Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2017-03-22 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Niklas Grip, Inge Söderkvist, Lennart Karlberg Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: 0920-491948 Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium om regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, behöver enbart svar lämnas in, men om korta lösningar bifogas så finns det vid gränsfall möjlighet att få delpoäng på en uppgift. Delpoäng ges i första hand om en uppgift i stort sett behandlats korrekt men slarvfel begåtts. Om kortfattade lösningar ej bifogas så finns inga möjligheter att få delpoäng på en uppgift. För godkänt krävs godkända webbuppgifter och minst 17 poäng på del 1. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Det ifyllda svarsbladet skall läggas först om du lämnar in lösningar och bifogas oavsett om du lämnat in lösningar eller ej. Om inte det ifyllda svarsbladet lämnas in bedöms tentamen som underkänd. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (10)
1. Kretskort läggs ihop i förpackningar om 26 kort. 5 av dessa tas ut för undersökning. Om det bland de 26 korten finns 7 defekta kort, hur stor är sannolikheten att det i urvalet kommer att finnas högst 1 defekt kort? 2. Händelserna A och B är oberoende med P (A) = 0.4 och P (B) = 0.7. Låt C = A B. Beräkna P (A C). (Tips: rita figur.) 3. LTU-studenten Lasse deltar i en frågesport där man får +1 poäng för ett korrekt svar och 1 poäng för ett felaktigt svar. Från tidigare omgångar bedömer han att sannolikheten för att han svarar rätt på en slumpmässigt vald fråga är 60%. Vad är sannolikheten att Lasse efter 10 besvarade frågor har precis fyra poäng? (3p) 4. Livslängden för en viss typ av lysrör, mätt i år, antas vara Exponentialfördelad med väntevärde 8/12. I en monteringshall har man nyss installerat ett lysrör av den aktuella typen och man planerar att byta ut det mot ett nytt lysrör när det installerade lysröret slutar fungera. Vad är sannolikheten att man inte kommer att behöva byta ut lysröret under det första året? 5. Alf jobbar på ett företag som tillverkar elektriska komponenter. Komponenternas vikter kan betraktas som slumpmässiga med väntevärde 0.25 kilo, median 0.26 kilo och standardavvikelse 0.065 kilo. Alf behöver förklara detta för några amerikanska kollegor som istället för kilo använder pounds (lbs), där 1 lb= 0.45359237 kg. Mätt i pounds, vad är väntevärdet och variansen för komponenternas vikter? 6. Slumpvariablerna ξ 1, ξ 2, ξ 3 är oberoende och N(0, 1)-fördelade. (a) Beräkna sannolikheten P (ξ 1 ξ 2 ). (b) Beräkna sannolikheten P (ξ 1 + ξ 2 ξ 3 ). (1p) 7. Johan, som är boxare, är på diet inför en match. Johan har två vågar. Den vikt som visas på vågarna tenderar att avvika från Johans verkliga vikt. Avvikelserna är normalfördelade. Den sista veckan innan match väger han sig varje morgon på de två vågarna. Resultatet ges nedan: Dag 1 2 3 4 5 Vikt våg 1 81.2 79.1 78.2 77.1 76.0 Vikt våg 2 81.3 79.3 78.2 77.3 76.1 Beräkna ett lämpligt 90% konfidensintervall för skillnaden mellan våg 1 och våg 2. Kan man med 90% säkerhet säga att det finns en genomsnittlig skillnad mellan våg 1 och våg 2? Ange JA eller NEJ på svarsbladet. 2 (10)
