Semiotiska representationer i programmering och matematik

Transkript

1 Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Självständigt arbete 2 för grundlärare Fk-3 och 4-6, 15 hp Semiotiska representationer i programmering och matematik En studie med kvalitativa intervjuer av högstadielärare i den svenska grundskolan Sanna Sundvall och Johan Stjernström Alm Handledare: Kajsa Bråting Examinator: Tomas Persson

2 Sammanfattning Sedan hösten 2018 är programmering en del av det centrala innehållet inom bland annat matematikämnet i läroplanen för den svenska grundskolan. Syftet med studien är att belysa hur några lärare för årskurs 7 9 i den svenska grundskolan ser på användandet av semiotiska representationer i form av symboler som används inom både programmerings- och matematikundervisning och vad användandet av symboler som förekommer inom båda områdena får för konsekvenser för lärarnas undervisning. De teoretiska utgångspunkter som ligger till grund för studien är semiotiska representationer i matematik enligt Raymond Duval (2006) samt Anna Sfards (1991) och Carolyn Kierans (1981) utgångspunkter om matematiska begrepps dubbla natur. I studien gjordes sex kvalitativa intervjuer med lärare som undervisar i årskurs 7 9 i den svenska grundskolan. En tematisk analys gjordes sedan utifrån det material som intervjusvaren gav. I lärarnas svar framkom skillnader mellan semiotiska representationer av objekt i tre olika kategorier. Lärarna beskrev fall där samma symbol representerar olika objekt och fall där olika symboler representerar samma objekt. De talade också om ett strukturellt eller operationellt synsätt då det gäller likhetstecknet. Då lärarna resonerade om vilka konsekvenser införandet av programmering får för deras undervisning fanns det ingen enighet i svaren. Det fanns lärare som ansåg att programmering förenklar matematikundervisningen, lärare som ansåg att programmering försvårar matematikundervisningen samt lärare som ansåg att programmering vare sig förenklar eller försvårar matematikundervisningen. Nyckelord: programmering, matematik, algebra, grundskolan, semiotiska representationer, operationellt, strukturellt, tecken, symboler. 2

3 Innehållsförteckning Sammanfattning... 2 Inledning... 5 Bakgrund... 6 Forskningsöversikt... 9 Definitioner av uttryck, tecken och symboler Tidigare forskning inom programmering och matematikinlärning Semiotiska representationer i programmeringsspråk Algebra och programmering Teoretiska utgångspunkter Semiotiska representationer enligt Raymond Duval Matematiska begrepps dubbla natur Syfte och frågeställningar Forskningsfrågor Metod Urval Datainsamling Analysmetod Validitet och reliabilitet Metodreflektion Forskningsetiska aspekter Arbetsfördelning Analys Bakgrundsinformation om intervjuade lärare Forskningsfråga 1: Skillnader mellan semiotiska representationer av objekt Forskningsfråga 2: Konsekvenser för undervisningen Diskussion Skillnader mellan semiotiska representationer av objekt Konsekvenser för undervisningen

4 Konklusion Referenslista Bilagor Bilaga 1. Intervjuguide Bilaga 2. Stödformulär Bilaga 3. Delgivandeblankett Bilaga 4. Medgivandeblankett

5 Inledning Höstterminen 2018 introducerades begreppet digital kompetens i läroplanen för grundskolan (Lgr 11, 2018) och programmering har för årskurs 7 9 blivit en del av det centrala innehållet i ämnena matematik, samhällskunskap och teknik (Lgr 11, 2018, ss. 8, 58, 59, 228, 295). I kursplanen för matematik har programmeringen bland annat lagts under avsnittet algebra. Det har fått oss som skriver detta arbete att fundera över hur olika tecken och symboler används och förstås inom programmering respektive matematik. När vi är klara med vår lärarutbildning förväntas vi undervisa i programmering under bland annat ämnet matematik. Vi tyckte därför att det var intressant att närmare undersöka hur lärare ser på skillnaden mellan symboler som används inom både matematik och programmering och hur lärarna ser på elevers förståelse för olika symboler som används inom både matematik och programmering. Vi har valt att rikta in oss på lärare i årskurs 7 9. Vi antog att det skulle vara lättare att se eventuella kopplingar mellan symboler inom matematik och programmering för dessa årskurser eftersom de i många fall ägnar sig åt textprogrammering. I de lägre årskurserna är det vanligare att programmeringsundervisningen består av bland annat blockprogrammering. Som blivande grundskollärare för årskurs 4 6 tänker vi också att det är bra att ha en bild över vart eleverna är på väg, det vill säga vad som är nästa steg inom matematik och programmering och hur vi på bästa sätt kan förbereda dem för det. 5

6 Bakgrund I september 2015 fick Skolverket i uppdrag från regeringen att ta fram en nationell strategi för informations- och kommunikationsteknik för den svenska skolan (Bocconi, Chioccariello & Earp, 2018). Uppdraget resulterade bland annat i ändringar av läroplanen som fokuserade på att stärka elevernas digitala kompetens och att programmering skulle införas i grundskolan. Den uppdaterade och reviderade läroplanen började gälla från och med höstterminen 2018 (ibid.). I bakgrunden till det här arbetet kommer införandet av programmering i den svenska läroplanen, samt vilken typ av programmering och programmeringsspråk som används i skolorna, att tas upp. I bakgrunden ingår också en översikt över begreppet datalogiskt tänkande, där programmering är en viktig beståndsdel. Digital kompetens och datalogiskt tänkande I den nu, sedan år 2018, gällande och uppdaterade läroplanens första kapitel som handlar om skolans värdegrund och uppdrag introduceras begreppet digital kompetens. Där kan läsas att eleverna ska få en förståelse för den roll som digitaliseringen har beträffande utvecklingen av samhället och hur individer påverkas av detta. Vidare är användandet av digital teknik en förmåga som eleverna ska lära sig, men samtidigt förhålla sig kritiskt till. Det kritiska förhållningssättet handlar bland annat om förmågan att värdera information (Lgr 11, 2018, ss. 7 8). I skolverkets kommentarmaterial till läroplanerna för förskoleklass, fritidshem och grundskoleutbildning Få syn på digitaliseringen på grundskolenivå (Skolverket, 2017) lyfts fyra olika aspekter av digital kompetens. Dessa aspekter är: att förstå digitaliseringens påverkan på samhället, att kunna använda och förstå digitala verktyg och medier, att ha ett kritiskt och ansvarsfullt förhållningssätt och att kunna lösa problem och omsätta idéer i handling (ibid.). Då det gäller digitalisering kan olika begrepp användas beroende på vilken bransch, utbildning eller forskningsområde som sammanhanget gäller. Ett av dessa sammanhang är datavetenskapen och där tas begreppet datalogiskt tänkande upp som bland annat innefattar problemlösning och logiskt tänkande. Även möjligheten till att se olika slags mönster och utforma algoritmer för programmering ingår i det datalogiska tänkandet (ibid.). Seymour Papert, en av föregångarna till begreppet datalogiskt tänkande, ser datorer som ett verktyg och möjlighet för elever att utveckla sitt lärande av olika ämnen i skolan. Papert (1980) ser inte datorer som ett verktyg där datorn ska lära eleverna, utan som ett verktyg som eleverna använder och programmerar för att själva lära sig färdigheter om både datorer och vetenskapliga ämnen, som till exempel matematik och fysik (Papert, 1980, ss. 5 6). Han introducerar även konceptet datalogiskt tänkande (en. computational thinking) (ibid., s. 182). I en artikel som utforskar nya möjligheter till matematisk pedagogik diskuterar Papert (1996) datalogiskt tänkande i samband med matematikundervisning. Papert vill bredda diskussionen om hur datorer kan 6

