Karin Wallby & Göran Emanuelsson

25 Karin Wallby & Göran Emanuelsson I nästan varje nummer sedan starten har det i Nämnaren presenterats och diskuterats matematikproblem, jul- och tankenötter, problem och kuriosa, tävlingsproblem, olympiadproblem, gamla och nya problem för lösning med olika hjälpmedel t ex laborativa materiel, miniräknare och dator. Ett särskilt tema Problemlösning utgavs som nr 3, årgång 9, förresten ett av Nämnarens populäraste nummer. En särskild Problemavdelning kom i årgång 7, originalrubrik ovan, och den har sedan varit med i nästan varje nummer. Ibland har vi bett att få in elvlösningar, ibland läsarlösningar som då presenterats i följande nummer. Ibland har lösningarna kommit efter två nummer, ibland inte alls, vilket väckt irritaion. I de senaste årgångarna har kommentarer och lösningar getts i varje nummer i direkt anslutning till problemen. Från och med nr 4, 1998 har vi också DPL, Dialoger om problemlösning. Forum för diskussion av både DPL och Problemavdelning finns nu också på nätet, se http://ncm.gu.se Vi har här valt problem i litet olika svårighetsgrad, ett från varje årgång 1 25 och strävat efter att tillgodose olika smakriktningar. En reflektion vi gjort vid redigeringen av denna retrospektiva Problemavdelning är att fler män än kvinnor varit aktiva de 25 första åren, något som vi räknar med ska ändras. När det gäller kommentarer och lösningar så finns de i gamla nummer, men vi tänker också ge sådana i nästa nummer. Årgång 1 Kedjekostnad Kedjan till spjället på skolans värmecentral har gått sönder och en ny kedja ska tillverkas av de sex bitarna i figuren. Leif i tekniken gör det till följande priser: 1 kr för varje skärning och 2 kr för varje hopfogning. Hur mycket ska vaktmästaren betala för att få arbetet utfört? 1975, nr 3, s 52, 4 insänt av Lennart Skoogh Årgång 2 Skidåkning Staffan och Göran skulle åka skidor på elljusbanan vid Överarpsgården. Eftersom Staffan anade att han inte kunde åka lika fort som Göran, valde han att åka banan moturs då Göran åkte medurs. Båda startade kl 20 och de möttes 20.25. Göran kom åter till utgångspunkten kl 20.40. När återvände Staffan om vi antar att båda håller jämn fart hela tiden? 1975, nr 4, s 34, 13 insänt av Lennart Skoogh 128 Nämnaren nr 4, 1999

Årgång 3 Jungfrun och den envise riddaren På ett slott i en öde bygd levde en gång en jungfru, skön som synden och berömd över flera socknar för detta. Hennes elake far höll henne inspärrad där, avvisande alla friare. Slottet omgavs av en kvadratisk vattenfylld vallgrav, fyra meter bred och av stort djup. Är sceneriet klart. Riddaren in från vänster. Bättre underrättad om jungfruns skönhet än vallgravens bredd bringar han med sig tvenne fyra meter långa bräder, gjorda av virke av sådan seghet att så inte tio män kan knäcka dem. Han finner mycket riktigt att man inte kan passera en fyra meter bred vallgrav med en fyra meter lång bräda. Men riddaren, tidigare grundskoleelev kan sin Pythagoras. Efter en smula grubblande lyckas han placera sina två bräder på ett så elegant sätt att han kan börja forcera vallgraven. Detta tilltag upptäcks av jungfruns far, som då tillkallar en i vallgraven inneboende eldsprutande drake, vars dåliga andedräkt tvingar riddaren att retirera. Dock skam den som ger sig. Riddaren hastar hem, inhandlar tvenne fem meter långa bräder och en eldsläckare, cylindrisk modell, övertalar sina sju bröder att assistera och vänder tillbaka till slottet. När han når vallgraven med bräder, bröder och eldsläckare väntar en ny besvikelse. Jungfruns far har under tiden byggt om vallgraven. Den är nu sju meter bred och går i en cirkel runt slottet. Draken har dock dött av kolosförgiftning. Riddaren finner dock på råd. Integrerande sina insikter i matematik och fysik lyckas han, trots rustningens tyngd vilken medför indisposition för längdhopp av större spännvidd än en meter, ta sig och sina sju ävenledes bepansrade bröder över vallgraven helbrägda. Källorna är därefter oense om den vidare händelseutvecklingen. Somliga påstår att riddaren och jungfrun kort därefter inträdde i det äkta ståndet, andra hävdar att de levde lyckliga i alla sina dagar. Nämnaren nr 4, 1999 Slott Slott 4 m 7 m Fråga: Hur skedde passerandet av vallgraven vid de två försöken? Inga rep, ingen spik eller annat material att hopfoga bräderna fanns och området kring vallgraven var helt plant. 1976/77, nr 2, s 44, 2 insänt av Lars Malmius. 129

