X har täthetsfunktionen { 1 x 7 e x/θ x 0, 7!θ f X (x) = 8 0 f. ö. där θ > 0 är en okänd parameter och V (X) = 8θ 2. Man har ett stickprov x 1 = 8.926, x 2 = 8.830, x 3 = 9.263, x 4 = 9.401 från denna fördelning. Bestäm ML-skattningen av θ och beräkna skattningens medelfel. (10 p) Uppgift 4 a) Ett företag tillverkar kosttillskottet MåBättre som påstås ändra kolesterolhalten. En experimentgrupp bestående av fem män deltog i en studie och fick använda kosttillskottet i sju veckor. För att undersöka effekten av MåBättre mättes kolesterolhalten både före och efter försöket för var och en av de fem männen. Resultat finns i följande tabell: Person nr 1 2 3 4 5 Före 401 345 346 352 319 Efter 305 265 266 276 250 Undersök om kosttillskottet MåBättre ändrar kolesterolhalten. Välj signifikansnivån på 5%. Var noga med att ange dina antaganden och formulera noga de hypoteser du använder. Din slutsats måste tydligt framgå. (4 p) b) Ett konkurrerande företag föreslår istället ett program HälsoMat bestående av en balanserad kost och träning som påstås ändra kolesterolhalten. Åtta andra män deltog i denna studie och fick gå programmet HälsoMat i sju veckor. För att undersöka programmets effekt mättes kolesterolhalten hos de åtta männen både innan de gått programmet och efter programmet avslutats. Resultat finns i följande tabell: Person nr 1 2 3 4 5 6 7 8 Före 312 382 349 301 346 342 301 349 Efter 233 390 373 326 372 392 377 436 Undersök om förändringen av kolesterolhalten kan påstås vara lika stor för MåBättres och HälsoMats metoder. Välj signifikansnivån på 5%. Var noga med att ange dina antaganden och formulera noga de hypoteser du använder. Din slutsats måste tydligt framgå. (6 p) Uppgift 5 Den stokastiska variabeln X kan anta värdena 0, 1, 2, 3, 4. Man gjorde 2500 observationer av X och fick följande: Observation 0 1 2 3 4 Antal 2042 424 26 8 0 Testa på signifikansnivån 5% hypotesen att den stokastiska variabeln X är binomialfördelad. (10 p)
forts tentamen i SF1901 2014-10-27 3 Uppgift 6 En stokastisk variabel är normalfördelad med väntevärde µ och standardavvikelse σ = 3. Nollhypotesen µ = 10 ska testas med hjälp av ett slumpmässigt stickprov om observationer. Beslutsregeln är följande: förkasta nollhypotesen om µ obs 10 > 1.23. a) Vilken signifikansnivå har detta test? (4 p) b) Bestäm styrkan hos detta test om µ = 11. (6 p) Lycka till!
Avd. Matematisk statistik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK I MÅNDAGEN DEN 27 OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Uppgift 1 a) P (A B) = 0.1 = P (B) = 0.5. Från detta får man Svar: P (A B) = 0.6. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0.5 + 0.5 0.4 = 0.6. b) Eftersom inlämningsuppgiften är obligatorisk och man måste göra endast en uppgift så betraktas {Inl1, Inl2, Inl3} som partition av Ω = {De inlämningsuppgifter studenten gör}. Låt K klara tentan. Sannolikheten att studenten klarar tentan ges med hjälp av lagen om total sannolikhet P (KlaraT) = P (KlaraT Inl1) P (Inl1) + P (K Inl2) P (Inl2) + P (K Inl3) P (Inl3) = Vidare, med hjälp av Bayes sats får vi 0.37 0.41 + 0.45 0.34 + 0.63 0.25 = 0.4622. P (Inl3 K) = P (K Inl3) P (Inl3) P (K) = 0.1575 0.4622 = 0.341. Svar: P (Inl3 Klara Tentan) = 0.341. Uppgift 2 Enligt uppgift är X i antalet minuter det tar att åtgärda fel i, i = 1,..., 112. Vi antar att X i :na är oberoende och lika fördelade, och E(X i ) = 4 och D(X i ) = 2. Enligt Centrala gränsvärdessatsen är Y 112 approximativt normalfördelad, N(112 4, 2 112) = N(448, 224). a) Med Y 112 = X 1 + X 112 söker vi (approximativt) P (Y 112 480). Eftersom Y 112 är approximativt normalfördelad, så får vi ( ) Y112 448 480 448 P (Y 112 480) = P Φ(2.14) 0.984. 224 224 b) Vi söker t så att P (Y 112 t) = 0.95. Eftersom Y 112 N(448, 224) approximativt, så får vi ( ) t 448 Φ 0.95 t 448 = λ 0.05 = 1.6449. 224 224 Detta ger t = 472.6 min eller 7.8767 timmar.