7 förbättra undervisningen genom att förändra innehållet i matematikundervisningen med hjälp av att använda datorer (ibid.). Genom att använda datorer och programmering ska barn stimuleras till problemlösning och förståelse av matematiska koncept (ibid.). Ett antal år efter Paperts första definition av datalogiskt tänkande tar Wing (2006) åter upp och beskriver begreppet på flera olika sätt. Ett av dessa innebär att datalogiskt tänkande är ett sätt för människor att lösa problem. Det handlar inte om att få människor att tänka som datorer, utan det är istället en problemlösningsprocess för att analysera problem och beskriva lösningarna så att datorer kan hjälpa till (Wing, 2006). Den delen av det datalogiska tänkandet som kommer att behandlas i detta arbete är programmering. Införandet av programmering i den svenska läroplanen Programmering är en del av den digitala kompetens som beskrivs i läroplanen och ingår i samtliga fyra ovan nämnda aspekter av digital kompetens. Programmering innebär att skriva kod, vilket är någonting som har likheter med problemlösning. Programmering och problemlösning handlar båda om att formulera problem, välja och pröva lösningar och dokumentera det som görs. Programmering handlar också om skapande, reglering, styrning och simulering. Vid undervisning är det viktigt att utgå även från dessa delar (Skolverket, 2017). I läroplanen har programmering för årskurs 7 9 införts under det centrala innehållet i ämnena matematik, samhällskunskap och teknik. I matematik för årskurs 7 9 står det under avsnittet om algebra: Hur algoritmer kan skapas och användas vid programmering. Programmering i olika programmeringsmiljöer (Lgr 11, 2018 s. 58). Vidare har programmering införts i avsnittet om problemlösning genom följande skrivning: Hur algoritmer kan skapas, testas och förbättras vid programmering för matematisk problemlösning (ibid., s. 59). I samhällskunskap återfinns programmering i det centrala innehållet för årskurs 7 9 på följande sätt: Hur individer och grupper framställs, till exempel utifrån kön och etnicitet, samt hur information i digitala medier kan styras av bakomliggande programmering (ibid., s. 228). Programmering har också införts i det centrala innehållet för teknik med formuleringen: Att styra egna konstruktioner eller andra föremål med programmering (ibid., s. 294). Som nämnts ovan tas programmering upp både under algebra och problemlösning under det centrala innehållet i matematik för årskurs 7 9. I de lägre årskurserna finns däremot programmering under ämnet matematik endast inom den del i det centrala innehållet som behandlar algebra. För årskurs 1 3 står det: Hur entydiga stegvisa instruktioner kan konstrueras, beskrivas och följas som grund för programmering. Symbolers användning vid stegvisa instruktioner (Lgr 11, 2018, s. 55). För årskurs 4 6 står det: Hur algoritmer kan skapas och användas vid programmering. Programmering i visuella programmeringsmiljöer (ibid., s. 57). I varken läroplanen eller dess kommentarmaterial nämns några specifika programmeringsspråk. Enligt Skolverket (2017) ska istället den förståelse som eleverna får genom programmeringsundervisningen vara av generell karaktär. Programmering är någonting som hela tiden utvecklas och gamla programmeringsspråk kan ersättas av nya. Två begrepp som enligt 7

8 kommentarmaterialet förekommer i styrdokumenten är visuell programmeringsmiljö och olika programmeringsmiljöer. Begreppet visuell programmeringsmiljö innebär att koden som programmet består av är uppbyggt av grafiska element istället för textbaserad kod. I vardagliga sammanhang kallas detta ofta för blockprogrammering. Begreppet blockprogrammering kan dock ha en lite annan betydelse då det används i andra datavetenskapliga sammanhang. Inom begreppet olika programmeringsmiljöer ryms utöver de nyss nämnda visuella programmeringsmiljöerna även exempelvis textbaserad programmering (Skolverket, 2017). Kilhamn och Bråting (2019) skriver att programmering i läroplanen för årskurs 1 3 fokuserar på att använda symboler för att skapa och följa instruktioner steg för steg. Det kan göras utan datorer eller med exempelvis enkla robotar. Vidare skriver Kilhamn och Bråting (2019) att programmering i årskurs 4 6 innebär användande av visuella programmeringsmiljöer där algoritmer skapas. Ett exempel på en sådan programmeringsmiljö är Scratch. I årskurserna 7 9 introduceras textbaserade programmeringsspråk som till exempel Python och Javascript (Kilhamn & Bråting, 2019). 8