Årgång 4 En liten fågel flög... Årgång 6 Håll dig på mattan Det här golvet är 9 x 12 m 2 = 108 m 2 och ska täckas av de två mattbitarna, som är 10 x 10 m 2 och 1 x 8 m 2, dvs tillsammans 108 m 2. Täck golvet helt men gör endast en delning av mattorna. 1977/78, nr 4, s 62 insänt av Adolf af Ekenstam. Ovanstående bild är från ett Nämnarenvykort. 1979/80 nr 2, s 57, 15 Kjell Rönning. Problemet förekom också i matematiksatsningens TVprogram, se 1606 i årgång 16. Årgång 5 Geodjur Nummer 3 1978/79 var ett elevnummer och där presenterades följande problem på s 22. Årgång 7 Triangelsummor Placera talen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, och 9 i ringarna så att summorna utefter triangelsidorna är lika stora. 1980/81 nr 1, s 72, 701, se också omslagsbild på Nämnaren nr 76/77 med lösning av Ove Hemer. 130 Nämnaren nr 4, 1999

Årgång 8 Den rödhåriga systern En nyinflyttad man A står och talar med sin granne B. B: Hur gamla är dina tre döttrar? A: Produkten av deras åldrar är 36 och summan av åldrarna är lika med ditt gatunummer. B tänker en stund men ger upp. A: Om jag dessutom ger den upplysningen att den äldsta är rödhårig då kan du väl? B: Ja, då kan jag! Dom är Ja, hur gamla är de tre systrarna. Uppgiften är helt logisk. Det finns inget lurt i form av speciella egenskaper hos rödhåriga eller dylikt. Den här typen var en fluga i engelska skolor för ett antal år sedan. 1981/82, nr 2, 836 insänt av Adolf af Ekenstam. Ett liknande problem är 917 i Nämnaren 1981/82 nr 4, s 61 och 1603 i Nämnaren nr 1, årgång 16. Årgång 11 Mölndalsbussar Mellan Mölndal och Göteborg går det bussar med 15 minuters mellanrum. Det ska enligt turlistan ta 26 minuter från ändhållplats till ändhållplats. a) Hur många bussar måste bussbolaget minst använda för att klara tidtabellen. b) Hur många bussar behövs om chaufförerna ska ha 7 minuters rast vid varje ändhållplats. 1984/85, nr 1, s 59, 1107, insatt av Dan Strömberg som var problemredaktör några årgångar. Årgång 12 Mystifying matchsticks Årgång 9 31 dagar har februari Detta är en datumvisare som består av två kuber. Dessa ställs så att de kan visa alla datum (1 31) i en månad. Vilka siffror, en på varje sida, ska finnas på kuberna för att detta ska vara möjligt. Sexan må vändas till en nia. 1982/83, nr 1, s 61, 901, insänt av Hans Engberg. Årgång 10 Problem för miniräknare Titta på följden av potenser 5, 5 2, 5 3, 5 4 och undersök vilka slutsiffror som är möjliga. Finns det något mönster. Hur är det med tiotalssiffrorna? Hundratalssiffrorna? Undersök även potenser av andra tal i detta avseende. 1983/84, nr 3, s 56, 1033, Andrejs Dunkels. Take away four matchsticks to leave exactly four equilateral triangles all of the same size. 1985/86, nr 2, s 58, 1209 ur Brian Bolt, More mathematical activities. Årgång 13 Socialstyrelsen vill att du äter 6 8 skivor dagligen Sent en kväll kom en hungrig vandrare fram till två herdar. Han blev bjuden att delta i deras enkla måltid. Den ene herden hade fem bröd och den andra hade tre bröd. Bröden delades lika mellan de tre männen. Efter måltiden överlämnade vandraren 12 kr till herdarna som dessa skulle dela rättvist. Hur skulle pengarna fördelas. 1986/87, nr 1, s 63, 1303, Hans Engberg. Nämnaren nr 4, 1999 131

