Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken. Formel- och tabellsamling i Matematisk statistik. Räknare. Införda beteckningar skall förklaras och definieras. Resonemang och uträkningar skall vara så utförliga och väl motiverade att de är lätta att följa. Numeriska svar skall anges med minst två siffrors noggrannhet. Tentamen består av 6 uppgifter. Varje korrekt lösning ger 1 poäng. Gränsen för godkänt är preliminärt poäng. Möjlighet att komplettera ges för tentander med 18-19 poäng. Tid och plats för komplettering kommer att anges på kursens hemsida. Det ankommer på dig själv att ta reda på om du har rätt att komplettera. Tentamen kommer att vara rättad inom tre veckor från skrivningstillfället och kommer att finnas tillgänglig på elevexpeditionen minst sju veckor efter skrivningstillfället. Uppgift 1 a För händelserna A,B och C gäller att P(A B C =.1, P(A =.5 och P(B A =.4. Beräkna P(C A B. (5 p b En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktionen om x <, F X (x = c x om x <, 1 om x. Bestäm konstanten c samt beräkna E(X och D(X. (5 p Uppgift Vid en kontroll av ett levererat parti togs 1 enheter ut och kontrollerades. Om högst 5 av dessa var felaktiga godkänns partiet direkt, i annat fall kontrolleras alla enheter. Partiet består av enheter. a Om felkvoten i partiet är 7 %, vad är sannolikheten att partiet godkänns direkt. Väl motiverade approximationer får användas. (6 p b Om partiet godkänns direkt är alltså antalet kontrollerade enheter 1, i annat fall ar antalet kontrollerade enheter (hela partiet. Beräkna förväntat antal kontrollerade enheter om felkvoten i partiet är 7 %. Väl motiverade approximationer får användas. (4 p Uppgift 3 I den lilla banken Spargrisen kan man köpa aktier dels manuellt över disk, dels via telefon. Antag att tiden att registrera en order manuellt är exponentialfördelad med väntevärde minuter, samt att tiden i minuter att registrera en telefonorder har väntevärde 1.5 och varians.
forts tentamen i SF193 (f d 5B51 1 8 16 Under en dag registrerades 4 manuella order och 6 telefonorder. Beräkna sannolikheten att totaltiden att registrera de manuella orderna under denna dag översteg tiden att registrera telefonorderna. Antag att registreringstiderna för olika order är statistiskt oberoende. Rimliga och välmotiverade approximationer är tillåtna. (1 p Uppgift 4 Vid en undersökning av böjhållfasthetens beroende av bränntemperaturen hos gult tegel erhölls följande observationsmaterial på 5 tegelbitar vid temperaturen 7 o och 5 bitar vid temperaturen 8 o. Temperatur Böjhållfasthet 7 o 147 14 11 138 139 8 o 193 7 1 1 7 Antag att slumpmässigheten i data kan beskrivas som normalfördelad med samma standardavvikelse vid båda temperaturerna och oberoende mellan samtliga 1 observationer. a Beräkna ett (exakt 99% konfidensintervall för den systematiska skillnaden i böjhållfasthet för de två temperaturerna. (6 p b Testa om en inverkan av temperaturen på böjhållfastheten kan påvisas. Välj själv en lämplig