8. Vid en undersökning på ett stort universitet tillfrågades fem slumpvis utvalda studenter om de styrketränade minst två gånger i veckan. Man ville bestämma andelen p av alla studenter på universietet som styrketränade minst två gånger i veckan. För att testa H 0 : p = 0.3 mot H 1 : p > 0.3 bestämde man sig för beslutsregeln: förkasta H 0 om minst fyra av de fem tillfrågade tränar minst 2 ggr/v. Beräkna testets styrka i punkten p = 0.8. 9. Antag att ξ 1,..., ξ 6 är oberoende och ξ i N(µ, 1)-fördelade. För att testa H 0 : µ = 150 mot H 1 : µ < 150 har Anders bestämt sig för beslutsregeln: förkasta H 0 om z < t 0.05 (5), där z = ξ 150 1/ 6, ξ = 6 ξ i /6. (Anders har alltså använt t-tabellen för att konstruera sitt test trots att σ är känd.) Beräkna testets signifikansnivå. i=1 3 (10)
10. Tio långfilmer undersöktes för att med hjälp av regressionsanalys studera hur X 1 =produktionskostnader (miljoner dollar) och X 2 =marknadsföringskonstnader (miljoner dollar) påverkar Y =biljettintekter under första året (miljoner dollar). Minsta-kvadrat-skattningarna av regressionskoefficienterna samt deras skattade standardavvikelser blev: b 0 = 11.848 s b0 = 6.765 b 1 = 4.228 s b1 = 1.153 b 2 = 7.436 s b2 = 1.806 Regressionskvadratsumman och residualkvadratsumman blev 9798.3 respektive 475.4. (a) Bestäm förklaringsgraden. (b) När det gäller biljettintäkter för filmer med 50 miljoner dollar i produktionskostnad, hur stor är den genomsnittliga skillnaden mellan filmer som marknadsförts för 10 miljoner dollar och filmer som marknadsförts för 20 miljoner dollar? Besvara frågan genom att beräkna ett lämpligt 98%-konfidensintervall. (c) För att undersöka om kostnaderna för marknadsföring påverkar biljettintäkterna på 5% signifikansnivå kan man beräkna värdet på en lämplig t-kvot och jämföra denna t-kvot med ett visst tal. Vad är värdet på t-kvoten? Vilket tal ska t-kvoten jämföras med? För att undersöka om kostnaderna för marknadsföring påverkar biljettintäkterna på 5 % signifikansnivå kan man istället för att utgå från t-kvoten utgå från ett lämpligt P-värde. Är P-värdet större eller mindre än 1 %? För poäng på denna uppgift krävs rätt t-kvot, värdet som t- kvoten ska jämföras med, och rätt svar (MINDRE eller STÖRRE). (1p) Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 4 (10)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Sannolikheter anges som ett tal mellan 0 och 1 i decimalform om inte annat anges. Fråga Svar Poäng 1 Sannolikhet (tre decimaler) 0.589 2 2 Sannolikhet (tre decimaler) 0.488 2 3 Sannolikhet (tre decimaler) 0.214 eller 0.215 3 4 Sannolikhet (tre decimaler) 0.223 2 5 Väntevärde (tre decimaler) 0.551 Varians (tre decimaler) 0.020 (0.021 OK) 2 6 a Sannolikhet (tre decimaler) 0.500 1 b Sannolikhet (tre decimaler) 0.500 2 7 Nedre och övre gräns (tre decimaler) 0.040, 0.200 JA eller NEJ JA 2 8 Styrka (tre decimaler) 0.737 2 9 Signifikansnivå (tre decimaler) 0.023 2 10 a förklaringsgrad (två decimaler) 95.37% (0.95 OK) 1 b Nedre och övre gräns (tre decimaler) 20.156, 128.444 2 c värde på t-kvot (tre decimaler) 4.117 t-kvot jämförs med (tre decimaler) 2.365 MINDRE eller STÖRRE MINDRE 2 Totalt antal poäng 25 5 (10)
Lösningar till del 1. 1. Låt ξ =antal defekta kort i urvalet av 5 kort. Eftersom korten tas utan återläggning så har vi ξ Hyp(N, n, p) där N = 26, n = 5, p = 7/26. Med hjälp av miniräknaren får vi P (ξ 1) = P (ξ = 0) + P (ξ = 1) = (7 0 )(19 5 ) ( 26 5 ) + (7 1 )(19 4 ) ( 26 5 ) = 0.58924. 2. Vi vill beräkna P (A C) = P (A C) P (C) = P (A (A B)). P (A B) Vi har P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A)P (B), där vi har använt Sats 2C för att få den första likheten och där vi har använt att A och B är oberoende för att få den andra likheten. Genom att tex rita en figur ser vi att A (A B) = A, dvs A C = A. Så vi har P (A C) = P (A). Det ger P (A C) = P (A) P (C) = 0.4 0.4 + 0.7 0.4 0.7 = 0.4878. 