Årgång 14 Misse, Tigern och Putte På en gård finns det tre katter, Misse, Tigern och Putte. En dag kommer en katt in med något ätbart i munnen. Om katten har vita tassar kan det vara Misse eller Putte. Om katten fångat en mus är det Misse eller Tigern och om den inte har någon svans är det Putte. Katten har fångat en mus har vita tassar och har en lång yvig svans. Vem är katten? 1987, nr 1, s 44, 1400 insänt av Christina Eriksson och Gunilla Öberg. Årgång 15 En klassiker Ada och Kal besöker en lantgård med höns och grisar. Efteråt säger Ada att hon sett 18 djur. Kal har inte tänkt på hur många djuren var, men han är säker på att han räknat till 50 ben. Hur många grisar och hur många höns fanns där? 1988, nr 1, s 44, 1501, översättning av ett problem som Frank Lester gjorde stor lycka med vid ett av sina första Sverigebesök. Problemet finns i många tappningar i Sverige och internationellt. Årgång 16 TV-soffor I ett stort rum fanns ett antal lika stora soffor och en grupp människor. Om fem personer kunde sitta i varje soffa skulle fyra få stå. Om sex personer kunde sitta i varje soffa skulle två sittplatser bli tomma. Hur många soffor var det och hur många personer? 1989, nr 1, s 42, 1604 Jan Unenge. Årgång 17 Tre män med hatt Sven kan se färgerna på Olles och Carlos hattar men inte sin egen. Olle kan bara se hatten på Carlo, som inte kan se någon hatt. Deras hattar är tagna ur en samling med två blå och fyra röda hattar. När Sven får frågan vilken färg hans hatt har kan han inte lista ut det. Olle kan inte heller lista ut färgen på sin hatt. Carlo vet då vilken färg hans hatt har. Hur kom han på det? 1990, nr 1, s 54, 1702 Barbro Grevholm. Årgång 18 Prickskytte Sex pilar kastas mot tavlan och alla träffar. Hur kan man få följande poäng? 10, 14, 29, 30, 46 och 56? Vilka poängtal är möjliga? 1991, nr 2, s 55, 1817 Göran Emanuelsson. Årgång 19 Däcksbyte En bil körs 200 mil på en lång resa. För att spara på däcken byter man runt de fem däcken, så att de slits lika mycket. Hur många mil har varje däck körts efter resan. 1992, nr 1, s 46, 1903 Lisbeth Lindberg. 1 3 5 7 9 132 Nämnaren nr 4, 1999