9 Forskningsöversikt Den första delen av forskningsöversikten ger en överblick av tidigare forskning inom programmering och matematikinlärning. Då arbetet handlar om hur olika semiotiska representationer för objekt används och förstås inom programmering respektive matematik kommer den andra delen av forskningsöversikten att handla om semiotiska representationer i programmeringsspråk. Därefter följer ett avsnitt om hur betydelsen för olika symboler och uttryck som används i både algebra och programmering kan skilja sig åt. I detta arbete använder vi oss av Duval (2006) och Gazoni (2018) för att definiera vad semiotiska representationer innebär i kontexten för vår undersökning. Enligt Duval (2006) är en representation något som står för något annat. Han beskriver semiotiska representationer och använder det engelska ordet sign i samband med detta och grundar sina definitioner på Peirces system (Duval, 2006). Även Gazoni (2018) beskriver semiotiska representationer på liknande sätt och använder sig av Peirces system för representationer. Charles S. Peirce ( ) var en amerikansk filosof och matematiker som studerade semiotik (Gazoni, 2018). Det engelska ordet sign översätter vi vidare i detta arbete med de svenska orden tecken och symboler. Närmare definition av hur dessa begrepp används inom detta arbete står att finna i nästa avsnitt. Ett exempel på två olika semiotiska representationer för samma objekt som Gazoni (2018) tar upp är att ett träd kan representeras av det engelska ordet tree men även av det portugisiska ordet árvore. Oavsett vilket av orden som används är objektet detsamma. Orden för träd på de två olika språken är två olika representationer för samma objekt (Gazoni, 2018). Gazonis exempel skulle kunna göras ännu tydligare genom att dessutom låta samma träd representeras av en bild på ett träd. Tre olika tecken representerar då samma objekt. Gazoni (2018) skriver att ett sätt att definiera begreppet tecken (en. signs) är att se det som en relation mellan representation, tolkning och objekt. En representation behöver vara närvarande för att tecknet ska bli verksamt. Vad som räknas som en representation finns inte definierat genom några regler men det betyder inte att allt kan ses som en representation. I en artikel kan såväl ett enskilt ord, ett stycke eller hela artikeln ses som en representation. Begreppet tolkning syftar i det här fallet på vilken effekt ett visst tecken får. Även då det gäller tolkningar finns det inga regler för vad som räknas som en tolkning. Det innebär att vad som helst som är en effekt av ett tecken kan vara en tolkning. Ett objekt är någonting som ett tecken refererar till, vilket gör att ett objekt kan vara nästan vad som helst. Nästan alla typer av saker kan ha rollen som ett tecken men vad som är viktigt att tänka på är hur de tre begreppen representation, tolkning och objekt relaterar till varandra (Gazoni, 2018). 9

10 Definitioner av uttryck, tecken och symboler Vi kommer i den fortsatta texten att använda oss av begreppen uttryck, tecken och symboler som benämningar för semiotiska representationer av objekt. Dessa tecken och symboler vi diskuterar vidare är de skrivna tecken som representerar objekt och processer inom matematik och programmering. Vi återkommer till Duvals (2006) syn på dessa representationer i den teoretiska utgångspunkten. I det här arbetet är tecken en översättning av det engelska ordet sign som används av Duval (2006) och Gazoni (2018). Ett tecken kan i detta arbete vara representationer som avsevärt skiljer sig åt. Ett exempel på detta är tecknet i form av de talade orden lika med och tecknet i form av symbolen = som båda representerar samma objekt. En symbol används fortsättningsvis för att beskriva representationer som används i mer formella sammanhang där objekt ska beskrivas genom skrift. Antingen matematisk verksamhet i eller utanför programmering eller vid programmering helt utan matematiskt syfte. Exempel på symboler är: +,, %, =, ==,! =, mod och sqrt(). Tecken och symbol används synonymt i många fall eftersom båda orden används synonymt i skolverksamhet och i samtal med de intervjuade lärarna. Likhetstecknet ( = ) kan fortsättningsvis därför benämnas både som ett tecken och en symbol. Ett uttryck är i sammanhanget för detta arbete en sammanslagning av symboler (eller tecken). Till exempel användes beteckningen uttryck för likheten y = x + 1 och för Pythons sätt att öka värdet för en variabel x = x + 1. Likaså är divisionen 1/4 ett uttryck som består av en kombination av tecken. Enligt Duvals (2006) och Gazonis (2018) definition för signs skulle 1/4 även kunna benämnas som ett tecken för objektet som även kan beskrivas som en fjärdedel, men i vårt arbete använder vi ordet uttryck, eftersom detta är vanligt förekommande inom matematiken. Tidigare forskning inom programmering och matematikinlärning Hur lärandet av matematik och programmering är kopplade till varandra är någonting som är relevant för detta arbete. Inom ramen för detta arbete har det inte hittats några artiklar som grundligt belyser samband mellan programmering och matematik där semiotiska resurser inom båda områdena diskuteras. En metastudie som beskriver studier om programmering och matematik har dock funnits. Metastudien ger en bild av forskningsläget inom området datalogiskt tänkande och matematik och presenteras nedan. Hickmott, Prieto-Rodriguez och Holmes (2018) uppger att sedan 1960-talet har ett fåtal, men inflytelserika, forskare inom den pedagogiska forskningen, undersökt hur programmering kan användas för att främja lärande av matematik. Efter att Janette Wing år 2006 tog upp och behandlade begreppet datalogiskt tänkande har antalet undersökningar med kopplingen mellan programmering och lärande av matematik ökat. Författarna har i en metastudie undersökt 10