forts tentamen i SF1901 2014-10-27 2 c) Här söker man n, dvs antalet fel, sådan att P (Y n 480) = 0.99 där Y n = X 1 + X n. Enligt uppgift E(Y n ) = 4n och D(Y n ) = 2n (oberoende X i ). Vi antar att n är tilräckligt stort så att Centrala gränsvärdessatsen kan användas vilket ger 0.99 = P (Y n 480) = P ( Yn 4n 2n ) ( ) 480 4n 480 4n Φ. 2n 2n Från detta får man 480 4n 2n λ 0.01 = 2.3263. (1) Efter omformning fås (480 4n) 2 = (2.3263) 2 2n (vi använder i vidare uträkningar = istället för ) vilket ger en andragrads ekvation i n: n 2 241.383n + 14400 = 0. Lösningen på denna ekvation blir n 1,2 = 120.3383 ± 9.0170. n 1 = 111.3213 och n 2 = 129.3353. Vi kontrollräknar genom att sätta in n 1 respektive n 2 i (1) och konstaterar att endast n 1 satisfierar ekvationen. Med avrundning nedåt fås n = 111. Svar: a) 0.984, b) t = 472.6 min eller 7.8767 timmar, c) n = 111. a) Vi har eller L(θ) = j=1 Uppgift 3 ( n x 7 je x j/θ n = (7!) n θ 8 7! ln L(θ) = ln ( (7!) n n För att hitta ett maximum till ln L(θ) bestämmer vi först löser d ln L(θ) dθ = 0. Detta ger För n = 4 har vi vidare θ obs = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 8n d ln L(θ) dθ j=1 x 7 j ) j=1 x 7 j = 8n θ + n x θ 2, 8n θ = n x θ 2 θ = x 8 = = ) θ 8n e n x/θ 8n ln θ n x/θ. n j=1 x j. 8n 8.926 + 8.830 + 9.263 + 9.401 32 Eftersom ML skattaren av θ ges av θml = 1 (X 8 4 1 + X 2 + X 3 + X 4 ) får vi D(θML) = V (θml ) = 1 θ 4V (X) =. 32 32 = 1.1381. Vi uttnytjar nu att V (X) = 8θ 2 vilket ger D(X) = 8θ. Sätter vi in detta i uttrycket för D(θML ) och ersätter θ med sin skattning θobs fås medelfelet som d(θ ML) = 1.1381/ 32 = 0.2012.
forts tentamen i SF1901 2014-10-27 3 Svar: θ obs = 1.1381, d(θ ML ) = 0.2012. Uppgift 4 a) Modell: stickprov i par. Vi bildar först z i = y i x i, där x i och y i är kolesterolhalten hos person i före respektive efter sju veckor användning av MåBättre. z 1,..., z 5 är utfall av Z 1,..., Z 5 oberoende stokastiska variabler med N( z, σ). Vi finner nu med n = 5 observationspar zi = y i x i = 401, och sedan z = 80.2. 1 (zi z) 2 = 392.8 s z = (zi z) n 1 2 = 9.909. Vi antar att observationerna z i kommer från en och samma fördelning med något väntevärde z, och vi vill testa H 0 : z = 0 mot H 1 : z 0 med t ex konfidensmetoden. Under normalfördelningsantagandet ges ett konfidensintervall för z med 95% konfidensgrad av (se formelsamlingen) I z (z ± t 0.025 (n 1)s z / n) = ( 80.2 ± 2.78 9.909 5 ) = ( 80.2 ± 12.32) = ( 92.520 67.880). Eftersom det konfidensintervall vi beräknade, med konfidensgrad 95%, inte innehåller punkten 0, så förkastar vi H 0 på signifikansnivån 5%. b) Vi bildar först w j = u j v j, där u j och v j är kolesterolhalten hos person j före respektive efter sju veckor användning av HälsoMat. w 1,..., w 8 är utfall av W 1,..., W 8 oberoende stokastiska variabler med N( w, σ), vi antar alltså att standardavvikelsen är densamma för Z i och W j. För att undersöka om förändringen av kolesterolhalten kan påstås vara lika stor för MåBättres och HälsoMats metoder testar vi hypotesen H 0 : w = z mot H 1 : w z Modell: Z i, i = 1,..., 5 och W j, j = 1,..., 8 betraktas som två oberoende stickprov från N( z, σ) respekektive N( w, σ). För att testa hypotesen så använder vi konfidensmetoden och bildar konfidensintervall för w z. Vi får enl. formelsamlingen (11.2, b) s 2 p = (5 1)s2 z + (8 1)s 2 w (5 1) + (8 1) = 84.8795, s p = 41.047. Det 95%:iga konfidensintervallet blir I w z = ( w z ± t 0.025 (11)s p 1 8 + 1 5 ) = 1 (27.125 ( 80.2) ± 2.20 41.047 5 + 1 ) = (107.325 ± 51.481) = (55.844, 158.806). 8