Årgång 23 Tärningen är kastad a) I figuren ser du tre bilder av samma tärning. Årgång 20 Snövandring Bo, Göran och Ronnie bor i var sitt av de tre husen. Ronnie bor till vänster. Göran i mitten och Bo till höger. En morgon, när det snöat på natten, går Ronnie som vanligt ut genom den högra grinden, Göran genom den mittersta och Bo genom den vänstra. Då vi tittar i snön efter deras spår ser vi att de inte korsar varandra. Hur har de gått. 1993, nr 1, s 40, 2001 b) Här är en utbredning av tärningens sidoytor. Sätt ut bokstäverna så att utbredningen stämmer med bilderna ovan. Kan du hitta flera lösningar? Vilka av följande figurer kan vara utbredningar av den avbildade tärningen i a. Årgång 21 Delningsresonemang I parallellogrammen är dragen en diagonal och en linje från ett hörn till en sidas mittpunkt. Bestäm de fyra delområdenas area då parallellogrammens är 120 m 2. D Nämnaren nr 4, 1999 C A B 1994, nr 2, s 54, 2127 Lillemor & Göran Emanuelsson. Årgång 22 Tomt ä problem På julbordet står en godiskartong med 25 fack med lock. I 20 av facken finns det godis, resten är tomma. Du får det godis du hittar, men om du öppnar ett tomt fack får du sluta. Det ligger godis i fyra fack i varje rad vågrätt, lodrätt och diagonalt. Kan du i förväg räkna ut i vilka fack det finns godis om du utgår från att tomten hittat godis i det han har öppnat? Vilka strategier föreslår du om man inte får den hjälpen av tomten? 1996, nr 2, s 47, 2312 & 2313 Karin Wallby & Göran Emanuelsson 1995, nr 4, s 47, 2225 Nämnarens julkort 133

Årgång 24 Figursågning Dela detta L med två raka snitt. Hur många delar blir det beroende på hur snitten läggs? 1997, nr 4, s 51, 2438 Årgång 25 Knäpp kleptoman & myggslok Ture är kleptoman på myggmedel. Varje dag går han till stadens apotek och stjäl 5 flaskor myggmedel. Som husdjur har Ture en myggslok. Den äter ju myggor så den tycker inte om att Ture samlar på myggmedel som håller myggorna borta. Ture samlar flaskorna i sitt vitrinskåp. Samma dag som Ture har 10 flaskor i skåpet bestämmer sig myggsloken för att börja stjäla från Ture. Från och med nästa dag stjäl den 3 flaskor/dag från Tures vitrinskåp och lägger i komposten. Den dag myggsloken har 18 flaskor i komposten upptäcks stölderna på apoteket och säkerheten skärps. Därför kan Ture bara stjäla 3 flaskor om dagen i fortsättningen. När har Ture lika många flaskor i sitt vitrinskåp som myggsloken har i komposten om Ture förbrukar en flaska myggmedel i veckan? När har han slut i sitt förråd? 1998, nr 2, s 46, 2521 insänt av eleverna Daniel Nordgren och Elias Wallby Problem från andra århundranden I alla tider har människor i olika åldrar fascinerats av och formulerat nya problem som kan lösas med hjälp av matematik. Här är två exempel som publicerades i Nämnaren, nr 3, 82/83, s 65. Se där kommer herden med 70 oxar. Den som räknade dem frågade herden: Hur stor del av din talrika hjord för du med dig? Herden svarade: 2/3 av tredjedelen. Hur stor är då hela min hjord? Ur en egyptisk räknebok av prästen Ahmes, skriven minst 1700 år f Kr. Boken är en 20 m lång och 30 cm bred papyrus, som förvaras i British Museum i London. Av en hop bin satte sig en femtedel på en kadambablomma och en tredjedel på en silindablomma. Tre gånger så många som skillnaden mellan dessa båda skaror flög till en kutajablomma. Blott ett bi var kvar och svävade fram och tillbaka, lockat av den ljuva doften av både en jasmin och en pandanus. Säg mig, hulda flicka, antalet bin. Av Bhâskara, hinduisk matematiker, född år 1114. Hinduerna, särskilt Bhâskara, älskade att klä sina räkneuppgifter i poetiska ordalag, och offentliga tävlingar i räkning, i vilka såväl män som kvinnnor deltog, var hos dem ett folknöje. 134 Nämnaren nr 4, 1999