11 granskade studier som publicerats mellan åren 2006 och 2016 (Hickmott m.fl., 2018). I metastudien har sex stycken databaser använts för att söka artiklar om datalogiskt tänkande i K- 12 utbildning (årskurs F-12). Då dessa sökningar genomförts har 393 studier ansetts relevanta (ibid.). Analysen visar att många av studierna kan beskrivas med fyra olika kategorier. Den första av dessa kategorier är att studier utgår från datavetenskap snarare än från experter inom utbildningsområdet. Den andra kategorin är att studier innefattar matematik men huvudsakligen fokuserar på att lära ut färdigheter inom programmering. I den tredje kategorin behandlas självrapporteringar av övertygelser och attityder. Den sista och fjärde kategorin är att delar av matematiken som sannolikhet, statistik, mått och funktioner sällan tas upp i studierna (ibid.). Genom litteraturstudien utförd av Hickmott m.fl. (2018) har också fyra bristområden identifierats i artiklarna. Det första området handlar om bristen på tvärvetenskapliga forskningsprojekt som både tar upp datavetenskaplig forskning och utbildning. Det andra området som det finns bristande information om i artiklarna är forskning kring hur undervisning i bland annat sannolikhet, statistik och funktioner hänger ihop med datalogiskt tänkande. Det tredje området handlat om bristen på erfarenhetsbaserade studier som innefattar konkreta idéer för lärare inom K-12 som uttryckligen kopplar ihop lärandet av matematik med datalogiskt tänkande. Det fjärde och sista identifierade området handlar om brist på empiriska studier som tydligt kopplar ihop matematik och datalogiskt tänkande och innehåller analyser av långsiktiga utfall av lärande med statistiskt säkerställt underlag (ibid.). I de artiklar som ligger till grund till litteraturstudien är det ovanligt med studier som uttryckligen kopplar ihop inlärningen av matematiska begrepp med datalogiskt tänkande. Avsikten med begrepp som innefattar tal, operationer eller algebra är vanligtvis att introducera begrepp inom programmering. I litteraturstudien var det vanligt med studier som inte var av empiriskt slag som uttryckligen kopplar ihop inlärningen av matematik med datalogiskt tänkande (ibid.). Semiotiska representationer i programmeringsspråk Gazoni (2018) menar att naturligt språk innebär att återge det som är relevant till de som talar ett visst språk, vilket inkluderar traditionella och sociala traditioner. Då det gäller tecken tenderar den information som hör till ett visst tecken att öka i och med att tiden går. Ett exempel är ordet elektricitet vars betydelse har utvecklats då vi talar om det idag jämfört med på sjuttonhundratalet. En viktig funktion i naturligt språk är att det är vagt. Ordet elektricitet kan användas utan att den som använder ordet kan den precisa definitionen av vad elektricitet är och det är därmed möjligt att öka den mängd information som ges av ett visst tecken (Gazoni, 2018). Datorer består av elektroniska enheter som fastställs av mekaniska lagar och orsakssamband. Programmeringsspråk kan beskrivas som en mekanism, vilken förenklar användningen av datorns centralprocessor. De elektroniska enheterna förhåller sig till elektriska laddningar som kan benämnas bitar eller bits. Dessa kan ses som en oförståelig lista av tal som utgör de instruktioner som datorns centralprocessor följer. Programmeringsspråk gör det lättare att 11

12 upprätta och förändra denna oförståeliga lista av tal. Ett sådant språk består av enkla instruktioner som liknar engelska ord som sedan i datorns minne översätts och buntas ihop till tal (Gazoni, 2018). En betydelsefull skillnad ur ett semiotiskt perspektiv är att programmeringsspråk till skillnad från naturligt språk inte innehåller några vagheter. Ett exempel på en vaghet skulle kunna vara att ge datorn ett kommando att generera en rapport utifrån en viss datamängd. Den process som en dator följer vid programmering utgår från ett schema av olika kommandon och behöver på förhand vara noggrant definierat. Om det skulle vara möjligt att använda vagheter i detta sammanhang så skulle detta också innebära en förändring i det interagerande schemat. Det är inte realistiskt att förvänta sig att ge datorn ett vagt kommando och sedan få ut ett konsekvent svar från datorn. Ett program som innehåller vaga skrivningar i programmeringsspråket kan liknas med att försöka prata med datorn och det är ingenting som de nuvarande programmeringsspråken är kapabla att göra. Det innebär att programmeringsspråk inte kan användas för alla ändamål, utan bara för sådant som datorns centralprocessor kan översätta till instruktioner. Det är inte alltid uppenbart vad den text som ett program består av har för funktion. Av den anledningen är det viktigt med en dokumentation av programmet som är skriven på naturligt språk (Gazoni, 2018). Algebra och programmering I matematik och programmering används olika symboler och uttryck. I vissa fall är det likadana symboler som används och betydelsen för dessa symboler är också samma oavsett om det rör sig om matematik eller programmering. I andra fall används samma symboler men har olika betydelse i de olika sammanhangen. Det finns också fall där olika symboler används inom matematik respektive programmering trots att de i dessa olika sammanhang har samma betydelse. Kilhamn och Bråting (2019) lyfter fram att betydelsen av symboler och uttryck som används i både algebra och programmering kan skilja sig åt. De presenterar ett exempel från Javascript för en algoritm som avgör om ett givet heltal är ett primtal eller inte. Ett exempel från koden som de tar upp är a = a + 1 vilket är ett uttryck som inte är relevant inom algebra eftersom uttrycket inte stämmer för något värde på a (Kilhamn & Bråting, 2019). Om variabeln a i detta exempel har värdet 2 så skulle det stå 2 = som innebär att 2 = 3, vilket inte är sant. Oavsett vilket värde som variabeln a har kommer högerledet aldrig vara lika med vänsterledet, med andra ord satisfieras inte likheten för något a. Kilhamn och Bråting (2019) anger att i programmering betyder däremot samma uttryck att värdet 1 ska adderas till värdet av a och används ofta vid loopar, det vill säga när någonting görs om och om igen i programmering tills ett visst värde har uppnåtts. Uttrycket a = a + 1 har alltså en annan betydelse inom programmering jämfört med algebra. Ett annat exempel i koden som Kilhamn och Bråting (2019) tar upp är let a = 2. I detta fall tilldelas variabeln a värdet 2. Tilldelning är ett annorlunda sätt att använda likhetstecknet jämfört 12