signifikansnivå. Ange den tydligt, likaså slutsatsen av testet. (4 p Uppgift 5 Vid livstidsprovning av elektriska komponenter sätter man n exemplar av komponenten i arbete vid en tidpunkt t = och låter dem arbeta under uppsikt tills de upphör att fungera och man registrerar tidpunkterna för detta, dvs livslängderna x 1,x,,x n. Följande antagande gjordes: Olika exemplars livslängder ses som utfall av oberoende exponentialfördelade stokastiska variabler med väntevärde m. Beräkna konfidensintervall för m med den approximativa konfidensgraden 9% i följande två fall: a Man håller kontinuerlig uppsikt och observerar x 1,x,,x n. Ge ett numeriskt svar då n = 5 och man observerat livslängderna (ordnade i storleksordning.1.1..9 1. 1.3 1.8 1.8....1.1.3.6.7 3. 3.5 3.6 3.8 3.8 3.8 4.8 5.1 5.9 7.3 7.6 7.7 8.5 8.6 8.8 9.1 1. 1.8 13.4 13.6 14.1 14. 14.7 16.3 16.7 16.8 16.9.6.1 5.7 6.3 3. 33.3 4.3 Som räknehjälp kan meddelas att x = 9.63. (5 p För att få full poäng på a-delen krävs att Du verkligen utnyttjar att data anses vara exponentialfördelade. b Till skillnad från i a-delen observerar man endast antalet komponenter som fortfarande fungerar vid tiden t = 6, dvs att 5 av de 5 komponenterna fungerar. (5 p Uppgift 6 x 1,x,,x n är observationer från oberoende Maxwellfördelade stokastiska variabler, dvs från variabler med täthetsfunktionen x /(α x > π α f(x = 3/e x x
forts tentamen i SF193 (f d 5B51 1 8 16 3 där α > är en parameter. Denna fördelning har väntevärde 8α/π och varians α(3 8 π. a Härled Maximum Likelihood-skattningen av α samt beräkna denna om vi fått observationerna x 1 = 1.3,x = 1.47,x 3 = 1.68. (6 p b Undersök om denna skattning är väntevärdesriktig. Din slutsats skall klart framgå och vara väl motiverad! (4 p För att få poäng på b-delen krävs att a-delen är i allt väsentligt korrekt löst.
Avd. Matematisk statistik LöSNINGAR TILL TENTAMEN I SF193 (f d 5B51 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. a Vi har Uppgift 1 P(C A B = {def. av betingning} = P(C A B P(A B = P(A B C P(A B =.1 P(B AP(A =.1.4.5 =.1. =.5. b Eftersom X är kontinuerlig så gäller det att F X ( = F X ( = 1, dvs att c = 4c = 1. Detta ger att c = 1/4. Vi har således om x <, 1 F X (x = 4 x om x <, 1 om x, vilket ger Detta ger f X (x = { 1 x om x <, annars. vilket ger E(X = x 1 [ ] 1 xdx = 6 x3 = 4 3 och E(X = x 1 [ ] 1 xdx = 8 x4 =, V(X = E(X (E(X = 16 9 = 9 och således D(X = 9 =.471. Uppgift a Låt X vara antalet felaktiga enheter i provgruppen. X är approximativt Bin(1, p, ty vi tar ut 1 enheter ur en stor population. p är felkvoten, i det här fallet.7. Men det gäller då att X är approx Po(1.7=Po(7. Tabell ger nu direkt att P(X 5.3. b Sätt Y =antalet kontrollerade enheter. P(Y = 1 =.3 enligt a (approximativt och således P(Y = =.7. Väntevärdet blir då E(Y = 1.3+.7 = 143. Uppgift 3 Låt X i = registreringstid för manuell order nr i, i = 1,...,4, E(X i =, V (X i = 4 enligt texten och formelsamlingen om exponentialfördelningen. Y i = registreringstid för telefonorder nr i, i = 1,...,6, E(Y i = 1.5, V (Y i =. X = X 1 +...+