3. Att Lasse har precis fyra poäng efter 10 besvarade frågor är samma sak som att han besvarar 7 av de 10 frågorna korrekt. Inför ξ =antal korrekt besvarade frågor av de tio frågorna. Vi utgår ifrån att frågorna väljs slumpmässigt och oberoende. Då har vi ξ Bin(10, 0.6). Vi får P ( Lasse har precis fyra poäng efter 10 besvarade frågor ) = P (ξ = 7) = ( 10 7 )0.6 7 0.4 3 = 0.2145. 4. Inför ξ =livslängden i år för det lysrör som har installerats. Att man inte behöver byta lysrör under det första året är samma sak som att ξ 1. Vi har enligt uppgift att ξ Exp(λ), där E(ξ) = 8/12. Eftersom E(ξ) = 1/λ om ξ Exp(λ) så har vi λ = 12/8. Vi får nu P ( man behöver inte byta lysrör under det första året ) = P (ξ 1) = 1 P (ξ < 1) = 1 P (ξ 1) = 1 F (1), där F (x) = 1 e λx = 1 e 12x/8. Så P (behöver inte byta lysrör under det första året) = e 12/8 = 0.223. 5. Låt ξ =vikt i kilo för slumpmässigt vald komponent. Det gäller enligt uppgift att E(ξ) = 0.25 och V (ξ) = 0.065. Låt η =vikt i lb för slumpmässigt vald komponent. Det gäller då att η = aξ, där a = 1/0.45359237. Sats 5A ger E(η) = ae(ξ) = 0.5511557 och V (η) = a 2 V (ξ) = a 2 0.065 2 = 0.0205. 6 (10)
6 a Att ξ 1 ξ 2 är samma sak som att ξ 1 ξ 2 0. Så vi vill beräkna P (ξ 0), där ξ = ξ 1 ξ 2. Sats 6B ger att ξ N(0, 2). Så vi har P (ξ 0) = 0.5. 6 b Att ξ 1 + ξ 2 ξ 3 är samma sak som att ξ 1 + ξ 2 ξ 3 0. Så vi vill beräkna P (ξ 0), där ξ = ξ 1 +ξ 2 ξ 3. Sats 6C ger att ξ N(0, 3). Så vi har P (ξ 0) = 0.5. 7 Eftersom Johans vikt ändras mellan dagarna vill vi jämföra hans vikt dag i enligt våg 1 med hans vikt dag i enligt våg 2, i = 1, 2, 3, 4, 5. Dvs vi vill använda stickprov i par. Vi bildar differenserna z 1 = 81.3 81.2,..., z 5 = 76.1 76.0. (Man kan också ta våg 1-våg 2.) Vi bildar sedan ett konfidensintervall enligt metoden på sidan 205 i boken. Vi får numeriskt [0, 0402, 0, 1998]. Eftersom intervallet inte innehåller 0 så kan vi med 90 % säkerhet säga att vågarna i genomsnitt visar olika vikter. 8 Inför ξ = antal studenter som anger att dom styrketränar minst två gånger i veckan. Vi har ξ Bin(5, p), där p =sannolikheten att en slumpvis vald student tränar minst 2 gånger i veckan=andelen studenter tränar minst 2 gånger i veckan. Styrkan för testet, i punkten p = 0.8, definieras P ( förkasta H 0 p = 0.8) = P (ξ 4 ξ Bin(5, 0.8)) = P (ξ = 4 ξ Bin(5, 0.8)) + P (ξ = 5 ξ Bin(5, 0.8)) 9 Signifikansnivån är = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728. P (z < t 0.05 (5) H 0 sann), där t 0.05 (5) = 2.015. Då H 0 är sann har vi z N(0, 1). Så signifikansnivån är P (z < 2.015 z N(0, 1)) = Φ( 2.015) Φ( 2.01) = 0.0228 0.023. Svaret Φ( 2.02) = 0.0222 0.022 godtas också. (Man kan inte ha för många decimaler.) 10 Modellantagandet är Y i = β 0 + β 1 X 1,i + β 2 X 2,i + ε i där ε 1,..., ε n, n = 10, är oberoende och N(0, σ). (a) Att regressionskvadratsumman och residualkvadratsumman är 9798.3 respektive 475.4 betyder att den totala kvadratsumman är 9798.3 + 475.4 = 10273.7. Det ger förklaringsgraden 9798.3/10273.7 = 0.9537265. (b) För filmer med 50 miljoner dollar i produktionskostnad har vi E(Y ) = β 0 + 50β 1 X 1 + β 2 X 2. 7 (10)