13 med i matematik. I algebra är likhetstecknet en symbol för en ekvivalent relation, det vill säga att högerledet är lika med vänsterledet. I aritmetik ses likhetstecknet ofta av elever som en operation snarare än en relation (Kilhamn & Bråting, 2019). En operation innebär i detta fall att det som står till vänster om likhetstecknet blir till det som står till höger om likhetstecknet (Kieran, 1981). Ett exempel på det är additionen = 8 som kan utläsas att fem plus tre blir lika med åtta. En relation innebär enligt Kieran (1981) i det givna fallet ett mer strukturellt synsätt, där det som står till höger om likhetstecknet är lika med det som står till vänster om likhetstecknet (Kieran, 1981). Ett exempel på detta är 2x = 4 som kan utläsas två x är lika med fyra, det vill säga två x blir inte lika med fyra. Ytterligare ett exempel i koden som Kilhamn och Bråting (2019) lyfter är två likhetstecken efter varandra ( == ). I det fallet används inte likhetstecknet för att tilldela en variabel ett värde. Istället används symbolen som en relation som jämför uttrycket i vänsterledet och högerledet för att testa huruvida två enheter är lika eller inte. Användandet av likhetstecknet på det sättet liknar det relationella sätt som det används på inom algebran (Kilhamn & Bråting, 2019). Likhetstecknet ( = ) kan som ovan beskrivits få olika betydelser när det används i matematik respektive programmering. Två likhetstecken i rad ( == ) förekommer inom programmering men inte inom matematik och liknar den betydelse som ett enkelt likhetstecken ( = ) har inom algebra. Kilhamn och Bråting (2019) identifierar sammanfattningsvis tre olika fall när symboler ska beskrivas och jämföras mellan algebra och programmering: 1) Different symbols represent the same meaning: e.g., the modulus operation, represented by mod in algebra and % in programming; 2) The same symbol represents different meanings: e.g., the equal sign ( = ) representing relational equality in algebra and assignment in programming; 3) Symbols with no corresponding meaning in the two domains: e.g., approximately equals ( ) in algebra and increment with one ( + + ) in programming (Kilhamn & Bråting, 2019, s. 6) Kilhamn och Bråting (2019) menar att det finns en risk att elever blandar ihop begreppens betydelse när programmeringen integreras i matematiken. De framhåller vidare att en del elever redan har svårigheter med att exempelvis byta synsätt på likhetstecknet från ett operationellt till ett strukturellt perspektiv. När ytterligare betydelser av symbolen införs kan detta skapa ytterligare förvirring. Däremot finns det möjligheter för elever att inse att matematiska objekt inte är beroende av vilka symboler som används (Kilhamn & Bråting, 2019). Detta synsätt där en representation inte är likställt med objektet den representerar kommer att förklaras mer ingående i de teoretiska utgångspunkterna. 13

14 Teoretiska utgångspunkter De teoretiska utgångspunkterna tar avstamp i olika aspekter av matematiskt lärande med avseende på semiotiska representationer av matematiska objekt. Hur elever tolkar dessa semiotiska representationer har stor betydelse för elevernas matematiska förståelse (Duval, 2006; Sfard, 1991). Semiotiska representationer kan i detta sammanhang vara matematiska uttryck som också kan förmedlas genom exempelvis bilder, konkret material och talat språk. De teoretiska utgångspunkterna är dels olika synsätt på matematiska objekts strukturella eller operationella karaktär och dels hur dessa objekt kan representeras av olika tecken och symboler. Semiotiska representationer enligt Raymond Duval Den aspekt på semiotiska representationer detta arbete fokuserar på är semiotiska representationer i form av tecken och symboler och deras associationer. Exempel på en sådana representationer kan vara 0,25, 1/4, och x = y. Enligt Duval (2006) produceras tecken och symboler enligt regler och låter oss beskriva matematiska objekt och processer. I detta sammanhang kan dessa semiotiska representationer tillsammans med ett språk användas som ett verktyg för att skapa ny kunskap och att kommunicera representationer för till exempel matematiska objekt (Duval, 2006). Semiotiska representationer är skilt från de matematiska objekt de representerar och är inte det matematiska objektet i sig. Detta kan åskådliggöras genom att ett objekt kan representeras på flera olika sätt. Till exempel kan de två semiotiska representationerna = 2 och ett adderat till ett är lika med två utgöra två olika representationer av samma matematiska process och objekt. På samma sätt kan även 1/2 + 1/2 = 1 och 0,5 + 0,5 = 1,0 ses som olika representationer av samma matematiska objekt. Semiotiska representationers transformationer Enligt Duval (2006) är den viktigaste funktionen med semiotiska representationer i form av tecken och symboler att de ska kunna ersätta andra tecken och symboler (Duval, 2006). Beräkningar och omvandlingar är direkt beroende av det system av representationer som används. Semiotiska representationer behöver med andra ord inte endast representera ett matematiskt objekt, de måste gå att byta ut mot andra representationer. Inga matematiska processer kan utföras utan ett semiotiskt system av representationer eftersom matematiska processer alltid innebär att vissa semiotiska representationer byts ut mot andra (ibid.). Enligt Duval (2006) ställs varje individ i sitt lärande inför följande paradox då matematiskt tänkande ska användas eller utvecklas: 14

15 In order to do any mathematical activity, semiotic representations must necessarily be used even if there is the choice of the kind of semiotic representation. But the mathematical objects must never be confused with the semiotic representations that are used. (Duval, 2006, s. 107) Duval (2006) menar att den kritiska tröskeln för matematiskt lärande och problemlösning ofta är förmågan att kunna byta ut en typ av representation mot en annan. Med andra ord är det viktigt för elever att förstå att en representation inte är det egentliga matematiska objektet den representerar och att de ser möjligheten att byta ut representationen mot en annan (Duval, 2006). Han menar vidare att inom matematisk aktivitet är det nödvändigt att kunna använda sig och välja lämpliga semiotiska representationer som är anpassade för den process som ska utföras. Vissa processer är enklare att utföra i vissa system och ibland går det inte att använda sig av vilket system som helst. Ibland måste även flera system användas samtidigt. Ett exempel på detta är geometri där både figurer och symboler används för att lösa problem eller beskriva ett matematiskt objekt. I många fall måste en elev växla fram och tillbaka mellan olika system för att kunna lösa ett problem. Matematik är det område som har det mest avancerade semiotiska systemet och elever måste kunna känna igen matematiska objekt som kan beskrivas på många olika sätt och med många olika typer av semiotiska representationer (Duval, 2006). Duval (2006) beskriver även två olika typer av transformationer (en. transformations) i system av semiotiska representationer. Dessa är bearbetningar (en. treatments) och konverteringar (en. conversions). Bearbetningar är transformationer av representationer inom samma semiotiska system, eller notation, av representation; till exempel att lösa en ekvation eller att utföra en beräkning inom samma notation. Vilka slags bearbetningar som går att göra beror på vilket slags system av representationer som används (Duval, 2006) kan bearbetas genom = 2. Numeriska operationer på till exempel 0,20 + 0,25 = och 1/5 + 1/4 = bearbetas med olika typer av algoritmer. En konvertering är omvandlingen av en representation i ett system av notationer till en representation i ett annat system (ibid.). Till exempel kan 1/4 konverteras till 0,25 och båda uttrycken är semiotiska representationer av samma objekt. Matematisk förståelse och semiotiska representationer Enligt Duval (2006) så är själva konverteringen och samspelet mellan olika system av representationer det som utvecklar den matematiska förståelsen. Den matematiska tankeprocessen beror på synergier mellan olika representationer. Även om bearbetningar eller beräkningar görs inom ett visst system, krävs alltid ett användande av flera semiotiska representationer av det matematiska objektet. Konceptuell förståelse av matematiska objekt involverar flera semiotiska representationer av ett och samma objekt (Duval, 2006). Vid till exempel en beräkning av 1/4 + 1/5 måste utföraren dels förstå vad 1/4 betyder men även 15