forts tentamen i SF1901 2014-10-27 4 Eftersom intervallet ej täcker över 0, kan H 0 förkastas på nivån α = 0.05. Det finns en signifikant skillnad mellan effekten av MåBättre och HälsoMat. Svar: a) H 0 förkastas på nivån 5%. Det finns en signifikant skillnad i kolesterolhalt före och efter behandling med MåBättre. b) H 0 förkastas på nivån 5%. Det finns en signifikant skillnad mellan effekterna av MåBättres och HälsoMats metoder. Uppgift 5 Vi har typsituationen för χ 2 -test av fördelning med skattad parameter, i detta fall Bin(4, p) med skattad parameter p. Den skattas med hjälp av data i uppgiften till p obs = 2042 0 + 424 1 + 26 2 + 8 3 + 0 4 4 2500 = 0.05. Beteckningar enligt formelsamlingen. Enligt uppgift kan X anta värdena 0, 1, 2, 3, 4. Nollhypotesen blir alltså H 0 : X Bin(4, p) med p = p obs = 0.05. Med Bin(4, 0.05) får vi sannolikhetsfunktionen av X, dvs ( ) 4 p X (i) = P (X = i) = (p i obs) i (1 p obs) 4 i, i = 0,..., 4. Med hjälp av p X (k) och antal observationer n = 2500 så får vi både p j,obs samt de förväntade frekvenserna under H 0 : p 1,obs = P (X = 0) = 0.81451, np 1,obs = 2036.275 p 2,obs = P (X = 1) = 0.17147, np 2,obs = 428.675 p 3,obs = P (X = 2) = 0.01354, np 3,obs = 33.85 p 4,obs = P (X = 3) = 0.00047, np 4,obs = 1.175 p 5,obs = P (X = 4) = 0.00001, np 5,obs = 0.025. Man ser att np j,obs 5 inte är uppfyllt för alla j = 1,..., 5. Därför slår vi ihop resultaten för grupperna 3 till 5 och bildar en ny grupp. Med den nya gruppuppdelningen så får vi den nya p 3,obs = 0.01354 + 0.00047 + 0.00001 = 0.01402. Detta ger att det nya np 3,obs = 35.05. Ny ser man att alla förväntade frekvenserna uppfyller np j,obs 5 och vi får därför teststorheten Q obs = (2042 2036.75)2 2036.75 + (424 428.675)2 428.675 + ((26 + 8 + 0) 35.05)2 35.05 = 0.09597. Eftersom vi har skattat k = 1 parameter, nämnligen p och slagit ihop grupperna till 3, är Q obs ett utfall av en stokastisk variabel Q som är approximativt χ 2 (r k 1) = χ 2 (3 1 1) = χ 2 (1). Med α = 0.05 får vi χ 2 0.05(1) = 3.84 > 0.09597, vilket gör att vi inte kan förkasta H 0 : X Bin(4, p) på 5% nivån. Uppgift 6 a) Från beslutsregeln ser man att H 0 : µ = 10 förkastas om µ obs = x obs < 8.77 eller om x obs > 11.23. Då får vi Testets nivå = P (H 0 förkastas H 0 är sann) =
forts tentamen i SF1901 2014-10-27 5 P ( { X < 8.77} { X > 11.23} ) = P ( ) ( ) X < 8.77 +P X > 11.23 = standardisera X med µ = 10 = ( ) ( ) ( ) ( ) 8.77 µ 11.23 µ 8.77 10 11.23 10 = Φ 3/ + 1 Φ 3/ = Φ 3/ + 1 Φ 3/ ( ) ( ) 1.23 1.23 = 1 Φ + 1 Φ = 3/4 3/4 b) Testets styrka i µ = 11 beräknas enligt 2 (1 Φ(1.64)) = tabell = 0.101. h(11) = P (H 0 förkastas µ = 11 är det rätta parameters värdet) = P ( { X < 8.77} { X > 11.23} ) = P ( ) ( ) X < 8.77 +P X > 11.23 = standardisera X med µ = 11 = ( ) ( ) ( ) ( ) 8.77 µ 11.23 µ 8.77 11 11.23 11 = Φ 3/ + 1 Φ 3/ = Φ 3/ + 1 Φ 3/ = ( ) ( ) 2.23 0.23 = 1 Φ + 1 Φ = 3/4 3/4 2 Φ(2.97) Φ(0.31) = tabell = 0.3798.