forts tentamen i SF193 (f d 5B51 1 8 16 X 4, Y = Y 1 +...+Y 6. Vi har E(X = E(X 1 +...+X 4 = 4 = 8 och p.g.a oberoendet På samma sätt fås att V (X = V (X 1 +...+X 4 = 4 4 = 16. E(Y = 6 1.5 = 9, V (Y = 6 = 1. De stokastiska variablerna X i är likafördelade och därför ger den centrala gränsvärdessatsen att X ApprN(8, 16. Samma motivering ger Y ApprN(9, 1. SÖKT är sannolikheten P (X > Y = P (X Y >. Med Z = X Y gäller E(Z = 8 9 = 1, V(Z = 1 + 16 = 8, ty X och Y är oberoende. Eftersom Z är en linjärkombination av approximativt normalfördelade stokastiska variabler, så fås (Φ(x är fördelningsfunktionen för den standardiserade normalfördelningen ( ( 1 P (X Y > = P (Z > 1 Φ = 8 SVAR: Den sökta sannolikheten.7. ( 1 = 1 Φ 1 Φ(.6.7. 8 Uppgift 4 Två oberoende stickprov med N(m A,σ- respektive N(m B,σ-fördeladeobservationer. Ett 99%-igt konfidensintervall för m A m B blir med t-metoden (FS 11. x ȳ ±t.5 (5+5 s 5 där x = (147+14+ +139/5 = 685 = 137. och ȳ = (193+7+ +7/5 = 14 = 8.. 5 5 Vidare får vi ( 5 s A = 1 x i 5 1 5 ( x = 1 (9415 685 = 185 4 5 ( 5 s B = 1 yi 5 (ȳ = 1 (1697 14 = 163 5 1 4 5 som ger s = s A +s B = 511 4, s = 11.3 och vi får intervallet till 137. 8.±3.36 11.3 /5 = 71.±4. = ( 95., 47.. b Vi tar H : m A = m B och H 1 : m A m B. Vi förkastar H på signifikansnivån 1% eftersom konfidensintervallet i a-delen inte innehåller. Slutsatsen är alltså att inverkan av temperaturen är påvisad. Uppgift 5 a Vi skattar m med m = x = 1 5 5 x i = 9.63. Motsvarande stickprovsvariabel X är approximativt N(m,m/ 5 enligt CGS eftersom E(X = m och V(X = m. Vi får då det approximativt 9%-iga konfidensintervallet x±λ.5 x 5 9.63±1.6449 9.63 5 9.63±.4 = (7.39,11.87.
forts tentamen i SF193 (f d 5B51 1 8 16 3 b Låt Y = antalet komponenter som fungerar vid tiden t = 6. Y är Bin(5,p där p = P(X 6 = e 6/m. Vi får eftersom 5 st av observationerna är mindre än 6 att p = 5/5 = 1/ och np(1 p np (1 p = 1.5 > 1 och således är normalapproximation av Bin(5,p tillåten, dvs Bin(5,p N(5p, 5p(1 p. Detta ger att p är approximativt N(p, p(1 p/5. Alltså är ett approximativt 9%-igt konfidensintervall för p p ±λ.5 p (1 p 5.5±.117 = (.383,.617. Eftersom p = e 6/m dvs m = 6/lnp blir konfidensintervallet för m ( 6 ln.383, 6 (6.5,1.43. ln.617 Man kan notera att konfidensintervallet i b-delen blir lite bredare och detta beror ju på att vi i b-delen utnyttjar mindre av informationen i stickprovet än i a-delen. Vi har likelihoodfunktionen som ger L(α = n f(x i = Uppgift 6 ( n ( x 1 x x n exp 1 π α / α g(α = lnl(α = ln ( (/π n/ x 1 x x n g(α maximeras då g (α = och vi har g (α = α + 1 α ln(α 1 α x i. x i x i. g (α = ger att ML-skattningen blir α = 1 n x i. Med de observerade värdena insatta blir α = 1 9 (1.3 +1.47 +1.68 =.7415. b Vi får ( E(α 1 = E X i = 1 E(Xi = 1 3 E(X 1. Eftersom V(X = E(X (E(X ser vi att E(X = V(X+(E(X som ger att E(X 1 = V(X 1+(E(X 1 = ( 3 8 α+ π ( 8α = 3α. π Alltså gäller att E(α = 1 3 E(X 1 = α, d.v.s. α är en väntevärdesriktig skattning av α.