16 relationen där 1/4 + 1/5 är likvärdigt med 5/20 + 4/20 alternativt 1/4 + 1/5 är likvärdigt med 0,25 + 0,20. Enligt Duval (2006) är ett av de avgörande problemen som elever har med matematiskt tänkande att de inte kan växla mellan olika representationer av matematiska objekt. Duval menar även att system av semiotiska representationer som används utanför matematiken ofta verkar göra att den matematiska betydelsen av representationerna får en underordnad betydelse. Ur ett matematiskt perspektiv är konverteringen mellan olika representationer till för att välja de representationer som bäst lämpar sig för bearbetning i den matematiska processen. En symbol kan endast användas inom sitt eget system av representationer (Duval, 2006). Vi kan med andra ord inte utföra beräkningen av 0,5 + 1/2 utan att först konvertera en av symbolerna till det andra systemet. Algoritmerna fungerar endast i de system de är avsedda att användas inom. Matematiska begrepps dubbla natur Sfard (1991) framhåller att matematiska objekt och deras representationer ofta kan ses ur två olika perspektiv. Det ena synsättet är att dessa objekt är strukturella och det andra synsättet är att objekten är operationella. Det strukturella synsättet innebär att representationer av objekt ses som en statisk enhet, medan det operationella antyder en process där något ska utföras. I algebra behöver ofta dessa synsätt samspela, dels för att underlätta förståelse men även för att göra beräkningar och problemlösning mer hanterbara. Matematiker behöver kunna växla mellan dessa två synsätt under matematisk aktivitet (Sfard, 1991). Som redan nämnts i forskningsöversikten, i samband med Kilhamn och Bråting (2019), diskuteras likhetstecknet ur ett strukturellt och operationellt synsätt. Sfard (1991) och Kieran (1981) menar att likhetstecknet antingen kan stå för en operation (3 + 4 blir 7) där en process utförs av en algoritm på en representation som resulterar i ett annat utryck, eller det strukturella synsättet där symbolen står för en relation mellan två uttryck (Kieran, 1981; Sfard, 1991). Kieran (1981) diskuterar till exempel uttryck som = där talet 7 är resultatet av operationen Likhetstecknet blir i detta fall en uppmaning att göra någonting. Vid det strukturella synsättet av likhetstecknet tar = 7 formen av en likhet där likhetstecknet beskriver en relation mellan uttrycket till höger och vänster om likhetstecknet. I detta synsätt blir bearbetningar av båda sidorna lättare att förstå och vi kan omvandla uttrycket = 7 till = på ett naturligt sätt även om representationen är abstrakt i många elevers ögon (Kieran, 1981). Detta sätt att beskriva representationer av matematiska objekt som operationella eller strukturella är enligt Sfard (1991) inte begränsat till likhetstecknet utan gäller alla algebraiska uttryck (Sfard, 1991). Elever uppfattar ofta algebraiska uttryck som formler där en operation måste utföras och de har svårt att acceptera att utryck kan vara slutna strukturella objekt (Sfard & Linchevski, 1994). I aritmetik betecknar operationen vars resultat blir 5. I algebraiska uttryck som 3(x + 5) + 1 kan däremot inte operationen och resultatet separeras som i det tidigare exemplet. Processen kan inte utföras eftersom uttrycket innehåller obekanta tal (ibid.). 16

17 Vid algebraiska uttryck som innehåller variabler blir det operationella synsättet inte meningsfullt utan representationerna bör ses som strukturella objekt (ibid.). Om eleven måste se uttryck som operationella blir mer komplicerade algebraiska uttryck och ekvationer svåra att lösa eftersom elevens arbetsminne inte klarar av att hålla alla operationer i minnet (Sfard, 1991). Detta dubbla synsätt gäller även uttryck utan obekanta tal. Bråktal (som till exempel 1/2, 2/4 och 3/4) kan ses som färdiga eller slutna strukturella objekts representationer där divisionen inte behöver utföras. De kan även ses som operationella objekt vilka ska bearbetas genom en process till färdiga utryck (som till exempel: 0,5, 1/2 och 0,75 ) (Sfard, 1991). Matematiker behöver sammanfattningsvis ur dessa perspektiv kunna välja semiotiska representationer för att beskriva matematiska objekt. De behöver även dessutom kunna växla mellan olika representationer och välja synsätt eller tolkning av att en viss representation beroende på situation. 17

18 Syfte och frågeställningar Syftet med studien är att belysa hur några lärare för årskurs 7 9 i den svenska grundskolan ser på användandet av semiotiska representationer i form av symboler som används inom både programmerings- och matematikundervisning och vad användandet av symboler som förekommer inom båda områdena får för konsekvenser för lärarnas undervisning. Forskningsfrågor 1. Hur uppfattar de intervjuade lärarna skillnaden mellan semiotiska representationer av objekt inom programmering och matematik? 2. Vad får skillnaden mellan semiotiska representationer av objekt inom programmering och matematik för konsekvenser för de intervjuade lärarnas undervisning? 18