Den genomsnittliga (förväntade) skillnaden mellan filmer som marknadsförts för 10 miljoner dollar och filmer som marknadsförts för 20 miljoner dollar blir därför E(Y X 2 = 20) E(Y X 2 = 10) = 10β 2. Vi söker alltså ett 98% konfidensintervall för 10β 2. Ett intervall för β 2 med 98% konfidensgrad ges av b 2 ± t 0.01 (7)s b2 = 7.43 ± 2.998 1.806 = [2.0156, 12.8444]. Att β 2 ligger i detta intervall är samma sak som att 10β 2 ligger i intervallet [20.156, 128.444]. Så detta intervall är ett konfidensintervall för 10β 2 med 98% konfidensgrad. (c) Att marknadsföringskostnaderna har effekt på intäkterna är samma sak som att β 2 0. Så vi vill testa H 0 : β 2 = 0 mot H 1 : β 2 0 på 5% signifikansnivå. Vi kan använda beslutsregeln: förkasta H 0 om b 2 /s b2 > t 0.025 (n K), där n = 10 och K = 3. Vi har b 2 /s b2 = 4.117386 och t 0.025 (2) = 2.365. Då vi utgår från P-värdet förkastas H 0 om P-värdet är mindre än signfiikansnivån. Så att P-värdet är mindre än 0.01 är samma sak som att H 0 ska förkastas på signfiikansnivån 0.01. Det kritiska värdet för ett test på 1% signifikansnivå som baseras på t-kvoten är t 0.005 (7) = 3.499. Eftersom b 2 /s b2 = 4.117 ska H 0 förkastas. Det betyder att P-värdet är mindre än 0.01. 8 (10)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2017-03-22 Till uppgifterna på del 2 krävs fullständiga lösningar. 11. I ett stort bostadsområde är 1/6 av lägenheterna ettor, 1/3 tvåor, 2/5 treor och 1/10 fyror. Använd en lämplig approximationsmetod för att bestämma sannolikheten att 60 slumpvis utvalda lägenheter tillsammans har minst 135 rum. Lösning: Låt ξ i =antal rum i den i:te lägenheten, i = 1, 2,..., 60. Vi vill beräkna P (ξ 135), där (10p) Vi har µ = E(ξ i ) = och 60 ξ = ξ i. i=1 4 xp (ξ i = x) = 1 1/6+2 1/3+3 2/5+4 1/10 = 2.433333 x=1 σ 2 = V (ξ i ) = 4 (x µ) 2 P (ξ i = x) = 0.7789, σ = 0.8825. x=1 Så enligt centrala gränsvärdessatsen gäller approximativt att Så vi har, approximativt, att ξ N(60µ, 60σ) = N(146, 6.836). P (ξ 135) = 1 P (ξ 134) = 1 P ( ξ 146 } 6.836 {{} N(0,1) = 1 Φ( 1.75) = 0.96. 134 146 ) 6.836 Med s.k. halv-korrektion får vi P (ξ 134.5) = 1 Φ( 1.68) = 0.95. 12. Antag att ξ N(0, 1). Slumpvariabeln η = ξ 2 har en fördelning som vi inte har studerat i kursen. Fördelningen kallas chi-två fördelning med en frihetsgrad och betecknas χ 2 (1). Bestäm medianen i χ 2 (1)- fördelningen. Lösning: Medianen m i fördelning för η definieras via ekvationen (10p) P (η m) = 0.5. Att η m är samma sak som att m ξ m, så Det gäller att P ( m ξ m) = 0.5. P ( m ξ m) = Φ( m) Φ( m) = 2Φ( m) 1. Alltså har vi Φ( m) = 0.75. Jämförelse med normalfördelningstabellen ger m 0.67 och m 0.45. 9 (10)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2017-03-22 13. I en tillverkningsprocess blir enheter felaktiga med sannolikhet p. För att försöka bestämma om p är större än 0.01 kontrolleras 100 slumpmässigt utvalda enheter. (a) Ställ upp ett lämpligt hypotestest som på 5 % sigfinikansnivå ska avgöra om p är större än 0.01. Hypoteser, testvariabel och beslutsregel ska tydligt framgå. (b) Bestäm styrkan för testet i (a) i punkten p = 0.15. För full poäng på denna uppgift krävs att lämpliga approximationer används. (6p) (4p) Lösning: (a) Vi vill testa H 0 : p = 0.01 mot H 1 : p > 0.01. Låt ξ =antal felaktiga enheter bland dom 100 kontrollerade. Vi har ξ Bin(100, p). En lämplig beslutsregel ges av: förkasta H 0 om ξ k. För att signifikansnivån ska bli 5% ska värdet på k uppfylla P (ξ k ξ Bin(100, 0.01)) = 0.05. Med Poisson-approximation (vi har n > 10, p < 0.1): P (ξ k ξ P o(1)) = 0.05. Vi får att k = 4 passar bäst (ger ca 2% signifikansnivå). (b) Styrkan i punkten p = 0.15 ges av P (ξ k ξ Bin(100, 0.15)). Här kan vi inte använda Poisson-approxmation. Men eftersom 100 0.15 0.85 = 12.75 > 10 så kan vi använda Normalapproximation: ξ N(15, 3.57) approximativt. Vi får (approximativt) P (ξ 4) = P ( ξ 15 3.08) = Φ(3.08) = 0.999. } 3.57 {{} N(0,1) Så styrkan i punkten p = 0.15 ligger mycket nära 1. 10 (10)