19 Metod Då vår studie har frågeställningar som varit av en öppen karaktär där vi har varit intresserade av nyanser i hur lärare uppfattar skillnaden mellan olika symboler och vad detta får för konsekvenser för deras undervisning valdes ett kvalitativt tillvägagångssätt i studien. Denna studie är vad Bryman (2011, s. 73) beskriver som en kvalitativ fallstudie där specifika fall undersöks. Eftersom det är de intervjuade lärarnas egen tolkning av undervisningssituationen och symbolerna som undersöks blir kunskapssynen för studien vad som brukar benämnas tolkningsperspektivet. Detta perspektiv innebär att respondenterna själva tolkar sin situation och det är respondenternas tolkning som sedan ska representeras i det insamlade materialet (ibid., s. 32). Urval Lärarna som intervjuades i studien valdes ut genom ett målinriktat bekvämlighetsurval. Bryman (2011) skriver att bekvämlighetsurval är ett urval av personer som vid studiens tidpunkt finns tillgängliga för de som ska genomföra studien. De personer som väljs ut för intervjuer på detta sätt kan inte sägas representera en större grupp och därför kan inte resultaten generaliseras (Bryman, 2011, s.194). Bryman skriver att motiveringen till att använda sig av bekvämlighetsurval kan vara att det finns begränsad tillgänglighet av intervjupersoner. En annan orsak till ett sådant urval är att målet vid kvalitativa intervjuer är att göra analyser av mer ingående karaktär och att representativitet i urvalet därför inte är av lika stor vikt som vid kvantitativa studier (ibid., s. 433). Bryman skriver att målinriktat urval är det som vanligen rekommenderas vid studier av kvalitativ karaktär. Ett målinriktat urval innebär att urval och forskningsfrågor är sammankopplade på ett önskvärt sätt. Intervjuerna sker i ett sådant urval med personer vars svar på frågorna är relevanta för studiens forskningsfrågor (ibid., s. 433). Vi har i urvalet av lärare dels använt oss av personliga kontakter och dels tagit kontakt med rektorer och matematiklärare på skolor via och telefon. Då intervjuerna har skett vid personliga möten med de intervjuade lärarna har geografiskt område varit en begränsning då vi behövde ta oss till och från skolorna där lärarna jobbar för att genomföra intervjuerna. Vid urvalsprocessen började vi med att gå igenom vilka grundskolor med årskurserna 7 9 som finns i Uppsala och närliggande kommuner. Vi skickade därefter ut till lärare och rektorer där vi efterfrågade lärare som undervisade i programmering och matematik och som var villiga att delta i studien. skickades till ett stort antal skolor och några av lärarna och rektorerna på skolorna söktes även via telefon. Det visade sig dock vara svårt att få tag på intervjupersoner genom detta tillvägagångssätt. Problemet var inte att det inte finns lärare som undervisar i matematik och programmering i årskurs 7 9, utan snarare att få dessa lärare att vilja delta i intervjuerna. I den aktuella studien valdes därför de intervjuade lärarna ut genom ett 19

20 bekvämlighetsurval eftersom studien är av kvalitativ karaktär och att det fanns ett begränsat antal lärare att välja mellan. I studien har sex stycken lärare deltagit. Två av dessa lärare har vi inte någon personlig koppling till, dessa har svarat då vi hört av oss via och telefon till olika skolor. En av de intervjuade lärarna fick vi kontakt med genom vår handledare. De tre andra lärarna har vi funnit genom personliga kontakter. Ingen av de lärare som vi funnit genom personliga kontakter känner vi sedan tidigare. Vi har kommit i kontakt med dessa genom att de har en kollega som en av oss känner. Av de sex lärare som intervjuats jobbar tre stycken i Uppsala, två i Gävle och en i Bromma. Datainsamling Den typ av intervjuer som har genomförts i detta arbete är vad Bryman (2011) kallar för semistrukturerade intervjuer. Det innebär att intervjuerna utgår från en intervjuguide och att respondenterna kan i stor utsträckning formulera svaren på frågorna så som de själva vill. I intervjuguiden finns teman som ska tas upp under intervjun. Även frågor som inte ingår under dessa teman kan tas upp under intervjun som följdfrågor till någonting som respondenten har sagt (Bryman, 2011, s. 415). Vid det aktuella arbetet utformades en intervjuguide (bilaga 1) inför intervjuerna med de tre rubrikerna respondentens bakgrund, undervisningskontext och semiotiska representationer (symboler). Under var och en av dessa rubriker formulerades ett antal frågor. Till den sista rubriken semiotiska representationer (symboler) gjordes även en bilaga (bilaga 2) bestående av olika matematiska uttryck som visades för lärarna då frågorna om semiotiska representationer ställdes. Bryman menar att ett sätt att på förhand se hur bra eller mindre bra en intervju fungerar är att genomföra några pilotintervjuer, dessa ger dessutom de som ska genomföra intervjuerna erfarenhet av intervju som metod (Bryman, 2011, s. 422). Innan respondenterna intervjuades genomfördes en utförlig pilotintervju där intervjuguiden testades. En doktorand vid Uppsala universitet som även är utbildad matematiklärare för gymnasiet och hade kunskaper inom programmering användes som pilot. Då pilotintervjun tog betydligt längre tid än vad som var tänkt omformades intervjuguiden till ett färre antal frågor och två av frågorna omformades till frågor som kan ställas i mån av tid. Vissa formuleringar gjordes även om för att förhindra ledande frågor. Bryman rekommenderar att ljudupptagning genomförs och sedan transkriberas vid kvalitativa undersökningar. Då materialet sedan ska analyseras noggrant finns en risk för att fraser och uttryck kan missas om endast anteckningar tas vid intervjuerna. Det är också viktigt med god kvalité då det gäller ljudupptagningen eftersom det i annat fall blir svårt att analysera materialet. Vidare är det av betydelse att intervjun sker i en miljö utan störande inslag. Störande ljud kan påverka inspelningens kvalité och respondenten ska kunna känna sig trygg med att det som sägs under intervjun inte hörs av någon utomstående (Bryman, 2011, ss ). 20

21 Vid samtliga intervjuer i den aktuella undersökningen har ljudupptagning skett med hjälp av en diktafon och alla intervjuer utom pilotintervjun har transkriberats. Pilotintervjun och en av de andra intervjuerna har skett på universitetet, den ena i ett grupprum den andra i ett klassrum. De övriga intervjuerna har skett på de skolor där de intervjuade lärarna arbetar. Detta har inneburit att lärarna har fått välja plats för intervjuerna, vilket har varit klassrum eller arbetsrum. Samtliga intervjuer har skett i ostörda miljöer. Analysmetod Valet av att göra en kvalitativ studie vid undersökningen av lärarnas syn på hur semiotiska representationer påverkar deras undervisning gjorde att en tematisk analysmetod användes vid analysen av data (Bryman, 2011, ss ). Ett ramverk i form av en matris (ibid., s. 529) med sammanfattningar av lärarnas svar skapades med hjälp av de transkriberade intervjuerna. Forskningsfrågorna och intervjuguiden utgjorde ett stöd för att identifiera olika teman i lärarnas svar. När vi letade efter teman var vi särskilt intresserade av att hitta skillnader och likheter mellan lärarnas svar men även språkliga kopplingar som på grund av och eftersom i de individuella svaren. Vi har även letat efter värderingar med avseende på hur lärarna uppfattar att eleverna påverkas av att symbolerna används i olika sammanhang. Exempelvis kan ett svar vara: Eleverna har svårt/lätt [värdering] därför att [ett samband] symbolen används på flera sätt. I matrisen över lärarnas svar gjordes sammanfattningar för varje lärares svar på de olika frågorna. Med hjälp av forskningsfrågorna och sammanfattningarna på lärarnas svar skapades teman som sorterades in under varje forskningsfråga. Ett exempel på ett tema var att lärare identifierade att samma symbol representerar olika objekt beroende på om symbolen användes inom programmering eller i ett mer generellt matematiskt sammanhang som vid problemlösning med papper och penna. För att göra matrisen mer överskådlig färgkodades svar beroende på om lärarna beskrev att programmeringen underlättade eller försvårade den matematiska förståelsen för symbolerna och de objekt de representerade. Ett exempel på ett sådant tema som var programmering förenklar matematikundervisning. Dessa teman presenteras under studiens analys. Validitet och reliabilitet Intern reliabilitet handlar om hur ett forskarlag tolkar data. Det är av stor vikt att forskarna är samstämmiga om hur data ska tolkas. Extern reliabilitet betyder att en undersökning kan upprepas med samma förutsättningar. För att uppnå intern validitet ska det finnas tillförlitliga kopplingar mellan observationer och de teoretiska begrepp som utvecklas till följd av observationerna. Extern validitet innebär att resultaten av en studie kan generaliseras till mer allmänna sammanhang. Inom kvalitativa studier är det ofta problematiskt med den externa validiteten då det ofta är ett begränsat urval respondenter. Däremot är oftast den interna validiteten högre då forskarna arbetar längre och djupare med analyserna av resultaten (Bryman, 2011, s. 352). 21

22 Lärarna som intervjuas i den här studien kan inte anses vara en särskilt homogen grupp, men samtliga av lärarna är ändå generellt positiva till att programmering ingår i läroplanen. Det är fullt möjligt att de lärare som valt att deltaga i studien är mer positivt inställda till programmering än lärare som inte svarat eller tackat nej till deltagande. Möjligtvis är dessa lärare även mer förtrogna med programmering än den generella lärarkåren. Detta skulle kunna inverka negativt på studiens externa validitet. Bryman (2011) beskriver begreppet teoretisk mättnad som ett tillfälle då ytterligare insamlande av data endast leder till att bekräfta redan uppnådda resultat (Bryman, 2011, s. 395). På grund av den begränsade tid, inom vilken studien utfördes, har det varit ett begränsat antal lärare som deltagit i studien. Med tanke på detta och typen av urval kan vi inte uttala oss om huruvida tillförlitlig teoretisk mättnad har uppnåtts vid insamlandet av data. Med tanke på de spridda svar som lärarna uppgav på vissa av frågorna ser vi det dock inte som troligt att teoretisk mättnad har uppnåtts. Även denna aspekt kan inverka negativt på studiens externa validitet, även om vi kan anse att den interna validiteten är hög för det begränsade urvalet som stod till förfogande. Eftersom vi har diskuterat intervjuer och intervjuguide kontinuerligt under arbetet samt att båda författarna har deltagit vid samtliga intervjuer anser vi att den interna och externa reliabiliteten kan anses vara hög och tillförlitlig. Vid utformandet av intervjuguide är det viktigt att frågorna är utformade på ett sätt att de inte påverkar en studies reliabilitet och validitet negativt (Leeuw, Hox & Dillman, 2008, ss ). Respondenten måste dels förstå frågan till fullo och frågorna behöver vara så tydliga att alla respondenter svarar på samma fråga (ibid., s. 143). Vi har tagit hänsyn till att alla lärare inte har samma bakgrund inom matematik och programmering och har därför utformat frågorna så att samtliga respondenter ska förstå frågan till fullo. Eftersom vi har öppna frågor har vi försökt att ge alla respondenter samma möjlighet genom att inleda varje huvudfråga med en kort förklaring även om vi har velat att respondenterna själva ska få utveckla sina resonemang kring de olika delfrågorna. En respondent måste även få tillräckliga verktyg för att kunna få fram information för att svara på en fråga och problem med reliabilitet kan uppstå om respondenterna har olika svårt att till exempel minnas information under själva intervjun (Leeuw, Hox & Dillman, 2008, s ) Därför valde vi att tillhandahålla ett stödmaterial så att lärarna fick se de olika tecken och symboler vi frågade om under intervjun (bilaga 2). Det finns även en risk att frågor ställs på ett sätt att respondenten är ovillig att svara sanningsenligt på frågan om det riskerar att ställa dem i dåligt ljus (Leeuw, Hox & Dillman, 2008, s. 154) och därför har vi försökt utforma frågorna så att de inte ska kunna tolkas som att det är lärarnas personliga kompetens som efterfrågas. Vi har heller inte varit intresserade av lärarnas personliga kompetens eller ifrågasatt deras undervisningsmetoder eftersom detta inte är av intresse för studien. 22